?2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市灌南縣、贛榆區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題。（本大題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上。）
1．下列手機(jī)手勢解鎖圖案中，屬于中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．要使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　　）
A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
4．在一個不透明的口袋中有白球、黑球共10個，這些球除顏色外均相同，將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個球并記下顏色后放回口袋中，多次摸球后發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在60%，則估計口袋中的白球數(shù)量有（　?。?br /> A．2個 B．4個 C．6個 D．10個
5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，要判定四邊形DBFE是菱形，下列所添加條件不正確的是（　?。?br />
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
6．反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法不正確的是（　?。?br /> A．y隨x的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限
C．圖象關(guān)于直線y＝x對稱 D．圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1）
7．已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則滿足條件的所有正整數(shù)m的個數(shù)是（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
8．如圖，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，點(diǎn)F在CD上，且DF＝5，E是BC邊上的一動點(diǎn)，M，N分別是AE、EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動的過程中，線段MN所掃過的圖形面積是（　?。?br />
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空題。（本大題共8小題，每小題3分，本大題共24分。不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上。）
9．化簡二次根式：＝　 ?。?br /> 10．分式和的最簡公分母為 　 　．
11．若分式的值為零，那么x的值為 　 　．
12．設(shè)A，B，C，D是反比例函數(shù)y＝圖象上的任意四點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①四邊形ABCD可以是平行四邊形；
②四邊形ABCD可以是菱形；
③四邊形ABCD不可能是矩形；
④四邊形ABCD不可能是正方形．
其中正確的是　 　．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
13．計算：＝　 ?。?br /> 14．點(diǎn)（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，若y1＞y2，則a的取值范圍是 　 　．
15．如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線BE與AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，則BE＝　 ?。?br />
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，AB∥x軸，點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，線段AC與x軸正半軸交于點(diǎn)D．若△ABC的面積為8，，則k的值為 　 　．

三、解答題。（本大題共10小題，共102分。請在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．計算：
（1）；
（2）．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
19．先化簡，再求值：，其中．
20．某校為了培養(yǎng)學(xué)生對航天知識的學(xué)習(xí)興趣，組織全校800名學(xué)生進(jìn)行了“航天知識競賽”，教務(wù)處從中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的競賽成績，并得到如下不完整的頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
分組
頻數(shù)
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x＜100
b
（1）n的值為 　 　，a的值為 　 　，b的值為 　 ??；
（2）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）計算扇形統(tǒng)計圖中表示“C”的扇形圓心角的度數(shù)為 　 　°；
（4）若規(guī)定學(xué)生競賽成績x≥80為優(yōu)秀，請估算全校競賽成績達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．

21．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D點(diǎn)，E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，分別過D，E兩點(diǎn)作線段AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DEFG為矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的長．

22．某醫(yī)藥研究所研制了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第5分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.2微克，第100分鐘達(dá)到最高，接著開始衰退．血液中含藥量y（微克）與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖．并發(fā)現(xiàn)衰退時y與x成反比例函數(shù)關(guān)系．
（1）a＝　 ?。?br /> （2）當(dāng)5≤x≤100時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為　 　；當(dāng)x＞100時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為　 ??；
（3）如果每毫升血液中含藥量不低于10微克時是有效的，求出一次服藥后的有效時間多久？

23．2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某商家兩次購進(jìn)冰墩墩進(jìn)行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進(jìn)同款冰墩墩，所購進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價貴了10元．
（1）求該商家第一次購進(jìn)冰墩墩多少個？
（2）若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個冰墩墩的標(biāo)價至少為多少元？
24．材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式．
例如：，則的一個有理化因式是．的一個有理化因式是．
材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同時乘以分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化．
例如：．
請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：
（1）的有理化因式為 　 　，的有理化因式為 　 ??；（均寫出一個即可）
（2）計算：；
（3）當(dāng)2≤a≤4時，求代數(shù)式的最大值．
25．在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的對角線AC⊥x軸，其頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)D（m，1），△OCD的面積為9．
（1）m＝　 ??；k＝　 ?。?br /> （2）結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集；
（3）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)的圖象上；
（4）若將?OABC沿射線CD的方向平移m個單位，在平移的過程中，若反比例函數(shù)圖象與邊CB始終有交點(diǎn)，請你直接寫出m的取值范圍．

26．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACFG和正方形BCDE，連接GE，點(diǎn)M是GE的中點(diǎn)，連接MD、MF．

（1）嘗試探究：
結(jié)論1：MD、MF的數(shù)量關(guān)系是 　 　；
結(jié)論2：MD、MF的位置關(guān)系是 　 ??；
（2）將圖1中的正方形BCDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在邊FC的延長線上，連接GE，點(diǎn)M是GE的中點(diǎn)，連接MD，MF，請問（1）中的兩個結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時，請直接寫出ME的長．



參考答案
一、選擇題。（本大題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請把正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上。）
1．下列手機(jī)手勢解鎖圖案中，屬于中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
解：A、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
B、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C、是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
D、不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】此題主要考查了中心對稱圖形的概念．要注意，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．下列計算正確的是（　?。?br /> A． B． C． D．
解：A．2﹣＝，故此選項不合題意；
B．3÷＝，故此選項符合題意；
C．+無法合并，故此選項不合題意；
D．（2）2＝12，故此選項不合題意；
故選：B．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．要使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（　?。?br /> A．x＜2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
解：由題意得2﹣x＞0，
解得x＜2，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查的是代數(shù)式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0解題的關(guān)鍵．
4．在一個不透明的口袋中有白球、黑球共10個，這些球除顏色外均相同，將口袋中的球攪拌均勻，從中隨機(jī)摸出一個球并記下顏色后放回口袋中，多次摸球后發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在60%，則估計口袋中的白球數(shù)量有（　　）
A．2個 B．4個 C．6個 D．10個
解：估計口袋中的白球數(shù)量有10×60%＝6（個），
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．
5．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，要判定四邊形DBFE是菱形，下列所添加條件不正確的是（　?。?br />
A．AB＝AC B．AB＝BC C．BE平分∠ABC D．EF＝CF
解：當(dāng)AB＝BC時，四邊形DBFE是菱形；
理由：∵點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，
∴DE∥BC，EF∥AB，
∴四邊形DBFE是平行四邊形，
∵DE＝BC，EF＝AB，
∴DE＝EF，
∴四邊形DBFE是菱形．
故B正確，不符合題意，
當(dāng)BE平分∠ABC時，可證BD＝DE，可得四邊形DBFE是菱形，
當(dāng)EF＝FC，可證EF＝BF，可得四邊形DBFE是菱形，
故C、D不符合題意，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形中位線定理，屬于中考?？碱}型．
6．反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法不正確的是（　?。?br /> A．y隨x的增大而增大 B．圖象位于第二、四象限
C．圖象關(guān)于直線y＝x對稱 D．圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，1）
解：A、k＝﹣1＜0，圖象在第二、四象限，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故本選項說法錯誤；
B、k＝﹣1＜0，∴它的圖象在第二、四象限，故本選項說法正確；
C、由反比例函數(shù)圖象的對稱性，可知反比例函數(shù)y＝﹣的圖象關(guān)于y＝x對稱，故本選項說法正確；
D、∵﹣＝1，∴點(diǎn)（﹣1，1）在它的圖象上，故本選項正確；
故選：A．
【點(diǎn)評】考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＜0時，在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象是軸對稱圖象，y＝x和y＝﹣x是它的對稱軸，同時也是中心對稱圖形；熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)是解答此題的基礎(chǔ)；多方面、多角度考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
7．已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則滿足條件的所有正整數(shù)m的個數(shù)是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
解：由2﹣，
得2（x﹣1）+m＝3，
解得x＝，
∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，
∴≥0，
∵x﹣1≠0，
即≠1，
∴，
解得m≤5且m≠3，
∴滿足條件的所有正整數(shù)m為1，2，4，5，共4個．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查分式方程的解，解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊同乘最簡公分母將分式方程化為整式方程；（2）解整式方程；（3）檢驗整式方程的解是否為分式方程的解．
8．如圖，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，點(diǎn)F在CD上，且DF＝5，E是BC邊上的一動點(diǎn)，M，N分別是AE、EF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動的過程中，線段MN所掃過的圖形面積是（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
解：如圖所示：當(dāng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時，點(diǎn)M位于AB中點(diǎn)，點(diǎn)N位于PG中點(diǎn)；
當(dāng)點(diǎn)P'與C點(diǎn)重合時，點(diǎn)M'位于AC中點(diǎn)，點(diǎn)N'位于P'G中點(diǎn)；

∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，M'是AC的中點(diǎn)，N是PG的中點(diǎn)，點(diǎn)N'是P'G中點(diǎn)，
∴MM'、NN'分別是△ABC、△GBC的中位線，
∴MM'∥BC且MM'＝BC，NN'∥BC且NN'＝BC，
∴四邊形MM'NN'為平行四邊形，
∴MN掃過的區(qū)域為平行四邊形，
∴S＝BC?（AB﹣GC）＝×12×（×9﹣×4）＝15，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)和定理．
二、填空題。（本大題共8小題，每小題3分，本大題共24分。不需要寫出解答過程，只需把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上。）
9．化簡二次根式：＝　?。?br /> 解：＝＝2．
【點(diǎn)評】化簡二次根式的過程，一般按以下步驟：把根號下的帶分?jǐn)?shù)或絕對值大于1的小數(shù)化成假分?jǐn)?shù)，把絕對值小于1的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)；被開方數(shù)是多項式的要因式分解；使被開方數(shù)不含分母；將被開方數(shù)中能開的盡方的因數(shù)或因式用它的算術(shù)平方根代替后移到根號外面；化去分母中的根號；約分．
10．分式和的最簡公分母為 　6x2y2?。?br /> 解：分式，的最簡公分母為6x2y2；
故答案為：6x2y2．
【點(diǎn)評】本題考查了最簡公分母，熟練掌握最簡公分母的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
11．若分式的值為零，那么x的值為 　2?。?br /> 解：∵分式的值為零，
∴x﹣2＝0且2x﹣3≠0，
解得x＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式的值為零的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
12．設(shè)A，B，C，D是反比例函數(shù)y＝圖象上的任意四點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①四邊形ABCD可以是平行四邊形；
②四邊形ABCD可以是菱形；
③四邊形ABCD不可能是矩形；
④四邊形ABCD不可能是正方形．
其中正確的是?、佗堋。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）
解：如圖，過點(diǎn)O任意作兩條直線分別交反比例函數(shù)的圖象于A，C，B，D，得到四邊形ABCD．

由對稱性可知，OA＝OC，OB＝OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
當(dāng)直線AC和直線BD關(guān)于直線y＝x對稱時，此時OA＝OC＝OB＝OD，即四邊形ABCD是矩形．
∵反比例函數(shù)的圖象在一，三象限，
∴直線AC與直線BD不可能垂直，
∴四邊形ABCD不可能是菱形或正方形，
故選項①④正確，
故答案為：①④．
【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．
13．計算：＝　2﹣?。?br /> 解：原式＝（2﹣）2021×（2+）2021×（2﹣）
＝[（2﹣）×（2+）]2021×（2﹣）
＝1×（2﹣）
＝2﹣．
故答案為：2﹣．
【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
14．點(diǎn)（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，若y1＞y2，則a的取值范圍是 　﹣1＜a＜1?。?br /> 解：∵k＜0，
∴在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，
①當(dāng)點(diǎn)（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的同一支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＞a+1，
解得：無解；
②當(dāng)點(diǎn)（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在圖象的兩支上，
∵y1＞y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故答案為：﹣1＜a＜1．
【點(diǎn)評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握當(dāng)k＜0時，在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大．
15．如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線BE與AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，且EF平分∠BED．若AB＝4，DE＝1，則BE＝　6?。?br />
解：延長EF和BC，交于點(diǎn)G，如圖所示，

在?ABCD中，∠ABC的平分線BE與AD交于點(diǎn)E，
∴∠ABE＝∠CBE，AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝4，
∴AD＝BC＝4+1＝5，
又∵∠BED的平分線EF與DC交于點(diǎn)F，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE，
∵F為CD的中點(diǎn)，
∴CF＝DF，
∵∠G＝∠DEF，∠GFC＝∠DFE，CF＝DF，
∴△CGF≌△DEF（AAS），
∴CG＝DE＝1，
∴BE＝BG＝5+1＝6．
故答案為：6．
【點(diǎn)評】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，解決問題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．
16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，AB∥x軸，點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，線段AC與x軸正半軸交于點(diǎn)D．若△ABC的面積為8，，則k的值為 　﹣4?。?br />
解：∵△ABC的面積為8，，
∴△ABD的面積為×8＝5，
如圖，連接OA，OB，設(shè)AB與y軸交于點(diǎn)P，

∵△AOB與△ADB同底等高，
∴S△AOB＝S△ADB，
∵AB∥x軸，
∴AB⊥y軸，
∵點(diǎn)A在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)的圖象上，
∴S△AOP＝3，S△BOP＝|k|，
∴S△ABD＝S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝3+|k|＝5．
解得k＝﹣4，（正值舍去）
故答案為：﹣4．
【點(diǎn)評】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，即在反比例函數(shù)y＝的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．也考查了三角形的面積．
三、解答題。（本大題共10小題，共102分。請在答題卡上指定區(qū)域內(nèi)作答。解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）
17．計算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝3﹣4+2
＝；
（2）
＝﹣（3﹣2）
＝4﹣3+2
＝1+2．
【點(diǎn)評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
解：（1），
﹣＝4，
方程兩邊都乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得：x＝1，
檢驗：當(dāng)x＝1時，2x﹣3≠0，
所以x＝1是原方程的解，
即原方程的解是x＝1；

（2），
﹣＝，
方程兩邊都乘3（3x﹣1），得1﹣3x＝2（3x﹣1），
解得：x＝，
檢驗：當(dāng)x＝時，3（3x﹣1）＝0，
所以x＝增根，
即原方程無解．
【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．
19．先化簡，再求值：，其中．
解：原式＝÷
＝?
＝，
當(dāng)x＝+1時，
原式＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查分式化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)，將分式通分和約分，進(jìn)行化簡．
20．某校為了培養(yǎng)學(xué)生對航天知識的學(xué)習(xí)興趣，組織全校800名學(xué)生進(jìn)行了“航天知識競賽”，教務(wù)處從中隨機(jī)抽取了n名學(xué)生的競賽成績，并得到如下不完整的頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
分組
頻數(shù)
A：60≤x＜70
a
B：70≤x＜80
18
C：80≤x＜90
24
D：90≤x＜100
b
（1）n的值為 　60　，a的值為 　6　，b的值為 　12??；
（2）請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；
（3）計算扇形統(tǒng)計圖中表示“C”的扇形圓心角的度數(shù)為 　144　°；
（4）若規(guī)定學(xué)生競賽成績x≥80為優(yōu)秀，請估算全校競賽成績達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)．

解：（1）n＝18÷30%＝60，
∴a＝60×10%＝6，
∴b＝60﹣6﹣18﹣24＝12，
故答案為：60，6，12；
（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

（3）扇形統(tǒng)計圖中表示“C”的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×＝144°，
故答案為：144；
（3）估算全校競賽成績達(dá)到優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為：800×＝480（人）．
【點(diǎn)評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關(guān)鍵是明確統(tǒng)計圖的特點(diǎn)和中位數(shù)的含義，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21．如圖，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC交BC于D點(diǎn)，E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，分別過D，E兩點(diǎn)作線段AC的垂線，垂足分別為G，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求證：四邊形DEFG為矩形；
（2）若AB＝10，EF＝4，求CG的長．

【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
∵E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
∴DE是△ABC的中位線．
∴DE∥AC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EF∥DG．
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四邊形DEFG為矩形；
（2）∵AD⊥BC交BC于D點(diǎn)，E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四邊形DEFG為矩形，則GF＝DE＝5．
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，由勾股定理得：AF＝＝＝3．
∵AB＝AC＝10，F(xiàn)G＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．

【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)題意找到長度相等的線段是解題的關(guān)鍵．
22．某醫(yī)藥研究所研制了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)：成人按規(guī)定劑量服用后，檢測到從第5分鐘起每分鐘每毫升血液中含藥量增加0.2微克，第100分鐘達(dá)到最高，接著開始衰退．血液中含藥量y（微克）與時間x（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如圖．并發(fā)現(xiàn)衰退時y與x成反比例函數(shù)關(guān)系．
（1）a＝　19??；
（2）當(dāng)5≤x≤100時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為　y＝0.2x﹣1??；當(dāng)x＞100時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為　y＝?。?br /> （3）如果每毫升血液中含藥量不低于10微克時是有效的，求出一次服藥后的有效時間多久？

解：（1）a＝0.2×（100﹣5）＝19；
（2）當(dāng)5≤x≤100時，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b
∵經(jīng)過點(diǎn)（5，0），（100，19）
∴
解得：，
∴解析式為y＝0.2x﹣1；
當(dāng)x＞100時，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝，
∵經(jīng)過點(diǎn)（100，19），
∴＝19
解得：k＝1900，
∴函數(shù)的解析式為y＝；
（3）令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55，
令y＝＝10，解得：x＝190
∴190﹣55＝135分鐘，
∴服藥后能持續(xù)135分鐘；
【點(diǎn)評】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的實際應(yīng)用，根據(jù)已知點(diǎn)得出函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵．
23．2022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某商家兩次購進(jìn)冰墩墩進(jìn)行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進(jìn)同款冰墩墩，所購進(jìn)數(shù)量是第一次的2倍，但單價貴了10元．
（1）求該商家第一次購進(jìn)冰墩墩多少個？
（2）若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個冰墩墩的標(biāo)價至少為多少元？
解：（1）設(shè)第一次購進(jìn)冰墩墩x個，則第二次購進(jìn)冰墩墩2x個，
根據(jù)題意得：＝﹣10，
解得：x＝200，
經(jīng)檢驗，x＝200是原方程的解，且符合題意，
答：該商家第一次購進(jìn)冰墩墩200個．
（2）由（1）知，第二次購進(jìn)冰墩墩的數(shù)量為400個．
設(shè)每個冰墩墩的標(biāo)價為a元，
由題意得：（200+400）a≥（1+20%）（22000+48000），
解得：a≥140，
答：每個冰墩墩的標(biāo)價至少為140元．
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
24．材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化因式．
例如：，則的一個有理化因式是．的一個有理化因式是．
材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同時乘以分母的有理化因式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化．
例如：．
請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：
（1）的有理化因式為 ?。ù鸢覆晃ㄒ唬。挠欣砘蚴綖??。ù鸢覆晃ㄒ唬?；（均寫出一個即可）
（2）計算：；
（3）當(dāng)2≤a≤4時，求代數(shù)式的最大值．
解：（1）的有理化因式為，的有理化因式為，
故答案為：，（答案不唯一）；
（2）
＝++﹣+...+
＝；
（3）
＝
＝
＝，
∵2≤a≤4，
∴要使代數(shù)式有最大值，則a＝2，
∴
＝
＝2﹣．
【點(diǎn)評】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．
25．在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的對角線AC⊥x軸，其頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)C在一次函數(shù)的圖象上，若一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)D（m，1），△OCD的面積為9．
（1）m＝　8??；k＝　8?。?br /> （2）結(jié)合圖象直接寫出不等式的解集；
（3）求點(diǎn)B的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)B是否在反比例函數(shù)的圖象上；
（4）若將?OABC沿射線CD的方向平移m個單位，在平移的過程中，若反比例函數(shù)圖象與邊CB始終有交點(diǎn)，請你直接寫出m的取值范圍．

解：（1）∵y1＝，y，
將D（m，1）代入得：，
∴m＝8，k＝8，
故答案為：8；8；
（2）∵y1＝，y，
根據(jù)圖象y1＞y2的部分為0＜x＜8，
∴不等式的解集為0＜x＜8；
（3）對于y，當(dāng)x＝0時，y＝﹣3，
∴OE＝3，
∵△OCD的面積為9且S△OCD＝S△OED﹣S△OEC，
∵C在y2上，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，
∴9＝x，
∴x＝2，
∴y＝﹣2，
∴C（2，﹣2），
∵AC⊥x軸，
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，
∴A（2，4），
由平移知，B（4，2），
當(dāng)x＝4時，y＝，
∴點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝上；
（4）當(dāng)平行四邊形OABC在平移過程中，平移時的四個頂點(diǎn)O'，A'，B'，C'，
當(dāng)C'在CD上移動時，B'C'始終與y1有交點(diǎn)，
當(dāng)C與D重合時，B'C'與y1剛好有最后一個交點(diǎn)，若繼續(xù)平移，則B'，C'與y1沒有交點(diǎn)，
∴m＝3，
∴0．
【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，函數(shù)與不等式的關(guān)系，三角形的面積，平移的性質(zhì)等知識，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．
26．如圖，點(diǎn)C在線段AB上，分別以AC、BC為邊在線段AB的同側(cè)作正方形ACFG和正方形BCDE，連接GE，點(diǎn)M是GE的中點(diǎn)，連接MD、MF．

（1）嘗試探究：
結(jié)論1：MD、MF的數(shù)量關(guān)系是 　MD＝MF?。?br /> 結(jié)論2：MD、MF的位置關(guān)系是 　MD⊥MF??；
（2）將圖1中的正方形BCDE繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B恰好落在邊FC的延長線上，連接GE，點(diǎn)M是GE的中點(diǎn)，連接MD，MF，請問（1）中的兩個結(jié)論是否成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；
②若AC＝2，BC＝2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時，請直接寫出ME的長．

解：（1）延長DM交GF于點(diǎn)H，
∵GF∥DE，
∴∠GHM＝∠MDE，∠HGM＝∠MED，
∵M(jìn)是GE的中點(diǎn)，
∴GM＝ME，
∴△GMH≌△EMD（ASA），
∴MH＝MD，DE＝GH，
∵∠HFM＝90°，
∴MF＝MD；
∵GF＝CF，DE＝CD，
∴GF﹣GH＝CF﹣CD，即HF＝DF，
∴△HFD是等腰直角三角形，
∴MF⊥MD；
故答案為：MF＝MD，MF⊥MD；
（2）①仍然成立，如圖2，延長DM交AG的延長線于N，連接NF，DF，
在正方形BCDE中，DE∥BC，CD＝DE，
在正方形ACFG中，AG∥BF，CF＝GF
∴AG∥DE，
∴∠MED＝∠MGN，
∵點(diǎn)M是線段GE的中點(diǎn)，
∴GM＝EM，
∵∠DME＝∠NMG，
∴△DME≌△NMG（ASA），
∴NG＝DE，MN＝MD，
∵CD＝DE，
∴NG＝CD，
∴△GFN≌△CFD（SAS），
∴NF＝DF，∠GFN＝∠CFD，
∴∠GFN+∠CFN＝∠CFD+∠CFN，
即：∠CFG＝∠DFN，
∵∠CFG＝90°，
∴△DFN是等腰直角三角形，
∵M(jìn)N＝MD，
∴MF＝MD，MF⊥MD；
②如圖3，當(dāng)D點(diǎn)在EF上時，
過點(diǎn)E作EP⊥MD交延長線于P，
∵FM＝FD，F(xiàn)M⊥MD，
∴FD＝MD，∠MDF＝45°，
∵AC＝2，BC＝2，
在Rt△FCD中，F(xiàn)D＝6，
∴MD＝3，
在Rt△DEP中，DP＝，
∴MP＝MD+DP＝4，
在Rt△MPE中，ME＝；
如圖4，當(dāng)E點(diǎn)在DF上時，
過M作MQ⊥DF交于Q，
∵M(jìn)D＝MF，MD⊥MF，
∴MQ＝DF，
在Rt△CDF中，DF＝6，
∴DF＝DQ＝MQ＝3，
∴EQ＝3﹣2＝1，
在Rt△MEQ中，ME＝；
綜上所述：ME＝或．




【點(diǎn)評】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，直角三角形勾股定理，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．

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