人教A版 (2019)選擇性必修第二冊第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義導(dǎo)學(xué)案及答案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

一、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)y=f（x)在點(diǎn)x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x 在x0處取得增量（點(diǎn) 仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)的函數(shù)y取的增量；如果與之比當(dāng) 時的極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記為：==

其他形式：= ， =

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

(1)切線的定義

如圖，對于割線PPn，當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線．

(2)導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線PT的斜率k，即k＝．

技巧1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

例1 若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是( )

[思路分析] (1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？(2)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，說明y＝f(x)圖象的切線有什么特點(diǎn)？

[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f ′(x)在[a，b]上是增函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在區(qū)間[a，b]上各點(diǎn)處的切線斜率是逐漸增大的，只有A選項(xiàng)符合．

『規(guī)律方法』

1、f ′(x0)即為過曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，f(x0))切線的斜率．

2、若曲線y＝f(x)在(a，b)上任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值都大于零，可以判斷曲線y＝f(x)在(a，b)上圖象呈上升趨勢，則函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增．而若y＝f(x)在(a，b)上任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)都小于零，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在(a，b)上呈下降趨勢，y＝f(x)在(a，b)單調(diào)遞減．當(dāng)函數(shù)y＝f(x)在(a，b)上的導(dǎo)數(shù)值都等于零時，函數(shù)y＝f(x)的圖象應(yīng)為垂直于y軸的直線的一部分．

例2、已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f ′(xA)與f ′(xB)的大小關(guān)系是( )

A．f ′(xA)>f ′(xB) B．f ′(xA)＝f ′(xB)

C．f ′(xA)kB，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有：f ′(xA)>f ′(xB)．

技巧2 求切線方程

例3、已知曲線C：f(x)＝x3.

(1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；

(2)求過點(diǎn)(1,1)與曲線C相切的直線方程．

[解析] (1)∵f ′(x)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0))[(Δx)2＋3x2＋3x·Δx]＝3x2，

∴f ′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1，

∴切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.

(2)設(shè)切點(diǎn)為P(x0，xeq \\al(3,0))，由(1)知切線斜率為k＝f ′(x0)＝3xeq \\al(2,0)，

故切線方程為y－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)．

又點(diǎn)(1,1)在切線上，將其代入切線方程得1－xeq \\al(3,0)＝3xeq \\al(2,0)(1－x0)，

即2xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋1＝0，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－eq \f(1,2).

故所求的切線方程為：y－1＝3(x－1)或y＋eq \f(1,8)＝eq \f(3,4)(x＋eq \f(1,2))，

即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.

『規(guī)律方法』 1.求曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處切線的步驟：

(1)求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)；

(2)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．

2．過曲線外的點(diǎn)P(x1，y1)求曲線的切線方程的步驟：

(1)設(shè)切點(diǎn)為Q(x0，y0)；

(2)求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f ′(x0)；

(3)利用Q在曲線上和f ′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f ′(x0)；

(4)根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y－y0＝f ′(x0)(x－x0)．

3．要正確區(qū)分曲線y＝f(x)在點(diǎn)P處的切線，與過點(diǎn)P的曲線y＝f(x)的切線．

4．f ′(x0)>0時，切線的傾斜角為銳角；f ′(x0)