?2023年浙江省杭州市西湖區(qū)保俶塔實驗學校中考數(shù)學模擬試卷（5月份）
一．選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反數(shù)是（　?。?br /> A． B．﹣ C． D．﹣
2．（3分）2022年9月10日至25日第19屆亞運會將在杭州舉辦，可容納8萬人的運動會主體育場“白蓮花”總建筑面積約為210000平方米，其中數(shù)字210000用科學記數(shù)法可表示為（　?。?br /> A．0.21×106 B．2.1×106 C．2.1×105 D．21×104
3．（3分）如圖，直線a∥b，若∠1＝112°，∠2＝42°，則∠3的度數(shù)是（　?。?br />
A．56° B．60° C．70° D．72°
4．（3分）如圖，AD是△ABC的中線，則下列結論正確的是（　?。?br />
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
5．（3分）已知﹣x＞2，則下列不等式正確的是（　?。?br /> A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
6．（3分）方方同學用50元錢去購買筆記本和彩色水筆共20件，已知每本筆記本4元，每支彩色水筆2元，設方方同學買了x本筆記本，則（　?。?br /> A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50
C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20
7．（3分）已知正比例函數(shù)y＝k1x（k1≠0）圖象與反比例函數(shù)y＝（k2≠0）的圖象交于A，B兩點，其中點A在第二象限，橫坐標為﹣2，另一交點B縱坐標為﹣1，則k1，k2的值是（　　）
A．k1＝，k2＝2 B．k1＝﹣，k2＝2
C．k1＝﹣，k2＝﹣2 D．k1＝，k2＝﹣2
8．（3分）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點D，以點C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點E，連接AE，AD．設∠EAD＝α，∠ACB＝β，則∠B的度數(shù)為（　?。?br />
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），當自變量為x1時，其函數(shù)值y1大于零；當自變量為x1﹣2與x1+2時，其函數(shù)值分別為y2，y3，則（　?。?br /> A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AB上，線段DC繞點D順時針旋轉，點C恰巧落在邊BC上的點E處．如果，．那么x與y滿足的關系式是（　　）

A．2x﹣2y＝1 B．x﹣3y＝1 C．x﹣2y＝1 D．2x﹣3y＝1
二、填空題：本大題有6個小題，每小題4分，共24分.
11．（4分）tan60°＝　 ?。?br /> 12．（4分）已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則此扇形的面積是　 ?。ńY果保留π）
13．（4分）學校組織秋游，安排給九年級3輛車，小明和小慧都可以從這3輛車中任選一輛搭乘．則小明和小慧同車的概率為 　 　．
14．（4分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，則∠ABC＝　 ?。?br />
15．（4分）若反比例函數(shù)y＝﹣，當y≤，且y≠0時自變量x的取值范圍　 ?。?br /> 16．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠BCA＝45°，AB＝a．
（1）當∠ABC＝60°時，線段BC長為 　 　.（用字母a表示）
（2）設△ABC的面積為S，則S的最大值為 　 ?。ㄓ米帜竌表示）

三、解答題：本大題有7個小題，共66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（8分）化簡，圓圓的解答過程如下：
解：
圓圓的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．
18．（8分）某市為了將生活垃圾合理分類，并更好地回收利用，將垃圾分為可回收物、廚余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類．現(xiàn)隨機抽取該市m噸垃圾，將調(diào)查結果制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
（1）m＝　 　，n＝　 ?。?br /> （2）扇形統(tǒng)計圖中，求廚余垃圾所對應的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結果，請你估計該市2000噸垃圾中約有多少噸可回收物．
19．（8分）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．
（1）求證：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的長．

20．（8分）設一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0），圖象過A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求該一次函數(shù)的表達式：
（2）若點P（m，n）在該一次函數(shù)圖象上，求代數(shù)式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC為銳角，AD、BE是△ABC的兩條高，BE與AD交于點Q．
（1）求證：△BDQ∽△ADB；
（2）如果，求∠C的正切值；
（3）如果∠BAC＝60°，BE＝6，求△ABC外接圓的面積．

22．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是實數(shù)，a≠0）．
（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求該二次函數(shù)表達式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是拋物線上的點，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若該二次函數(shù)滿足當x≥0時，總有y隨x的增大而減小，且過點（1，3），當a＜b時，求4a+b的取值范圍．
23．（12分）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，∠AED＝α，DE⊥AF，垂足為G，過點C作CH∥AF，分別交DE，AD于點H，P點．
（1）求證：AE＝BF；
（2）若tanα＝2，求的值；
（3）如圖2，連接CG，若tanα＝k，設△PHD和△CGH的面積分別為S1，S2．請用含k的代數(shù)式表示的值．


2023年浙江省杭州市西湖區(qū)保俶塔實驗學校中考數(shù)學模擬試卷（5月份）
參考答案與試題解析
一．選擇題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反數(shù)是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】運用相反數(shù)定義—實數(shù)a的相反數(shù)是﹣a進行求解．
【解答】解：由相反數(shù)的定義可得，﹣的相反數(shù)是，
故選：A．
【點評】此題考查了實數(shù)相反數(shù)定義的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識．
2．（3分）2022年9月10日至25日第19屆亞運會將在杭州舉辦，可容納8萬人的運動會主體育場“白蓮花”總建筑面積約為210000平方米，其中數(shù)字210000用科學記數(shù)法可表示為（　　）
A．0.21×106 B．2.1×106 C．2.1×105 D．21×104
【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n比原來的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：210000＝2.1×105，
故選：C．
【點評】此題主要考查了用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，確定a與n的值是解題的關鍵．
3．（3分）如圖，直線a∥b，若∠1＝112°，∠2＝42°，則∠3的度數(shù)是（　　）

A．56° B．60° C．70° D．72°
【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠4＝∠2，∠1＝∠ABC，從而可求∠3．
【解答】解：如圖，

∵a∥b，∠1＝112°，∠2＝42°，
∴∠4＝∠2＝42°，∠ABC＝∠1＝112°，
∴∠3＝∠ABC﹣∠4＝70°．
故選：C．
【點評】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．
4．（3分）如圖，AD是△ABC的中線，則下列結論正確的是（　?。?br />
A．AB＝AC B．BD＝CD C．BD＝AD D．AC＝AD
【分析】根據(jù)三角形的中線的定義即可判斷．
【解答】解：∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
故選：B．
【點評】本題考查三角形的中線的定義，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考基礎題．
5．（3分）已知﹣x＞2，則下列不等式正確的是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞2 D．x＜2
【分析】不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，由﹣x＞2，可得x＜﹣2．
【解答】解：∵﹣x＞2，
∴x＜﹣2．
故選：B．
【點評】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．
6．（3分）方方同學用50元錢去購買筆記本和彩色水筆共20件，已知每本筆記本4元，每支彩色水筆2元，設方方同學買了x本筆記本，則（　　）
A．2x+4（20﹣x）＝50 B．2（20﹣x）+4x＝50
C．2x+4（50﹣x）＝20 D．2（50﹣x）+4x＝20
【分析】由購買數(shù)量間的關系，可得出方方同學購買了（20﹣x）支彩色水筆，利用總價＝單價×數(shù)量，即可得出關于x的一元一次方程，此題得解．
【解答】解：∵方方同學購買筆記本和彩色水筆共20件，且購買了x本筆記本，
∴購買了（20﹣x）支彩色水筆．
根據(jù)題意得：2（20﹣x）+4x＝50．
故選：B．
【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．
7．（3分）已知正比例函數(shù)y＝k1x（k1≠0）圖象與反比例函數(shù)y＝（k2≠0）的圖象交于A，B兩點，其中點A在第二象限，橫坐標為﹣2，另一交點B縱坐標為﹣1，則k1，k2的值是（　　）
A．k1＝，k2＝2 B．k1＝﹣，k2＝2
C．k1＝﹣，k2＝﹣2 D．k1＝，k2＝﹣2
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)y＝k1x（k1≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k2≠0）的圖象交于A，B兩點，其中點A在第二象限，橫坐標為﹣2，另一交點B的縱坐標為﹣1，可以得出關于k1和k2的方程組，然后化簡，即可判斷哪個選項是正確的．
【解答】∵正比例函數(shù)y＝k1x（k1≠0）的圖象與反比例函數(shù)y＝（k2≠0）的圖象交于A，B兩點，其中點A在第二象限，橫坐標為﹣2，另一交點B的縱坐標為﹣1，
∴，
化簡，得，
解方程組得或，
∵點A在第二象限，橫坐標為﹣2，另一交點B的縱坐標為﹣1，
∴k1＜0，k2＜0，
∴，
故選項C正確；
故選：C．
【點評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解答本題的關鍵是明確題意，得出k1和k2的關系．
8．（3分）如圖，在△ABC中，以點B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點D，以點C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點E，連接AE，AD．設∠EAD＝α，∠ACB＝β，則∠B的度數(shù)為（　?。?br />
A．α﹣ B．2α﹣β C．α+ D．3α﹣β
【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，用β的代數(shù)式表示∠AEC．在三角形AED中，用α和β的代數(shù)式表示∠ADE，最后在等腰三角形ABD中根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和等于180°，即可表示出∠B的度數(shù)．
【解答】解：由題意得：BA＝BD，CA＝CE，
∵CA＝CE，∠ACB＝β，
∴＝，
在△AED中，∠ADE＝180°﹣∠AED﹣∠EAD
＝180°﹣
＝90°+，
∵BA＝BD，
∴，
在△BAD中，

＝2α﹣β．
故選：B．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點．解決本題的關鍵是熟練掌握和運用等腰三角形的性質(zhì)．
9．（3分）已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），當自變量為x1時，其函數(shù)值y1大于零；當自變量為x1﹣2與x1+2時，其函數(shù)值分別為y2，y3，則（　?。?br /> A．y2＞0，y3＞0 B．y2＞0，y3＜0 C．y2＜0，y3＜0 D．y2＜0，y3＞0
【分析】根據(jù)題意和題目中的函數(shù)解析式，可以得到該函數(shù)的對稱軸和x1的取值范圍，再根據(jù)當自變量為x1?2與x1+2時，其函數(shù)值分別為y2，y3，即可得到y(tǒng)2，y和y3大小關系，本題得以解決．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（x﹣3），
∴該函數(shù)圖象開口向下，與x軸交于（1，0），（3，0），
∵當自變量為x1時，其函數(shù)值y1大于零，
∴1＜x1＜3，
∴﹣1＜x1﹣2＜1，3＜x1+2＞5，
∴橫坐標為x1﹣2的點在（1，0）左側，此點對應的縱坐標小于零，
橫坐標為x1+2的點在（3，0）右側，此點對應的縱坐標小于零，
∵當自變量為x1﹣2與x1+2時，其函數(shù)值分別為y2，y3，
∴y2＜0，y3＜0，
故選：C．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．
10．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點D在邊AB上，線段DC繞點D順時針旋轉，點C恰巧落在邊BC上的點E處．如果，．那么x與y滿足的關系式是（　?。?br />
A．2x﹣2y＝1 B．x﹣3y＝1 C．x﹣2y＝1 D．2x﹣3y＝1
【分析】作DH⊥BC于H，如圖，根據(jù)旋轉的性質(zhì)得DE＝DC，則利用等腰三角形的性質(zhì)得EH＝CH，由可得BE＝2yEH＝2yCH，再根據(jù)平行線分線段成比例，由DH∥AC得到，所以x＝，然后用等線段代換后約分即可．
【解答】解：作DH⊥AC于H，如圖，
∵線段DC繞點D順時針旋轉，點C恰巧落在邊BC上的點E處，
∴DE＝DC，
∴EH＝CH，
∵，即BE＝y(tǒng)EC，
∴BE＝2yEH＝2yCH，
∵∠C＝90°，
∴DH∥AC，
∴△BDH∽△BAC，
∴，即x＝＝＝2y+1．即x﹣2y＝1．
故選：C．

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解此題的關鍵是能根據(jù)定理得出比例式，注意：一組平行線截兩條直線，所截得的線段對應成比例．也考查了旋轉的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．
二、填空題：本大題有6個小題，每小題4分，共24分.
11．（4分）tan60°＝　?。?br /> 【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接得出答案即可．
【解答】解：tan60°的值為．
故答案為：．
【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關鍵．
12．（4分）已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則此扇形的面積是　15π　．（結果保留π）
【分析】把已知數(shù)據(jù)代入扇形面積公式計算，得到答案．
【解答】解：扇形的面積＝＝15π，
故答案為：15π．
【點評】本題考查的是扇形面積計算，掌握扇形面積公式：S＝是解題的關鍵．
13．（4分）學校組織秋游，安排給九年級3輛車，小明和小慧都可以從這3輛車中任選一輛搭乘．則小明和小慧同車的概率為 　?。?br /> 【分析】列舉出所有情況，看在同一輛車的情況數(shù)占總情況數(shù)的多少即可．
【解答】解：列表如下（三輛車分別用1，2，3表示）：

1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
所有等可能的情況有9種，其中小明和小慧同車的情況有3種，
則P＝＝．
故答案為：．
【點評】此題考查了利用樹狀圖求概率；用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．得到在同一輛車的情況數(shù)是解決本題的關鍵．
14．（4分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，若∠ABD＝60°，∠AED＝100°，則∠ABC＝　50°　．

【分析】連接AC，根據(jù)圓周角定理及三角形外角性質(zhì)求解即可．
【解答】解：連接AC，

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝∠ABD＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AED＝100°，
∴∠BED＝∠BCD+∠ABC＝80°，
∴∠ABC＝∠BED﹣∠BCD＝80°﹣30°＝50°，
故答案為：50°．
【點評】此題考查了圓周角定理，熟記“直徑所對的圓周角等于90°”是解題的關鍵．
15．（4分）若反比例函數(shù)y＝﹣，當y≤，且y≠0時自變量x的取值范圍　x≤﹣9或x＞0　．
【分析】首先畫出圖形，進而利用函數(shù)圖象得出x的取值范圍．
【解答】解：如圖所示：
∵反比例函數(shù)y＝﹣，當y≤，
∴y＝時，則x＝﹣9，
故y≤時，x≤﹣9或x＞0．
故答案為：x≤﹣9或x＞0．

【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確畫出函數(shù)圖象是解題關鍵．
16．（4分）如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，∠BCA＝45°，AB＝a．
（1）當∠ABC＝60°時，線段BC長為 　a　.（用字母a表示）
（2）設△ABC的面積為S，則S的最大值為 　a2　．（用字母a表示）

【分析】（1）如圖①，作AH⊥BC于H，由直角三角形的性質(zhì)求出BH，AH的長，即可解決問題；
（2）當C是中點時，△ACM的面積最大，連接OA，OB，CO，延長CO交AB于M，可以證明CM⊥AB，由直角三角形的性質(zhì)求出OM的長，OA的長得到CM的長，即可求出S的最大值．
【解答】解：（1）如圖①，作AH⊥BC于H，
∵∠ABC＝60°，
∴BH＝AB＝a，
∴AH＝BH＝a，
∵∠BCA＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴CH＝AH＝a，
∴BC＝CH+BH＝a．
故答案為：a．
（2）如圖②，當C是中點時，△ACM的面積最大，
連接OA，OB，CO，延長CO交AB于M，
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴C、O在AB的垂直平分線上，
∴CM⊥AB，AM＝MB，
∵∠ACB＝45°，
∴∠AOB＝90°
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝AB＝a，
∴OC＝OA＝a，
∵M是AB中點，
∴OM＝AB＝a，
∴CM＝OC+OM＝a，
∴△CAB的面積＝AB?CM＝a2，
∴S的最大值是a2．
故答案為：a2．

【點評】本題考查三角形的外接圓與外心，直角三角形的性質(zhì)，關鍵是明白當C是中點時，△ACM的面積最大，求出OC，OM的長即可解決問題．
三、解答題：本大題有7個小題，共66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．（8分）化簡，圓圓的解答過程如下：
解：
圓圓的解答正確嗎？如果不正確，寫出正確的解答．
【分析】直接利用分式的加減運算法則計算，進而得出答案．
【解答】解：圓圓的解答不正確．
原式＝﹣﹣
＝
＝．
【點評】此題主要考查了分式的加減法，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
18．（8分）某市為了將生活垃圾合理分類，并更好地回收利用，將垃圾分為可回收物、廚余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四類．現(xiàn)隨機抽取該市m噸垃圾，將調(diào)查結果制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：
根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題：
（1）m＝　100　，n＝　60?。?br /> （2）扇形統(tǒng)計圖中，求廚余垃圾所對應的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）根據(jù)抽樣調(diào)查的結果，請你估計該市2000噸垃圾中約有多少噸可回收物．
【分析】（1）根據(jù)其他垃圾的噸數(shù)和所占的百分比可以求得m的值，然后根據(jù)條形統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，即可得到n的值；
（2）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出廚余垃圾所對應的扇形圓心角的度數(shù)；
（3）根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以計算出該市2000噸垃圾中約有多少噸可回收物．
【解答】解：（1）m＝8÷8%＝100，n%＝×100%＝60%，
故答案為：100，60；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，廚余垃圾所對應的扇形圓心角的度數(shù)為：360°×＝108°；

（3）2000×＝1200（噸），
即該市2000噸垃圾中約有1200噸可回收物．
【點評】本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．
19．（8分）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．
（1）求證：AE＝DE；
（2）如果AC＝3，，求AE的長．

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；
（2）過點D作DF⊥AB于F，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．
【解答】（1）證明：∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠EAD．
∴∠EAD＝∠ADE．
∴AE＝DE；
（2）解：過點D作DF⊥AB于F．

∵∠C＝90°，AC＝3，，
在Rt△ACD中，由勾股定理得 AC2+DC2＝AD2．
∴．
∵AD平分∠BAC，
∴DF＝DC＝．
又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，
∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．
∴AF＝AC＝3，
∴Rt△DEF中，由勾股定理得 EF2+DF2＝DE2．
設AE＝x，則DE＝x，EF＝3﹣x，
∴，
∴x＝2．
∴AE＝2．
【點評】本題考查勾股定理，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)解答是解題關鍵．
20．（8分）設一次函數(shù)y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0），圖象過A（2，7），B（﹣1，1）．
（1）求該一次函數(shù)的表達式：
（2）若點P（m，n）在該一次函數(shù)圖象上，求代數(shù)式（n﹣4）（m+2）﹣mn的值．
【分析】（1）把A點和B點坐標代入y＝kx+b得到關于k、b的方程組，然后解方程組即可；
（2）把點P（m，n）代入一次函數(shù)y＝2x+3的解析式中，可得到n＝2m+3，代入（n﹣4）（m+2）﹣mn即可得到答案．
【解答】解：（1）把A（2，7），B（﹣1，1）分別代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函數(shù)解析式為y＝2x+3；
（2）∵點P（m，n）在該一次函數(shù)圖象上，
∴n＝2m+3，
∴（n﹣4）（m+2）﹣mn
＝（2m﹣1）（m+2）﹣m（2m+3）
＝2m2+3m﹣2﹣2m2﹣3m
＝﹣2．
【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，凡是圖象經(jīng)過的點都能滿足一次函數(shù)關系式．
21．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC為銳角，AD、BE是△ABC的兩條高，BE與AD交于點Q．
（1）求證：△BDQ∽△ADB；
（2）如果，求∠C的正切值；
（3）如果∠BAC＝60°，BE＝6，求△ABC外接圓的面積．

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CAD，則可得出結論；
（2）設DQ＝x，則AQ＝3x，AD＝4x，求出BD＝2x，由等腰三角形的性質(zhì)求出CD＝2x，則可求出答案；
（3）先確定出點Q是△ABC的外接圓的圓心，再用銳角三角函數(shù)求AQ，即可球場答案．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，DA⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，∠C＝∠C，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠CBE，
∵∠ADB＝∠QDB，
∴△BDQ∽△ADB；

（2）解：設DQ＝x，則AQ＝3x，AD＝4x，
由（1）知，△BDQ∽△ADB，
∴，
∴DB2＝DQ?DA，
∴BD＝2x，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝2x，
在Rt△ACD中，tanC＝＝2；

（3）如圖，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AD，BE是等邊△ABC的高，
∴AD垂直平分BC，BE垂直平分AC，
∴點Q是等邊△ABC的外接圓的圓心，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠AEB＝90°，∠ABE＝∠ABC＝30°，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABE，
∴AQ＝BQ，
在Rt△ABE中，BE＝6，
∴AE＝BE?tan∠BAE＝6×tan30°＝2，
在Rt△AEQ中，AQ＝＝＝4，
∴S△ABC的外接圓＝π?AQ2＝π×42＝16π，
即△ABC外接圓的面積為16π．
【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，圓的面積公式，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關鍵．
22．（12分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a（a，b是實數(shù)，a≠0）．
（1）若該函數(shù)圖象經(jīng)過點（1，﹣4），（0，﹣3）．
①求該二次函數(shù)表達式；
②若A（x1，m），B（x2，m），C（s，t）是拋物線上的點，且s＝x1+x2，求t的值；
（2）若該二次函數(shù)滿足當x≥0時，總有y隨x的增大而減小，且過點（1，3），當a＜b時，求4a+b的取值范圍．
【分析】（1）①由題意，將已知兩點代入表達式分別求出a和b即可得解．
②依據(jù)題意，把A，B兩點代入①所求解析式，然后兩式相減，再適當變形可得x1+x2的值，再代入①的表達式式即可求出t．
（2）由題意可得a＜0，，再由過點（1，3）可得b＝2a+3≤0，可得≤a＜0，又4a+b＝6a+3，故可得解．
【解答】解：（1）①由題意，∵圖象經(jīng)過點（1，﹣4），（0，﹣3），
∴．
∴．
∴所求二次函數(shù)的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．
②由題意，∵A、B在拋物線上，
∴﹣2x1﹣3＝m，﹣2x2﹣3＝m．
上述兩式相減得，
﹣﹣2（x1﹣x2）＝0．
∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＝0．
顯然A、B是兩個點，
∴x1≠x2．
∴x1﹣x2≠0．
∴x1+x2＝2．
∴s＝2．
又C（s，t）是拋物線上的點，
∴t＝22﹣2×2﹣3＝﹣3．
即t＝﹣3．
（2）由題意，
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a滿足當x≥0時，總有y隨x的增大而減小，
∴a＜0，．
∴b≤0．
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a過點（1，3），
∴b＝2a+3≤0．
∴a≤．
又a＜b，
∴a＜2a+3．
∴a＞﹣3．
∵a≤，
∴﹣3＜a≤．
又4a+b＝6a+3，
∴﹣15＜6a+3≤﹣6．
∴﹣15＜4a+b≤﹣6．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運用．
23．（12分）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，∠AED＝α，DE⊥AF，垂足為G，過點C作CH∥AF，分別交DE，AD于點H，P點．
（1）求證：AE＝BF；
（2）若tanα＝2，求的值；
（3）如圖2，連接CG，若tanα＝k，設△PHD和△CGH的面積分別為S1，S2．請用含k的代數(shù)式表示的值．

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到全等，再依據(jù)全等三角形的判定可以得到線段相等；
（2）先根據(jù)正方形得到平行，再利用平行線分線段成比例得到結論；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得相似三角形，再根據(jù)相似比可以得到線段的關系進而得出面積的關系即可．
【解答】（1）證明：∵DE⊥AF，∠AGD＝90°，
∴∠DAG+∠ADE＝90°，
在正方形ABCD中，AD＝AB，∠DAE＝∠ABF＝90°，
∴∠DAG+∠BAF＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∴△ADE≌△BAF（ASA），
∴AE＝BF；
（2）解：在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，AD∥BC，
又∵CH∥AF，
∴四邊形AFCP是平行四邊形，
∴，
∵AP＝FC，DP＝BF，AE＝BF，
∴DP＝AE，
令AD＝kAE，
∴AD＝kDP，
∵AP＝AD﹣DP＝（k﹣1）DP，
∴﹣1，
∵tanα＝＝2，
即k＝2，
∴＝2﹣1＝1；
（3）解：由（2）知，，
∵∠DPH＝∠CDH＝∠AED＝α，tanα＝k，
∴，
∴PH＝，CH＝DH?k，
∴＝＝k2，
∴＝＝＝（k﹣1）k2＝k3﹣k2．
【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識是解題的關鍵．

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