2022北京師大附中高一（上）期末數    學一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．已知集合，，1，2，，則　　A．， B．，0， C．，1， D．，0，1，2．命題“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，3．下列函數中，是偶函數，且在區(qū)間上單調遞增的為　　A． B． C． D．4．已知，，，則　　A． B． C． D．5．從2020年起，北京考生的高考成績由語文、數學、外語3門統一高考成績和考生選考的3門普通高中學業(yè)水平考試等級性考試科目成績構成，等級性考試成績位次由高到低分為、、、、，各等級人數所占比例依次為：等級，等級，等級，等級，等級．現采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得等級的學生人數為、、、、，各等級人數所占比例依次為：等級，等級，等級，等級，等級．現采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級性考試的學生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得等級的學生人數為　　A．30 B．60 C．80 D．286．函數的零點所在的區(qū)間是　　A． B． C． D．7．向量“，不共線”是“”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產卵．記鮭魚的游速為（單位：，鮭魚的耗氧量的單位數為．科學研究發(fā)現與成正比．當時，鮭魚的耗氧量的單位數為900．當時，其耗氧量的單位數為　　A．1800 B．2700 C．7290 D．81009．關于的不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是　　A．， B．， C．， D．，，10．已知函數，，其中，若，，，，使得成立則　　A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．　　．12．已知甲運動員的投籃命中率為0.7，乙運動員的投籃命中率為0.8，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是 　　．13．已知甲、乙兩組數據已整理成如圖所示的莖葉圖，則甲組數據的中位數是 　　，乙組數據的分位數是 　　．14．已知函數①當時，函數的值域是　　；②若函數的圖象與直線只有一個公共點，則實數的取值范圍是　　．15．在矩形中，，．設．①當，時，　　；②若，，，2，3，4，5，6，則的最大值是 　　．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（14分）已知向量，，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）若，求實數，的值；（Ⅲ）若，求實數的值．17．（13分）為了解學生的周末學習時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學生某周末的學習時間進行了調查，將所得數據整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據直方圖所提供的信息：（Ⅰ）求出圖中的值；（Ⅱ）求該班學生這個周末的學習時間不少于20小時的人數；（Ⅲ）如果用該班學生周末的學習時間作為樣本去推斷該校高一年級全體學生周末的學習時間，這樣推斷是否合理？說明理由．18．（15分）已知函數且．（Ⅰ）試判斷函數的奇偶性，并說明理由；（Ⅱ）當時，求函數的值域；（Ⅲ）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．19．（14分）空氣質量指數是定量描述空氣質量狀況的指數，空氣質量指數的值越高，就代表空氣污染越嚴重，其分級如表：空氣質量指數空氣質量類別優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染現分別從甲、乙兩個城市12月份監(jiān)測的空氣質量指數的數據中隨機抽取6天的數據，記錄如表：甲486510413216679乙806710815020562（Ⅰ）估計甲城市12月份某一天空氣質量類別為良的概率；（Ⅱ）分別從甲、乙兩個城市的統計數據中任取一個，求這兩個數據對應的空氣質量類別都為輕度污染的概率；（Ⅲ）記甲城市這6天空氣質量指數的方差為．從甲城市12月份空氣質量指數的數據中再隨機抽取一個記為，若，與原有的6天的數據構成新樣本的方差記為；若，與原有的6天的數據構成新樣本的方差記為，試比較，，的大?。ńY論不要求證明）20．（15分）已知函數．（Ⅰ）判斷函數的單調性，并用定義給出證明；（Ⅱ）解不等式：；（Ⅲ）若關于的方程只有一個實根，求實數的取值范圍．21．（14分）設是不小于3的正整數，集合，，，，，，2，，，對于集合中任意兩個元素，，，，，，，．定義．定義2：若，則稱，，，，，，，互為相反元素，記作，或．（Ⅰ）若，，1，，，1，，試寫出，，以及的值；（Ⅱ）若，，證明：；（Ⅲ）設是小于的正奇數，至少含有兩個元素的集合，且對于集合中任意兩個不相同的元素，，，，，，，，都有，試求集合中元素個數的所有可能值．
參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．【分析】進行交集的運算即可．【解答】解：，，1，2，，，1，．故選：．【點評】本題考查了描述法、列舉法的定義，交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．2．【分析】利用特稱命題的否定是全稱命題，寫出結果即可．【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“，”的否定是：，．故選：．【點評】本題考查特稱命題與全稱命題的否定關系，是基礎題．3．【分析】根據函數奇偶性的定義和基本初等函數的單調性，逐項進行判斷即可．【解答】解：為奇函數，不符合題意，為非奇非偶函數，不符合題意，為偶函數，在上單調遞減，不符合題意，為偶函數，且時，單調遞增，符合題意．故選：．【點評】本題考查函數奇偶性的定義，以及基本初等函數的單調性，屬于基礎題．4．【分析】容易得出，，，從而可得出，，的大小關系．【解答】解：，，，．故選：．【點評】本題考查了對數函數的單調性，增函數和減函數的定義，考查了計算能力，屬于基礎題．5．【分析】根據分層抽樣原理計算等級應抽取的人數．【解答】解：根據分層抽樣原理知，等級應抽取（人．故選：．【點評】本題考查了分層抽樣方法的應用問題，是基礎題．6．【分析】求出函數的定義域，判斷函數的單調性，根據零點判定定理進行判斷．【解答】解：定義域為，在上是減函數，在上是增函數，在上是減函數．（1），（2），函數在連續(xù)，根據函數的零點判定定理可知，的零點所在的區(qū)間是．故選：．【點評】本題考查了函數的零點判定定理，屬于基礎題．7．【分析】根據向量三角形的性質以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：當向量“，不共線”時，由向量三角形性質得“”成立，即充分性成立，反之當向量“，方向相反時，滿足“”，但此時兩個向量共線，即必要性不成立，即向量“，不共線”是“”的充分不必要條件，故選：．【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合向量三角形的性質是解決本題的關鍵，是基礎題、8．【分析】根據正比例函數關系設，代入，可求出，進而可求出時，的值【解答】解：根據題意設，把，代入可得，所以，當時，代入得，解得，故選：．【點評】本題考查函數模型的實際應用，運用待定系數法進行解析式的求解是關鍵，屬于基礎題．9．【分析】由題意，分與兩類討論，后者可分離參數，利用基本不等式求得的范圍，最后取交集可得答案．【解答】解：，恒成立，①當時，成立，；②當時，原不等式可化為，，當且僅當，即時取等號，，綜上所述，實數的取值范圍是，，故選：．【點評】本題考查函數恒成立問題與絕對值不等式的解法，考查了轉化與化歸思想、分類討論思想的應用，屬于中檔題．10．【分析】由題意可得成立，判斷當時不成立，考慮，由題意可得在，內，的值域為的值域的子集，解的不等式可得的值．【解答】解：，，，，使得成立，即為，即成立，顯然當時，在，的值域為，，而，，即的函數值中出現0，不成立，舍去；則，可得在，的值域為，．在，的值域為，，由題意可得在，內，的值域為的值域的子集，可得，可得，解方程可得，故選：．【點評】本題考查函數的值域求法，以及恒成立與有解問題解法，注意運用轉化思想和函數的單調性，考查化簡運算能力和推理能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．【分析】根據冪指數及對數運算性質計算即可．【解答】解：．故答案為：．【點評】本題考查冪指數及對數運算性質，考查數學運算能力，屬于基礎題．12．【分析】利用獨立事件的概率乘法公式求解．【解答】解：設甲運動員命中為事件，乙運動員命中為事件，則（A），（B）所以恰有一人命中的概率（A）（B），故答案為：0.38．【點評】本題主要考查了獨立事件的概率乘法公式，屬于基礎題．13．【分析】根據莖葉圖中的數據，分別找出甲組數據的中位數和乙組數據的分位數．【解答】解：根據莖葉圖知，甲組數據按從小到大排列為28，31，39，42，45，55，57，58，66；排在中間的一位是中位數，是45；乙組數據從小到大排列為29，34，35，42，46，48，53，55，67；計算，所以分位數是第3個數，為35．故答案為：45；35．【點評】本題考查了中位數與百分位數的定義與應用問題，是基礎題．14．【分析】①，代入解析式可求出的值域；②根據的圖象與直線只有一個公共點，則有且，進而可求出的取值范圍【解答】解：①當時，，則此時當時，，當時，，所以的值域為，；②根據解析式可知，當時，；當時，，若函數的圖象與直線只有一個公共點，則且，解得，則實數的取值范圍是，．故答案為，；，．【點評】本題考查分段函數值域問題，涉及函數單調性等知識點，屬于中檔題．15．【分析】建立直角坐標系，向量坐標化求模長的最值即可．【解答】解：建立如圖所示坐標系： 則，，，，故，，，，，，①當，時，，，，，，，，，所以；②由題意若使模長最大，則，，不妨設為，，則，，當，時模長最大為，故答案為：①．【點評】本題考查了平面向量的坐標運算，模長的最值問題，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．【分析】（Ⅰ）根據坐標運算求出，的值即可；（Ⅱ）分別求出，和的坐標，根據向量相等得到關于，的方程組，解出即可；（Ⅲ）根據共線向量的定義得到關于的方程，解出即可．【解答】解：，，，，，，，，，，，得，故，；，，，，解得．【點評】本題考查了求向量的模，考查共線向量的定義以及向量的坐標運算，是基礎題．17．【分析】由頻率分布直方圖列方程，能求出．由圖求出該班學生周末的學習時間不少于20小時的頻率，由此能求出40名學生中周末的學習時間不少于20小時的人數．不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．【解答】解：由頻率分布直方圖得：，解得．由圖可知，該班學生周末的學習時間不少于20小時的頻率為：，則40名學生中周末的學習時間不少于20小時的人數為．不合理，樣本的選取只選在高一某班，不具有代表性．【點評】本題考查頻率、頻數的求法，考查頻率分布直方圖等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．18．【分析】（Ⅰ）利用偶函數的定義可判斷函數的奇偶性；（Ⅱ）當時，，由及對數的性質可求得函數的值域；（Ⅲ）依題意，得恒成立，對對數的底數分與兩類討論，即可求得對任意，恒成立時，實數的取值范圍．【解答】解：因為函數的定義域為，所以時，．（1分）又因為，所以是偶函數．當時，．因為，所以．所以（7分）所以，，即．（8分）所以當時，函數的值域為，，（9分）因為恒成立，即恒成立，所以恒成立．（10分）①當時，即恒成立．因為，所以當時不合題意，（11分）②當時，即恒成立．因為，所以．（14分）所以對任意，恒成立時，實數的取值范圍為．（15分）【點評】本題考查了函數恒成立問題，考查了轉化與化歸思想和分類討論思想的應用，考查運算能力，屬中檔題．19．【分析】（Ⅰ）根據甲城市這6天內空氣質量類別為良的有2天，即可得到答案；（Ⅱ）先確定總的基本事件數，再求出符合條件的基本事件數，利用概率的計算公式求解即可；（Ⅲ）直接比較即可．【解答】解：（Ⅰ）甲城市這6天內空氣質量類別為良的有2天，則估計甲城市12月份某一天空氣質量類別為良的概率為．（Ⅱ）由題意，分別從甲、乙兩個城市的統計數據中任取一個，因為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以基本事件數一共有36種，表示“這兩個數據對應的空氣質量類別都為輕度污染”，則，，，，包含4個樣本點，則．（Ⅲ）．【點評】本題考查了概率和統計的綜合應用，涉及了列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率，解題的關鍵是正確表示出總的基本事件數．20．【分析】（Ⅰ）根據題意，利用作差法分析可得結論；（Ⅱ）由函數的解析式可得，則有，結合函數的單調性分析可得答案；（Ⅲ）根據題意，原問題等價于方程有且只有一個實數解．利用換元法分析可得答案．【解答】解：根據題意，在上單調遞增；證明：任取，，且，則；又由，則有，．故函數在上單調遞增；根據題意，函數．則，，又函數在上單調遞增，則有故不等式的解集為．（Ⅲ）根據題意，若關于的方程只有一個實根，即方程有且只有一個實數解．令，則，問題轉化為：方程有且只有一個正數根，①當時，，不合題意，②當時，若△，則或，若，則，符合題意；若，則，不合題意，若△，則或，由題意，方程有一個正根和一個負根，即，解得；綜上，實數的取值范圍是．【點評】本題考查函數的奇偶性和單調性的綜合應用，涉及函數與方程的關系，屬于中檔題．21．【分析】（Ⅰ）根據相反元素的定義進行計算即可（Ⅱ）根據相反元素的定義分別計算出和，進行計算即可（Ⅲ）根據相反元素的定義結合條件，利用反證法進行證明求解即可【解答】解：（Ⅰ），，（3分）（Ⅱ）設，，，，，，，，，由，，，，，2，，，可得，，2，，所以，當且僅當，，2，，，即，，2，，時上式“”成立由題意可知即所以，，2，，（8分）（Ⅲ）解法1：假設，，，，，，，，，，，為集合中的三個不相同的元素．則即又由題意可知或1，，2，，，，，恰有個1，與個0設其中個等于1的項依次為個等于0的項依次為由題意可知所以，同理所以即因為由（2）可知因為所以，設，由題意可知所以，得與為奇數矛盾所以假設不成立，即集合中至多有兩個元素當時符合題意所以集合中元素的個數只可能是（13分）解法2：假設，，，，，，，，，，，為集合中的三個不相同的元素．則即又由題意可知或1，，2，，，，，恰有個1，與個0設其中個等于1的項依次為個等于0的項依次為由題意可知所以①同理②①②得又因為為奇數與矛盾所以假設不成立，即集合中至多有兩個元素當，，，0，時符合題意所以集合中元素的個數只可能是2【點評】本題主要考查集合元素的性質和應用，考查學生的推理能力，綜合性較強，難度較大．

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