2021-2022學(xué)年江蘇省連云港高級(jí)中學(xué)高一下學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：∴，∴z=，故選C.【解析】復(fù)數(shù)運(yùn)算2．已知向量與的夾角為30°，且，，則等于A． B． C． D．【答案】C【分析】把平方化簡(jiǎn)即得解.【詳解】由得，所以.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3．在中,若，，，則A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】依題意，由正弦定理即可求得得值.【詳解】由正弦定理得，.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．某學(xué)校有高中學(xué)生1000人，其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)分別為320，300，380.為調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為100的樣本，那么應(yīng)抽取高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為A．68 B．38 C．32 D．30【答案】D【分析】根據(jù)分層抽樣的定義求出在各層中的抽樣比，即樣本容量比上總體容量，按此比例求出在各年級(jí)中抽取的人數(shù).【詳解】解：根據(jù)題意得，用分層抽樣在各層中的抽樣比為，則高二年級(jí)抽取的人數(shù)是30030人，故選D．【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是分層抽樣方法，根據(jù)樣本結(jié)構(gòu)和總體結(jié)構(gòu)保持一致，求出抽樣比，再求出在各層中抽取的個(gè)體數(shù)目．5．某校高一年級(jí)15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)、分位數(shù)分別為（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】將數(shù)據(jù)從小到大依次排列，而且15×60%=9，15×90%=13.5，故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是第9、10個(gè)數(shù)的平均數(shù)，90%分位數(shù)是第14個(gè)數(shù)．【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而15×60%=9，15×90%=13.5，故這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是，這組數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)是96，故選：D．6．已知，，且，，則的坐標(biāo)為（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)，由，得 ，所以.故選：C7．已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：根據(jù)正四棱柱的幾何特征得：該球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線，故，即得，所以該球的體積，故選D.【解析】正四棱柱的幾何特征；球的體積.8．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為.若的面積為，且，，則外接圓的面積為A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理及三角形面積公式可得和，結(jié)合條件，可得，進(jìn)而得，由正弦定理可得結(jié)果．【詳解】由余弦定理得，，所以又，，所以有，即，所以，由正弦定理得，，得所以外接圓的面積為．答案選D．【點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題多為邊角求值的問(wèn)題，這就需要根據(jù)正弦定理、余弦定理結(jié)合已知條件，靈活選擇，它的作用除了直接求邊角或邊角互化之外，它還是構(gòu)造方程（組）的重要依據(jù)，把正、余弦定理，三角形的面積結(jié)合條件形成某個(gè)邊或角的方程組，通過(guò)解方程組達(dá)到求解的目標(biāo)，這也是一種常用的思路．二、多選題9．已知m，n是直線，，，是平面，則下列說(shuō)法中正確的是（       ）A．若，，，則或B．若，，，則C．若m不垂直于，則m不可能垂直于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線D．若，且，，則且【答案】BD【解析】選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，缺少條件“直線在平面或平面”，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)為面面平行的性質(zhì)定理，所以正確；選項(xiàng)， 若m不垂直于，平面內(nèi)的直線垂直于m在平面內(nèi)的射影，則直線與垂直，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)，由線面平行的判斷定理可判斷正確.【詳解】在A中，垂直于兩平面交線的直線不一定垂直于兩個(gè)平面，A錯(cuò)誤；B為面面平行的性質(zhì)定理，所以正確；在C中，平面內(nèi)垂直于m的射影的直線，m與它們都垂直，C錯(cuò)誤；在D中，根據(jù)線面平行的判定定理，可判斷為正確.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查空間線和面有關(guān)定理的辨析和應(yīng)用，要熟練掌握定理所滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.10．甲罐中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙罐中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，先從甲罐中隨機(jī)取出1個(gè)球放入乙罐，分別以，表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事件，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出1個(gè)球，以B表示從乙罐中取出的球是紅球的事件，下列命題正確的是（       ）A． B．事件B與事件相互獨(dú)立C．事件B與事件相互獨(dú)立 D．，互斥【答案】AD【分析】先畫出樹狀圖，然后求得， ，的值，得A正確；利用 判斷B錯(cuò)誤，同理C錯(cuò)誤；由，不可能同時(shí)發(fā)生得D正確.【詳解】根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到有關(guān)事件的樣本點(diǎn)數(shù)：因此，，，A正確；又，因此，B錯(cuò)誤；同理可以求得，C錯(cuò)誤；，不可能同時(shí)發(fā)生，故彼此互斥，故D正確，故選：AD．【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的判斷及其概率，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的學(xué)科素養(yǎng)，屬基礎(chǔ)題.11．為比較甲，乙兩地某月14時(shí)的氣溫，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)制成統(tǒng)計(jì)表如下：從表中能得到的結(jié)論有（       ）A．甲地該月時(shí)的平均氣溫低于乙地該月時(shí)的平均氣溫B．甲地該月時(shí)的平均氣溫高于乙地該月時(shí)的平均氣溫C．甲地該月時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差D．甲地該月時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月時(shí)氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差【答案】AD【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，分別計(jì)算甲、乙的平均數(shù)與方差即可得出結(jié)果.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)， 可得：甲地該月14時(shí)的平均氣溫：（26+28+29+31+31）=29，乙地該月14時(shí)的平均氣溫：（28+29+30+31+32）=30，故甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫；由方差公式可得：甲地該月14時(shí)溫度的方差為：乙地該月14時(shí)溫度的方差為：，所以甲地該月14時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時(shí)的氣溫標(biāo)準(zhǔn)差.故選：AD12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（       ）A．B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等【答案】AD【分析】對(duì)于A，由特殊位置判斷，對(duì)于B，由面面平行的性質(zhì)判斷，對(duì)于C，由棱錐的高與底面積都是定值得出體積為定值判斷，對(duì)于D，由B到線段EF的距離與A到EF的距離不相等進(jìn)行判斷【詳解】對(duì)于A，由題意知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與的夾角為，所以是錯(cuò)誤的，對(duì)于B，因?yàn)檎襟w的兩個(gè)底面平行，即平面∥平面，而平面，所以∥平面，所以B正確，對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由正體的性質(zhì)可得，因?yàn)?/span>都 為定值，所以三棱錐的體積為定值，所以C正確，對(duì)于D，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以點(diǎn)A到EF的距離為長(zhǎng)，而B到線段EF的距離為長(zhǎng)，顯然與不相等，因?yàn)?/span>，所以的面積與的面積不相等，所以D錯(cuò)誤，故選：AD三、填空題13．設(shè)，向量，，若，則_______．【答案】【解析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，得到，再由二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)整理，即可得出結(jié)果.【詳解】∵，向量，，∴，∴，∵，∴．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查由向量共線求參數(shù)，涉及二倍角的正弦公式，熟記向量共線的坐標(biāo)表示即可，屬于?？碱}型.14．中，角 的對(duì)邊分別是，已知，則 _______.【答案】【分析】化簡(jiǎn)已知等式可得sinC＝1，又a＝b，由余弦定理可得：cosC＝sinC，利用兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin（C）＝0，結(jié)合范圍C∈（，），可求C的值．【詳解】∵c2＝2b2（1﹣sinC），∴可得：sinC＝1，又∵a＝b，由余弦定理可得：cosC1sinC，∴sinC﹣cosC＝0，可得：sin（C）＝0，∵C∈（0，π），可得：C∈（，），∴C0，可得：C．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理，兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．15．甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為0.4, 0.5, 0.8，若只有1人擊中，則飛機(jī)被擊落概率為0.2，若2人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6，若3人擊中，則飛機(jī)一定被擊落，則飛機(jī)被擊落的概率為__________.【答案】0.492【詳解】分析：設(shè)甲、乙、丙三人擊中飛機(jī)為事件 依題意，相互獨(dú)立，故所求事件概率為 ，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，即可得到答案.詳解：設(shè)甲、乙、丙三人擊中飛機(jī)為事件 依題意，相互獨(dú)立，故所求事件概率為 即答案為0.492.點(diǎn)睛：本題考查相互獨(dú)立事件的概率，掌握相互獨(dú)立事件的的乘法公式和互斥事件的加法公式是解題的關(guān)鍵.四、雙空題16．足球運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)古老的體育活動(dòng)，眾多的資料表明，中國(guó)古代足球的出現(xiàn)比歐洲早，歷史更為悠久，如圖，現(xiàn)代比賽用足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成的共32個(gè)面的多面體，著名數(shù)學(xué)家歐拉證明了凸多面體的面數(shù)(F)，頂點(diǎn)數(shù)(V)，棱數(shù)(E)滿足F+V-E=2，那么，足球有______.個(gè)正六邊形的面，若正六邊形的邊長(zhǎng)為，則足球的直徑為______.cm(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù) 【答案】     20     22【分析】首先根據(jù)足球表面的規(guī)律，設(shè)正五邊形為塊，正六邊形為塊，列出方程組，解方程組即可.分別計(jì)算正六邊形和正五邊形的面積，從而得到足球的表面積，再利用球體表面積公式即可得到足球的直徑.【詳解】因?yàn)樽闱蚴怯烧暹呅闻c正六邊形構(gòu)成，所以每塊正五邊形皮料周圍都是正六邊形皮料，每?jī)蓚€(gè)相鄰的多邊形恰有一條公共邊，每個(gè)頂點(diǎn)處都有三塊皮料，而且都遵循一個(gè)正五邊形，兩個(gè)正六邊形結(jié)論.設(shè)正五邊形為塊，正六邊形為塊，有題知：，解得.所以足球有個(gè)正六邊形的面.每個(gè)正六邊形的面積為.每個(gè)正五邊形的面積為.球的表面積.所以，.所以足球的直徑為.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)傳統(tǒng)文化背景，考查球體的直徑和表面積公式，同時(shí)考查了學(xué)生理解問(wèn)題的能力，屬于中檔題.五、解答題17．已知.（1）求與的夾角θ；（2）求；（3）若，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1） 根據(jù)向量模長(zhǎng)將原式化簡(jiǎn)可求的值，結(jié)合模長(zhǎng)可求與的夾角的余弦值，從而可求；（2）采用先平方再開方的方法求解出的值；（3）根據(jù)三角形的面積公式直接計(jì)算出的面積.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以.又所以，所以，所以.又，所以.（2），所以.（3）因?yàn)?/span>的夾角，所以，又，所以.18．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．①②③的面積為在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b－c=2，cosA=.（1）求a；（2）求的值．【答案】（1）不論選哪種條件，a=8；（2）.【分析】（1）選①，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算，求得，結(jié)合題意，即可求得；選②，列出方程，求得，根據(jù)余弦定理求得；選③，根據(jù)面積公式求得，結(jié)合已知求得，再用余弦定理即可求得；（2）根據(jù)（1）中所求，利用余弦定理求得，解得，再用余弦的和角公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）選擇條件①： ∵∴bc=24       由解得或（舍去）∴∴a=8       選擇條件②：由解得或（舍去）∴∴a=8       選擇條件③：∵∴∴bc=24       由解得或（舍）∴∴a=8（2）∴∴ ∴【點(diǎn)睛】本題考查倍角公式、和角公式的利用，以及用正弦定理解三角形，屬綜合中檔題.19．如圖，在四棱錐中，平面平面，∥平面，，， 求證：（1）∥平面；（2）平面平面．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】（1）先通過(guò)線面平行性質(zhì)定理得到∥，再通過(guò)線面平行判定定理得到結(jié)論；（2）利用數(shù)量關(guān)系得到，再借助已知條件證明，通過(guò)線線垂直證明線面垂直，最后證明面面垂直.【詳解】證明：（1）∵∥平面，而平面，平面平面，∴∥．            ∵平面，平面，∴∥平面．                                             （2）∵，滿足，∴．由知．又∵平面平面，，，∴平面．                                                又∵，所以．又，，，∴．又，∴平面平面．【點(diǎn)睛】（1）線面平行的性質(zhì)定理：一條直線平行一個(gè)平面，那么過(guò)這條直線的任意平面與此平面的交線必定平行于已知直線；（2）面面垂直的判定：一個(gè)平面過(guò)另外一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.20．某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理，樹立企業(yè)形象，考慮在公司內(nèi)部對(duì)遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰.現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不處罰時(shí)，有80人會(huì)遲到，處罰時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：處罰金額（單位：元）50100150200遲到的人數(shù)5040200 若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.（Ⅰ）當(dāng)處罰金定為100元時(shí)，員工遲到的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰時(shí)降低多少？（Ⅱ）將選取的200人中會(huì)遲到的員工分為，兩類：類員工在罰金不超過(guò)100元時(shí)就會(huì)改正行為；類是其他員工.現(xiàn)對(duì)類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷，則前兩位均為類員工的概率是多少？【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，得到，即可得到結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)從類員工抽出的兩人分別為，，設(shè)從類員工抽出的兩人分別為，，設(shè)“從類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷”為事件，列舉出基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算，即可求解．【詳解】（Ⅰ）設(shè)“當(dāng)罰金定為100元時(shí)，遲到的員工改正行為”為事件，則，不處罰時(shí)，遲到的概率為：.∴當(dāng)罰金定為100元時(shí)，比不制定處罰，員工遲到的概率會(huì)降低.（Ⅱ）由題意知，類員工和類員工各有40人，分別從類員工和類員工各抽出兩人，設(shè)從類員工抽出的兩人分別為，，設(shè)從類員工抽出的兩人分別為，，設(shè)“從類與類員工按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問(wèn)卷”為事件，則事件中首先抽出的事件有，，，，，共6種，同理首先抽出，，的事件也各有6種，故事件共有種，設(shè)“抽取4人中前兩位均為類員工”為事件，則事件有，，，共4種，∴，∴抽取4人中前兩位均為類員工的概率是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算與應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用表格中的數(shù)據(jù)，以及利用列舉法得到基本事件的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．21．2021年4月23日“世界讀書日”來(lái)臨時(shí)，某校為了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，整理得到下表．組號(hào)分組頻數(shù)頻率150.052a0.35330b4200.205100.10合計(jì)  1001 (1)求a，b的值，并在下圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率直方圖（用陰影涂黑）；(2)根據(jù)頻率直方圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；(3)現(xiàn)從第4、5組中用比例分配的分層抽樣方法抽取6人參加校中華詩(shī)詞比賽，經(jīng)過(guò)比賽后，第4組得分的平均數(shù)，方差，第5組得分的平均數(shù)，方差，則這6人得分的平均數(shù)和方差分別為多少（方差精確到0.01）？【答案】(1)；；作圖見解析(2)眾數(shù)的估計(jì)值為7.5；中位數(shù)的估計(jì)值為11.67(3)平均數(shù)為7，方差為1.67【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，以及頻數(shù)之和為樣本容量，即可求解.（2）根據(jù)頻率分步直方圖，可求眾數(shù)以及中位數(shù).（3）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式即可求解.【詳解】(1)∵，∴．∵，∴．頻率直方圖如下：(2)該組數(shù)據(jù)眾數(shù)的估計(jì)值為7.5．易知中位數(shù)應(yīng)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，故中位數(shù)的估計(jì)值為11.67．(3)∵第4組和第5組的頻數(shù)之比為2∶1，∴從第4組抽取4人，第5組抽取2人．∴這6人得分的平均數(shù)，方差，即這6人得分的平均數(shù)為7，方差為1.67．22．在四棱錐中，平面 ⊥平面 ，底面為梯形，，，且，，．(1)求證：；(2)求二面角______的余弦值；從① ，② ，③ 這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答．(3)若 是棱 的中點(diǎn)，求證：對(duì)于棱 上任意一點(diǎn) ， 與 都不平行．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可證線線垂直.（2）根據(jù)二面角的幾何求法，先利用面面垂直，得線面垂直，進(jìn)而可找到二面角的平面角，然后借助三角的邊角關(guān)系即可求解.（3）根據(jù)空間中過(guò)一點(diǎn)只能作出一條直線與已知直線平行，即可求解.【詳解】(1)證明：∵平面 ⊥平面平面平面，平面，,∴平面 ，又平面 ，∴ ．(2)若選①，過(guò)點(diǎn)作 交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ． ∵平面 ⊥平面，平面平面，平面 ，∴⊥平面 ，過(guò) 作交 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) ，∵， ，∴ ，連接 ，∵ 平面 ，平面，∴ ，∵，平面 ，平面，∴AB⊥平面POE，又平面POE，∴ ，∴ 就是二面角的平面角．由題意得，，，∴，∴，即二面角的余弦值為．若選②，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，連接BD． ∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連接PM，∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴PO⊥BD，∵，平面POM，平面POM，∴BD⊥平面POM，又平面POM，∴BD⊥PM，∴∠PMO為二面角的平面角的補(bǔ)角，易算得，，∴，∴二面角的余弦值為．若選③，過(guò)點(diǎn)P作PO⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O．∵平面PCD⊥平面ABCD，平面平面，平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC交BC于點(diǎn)H，連接PH，∵PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴，又，平面POH，平面POH，∴BC⊥平面POH，又平面POH，∴BC⊥PH，∴∠PHO為二面角的平面角，易算得，，∴，∴二面角的余弦值為．(3)證明：連接AC，取AC的中點(diǎn)K，連接MK，則．若棱BC上存在點(diǎn)F，使，則由基本事實(shí)4可得，顯然矛盾，故對(duì)于棱BC上任意一點(diǎn)F，MF與PC都不平行． 

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