?2023年河南省信陽市羅山縣定遠(yuǎn)初級中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．4的平方根是（　　）
A．?2 B．2 C．±2 D．16
2．剪紙是我國具有獨特藝術(shù)風(fēng)格的民間藝術(shù)，反映了勞動人民對現(xiàn)實生活的深刻感悟．下列剪紙圖形中，是中心對稱圖形的有（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．以下問題，不適合采用全面調(diào)查的是（　　）
A．了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時間
B．旅客上飛機前的安檢
C．學(xué)校招聘教師，對應(yīng)聘人員面試
D．了解全市中小學(xué)生每天的零花錢
4．下列計算，正確的是（　　）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
5．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　?。?br /> A． B．
C． D．
6．若點（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函數(shù)y＝圖象上的點，則下列各式中正確的是（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
7．幾個大小相同，且棱長為1的小正方體所搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖的面積為（　?。?br />
A．3 B．4 C．6 D．9
8．冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，其以國寶熊貓為原型設(shè)計創(chuàng)作，將熊貓憨態(tài)可掬的形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冬季冰雪運動和現(xiàn)代科技的特點，一經(jīng)開售供不應(yīng)求．已知該款吉祥物在某電商平臺上2月4日的銷售量為5000個，2月5日和2月6日的總銷售量是22500個．若2月5日和6日較前一天的增長率均為x，則x滿足的方程是（　?。?br /> A．5000（1+x）2＝22500
B．5000（1﹣x）3＝22500
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（4，0），按以下步驟作圖：①分別以點A，O為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧在第一象限內(nèi)交于點B，連接AB，OB；②分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧在AB右側(cè)交于點P，連接OP，交AB于點C，則點C的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（，3）
10．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（　　）

A． B．2 C．2 D．3
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之“，意思是今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù)．如果體重減少3kg記作﹣3kg，那么體重增加5kg，則記作 　 　kg．
12．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝4，CE＝8，BD＝3，則DF的值是 　 ?。?br />
13．如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常，隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的任意兩個，至少讓一個小燈泡發(fā)光的概率是 　 　．

14．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED，分別以O(shè)，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分面積是　 ?。?br />
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積最大值為　 ?。?br />
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（10分）（1）計算．
（2）解分式方程：．
17．（9分）某籃球訓(xùn)練營在一次投籃訓(xùn)練中，A組的20名運動員均參加訓(xùn)練，訓(xùn)練方式為每人定點投籃10次，以命中次數(shù)作為訓(xùn)練成績．據(jù)統(tǒng)計，此次投籃訓(xùn)練的成績?nèi)绫恚?br /> 命中次數(shù)（次）
4
5
6
7
8
9
人數(shù)（人）
2
4
5
6
2
1
（1）已知這20名運動員此次訓(xùn)練成績的平均數(shù)是6.25、中位數(shù)是b、眾數(shù)是c，直接寫出b、c的值；
（2）若A組某運動員的訓(xùn)練成績?yōu)?次，統(tǒng)計時被記錄員記少了1次，則此次訓(xùn)練成績的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中不受影響的是 　 ?。ㄌ睢捌骄鶖?shù)”、“眾數(shù)”、“中位數(shù)”）
（3）已知B組的20名運動員在本次訓(xùn)練中的成績統(tǒng)計如表：
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
6.5
6.5
7
你認(rèn)為哪組運動員本次的訓(xùn)練成績更好？為什么？
18．（9分）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

19．（9分）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓外一點P作切線PB、PC，交⊙O于點B和點C，連接CA、CO和CD．
（1）求證CA∥PO．
（2）填空：
①當(dāng)∠PCD＝　 　°時，四邊形CAOD為菱形；
②當(dāng)∠PCD＝　 　°時，四邊形COBP為正方形．

20．（9分）某學(xué)習(xí)小組在數(shù)學(xué)活動課上設(shè)計了一個問題情境．
已知林茂的家、體育場、文具店在同一條直線上，林茂從家勻速跑步15min到體育場，在體育場鍛煉了一陣后又勻速走到文具店買筆，然后再勻速走回家．給出的圖象反映了這個過程中林茂離家的距離ykm與離開家的時間xmin之間的對應(yīng)關(guān)系．
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）填空：
①體育場到文具店的距離為 　 　km；
②林茂從文具店到家的行進速度為 　 　km/min；
③當(dāng)林茂離家的距離為2km時，他離開家的時間為 　 　min；
（2）當(dāng)15≤x≤45時，請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

21．（9分）如圖，拋物線y＝ax2+2x﹣3a與y軸交于點A，當(dāng)x＝1時，函數(shù)y有最大值，點B（4，4），點B關(guān)于原點的對稱點為B'，直線BB'與拋物線交于點M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是拋物線和直線BB'的上方一動點，若拋物線在直線BB'上方的部分與直線BP有公共點，求點P縱坐標(biāo)y的取值范圍．

22．（10分）如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC＝6cm，AB＝8cm．P是線段AB上一動點，取BC的中點D，連接PC，PD．
小剛根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對線段AP，PD，PC的長度之間的關(guān)系進行探究．下面是小剛的探究過程，請補充完整：
（1）觀察計算：根據(jù)點P在線段AB上的不同位置，通過取點，畫圖和測量，得到了AP，PD，PC的長度（單位：cm）的幾組值，如表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AP
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
PD
6.4
5.5
4.6
3.8
a
2.5
2.2
2.5
3.0
PC
6.0
5.4
4.9
4.6
4.5
4.6
4.9
5.4
6.0
（2）操作發(fā)現(xiàn)：
①在AP，PD，PC的長度這三個量中，確定 　 　的長度為自變量，　 　的長度和 　 　的長度分別都為這個自變量的函數(shù)．
②當(dāng)P為AB的中點時，PD的長是一個固定的值．請求出表中a的值為 　 　．
（3）描點畫圖：在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，根據(jù)（1）表格中的數(shù)據(jù)，畫出所確定的函數(shù)圖象．
（4）解決問題：直接寫出：當(dāng)△PCD為等腰三角形時，線段PD的長度的近似值．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

23．（10分）綜合與實踐
問題情境：
如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點A的對應(yīng)點為點C）．延長AE交CE′于點F，連接DE．
猜想證明：
（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
解決問題：
（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請直接寫出DE的長．


2023年河南省信陽市羅山縣定遠(yuǎn)初級中學(xué)中考數(shù)學(xué)三模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．4的平方根是（　　）
A．?2 B．2 C．±2 D．16
【分析】根據(jù)平方根的定義進行解答即可．
【解答】解：∵（±2）2＝4，
∴4的平方根為±2，
故選：C．
【點評】本題考查平方根，理解平方根的定義是正確解答的前提．
2．剪紙是我國具有獨特藝術(shù)風(fēng)格的民間藝術(shù)，反映了勞動人民對現(xiàn)實生活的深刻感悟．下列剪紙圖形中，是中心對稱圖形的有（　?。?br />
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．
【解答】解：①、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
②、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
③、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
④、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
3．以下問題，不適合采用全面調(diào)查的是（　?。?br /> A．了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時間
B．旅客上飛機前的安檢
C．學(xué)校招聘教師，對應(yīng)聘人員面試
D．了解全市中小學(xué)生每天的零花錢
【分析】調(diào)查方式的選擇需要將普查的局限性和抽樣調(diào)查的必要性結(jié)合起來，具體問題具體分析，普查結(jié)果準(zhǔn)確，所以在要求精確、難度相對不大，實驗無破壞性的情況下應(yīng)選擇普查方式，當(dāng)考查的對象很多或考查會給被調(diào)查對象帶來損傷破壞，以及考查經(jīng)費和時間都非常有限時，普查就受到限制，這時就應(yīng)選擇抽樣調(diào)查．
【解答】解：A、了解全班同學(xué)每周體育鍛煉的時間，應(yīng)當(dāng)全面調(diào)查，故本選項不合題意；
B、旅客上飛機前的安檢，應(yīng)當(dāng)采用全面調(diào)查，故本選項不合題意；
C、學(xué)校招聘教師，對應(yīng)聘人員面試，應(yīng)當(dāng)全面調(diào)查，故本選項不合題意；
D、了解全市中小學(xué)生每天的零花錢．，人數(shù)多，耗時長，應(yīng)當(dāng)采用抽樣調(diào)查的方式，故本選項符合題意．
故選：D．
【點評】此題考查了抽樣調(diào)查和全面調(diào)查，由普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似．
4．下列計算，正確的是（　　）
A．m+m＝m2 B．2（m﹣n）＝2m﹣n
C．（m+2n）2＝m2+4n D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9
【分析】選項A根據(jù)合并同類項法則判斷即可；選項B根據(jù)去括號法則判斷即可；選項C根據(jù)完全平方公式判斷即可；選項D根據(jù)平方差公式判斷即可．
【解答】解：A．m+m＝2m，故本選項不合題意；
B．2（m﹣n）＝2m﹣2n，故本選項不合題意；
C．（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故本選項不合題意；
D．（m+3）（m﹣3）＝m2﹣9，故本選項符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了合并同類項，去括號法則，完全平方公式以及平方差公式，掌握相關(guān)公式與運算法則是解答本題的關(guān)鍵．
5．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在數(shù)軸上表示出來即可．
【解答】解：，
∵解不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤3，
∴不等式組的解集是1＜x≤3，
在數(shù)軸上表示為：．
故選：A．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
6．若點（﹣6，y1），（2，y2），（3，y3）都是反比例函數(shù)y＝圖象上的點，則下列各式中正確的是（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3
【分析】先判斷出函數(shù)圖象所在的象限及增減性，再根據(jù)各點橫坐標(biāo)的特點即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵m2+1＞0，
∴函數(shù)圖象的兩個分式分別位于一、三象限，且在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小．
∵0＜2＜3，
∴點（2，y2），（3，y3）位于第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∵﹣6＜0，
∴點（﹣6，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∴y1＜y3＜y2，
故選：A．
【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．
7．幾個大小相同，且棱長為1的小正方體所搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中的數(shù)字表示在該位置小正方體的個數(shù)，則這個幾何體的左視圖的面積為（　?。?br />
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】根據(jù)俯視圖中正方體的個數(shù)畫出左視圖即可得出結(jié)論．
【解答】解：由俯視圖可以得出幾何體的左視圖為：

則這個幾何體的左視圖的面積為4，
故選：B．
【點評】本題主要考查三視圖的知識，根據(jù)俯視圖作出左視圖是解題的關(guān)鍵．
8．冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，其以國寶熊貓為原型設(shè)計創(chuàng)作，將熊貓憨態(tài)可掬的形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，體現(xiàn)了冬季冰雪運動和現(xiàn)代科技的特點，一經(jīng)開售供不應(yīng)求．已知該款吉祥物在某電商平臺上2月4日的銷售量為5000個，2月5日和2月6日的總銷售量是22500個．若2月5日和6日較前一天的增長率均為x，則x滿足的方程是（　?。?br /> A．5000（1+x）2＝22500
B．5000（1﹣x）3＝22500
C．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
D．5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500
【分析】根據(jù)題意分別表示出2月5日和2月6日的銷量，進而相加得出等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意可得：
2月5日的銷量為：5000（1+x），
2月6日的銷量為：5000（1+x）（1+x）＝5000（1+x）2，
故5000（1+x）+5000（1+x）2＝22500．
故選：D．
【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出2月6日的銷量是解題關(guān)鍵．
9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（4，0），按以下步驟作圖：①分別以點A，O為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧在第一象限內(nèi)交于點B，連接AB，OB；②分別以點A，B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧在AB右側(cè)交于點P，連接OP，交AB于點C，則點C的坐標(biāo)為（　?。?br />
A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（，3）
【分析】利用作法得到OB＝AB＝OA＝4，PB＝PA，則可判斷△OAB為等邊三角形，所以∠BAO＝60°，再判斷OP垂直平分AB得到AC＝AB＝2，過O點作OH⊥OA于H，如圖，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計算出AH＝1，CH＝，所以O(shè)H＝3，從而得到C點坐標(biāo)．
【解答】解：由作法得OB＝AB＝OA＝4，PB＝PA，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵OB＝OA，PA＝PB，
∴OP垂直平分AB，
∴AC＝AB＝2，
過O點作OH⊥OA于H，如圖，
在Rt△ACH中，∵AH＝AC＝1，
∴CH＝AH＝，
∴OH＝OA﹣AH＝3，
∴C點坐標(biāo)為（3，）．
故選：C．

【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．
10．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（　?。?br />
A． B．2 C．2 D．3
【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即可．
【解答】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝＝＝，

∵點D為BC中點，
∴BD＝CD，
在△BFD與△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
當(dāng)直線l⊥AC時，最大值為，
綜上所述，AE+BF的最大值為．
故選：A．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之“，意思是今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù)．如果體重減少3kg記作﹣3kg，那么體重增加5kg，則記作 　+5　kg．
【分析】增加和減少具有相反意義，根據(jù)正負(fù)數(shù)可以表示一對具有相反意義的量即可求解．
【解答】解：如果體重減少3kg記作﹣3kg，那么體重增加5kg，則記作+5kg．
故答案為：+5．
【點評】本題考查了學(xué)生對正負(fù)數(shù)意義理解與掌握，用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．
12．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與直線a，b，c分別交于點A，C，E，B，D，F(xiàn)，若AC＝4，CE＝8，BD＝3，則DF的值是 　6?。?br />
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得，即可得出DF值．
【解答】解：∵直線a∥b∥c，
∴即，
∴DF＝6．
故答案為6．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
13．如圖所示，電路連接完好，且各元件工作正常，隨機閉合開關(guān)S1，S2，S3中的任意兩個，至少讓一個小燈泡發(fā)光的概率是 　?。?br />
【分析】畫樹狀圖，共有6種等可能的結(jié)果，至少讓一個小燈泡發(fā)光的結(jié)果有4種，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把開關(guān)S1，S2，S3分別記為A、B、C，
畫樹狀圖如圖：

共有6種等可能的結(jié)果，能讓兩個小燈泡同時發(fā)光的結(jié)果有4種，
∴至少讓一個小燈泡發(fā)光的概率是＝．
故答案為：．
【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
14．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED，分別以O(shè)，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分面積是　8﹣π?。?br />
【分析】作DH⊥AE于H，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)陰影部分面積＝△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計算即可．
【解答】解：作DH⊥AE于H，
∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，
∴AB＝＝，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，
∴DH＝OB＝2，
陰影部分面積＝△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積
＝×5×2+×2×3+﹣
＝8﹣π，
故答案為：8﹣π．

【點評】本題考查的是扇形面積的計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，掌握扇形的面積公式S＝和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，點D，E分別在邊AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，連接BE，CD，相交于點O，則△ABO面積最大值為　　．

【分析】過點D作DF∥AE，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得則＝＝，根據(jù)已知＝，可得DO＝2OC，C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，當(dāng)CG⊥AB時，△ABC的面積最大為：4×2＝4，即可求出此時△ABO的最大面積．
【解答】解：如圖，過點D作DF∥AE，

則＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB為直徑的圓上，設(shè)圓心為G，
當(dāng)CG⊥AB時，△ABC的面積最大為：4×2＝4，
此時△ABO的面積最大為：×4＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線分線段成比例定理．
三、解答題（本大題共8個小題，滿分75分）
16．（10分）（1）計算．
（2）解分式方程：．
【分析】（1）原式利用特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，以及二次根式性質(zhì)計算即可求出值；
（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2×+2﹣2
＝+2﹣2
＝2﹣；
（2）去分母得：x﹣2＝4（x﹣1），
解得：x＝，
檢驗：把x＝代入得：x﹣1≠0，
∴分式方程的解為x＝．
【點評】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化的思想，注意要檢驗．
17．（9分）某籃球訓(xùn)練營在一次投籃訓(xùn)練中，A組的20名運動員均參加訓(xùn)練，訓(xùn)練方式為每人定點投籃10次，以命中次數(shù)作為訓(xùn)練成績．據(jù)統(tǒng)計，此次投籃訓(xùn)練的成績?nèi)绫恚?br /> 命中次數(shù)（次）
4
5
6
7
8
9
人數(shù)（人）
2
4
5
6
2
1
（1）已知這20名運動員此次訓(xùn)練成績的平均數(shù)是6.25、中位數(shù)是b、眾數(shù)是c，直接寫出b、c的值；
（2）若A組某運動員的訓(xùn)練成績?yōu)?次，統(tǒng)計時被記錄員記少了1次，則此次訓(xùn)練成績的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中不受影響的是 　中位數(shù)　．（填“平均數(shù)”、“眾數(shù)”、“中位數(shù)”）
（3）已知B組的20名運動員在本次訓(xùn)練中的成績統(tǒng)計如表：
平均數(shù)
中位數(shù)
眾數(shù)
6.5
6.5
7
你認(rèn)為哪組運動員本次的訓(xùn)練成績更好？為什么？
【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別求解；
（2）根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義解答即可；
（3）根據(jù)兩組成績的眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)解答即可．
【解答】解：（1）這20名運動員此次訓(xùn)練成績從小到大排列，排在最中間的兩個數(shù)分別為6、6，故中位數(shù)b＝＝6，
∵7出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)c＝7；
（2）若A組某運動員的訓(xùn)練成績?yōu)?次，統(tǒng)計時被記錄員記少了1次，則此次訓(xùn)練成績的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中不受影響的是中位數(shù)；
故答案為：中位數(shù)；
（3）B組成績更好；理由：兩組成績的眾數(shù)均相同，但B組的平均數(shù)、中位數(shù)較大，說明B組運動員的平均成績及中等偏上的成績更好．
【點評】本題考查了平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，用到的知識點是：給定一組數(shù)據(jù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)，稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．中位數(shù)的定義：將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù)；平均數(shù)＝總數(shù)÷個數(shù)；需注意一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止1個，也可能沒有眾數(shù)．要學(xué)會用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量分析問題．
18．（9分）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準(zhǔn)備要?？康酱a頭C，貨輪航行到A處時，測得碼頭C在北偏東60°方向上．為了躲避A，C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當(dāng)它航行到B處后，又沿著南偏東70°方向航行20海里到達(dá)碼頭C．求貨輪從A到B航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里．參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．

【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，利用正弦函數(shù)求得BD＝15.32海里，再在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：過B作BD⊥AC于D，


由題意可知∠ABE＝30°，∠BAC＝30°，則∠C＝180°﹣30°﹣30°﹣70°＝50°，
在Rt△BCD中，∠C＝50°，BC＝20（海里），
∴BD＝BCsin50°≈20×0.766＝15.32（海里），
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，BD＝15.32（海里），
∴AB＝2BD＝30.64≈30.6（海里），
答：貨輪從A到B航行的距離約為30.6海里．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方向角問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．
19．（9分）如圖，AB為⊙O的直徑，過圓外一點P作切線PB、PC，交⊙O于點B和點C，連接CA、CO和CD．
（1）求證CA∥PO．
（2）填空：
①當(dāng)∠PCD＝　30　°時，四邊形CAOD為菱形；
②當(dāng)∠PCD＝　22.5　°時，四邊形COBP為正方形．

【分析】（1）由切線的性質(zhì)得出PC＝PB，∠PCO＝∠PBO＝90°，證明Rt△PCO≌Rt△PBO（HL），由全等三角形的性質(zhì)得出∠POC＝∠POB，證出∠A＝∠POB，則可得出結(jié)論；
（2）①證明△OCD為等邊三角形，得出∠COD＝60°，同理證出△OAC為等邊三角形，得出AC＝OA＝OA＝OC＝CD＝OD，根據(jù)菱形的判定可得出結(jié)論；
②證出四邊形COBP為矩形，根據(jù)正方形的判定可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵PB，PC為⊙O的切線，
∴PC＝PB，∠PCO＝∠PBO＝90°，
∴Rt△PCO≌Rt△PBO（HL），
∴∠POC＝∠POB，
又∵AO＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COB＝∠A+∠ACO，
∴∠A＝∠POB，
∴CA∥PO；
（2）解：①當(dāng)∠PCD＝30°時，四邊形CAOD為菱形，
∵∠PCD＝30°，∠PCO＝90°，
∴∠OCD＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△OCD為等邊三角形，
∴∠COD＝60°，
又∵AC∥OP，
∴∠ACO＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴AC＝OA＝OA＝OC＝CD＝OD，
∴四邊形CAOD為菱形．
故答案為：30；
②當(dāng)∠PCD＝22.5°時，四邊形COBP為正方形，
∵∠PCD＝22.5°，∠PCO＝90°，
∴∠DCO＝67.5°，
又∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝67.5°，
∴∠COD＝45°，
∴∠POB＝45°，
∴∠COB＝90°，
∵∠PCO＝∠PBO＝90°，
∴四邊形COBP為矩形，
∵OC＝OB，
∴四邊形COBP為正方形．
故答案為：22.5．
【點評】本題是圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，正方形的判定，熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
20．（9分）某學(xué)習(xí)小組在數(shù)學(xué)活動課上設(shè)計了一個問題情境．
已知林茂的家、體育場、文具店在同一條直線上，林茂從家勻速跑步15min到體育場，在體育場鍛煉了一陣后又勻速走到文具店買筆，然后再勻速走回家．給出的圖象反映了這個過程中林茂離家的距離ykm與離開家的時間xmin之間的對應(yīng)關(guān)系．
請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：
（1）填空：
①體育場到文具店的距離為 　1　km；
②林茂從文具店到家的行進速度為 　　km/min；
③當(dāng)林茂離家的距離為2km時，他離開家的時間為 　12min或37.5　min；
（2）當(dāng)15≤x≤45時，請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

【分析】（1）①根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出體育場到文具店的距離；
②根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出林茂從文具店到家的行進速度；
③根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出當(dāng)林茂離家的距離為2km時，他離開家的時間；
（2）根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出當(dāng)15≤x≤45時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式．
【解答】解：（1）由圖象可得，
①體育場到文具店的距離為：2.5﹣1.5＝1（km），
故答案為：1；
②林茂從文具店到家的行進速度為：1.5÷（90﹣65）＝（km/min），
故答案為：；
③當(dāng)0＜x＜15時，林茂的速度為：2.5÷15＝（km/min），
2÷＝12（min）；
當(dāng)30＜x＜45時，林茂的速度為：（2.5﹣1.5）÷（45﹣30）＝（km/min），
30+（2.5﹣2）÷＝37.5（min）；
由上可得：當(dāng)林茂離家的距離為2km時，他離開家的時間為12min或37.5min，
故答案為：12min或37.5；
（2）由圖象可得，
當(dāng)15≤x＜30時，y＝2.5；
當(dāng)30≤x≤45時，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝kx+b，
∵點（30，2.5），（45，1.5）在該函數(shù)圖象上，
∴，
解得，
即當(dāng)30≤x≤45時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝﹣x+4.5；
由上可得，當(dāng)15≤x≤45時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y＝．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
21．（9分）如圖，拋物線y＝ax2+2x﹣3a與y軸交于點A，當(dāng)x＝1時，函數(shù)y有最大值，點B（4，4），點B關(guān)于原點的對稱點為B'，直線BB'與拋物線交于點M．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是拋物線和直線BB'的上方一動點，若拋物線在直線BB'上方的部分與直線BP有公共點，求點P縱坐標(biāo)y的取值范圍．

【分析】（1）根據(jù)對稱軸為直線x＝1求出a的值，代入解析式即可；
（2）先確定直線BB'的解析式為y＝x，然后聯(lián)立拋物線和直線的解析式求出點M的坐標(biāo)，
【解答】解：（1）∵當(dāng)x＝1時，函數(shù)y有最大值，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，
∴，
∴a＝﹣1，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵B（4，4），點B關(guān)于原點的對稱點為B'，
∴點B'的坐標(biāo)為（﹣4，﹣4），
∵直線BB'經(jīng)過原點，
設(shè)直線BB'的解析式為y＝kx，
∵B（4，4），
∴4k＝4，
解得k＝1，
∴直線BB'的解析式為y＝x，
∵直線BB'與拋物線交于點M，
∴，
解得，，
∴點M的坐標(biāo)為，
∵當(dāng)x＝1時，拋物線y有最大值4，
∴符合要求的點P的縱坐標(biāo)的最小值應(yīng)大于，
綜上所述：．
【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及函數(shù)的最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．
22．（10分）如圖，在等腰△ABC中，AC＝BC＝6cm，AB＝8cm．P是線段AB上一動點，取BC的中點D，連接PC，PD．
小剛根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對線段AP，PD，PC的長度之間的關(guān)系進行探究．下面是小剛的探究過程，請補充完整：
（1）觀察計算：根據(jù)點P在線段AB上的不同位置，通過取點，畫圖和測量，得到了AP，PD，PC的長度（單位：cm）的幾組值，如表：

位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
位置8
位置9
AP
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
PD
6.4
5.5
4.6
3.8
a
2.5
2.2
2.5
3.0
PC
6.0
5.4
4.9
4.6
4.5
4.6
4.9
5.4
6.0
（2）操作發(fā)現(xiàn)：
①在AP，PD，PC的長度這三個量中，確定 　AP　的長度為自變量，　PD　的長度和 　PC　的長度分別都為這個自變量的函數(shù)．
②當(dāng)P為AB的中點時，PD的長是一個固定的值．請求出表中a的值為 　3　．
（3）描點畫圖：在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中，根據(jù)（1）表格中的數(shù)據(jù)，畫出所確定的函數(shù)圖象．
（4）解決問題：直接寫出：當(dāng)△PCD為等腰三角形時，線段PD的長度的近似值．（結(jié)果保留一位小數(shù)）

【分析】（2）①根據(jù)變量的定義即可求解；
②等腰三角形底邊上的中線即為底邊的高，直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半；
（3）依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點、連線即可；
（3）分情況并結(jié)合圖形進行求解即可．
【解答】解：（2）①根據(jù)變量的定義：AP的長度為自變量，PD的長度和 PC的長度分別都為這個自變量的函數(shù)．
故答案為：AP，PD，PC；
②∵點P為AB的中點，CA＝CB，
∴CP⊥AB，
∵點D是BC的中點，
在Rt△CPB中，PD＝BC＝3，
故答案為：3．
（3）函數(shù)圖象如圖所示：

（4）∵D是BC的中點，
∴BD＝CD＝3cm，
若△PCD是等腰三角形，有以下兩種情況：
當(dāng)PD＝CD時，PD＝3cm，
當(dāng)PC＝PD時，觀察（3）中圖象可知，PD≈5.2cm，
故線段PD的長約為5.2cm或3cm．
【點評】本題考查了動點函數(shù)圖象問題，也考查了函數(shù)圖象的畫法，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．
23．（10分）綜合與實踐
問題情境：
如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB＝90°，將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBE′（點A的對應(yīng)點為點C）．延長AE交CE′于點F，連接DE．
猜想證明：
（1）試判斷四邊形BE'FE的形狀，并說明理由；
（2）如圖②，若DA＝DE，請猜想線段CF與FE'的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
解決問題：
（3）如圖①，若AB＝15，CF＝3，請直接寫出DE的長．

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，由正方形的判定可證四邊形BE'FE是正方形；
（2）過點D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AH＝AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH＝BE＝AE，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE＝CE'，可得結(jié)論；
（3）利用勾股定理可求BE＝BE'＝9，再利用勾股定理可求DE的長．
【解答】解：（1）四邊形BE'FE是正方形，
理由如下：
∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴∠AEB＝∠CE'B＝90°，BE＝BE'，∠EBE'＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴四邊形BE'FE是矩形，
又∵BE＝BE'，
∴四邊形BE'FE是正方形；
（2）CF＝E'F；
理由如下：如圖②，過點D作DH⊥AE于H，

∵DA＝DE，DH⊥AE，
∴AH＝AE，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠DAH+∠EAB＝90°，
∴∠ADH＝∠EAB，
又∵AD＝AB，∠AHD＝∠AEB＝90°，
∴△ADH≌△BAE（AAS），
∴AH＝BE＝AE，
∵將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴AE＝CE'，
∵四邊形BE'FE是正方形，
∴BE＝E'F，
∴E'F＝CE'，
∴CF＝E'F；
（3）如圖①，過點D作DH⊥AE于H，

∵四邊形BE'FE是正方形，
∴BE'＝E'F＝BE，
∵AB＝BC＝15，CF＝3，BC2＝E'B2+E'C2，
∴225＝E'B2+（E'B+3）2，
∴E'B＝9＝BE，
∴CE'＝CF+E'F＝12，
由（2）可知：BE＝AH＝9，DH＝AE＝CE'＝12，
∴HE＝3，
∴DE＝＝＝3．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，靈活運用這些性質(zhì)進行推理是本題的關(guān)鍵．

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