?第十章　靜電場中的能量
3　電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
題組一　對公式UAB=Ed和E=UABd的理解
1.(2021江蘇禮嘉中學(xué)檢測)對公式E=UABd和UAB=Ed的理解,下列說法正確的是(　　)
A.由E=UABd知,勻強(qiáng)電場中A、B兩點(diǎn)沿電場線的距離越大,則電場強(qiáng)度越小
B.公式UAB=Ed適用于計(jì)算任何電場中A、B兩點(diǎn)間的電勢差
C.公式中的d是勻強(qiáng)電場中A、B所在的兩等勢面之間的距離
D.由UAB=Ed知,A點(diǎn)和B點(diǎn)間的距離越大,則這兩點(diǎn)間的電勢差越大
2.(2021廣東深圳七中段考)關(guān)于勻強(qiáng)電場中的電場強(qiáng)度和電勢差的關(guān)系,下列說法正確的是(　　)
A.任意兩點(diǎn)間的電勢差等于場強(qiáng)和這兩點(diǎn)間距離的乘積
B.沿電場線方向,相同距離上電勢差一定相等
C.電勢降落的方向一定是電場強(qiáng)度的方向
D.電勢降落最快的方向不一定是電場強(qiáng)度的方向
題組二　利用公式UAB=Ed定量計(jì)算
3.醫(yī)生用心電圖檢查儀為一位身高1.8 m的運(yùn)動(dòng)員體檢,她把電極吸在身體5個(gè)不同的位置,如圖所示。如果人體從頭往腳的方向構(gòu)成勻強(qiáng)電場,其中有兩個(gè)點(diǎn)的電勢差最大,約為500 μV,則電場強(qiáng)度大小約為(　　)

A.278 μV/m　　　 B.500 μV/m
C.1 000 μV/m　　　D.1 250 μV/m
4.(2022河南中原名校聯(lián)考)如圖所示,四條豎直平行線表示一個(gè)勻強(qiáng)電場中的四個(gè)等勢面,相鄰兩個(gè)等勢面之間的距離為1 cm,由此可以確定場強(qiáng)的大小和方向是(　　)

A.300 V/m,水平向左　　　B.300 V/m,豎直向下
C.900 V/m,水平向右　　　D.900 V/m,豎直向上
5.(2022河北滄州鹽山中學(xué)月考)如圖所示,A、B兩板間電壓為600 V,A板帶正電并接地,A、B兩板間距離為12 cm,C點(diǎn)離A板4 cm,取大地電勢為零,下列說法正確的是(　　)

A.E=2 000 V/m,φC=200 V
B.E=5 000 V/m,φC=-200 V
C.電子在C點(diǎn)具有的電勢能為-200 eV
D.電子在C點(diǎn)具有的電勢能為200 eV
6.(2023浙江金華江南中學(xué)月考)如圖所示,在水平向右的勻強(qiáng)電場中,有一電荷量為q=-8×10-7 C的點(diǎn)電荷從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn),電場力做功為WAB=3.2×10-6 J,A、B間距離L=4 m,AB與水平方向的夾角為60°,求:

(1)B、A間電勢差UBA是多少?
(2)電場強(qiáng)度E是多大?
(3)如果B點(diǎn)的電勢為6 V,那么A點(diǎn)的電勢為多大?這個(gè)點(diǎn)電荷在A點(diǎn)具有的電勢能是多少?


題組三　利用公式UAB=Ed定性分析非勻強(qiáng)電場
7.(2022江蘇蘇州汾湖高級中學(xué)期中)如圖為某電場中的電場線和等勢面,已知φa=10 V,φc=6 V,ab=bc,則(　　)

A.φb=8 V
B.φb>8 V
C.φbUOB
C.粒子帶正電,加速度先減小后增大
D.把一負(fù)電荷從C點(diǎn)沿直線CD移至D點(diǎn),電勢能先增大后減小
9.(2022江蘇南京中華中學(xué)月考)如圖,同一平面內(nèi)的a、b、c、d四點(diǎn)處于勻強(qiáng)電場中,電場方向與此平面平行,M為a、c連線的中點(diǎn),N為b、d連線的中點(diǎn)。一電荷量為q(q>0)的粒子從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn),其電勢能減小W1;若該粒子從c點(diǎn)移動(dòng)到d點(diǎn),其電勢能減小W2。下列說法正確的是(　　)

A.此勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)方向一定與a、b兩點(diǎn)連線平行
B.若該粒子從M點(diǎn)移動(dòng)到N點(diǎn),則靜電力做功一定為W1+W22
C.若c、d之間的距離為L,則該電場的場強(qiáng)大小一定為W2qL
D.若W1=W2,則a、M兩點(diǎn)之間的電勢差一定等于b、N兩點(diǎn)之間的電勢差

答案與分層梯度式解析
第十章　靜電場中的能量
3　電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系
基礎(chǔ)過關(guān)練
1.C
2.B
3.B
4.A
5.BD
7.C
8.D
9.D
10.C
11.BC


1.C　場強(qiáng)的大小是由電場本身決定的,與U、d無關(guān),故A錯(cuò)誤;公式UAB=Ed只適用于計(jì)算勻強(qiáng)電場中A、B兩點(diǎn)間的電勢差,故B錯(cuò)誤;公式中的d是勻強(qiáng)電場中A、B沿電場線方向的距離,也就是這兩點(diǎn)所在的兩等勢面之間的距離,故C正確;由公式UAB=Ed可知,當(dāng)E一定時(shí),A、B兩點(diǎn)沿場強(qiáng)方向的距離越大,兩點(diǎn)間電勢差也越大,故D錯(cuò)誤。
知識歸納　電場強(qiáng)度E和電勢差U的兩種關(guān)系

2.B　公式UAB=Ed中的d是沿電場強(qiáng)度的方向上兩點(diǎn)間的距離,A錯(cuò)誤;在勻強(qiáng)電場中,沿電場線方向,相同距離上電勢差相等,B正確;在勻強(qiáng)電場中,電勢降落最快的方向是電場強(qiáng)度方向,C、D錯(cuò)誤。
3.B　沿著電場方向最遠(yuǎn)的距離等于A、E之間的距離,約為d=1.0 m,電勢差U=500 μV,則電場強(qiáng)度E=Ud=500 μV/m,B正確。
4.A　電場線垂直于等勢面且沿著電場線方向電勢逐漸降低,則該勻強(qiáng)電場場強(qiáng)方向水平向左,大小為E=Ud=3V1cm=300 V/m,選項(xiàng)A正確。
5.BD　A板接地,其電勢為零,則B板電勢為-600 V,由此知C點(diǎn)電勢為負(fù)值,A、B兩板間場強(qiáng)E=Ud=600V12cm=50 V/cm=5 000 V/m,UAC=φA-φC=EdAC,φC=φA-EdAC=-200 V,選項(xiàng)A錯(cuò)誤,B正確;電子在C點(diǎn)具有的電勢能EpC=-eφC=200 eV,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D正確。
6.答案　(1)4 V　
(2)2 V/m　
(3)2 V　-1.6×10-6 J
解析　(1)由題意可知A、B間電勢差
UAB=WABq=3.2×10?6?8×10?7 V=-4 V
則UBA=-UAB=4 V
(2)由題圖可知A、B連線沿電場線方向的距離
d=L cos 60°=2 m
勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度
E=UBAd=2 V/m
(3)由UBA=φB-φA=4 V,
φB=6 V
解得φA=2 V
電荷量為q的點(diǎn)電荷在A點(diǎn)具有的電勢能為
EpA=φAq=2×(-8×10-7) J=-1.6×10-6 J
7.C　因?yàn)棣誥=10 V,φc=6 V,知a、c兩點(diǎn)間的電勢差為4 V,因?yàn)殡妶鼍€越密的地方場強(qiáng)越強(qiáng),根據(jù)U=Ed知,a、b間的電勢差大于b、c間的電勢差,所以a、b間的電勢差大于2 V,故b點(diǎn)的電勢小于8 V,故選C。
關(guān)鍵點(diǎn)撥　對于非勻強(qiáng)電場,不能定量計(jì)算電場強(qiáng)度,只可以定性分析電場強(qiáng)度與電勢差的關(guān)系,由電場線疏密程度可判斷出電場強(qiáng)弱。
8.D　根據(jù)電場線和等勢面垂直,結(jié)合圖中P點(diǎn)處的電場線可以判斷出M點(diǎn)的電勢比P點(diǎn)的電勢高,A錯(cuò)誤;將負(fù)點(diǎn)電荷由O點(diǎn)移到P點(diǎn),電勢能增大,電場力做負(fù)功,B錯(cuò)誤;根據(jù)U=Ed,結(jié)合OM段電場線較MN段密,定性分析可知UMNφC,則電場方向沿著AC由A指向C,場強(qiáng)大小為E=φA?φCAC=62 V/m,C正確。
11.BC　因?yàn)锳B平行于OC,并且四邊形ABCO為底角是60°的等腰梯形,其中坐標(biāo)O(0,0),A(1,3),B(3,3),故有UOC=2UAB,即12 V-φC=2×(9-3) V,解得φC=0 V,A錯(cuò)誤,B正確;將OC四等分,如圖所示,根據(jù)勻強(qiáng)電場的特點(diǎn)可知D點(diǎn)電勢為3 V,由幾何關(guān)系可知,BD垂直于DC,UDC=3 V,LDC=1 cm,BD為3 V等勢線,故電場強(qiáng)度大小為E=UDCLDC=30.01 V/m=300 V/m,C正確,D錯(cuò)誤。

圖形剖析　

能力提升練
1.A
2.C
3.AD
4.D
5.A
6.ACD
7.BC
8.B
9.BD



1.A　根據(jù)W=qU,得UAB=WABq=?8×10?51×10?5 V=-8 V,UBC=WBCq=2×10?51×10?5 V=2 V。設(shè)B點(diǎn)電勢為0,則A點(diǎn)電勢為-8 V,C點(diǎn)的電勢為-2 V,將線段AB四等分,如圖,則D點(diǎn)與C點(diǎn)電勢相等,等于-2 V,由幾何知識易知,CD⊥AB,則場強(qiáng)方向由B指向A,場強(qiáng)大小為E=UBDBD=210×10?2 V/m=20 V/m,A正確。

思路分析　用“等分法”確定勻強(qiáng)電場方向與電勢問題,先找等勢點(diǎn),再畫等勢線。具體思路如下:

2.C　連接AD、BF、CE,AD與BF、CE的交點(diǎn)分別為M、N,設(shè)正六邊形的中心為O,如圖所示。由圖可知,AD與BF、CE都垂直,由正六邊形的特點(diǎn)可知AM=MO=ON=ND,可知M、O、N的電勢分別是0 V、2 V、4 V,又E點(diǎn)電勢為4 V,則EN為一條等勢線,故C點(diǎn)的電勢為4 V,A錯(cuò)誤;M點(diǎn)電勢為零,B點(diǎn)電勢為零,則BM為一條等勢線,F點(diǎn)的電勢也為零,所以有UAF=φA-φF=-2 V,B錯(cuò)誤;點(diǎn)C、F之間的電勢差為UCF=φC-φF=4 V,C正確;由幾何關(guān)系可知AD垂直于BM,AD為一條電場線,AD=2L=4 cm,所以電場強(qiáng)度的大小為E=UDAAD=8V4cm=200 V/m,D錯(cuò)誤。

方法技巧　勻強(qiáng)電場中尋找等勢點(diǎn)的方法
　　將電勢最高點(diǎn)和電勢最低點(diǎn)連接后,根據(jù)需要平分成若干段,找到與已知的第三個(gè)點(diǎn)的電勢相等的點(diǎn),這兩個(gè)等勢點(diǎn)的連線即等勢線,與等勢線垂直的線即電場線。
3.AD　連接A、B,交CO于I點(diǎn),交DO于H點(diǎn),交EO于G點(diǎn),如圖所示,由幾何關(guān)系可得AI=IG=GB,所以φI=2 V,φG=4 V,故OI為一條等勢線,因此φC=2 V,DG∥CO,因此φD=φG=4 V,C錯(cuò)誤,D正確;由幾何關(guān)系可知BO⊥CO,故電場方向沿BO方向,由B指向O,場強(qiáng)大小為E=UBOR=φB?φOR=2 V/m,A正確,B錯(cuò)誤。

4.D　由題圖乙可知,沿x正方向電勢降低,所以電場線方向斜向下,A錯(cuò)誤;φ-x圖線的斜率表示電場強(qiáng)度沿x方向的分量,由題圖乙可知Ex=800 V/m,所以E=Excos37°=1 000 V/m,B錯(cuò)誤;由題圖乙得O點(diǎn)的電勢為48 V,O、c間的距離為Oc=8 cm=0.08 m,所以O(shè)、c間的電勢差為UOc=E·Oc·cos 37°=1 000×0.08×0.8 V=64 V,由于UOc=φO-φc,將UOc=64 V、φO=48 V 代入得φc=-16 V,C錯(cuò)誤;O、a間的電勢差為UOa=E·Oa·cos 37°=1 000×0.02×0.8 V=16 V,由于UOa=φO-φa,將UOa=16 V、φO=48 V代入得φa=32 V,所以電子在a點(diǎn)的電勢能為Ep=-eφa=-32 eV,D正確。
方法技巧　電場中φ-x圖像的應(yīng)用技巧
(1)φ-x圖像為直線表明是勻強(qiáng)電場,斜率的大小表示沿x軸方向的場強(qiáng)大小,斜率正負(fù)表示場強(qiáng)方向,因此可以分析出電場強(qiáng)度隨距離的變化規(guī)律。
(2)在φ-x圖像中分析電荷移動(dòng)時(shí)電勢能的變化,可用WAB=qUAB分析WAB的正負(fù),然后作出判斷。
5.A　x2~x4場強(qiáng)方向沿x軸正方向,根據(jù)沿著電場線方向電勢降低,x2處電勢高于x4處電勢,帶負(fù)電的點(diǎn)電荷在x2處的電勢能比在x4處的小,A錯(cuò)誤;x1~x3場強(qiáng)沿x軸正方向,則從x1到x3順著電場線方向移動(dòng)負(fù)點(diǎn)電荷,電場力做負(fù)功,B正確;由U=Ed知E-x圖線與x軸所圍的面積表示電勢差,則知x1、x2兩點(diǎn)之間的電勢差小于x3、x4兩點(diǎn)之間的電勢差,C正確;點(diǎn)電荷由x1運(yùn)動(dòng)到x4的過程中,電場強(qiáng)度先增大后減小,由F=qE知,電場力先增大后減小,D正確。
方法技巧　電場中E-x圖像的應(yīng)用技巧
(1)根據(jù)E-x圖線縱坐標(biāo)判斷場強(qiáng)的方向,根據(jù)位置變化與場強(qiáng)方向關(guān)系可以判斷電勢的升降。其數(shù)值的變化規(guī)律對應(yīng)電場力、加速度的變化規(guī)律。
(2)E-x圖線與橫軸圍成的面積表示電勢差,從而可以計(jì)算電場力做功,利用能量觀點(diǎn)可以判斷動(dòng)能、電勢能的變化情況。
6.ACD　根據(jù)圖像,電勢有正值也有負(fù)值,所以q1和q2帶異種電荷,A正確;φ-x圖像的斜率表示場強(qiáng),x1處的斜率不為零,則電場強(qiáng)度不為零,B錯(cuò)誤;從x1到x2,電勢不斷升高,由公式Ep=qφ可知,電勢越高的地方,負(fù)電荷的電勢能越小,所以負(fù)電荷從x1移到x2,其電勢能不斷減小,C正確;從x1到x2,圖像的斜率不斷減小,則電場強(qiáng)度不斷減小,所以負(fù)電荷受到的電場力不斷減小,D正確。
7.BC　由圖像可知粒子在x1處的電勢能最小,由于粒子帶負(fù)電,根據(jù)Ep=φq,可知x1處的電勢最高,Ep-x圖像的斜率表示粒子所受的電場力,x1處粒子所受的電場力為零,電場強(qiáng)度為零,A錯(cuò)誤;由于x1處的電場強(qiáng)度為零,設(shè)x1到-Q的距離為x,則有kQx2=2kQ(r+x)2,解得x=(2+1)r,B正確;Ep-x圖像斜率的絕對值表示電場力的大小,因斜率的絕對值先減小后增大,故粒子的加速度先減小后增大,C正確;粒子從A處由靜止開始運(yùn)動(dòng),在A、B兩處的電勢能相等,由能量守恒可得,到B處的速度為零,但電場力不為零,還會向A處運(yùn)動(dòng),D錯(cuò)誤。
方法技巧　電場中Ep-x圖像的應(yīng)用技巧
(1)Ep-x圖像中圖線的斜率表示電場力,與粒子電性相結(jié)合可判斷出場強(qiáng)方向。
(2)Ep-x圖像的縱坐標(biāo)表示電勢能,根據(jù)其變化,可以判斷電勢能變化,根據(jù)能量守恒則可判斷動(dòng)能變化。
8.B　場強(qiáng)是矢量,C點(diǎn)與D點(diǎn)場強(qiáng)的大小相等、方向不同,A錯(cuò)誤;沿著電場線方向,由題意可知,AO上任意一點(diǎn)的場強(qiáng)都大于OB上任意一點(diǎn)的場強(qiáng),AO的平均場強(qiáng)大于OB的平均場強(qiáng),又OA=OB,故UAO>UOB,B正確;由粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可知粒子受到的電場力與電場方向相同,則粒子帶正電,沿MN軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí),場強(qiáng)先增大后減小,電場力也先增大后減小,由牛頓第二定律可得,加速度先增大后減小,C錯(cuò)誤;把一負(fù)電荷從C點(diǎn)沿直線CD移至D點(diǎn),電場力方向與速度方向的夾角先是銳角后是鈍角,電場力先做正功后做負(fù)功,所以電勢能先減小后增大,D錯(cuò)誤。
9.BD　根據(jù)靜電力做功與電勢能變化量的關(guān)系有W1=q(φa-φb)①,W2=q(φc-φd)②,WMN=q(φM-φN)③,根據(jù)勻強(qiáng)電場中“同一條直線上兩點(diǎn)間的電勢差與兩點(diǎn)間的距離成正比”的規(guī)律可知,UaM=UMc,即φa-φM=φM-φc,可得φM=φa+φc2④,同理可得φN=φb+φd2⑤,聯(lián)立①②③④⑤式可得WMN=W1+W22,即B項(xiàng)正確。若W1=W2,則φa-φb=φc-φd,結(jié)合④⑤兩式可推出φa-φM=φb-φN,即D項(xiàng)正確。由題意無法判定電場強(qiáng)度的方向,故A、C項(xiàng)均錯(cuò)誤。

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3 電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系

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