2023北京海淀高一（上）期末數(shù)    學(xué)2023.01學(xué)校__________班級(jí)__________姓名__________考生須知1.本試卷共6頁(yè)，共三道大題，19道小題.滿分100分.考試時(shí)間90分鐘.2.在試卷上準(zhǔn)確填寫學(xué)校名稱?班級(jí)名稱?姓名.3.答案一律填涂或書寫在試卷上，用黑色字跡簽字筆作答.4.考試結(jié)束，請(qǐng)將本試卷交回.一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，若（    ）A.  B. C  D. 2. 下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（    ）A.  B. C.  D. 3. 某學(xué)校想了解高一學(xué)生社會(huì)實(shí)踐項(xiàng)目的選擇意向，采用分層抽樣的方式抽取100人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知高一年級(jí)有270名男生，從男生中抽取了60名，則該校高一年級(jí)共有學(xué)生（    ）A. 445人 B. 450人 C. 520人 D. 540人4. 下列結(jié)論正確是（    ）A. 若，則B. 若，則C. 若，則D. 若，則5. 某班分成了A?B?C?D四個(gè)學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)二十大報(bào)告，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取兩個(gè)小組在班會(huì)課上進(jìn)行學(xué)習(xí)成果展示，則組和組恰有一個(gè)組被抽到的概率為（    ）A.  B.  C.  D. 6. 已知，則的大小關(guān)系為（    ）A.  B. C  D. 7 甲?乙兩名學(xué)生，六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)（百分制）如圖所示：①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和極差都比乙同學(xué)大；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)的成績(jī)比乙同學(xué)穩(wěn)定；④甲同學(xué)成績(jī)的方差大于乙同學(xué)成績(jī)的方差.上面說(shuō)法正確的是（    ）A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③8. 已知，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 9. 函數(shù)在區(qū)間上圖像是連續(xù)不斷的，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件10. 已知.若對(duì)于，均有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 二?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在題中橫線上.11. 函數(shù)的定義域是_____.12. __________，__________.13. 已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)根，且，則__________.14. 已知，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為__________；若存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.15. 請(qǐng)閱讀以下材料，并回答后面的問(wèn)題：材料1：人體成分主要由骨骼?肌肉?脂肪等組織及內(nèi)臟組成，肌肉是最大的組織，且肌肉的密度相比脂肪而言要大很多.肌肉和脂肪在體重中占比個(gè)體差異較大，脂肪占體重的百分比（稱為體脂率，記為）經(jīng)常作為反映肥胖程度的一個(gè)重要指標(biāo)，但是不易于測(cè)量.材料2：體重指數(shù)BMI（BodyMassIndex的縮寫）計(jì)算公式為：體重指數(shù)BMI為體重，單位：千克；為身高，單位：米），是衡量人體整體胖瘦程度的一個(gè)簡(jiǎn)單易得的重要指標(biāo).1997年，世界衛(wèi)生組織經(jīng)過(guò)大范圍的調(diào)查研究后公布：BMI值在為正常；為超重；為肥胖.由于亞洲人與歐美人的體質(zhì)有較大差異，國(guó)際肥胖特別工作組經(jīng)調(diào)查研究后，于2000年提出了亞洲成年人BMI值在為正常.中國(guó)肥胖問(wèn)題工作組基于中國(guó)人體質(zhì)特征，于2003年提出中國(guó)成年人BMI值在為正常；為超重；為肥胖. 30歲的小智在今年的體檢報(bào)告中，發(fā)現(xiàn)體質(zhì)指數(shù)BMI值為，依照標(biāo)準(zhǔn)屬于超重.因?yàn)樾≈瞧綍r(shí)還是很注意體育鍛煉的，正常作息，且每周去健身房有大約2小時(shí)的健身運(yùn)動(dòng)，周末還經(jīng)常會(huì)和朋友去打籃球，所以小智對(duì)自己超重感覺很困惑.請(qǐng)你結(jié)合上述材料，從數(shù)學(xué)模型的視角，幫小智做一下分析（包括：是否需要擔(dān)心？為什么？）：__________.三?解答題：本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16. 已知集合（1）求集合中的所有整數(shù)；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17. 高考英語(yǔ)考試分為兩部分，一部分為聽說(shuō)考試，滿分50分，一部分為英語(yǔ)筆試，滿分100分.英語(yǔ)聽說(shuō)考試共進(jìn)行兩次，若兩次都參加，則取兩次考試的最高成績(jī)作為聽說(shuō)考試的最終得分，如果第一次考試取得滿分，就不再參加第二次考試.為備考英語(yǔ)聽說(shuō)考試，李明每周都進(jìn)行英語(yǔ)聽說(shuō)模擬考試訓(xùn)練，下表是他在第一次聽說(shuō)考試前的20次英語(yǔ)聽說(shuō)模擬考試成績(jī).假設(shè)：①模擬考試和高考難度相當(dāng)；②高考的兩次聽說(shuō)考試難度相當(dāng)；③若李明在第一次考試未取得滿分后能持續(xù)保持聽說(shuō)訓(xùn)練，到第二次考試時(shí)，聽說(shuō)考試取得滿分的概率可以達(dá)到.4650474849505047484748495049505048504950 （1）設(shè)事件為“李明第一次英語(yǔ)聽說(shuō)考試取得滿分”，用頻率估計(jì)事件的概率；（2）基于題干中假設(shè)，估計(jì)李明英語(yǔ)高考聽說(shuō)成績(jī)?yōu)闈M分的概率的最大值.18. 已知且，函數(shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)，且滿足下列三個(gè)條件中的兩個(gè).①函數(shù)為奇函數(shù)；②；③.（1）從中選擇的兩個(gè)條件的序號(hào)為_____，依所選擇的條件求得____，____；（2）利用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞減；（3）在（1）的情況下，若方程在上有且只有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19. 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，且區(qū)間，對(duì)任意且，記，.若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì)；若，則稱在上具有性質(zhì).（1）記：①充分而不必要條件；②必要而不充分條件；③充要條件；④既不充分也不必要條件則在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項(xiàng)的序號(hào)）；在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項(xiàng)的序號(hào)）；在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的_____（填正確選項(xiàng)的序號(hào)）；（2）若在滿足性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)在區(qū)間上恰滿足性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)中的一個(gè)，直接寫出實(shí)數(shù)的最小值.
參考答案一?選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義運(yùn)算即得.【詳解】因?yàn)?/span> ，則 .故選：B.2. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，結(jié)合冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，不符合題意； 對(duì)于D，函數(shù)，由，所以函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù)，符合題意.故選：D.3. 【答案】B【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】設(shè)該校高一年級(jí)共有學(xué)生人，由題可知，解得(人).故選：B.4. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若，兩邊平方得，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，若，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，如，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5. 【答案】C【解析】【分析】利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式即得.【詳解】從A?B?C?D四個(gè)學(xué)習(xí)小組中隨機(jī)抽取兩個(gè)小組有共6種結(jié)果，其中組和組恰有一個(gè)組被抽到的結(jié)果有共4種結(jié)果，所以組和組恰有一個(gè)組被抽到的概率為.故選：C.6. 【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)，通過(guò)討論函數(shù)和的單調(diào)性和取值范圍即可得出的大小關(guān)系.【詳解】解：由題意，，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且，∴，在中，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，∴，∴，故選：A.7. 【答案】B【解析】【分析】計(jì)算中位數(shù)，平均數(shù)，極差，估計(jì)方差，進(jìn)而即得.【詳解】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)知，甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是，極差為34，乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是，極差為16，所以甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和極差都比乙同學(xué)大，故①正確；甲同學(xué)的平均分是，乙同學(xué)的平均分是，所以乙同學(xué)的平均分高，故②錯(cuò)誤；由莖葉圖可知乙同學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)比較集中，方差小，甲同學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)比較分散，方差大，故③錯(cuò)誤，④正確.所以說(shuō)法正確的是①④．故選：B．8. 【答案】D【解析】【分析】化簡(jiǎn)不等式，結(jié)合解方程組以及函數(shù)的圖象確定正確答案.【詳解】的定義域是，AB選項(xiàng)錯(cuò)誤.①，由解得或，畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式①的解集為.故選：D9. 【答案】B【解析】【分析】由零點(diǎn)存在性定理，及充分必要條件的判定即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的，由零點(diǎn)存在性定理，可知由可得函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，即由函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，可得，而由推不出函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，如，，函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)”的必要不充分條件.故選：B.10. 【答案】C【解析】【分析】將成立轉(zhuǎn)化成恒成立的問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意在中，對(duì)稱軸函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∵對(duì)于，均有成立即對(duì)于，均有恒成立在中，對(duì)稱軸，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增當(dāng)即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)在上單調(diào)減∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴解得當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)減∴∴故不符題意，舍去.當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，∴解得當(dāng)即時(shí)函數(shù)在上單調(diào)增，函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，此時(shí)，∴符合題意當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)在上單調(diào)增∴此時(shí)∴符合題意綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查恒成立問(wèn)題，二次函數(shù)不同區(qū)間的單調(diào)性，以及分類討論的思想，具有很強(qiáng)的綜合性.二?填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.把答案填在題中橫線上.11. 【答案】【解析】【分析】直接令真數(shù)大于0可得定義域.詳解】函數(shù)，由，得，所以定義域?yàn)?/span>.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.12【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即得.【詳解】，.故答案為：5；3.13. 【答案】2【解析】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)?/span>是關(guān)于方程的兩個(gè)實(shí)根，則，又，所以，解得或，經(jīng)判別式檢驗(yàn)知.故答案為：2.14. 【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】空一：分開求解單調(diào)性；空二：分和兩種情況討論.【詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為因?yàn)楹瘮?shù)并且，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有最小值；，要想函數(shù)有最小值則滿足即故答案為：，15. 【答案】答案見解析【解析】【分析】根據(jù)材料結(jié)合條件分析即得.【詳解】因?yàn)樾≈瞧綍r(shí)注意鍛煉，肌肉占比相對(duì)高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說(shuō)，體重更大），所以他的BMI值就會(huì)偏高，如果小智體型基本正常（或者說(shuō)身高遠(yuǎn)高于中國(guó)人平均值），就不必?fù)?dān)心.故答案為：如果小智體型基本正常（或者說(shuō)身高遠(yuǎn)高于中國(guó)人平均值），他的BMI值就會(huì)偏高，就不必?fù)?dān)心，因?yàn)樾≈瞧綍r(shí)注意鍛煉，肌肉占比相對(duì)高，意味著身體密度大，相同體型和身高情況下，BMI值與密度成正比（或者說(shuō)，體重更大）.三?解答題：本大題共4小題，共40分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16. 【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）解絕對(duì)值不等式求得集合，從而確定正確答案.（2）對(duì)集合是否為空集進(jìn)行分類討論，結(jié)合求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，所以，所以集合中的所有整數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，所以或①時(shí)，即，所以，符合；②時(shí)，即，所以，由于，所以，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.17. 【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型公式計(jì)算，即可求解；（2）計(jì)算出李明第二次英語(yǔ)聽說(shuō)考試取得滿分的概率，然后根據(jù)題意，由獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算李明英語(yǔ)高考聽說(shuō)成績(jī)?yōu)闈M分的概率的最大值.【小問(wèn)1詳解】依題意，李明20次英語(yǔ)聽說(shuō)模擬考試中有8次取得滿分，取得滿分的頻率為，所以用頻率估計(jì)事件的概率為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件為“李明第二次英語(yǔ)聽說(shuō)考試取得滿分”，事件為“李明高考英語(yǔ)聽說(shuō)考試取得滿分”.依題意，，所以，所以如果李明在第一次未取得滿分時(shí)，堅(jiān)持訓(xùn)練參加第二次考試，那么他英語(yǔ)高考聽說(shuō)考試最終成績(jī)?yōu)闈M分的概率的最大值可以達(dá)到.18. 【答案】（1）①②；；    （2）證明見解析    （3）【解析】【分析】（1）通過(guò)分析可知一定滿足①②，從而列出方程組，求出，；（2）定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性步驟：取值，作差，變形，判號(hào)；（3）參變分離得到，，換元后轉(zhuǎn)化為在上有唯一解，結(jié)合（2）中函數(shù)單調(diào)性，求出的值域，從而得到的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在R上是單調(diào)減函數(shù)，故②；③不會(huì)同時(shí)成立，兩者選一個(gè)，故函數(shù)一定滿足①函數(shù)為奇函數(shù)，由于函數(shù)定義域?yàn)?/span>R，所以有，則，，故一定滿足②，選擇①②；，，解得：，；【小問(wèn)2詳解】任取，且，則，由于，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】由（1）可得，所以方程為，即，令，由于，所以，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有唯一解.由（2）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19. 【答案】（1）②；①；③    （2）    （3）1【解析】【分析】（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、充分、必要條件的知識(shí)確定正確答案.（2）根據(jù)性質(zhì)，利用分離常數(shù)法，結(jié)合不等式的性質(zhì)求得的取值范圍.（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，對(duì)的范圍進(jìn)行分類討論，由此求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】由于，所以.對(duì)于性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷的符號(hào)，故無(wú)法判斷單調(diào)性；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的必要而不充分條件.對(duì)于性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，的符合無(wú)法判斷，所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的充分而不必要條件.對(duì)于性質(zhì)，若，則，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，，所以在上具有性質(zhì)是在上單調(diào)遞增的充要條件.【小問(wèn)2詳解】對(duì)于任意，且，有，由于在滿足性質(zhì)，即，所以，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，由于任意的，且，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問(wèn)3詳解】實(shí)數(shù)的最小值為1.理由如下：因?yàn)?/span>在上恰滿足性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)?性質(zhì)中的一個(gè)，所以對(duì)任意且，有恒成立.因?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，從而，不合題意；當(dāng)時(shí)，，所以，從而，要使恒成立，只需使，即恒成立，若，則，使，這與矛盾，當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以的最小值為1.【點(diǎn)睛】對(duì)于新定義問(wèn)題的求解，關(guān)鍵點(diǎn)在于“轉(zhuǎn)化”，將新定義的問(wèn)題，不熟悉的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為學(xué)過(guò)的知識(shí)、熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行求解.求解函數(shù)問(wèn)題，首先要研究函數(shù)的定義域，這個(gè)步驟必不可少. 

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