2022北京豐臺高一（下）期中數(shù)    學(xué)（A卷） 練習(xí)時(shí)間：120分鐘第I部分（選擇題  共40分）一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A. 1 B.  C.  D. 2. 已知向量，且，那么向量可以是（    ）A.  B.  C.  D. 3. 已知向量，點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 4. 復(fù)數(shù)，則等于（    ）A.  B. 3 C. 5 D. 5. 在中，，則（    ）A.  B.  C. 1 D. 26. 已知是方程的兩個(gè)根，且為銳角，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 7. 已知，，，那么的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 8. 已知非零向量滿足，且，，那么與夾角為（    ）A.  B.  C.  D. 9. 如圖，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，，，，，若，則（    ） A.  B.  C.  D. 210. 的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（    ）A.  B. C.  D. 第II部分（非選擇題  共110分）二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.11. 如圖，復(fù)平面內(nèi)，向量與復(fù)數(shù)對應(yīng)，則_______.12. 已知單位向量與單位向量夾角為，則=_____.二、填空題13. 在中，，且，則________.14. 一條河兩岸平行，河的寬度為米，一個(gè)人從岸邊游向?qū)Π?/span>.已知他在靜水中游泳時(shí)，速度大小為每分鐘米，水流速度大小為每分鐘12米.①當(dāng)此人垂直游向河對岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘___________米；②當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對岸的需要________分鐘.15. 已知都是定義在上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱是，在上生成的函數(shù).若，以下四個(gè)函數(shù)中：①；      ②；③；     ④.所有是在上生成的函數(shù)的序號為________.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16 已知向量.（1）求；（2）求與夾角的大??；（3）若向量與互相平行，求的值.17. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.（1）用表示；（2）如果，用向量的方法證明：.18. 已知，，，.（1）求，的值；（2）求的值.19. 大海中有一座小島，周圍3海里處有暗礁.一艘海輪由西向東航行，望見該島在北偏東60°；海輪航行4海里后，望見該島在北偏東45°.求：（1）此時(shí)海輪與小島的距離為多少海里？（2）如果這艘海輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？請說明理由.20. 在中，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，條件①：；條件②：.求：（1）值；（2）角的大小和的面積.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.21. 向量，向量與向量的夾角為，且.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）若向量，且向量與向量共線，，其中是的內(nèi)角，若，試求的取值范圍.
參考答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A. 1 B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】直接由復(fù)數(shù)虛部定義求解即可【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，故的虛部為，故選：B2. 已知向量，且，那么向量可以是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】設(shè)出向量的坐標(biāo)表示，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出方程，將答案代入等式驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè) 即 將四個(gè)選項(xiàng)代入驗(yàn)證，只有選項(xiàng)A滿足上式.故選：A.3. 已知向量，點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，解方程即得解.【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D4. 復(fù)數(shù)，則等于（    ）A.  B. 3 C. 5 D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)數(shù)模的運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，故選：A5. 在中，，則（    ）A.  B.  C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】已知兩邊和其中一邊的對角求另外一邊，運(yùn)用余弦定理即可.【詳解】在中，由余弦定理得： 又則 解得 或（舍去）故選：D.6. 已知是方程的兩個(gè)根，且為銳角，則的值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可,【詳解】因?yàn)?/span>是方程的兩個(gè)根，所以，因此有，因?yàn)?/span>為銳角，所以，因此，故選：D7. 已知，，，那么的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式求，利用二倍角的正弦公式求，利用二倍角的余弦公式求，然后比較大小即可.【詳解】，，， 故選：A8. 已知非零向量滿足，且，，那么與夾角為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)求出，再利用向量的夾角公式求解.【詳解】解：由題得，所以=0，所以，所以=，因?yàn)?/span>，所以與的夾角為.故選：B．9. 如圖，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，，，，，若，則（    ） A.  B.  C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】由向量的線性運(yùn)算把用表示后可得．【詳解】是的中點(diǎn)，，又，不共線，所以，，所以．故選：C．10. 的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)，結(jié)合投影向量的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>所以由平面向量的加法的幾何意義可知是的中點(diǎn)，因?yàn)?/span>的外接圓圓心為， 所以是以為斜邊直角三角形，設(shè)的外接圓半徑為因，所以，因此，過作，垂足為，因此，而，所以向量在向量上的投影向量為，故選：C 第II部分（非選擇題  共110分）二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.11. 如圖，在復(fù)平面內(nèi)，向量與復(fù)數(shù)對應(yīng)，則_______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面的對應(yīng)點(diǎn)定義，結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，由題意可知中：，所以有，故答案為：12. 已知單位向量與單位向量的夾角為，則=_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)單位向量和夾角計(jì)算得到，得到向量模長.【詳解】，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題13. 在中，，且，則________.【答案】##30°【解析】【分析】先由余弦定理求出A，再由正弦定理求出.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由余弦定理得：.因?yàn)?/span>,所以.因?yàn)?/span>，所以由正弦定理得：，所以.因?yàn)?/span>，所以,所以.故答案為：14. 一條河兩岸平行，河的寬度為米，一個(gè)人從岸邊游向?qū)Π?/span>.已知他在靜水中游泳時(shí)，速度大小為每分鐘米，水流速度大小為每分鐘12米.①當(dāng)此人垂直游向河對岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘___________米；②當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對岸的需要________分鐘.【答案】    ①. 24；    ②. 20.【解析】【分析】（1）求出即得解；（2）求出他游到河對岸的速度即得解.【詳解】解：（1）如圖所示，當(dāng)此人垂直游向河對岸，那么他實(shí)際前進(jìn)速度的大小為，他實(shí)際前進(jìn)速度的大小每分鐘24米. （2）如圖所示，當(dāng)此人游泳距離最短時(shí)，他游到河對岸的速度為，所以他游到河對岸的需要分鐘. 故答案為：24；20.15. 已知都是定義在上的函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱是，在上生成的函數(shù).若，以下四個(gè)函數(shù)中：①；      ②；③；     ④.所有是在上生成的函數(shù)的序號為________.【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式、二倍角公式，結(jié)合題中定義逐一判斷即可.【詳解】.①：，因此有，所以本函數(shù)是在上生成的函數(shù)；②：，因此有，本函數(shù)是在上生成的函數(shù)；③：，因此有，本函數(shù)是在上生成的函數(shù)；④：，顯然不存在實(shí)數(shù)，使得成立，因此本函數(shù)不是在上生成的函數(shù)，故答案為：①②③三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16. 已知向量.（1）求；（2）求與夾角的大??；（3）若向量與互相平行，求的值.【答案】（1）    （2）    （3）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示直接代入求解即可；（2）利用向量夾角公式帶入求解即可；（3）首先求出兩向量的坐標(biāo)，再利用向量平行的坐標(biāo)表示代入求解即可.【小問1詳解】【小問2詳解】， 由（1）知： 【小問3詳解】依題意得：，向量與互相平行 解得 17. 如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的三等分點(diǎn)（，）.設(shè)，.（1）用表示；（2）如果，用向量的方法證明：.【答案】（1），.    （2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用平面向量基本定理表示出；（2）利用數(shù)量積為0證明.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?/span>，,所以.所以，.【小問2詳解】由（1）可得： ，.因?yàn)?/span>，所以，所以.18. 已知，，，.（1）求，的值；（2）求的值.【答案】（1），    （2）【解析】【分析】（1）先由已知條件利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，然后利用二倍角公式可求出，的值；（2）由求出的值，然后利用兩角差的正弦公式求解即可【小問1詳解】因?yàn)?/span>，所以，，，；【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以；所以.19. 大海中有一座小島，周圍3海里處有暗礁.一艘海輪由西向東航行，望見該島在北偏東60°；海輪航行4海里后，望見該島在北偏東45°.求：（1）此時(shí)海輪與小島的距離為多少海里？（2）如果這艘海輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，有沒有觸礁的危險(xiǎn)？請說明理由.【答案】（1）海里；    （2）沒有，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】如下圖所示：，在中，，，由正弦定理可知中：，所以此時(shí)海輪與小島的距離為海里；【小問2詳解】由正弦定理可知：，，所以這艘海輪不改變航向繼續(xù)前進(jìn)，沒有觸礁的危險(xiǎn).20. 在中，，再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，條件①：；條件②：.求：（1）的值；（2）角的大小和的面積.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）若選條件①，利用余弦定理即可求得c邊；若選條件②，利用同角三角函數(shù)和正弦定理即可求得c邊.（2）利用同角三角函數(shù)和正弦定理可得角B,利用面積公式求解面積即可.【小問1詳解】條件①：當(dāng)時(shí)，，整理得，解得或（負(fù)值舍去）故.條件②：,所以由正弦定理得整理得解得.【小問2詳解】條件①：由正弦定理得整理得解得因，所以，則.條件②：,所以,所以，則.21. 向量，向量與向量的夾角為，且.（1）求向量的坐標(biāo)；（2）若向量，且向量與向量共線，，其中是的內(nèi)角，若，試求的取值范圍.【答案】（1）（﹣1，0）或（0，﹣1）；    （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)（x，y），解方程組即得解；（2）求出（﹣1，0），，，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【小問1詳解】解：設(shè)（x，y），由題得解得（﹣1，0）或（0，﹣1）．都滿足題意.所以（﹣1，0）或（0，﹣1）．【小問2詳解】解：因?yàn)橄蛄?/span>，且向量與向量共線，所以（﹣1，0）.因?yàn)?/span>，所以.所以，所以因?yàn)?/span>，所以，所以.所以的取值范圍為.

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