2022北京海淀高二（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．（4分）下列直線中，傾斜角為的是　　A． B． C． D．2．（4分）若直線與直線垂直，則的值為　　A．2 B．1 C． D．3．（4分）如圖，在四面體中，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為　　A． B． C． D．4．（4分）平面與平面平行的充分條件可以是　　A．平面內(nèi)有一條直線與平面平行 B．平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行 C．平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線分別與平面平行 D．平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行5．（4分）若雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為　　A． B． C． D．26．（4分）已知球的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球被平面截得的截面面積為　　A． B． C． D．7．（4分）如圖，在三棱錐中，平面，，，，則點(diǎn)到平面的距離為　　A．1 B． C． D．8．（4分）如圖，，是平面上的兩點(diǎn)，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，，，，，，是圖中兩組同心圓的部分公共點(diǎn)．若點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，則　　A．點(diǎn)和都在橢圓上 B．點(diǎn)和都在橢圓上 C．點(diǎn)和都在橢圓上 D．點(diǎn)和都在橢圓上9．（4分）設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則的最大值為　　A． B．1 C． D．10．（4分）某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙曲線型花瓶”．他們的設(shè)計(jì)思路是將某雙曲線的一部分（圖1中，之間的曲線）繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2．該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中是雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)．小組中甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如表所示．學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是　　（參考公式：，，A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．（4分）圓的圓心坐標(biāo)為 　　；半徑為 　　．12．（4分）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，　　．13．（4分）已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸．從以下三個(gè)條件中任選兩個(gè)條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．①一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為；②經(jīng)過點(diǎn)，；③離心率為．你選擇的兩個(gè)條件是 　　，得到的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 　　．14．（4分）橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，則的面積的最大值為 　　．15．（4分）如圖，在矩形中，，，將沿所在的直線進(jìn)行翻折，得到空間四邊形． 給出下面三個(gè)結(jié)論：①在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得；②在翻折過程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 　　．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（8分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓以原點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與圓交于兩點(diǎn)，，求弦長(zhǎng)．17．（11分）如圖，在直三棱柱中，，，．為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）證明：平面；（Ⅲ）求二面角的大?。?/span>18．（10分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．（Ⅰ）求拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（Ⅱ）經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，，且與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)．若，求直線的方程．19．（11分）已知橢圓的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，且與軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為證明：是等腰直角三角形．
參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】先根據(jù)直線的方程求出它的斜率，可得它的傾斜角，從而得出結(jié)論．【解答】解：由于的斜率為，故它的傾斜角為，故排除；由于的斜率為不存在，故它的傾斜角為，故排除；由于的斜率為1，故它的傾斜角為，故滿足條件；由于的斜率為，故它的傾斜角為，故排除，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率和傾斜角，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件列方程求出的值．【解答】解：直線與直線垂直，則，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線垂直的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．3．【分析】利用向量的加法公式，即可解出．【解答】解：在平面中，因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，又點(diǎn)為線段中點(diǎn)，在中，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的加法公式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理可判斷．【解答】解：對(duì)，若平面內(nèi)有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故錯(cuò)誤；對(duì)，若平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故錯(cuò)誤；對(duì)，若平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線分別與平面平行，若這無(wú)數(shù)條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故錯(cuò)誤；對(duì)，若平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，則根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線面關(guān)系、面面關(guān)系有關(guān)命題的判定，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】求出漸近線方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，推出，關(guān)系，然后求解離心率即可．【解答】解：因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，，所以漸近線經(jīng)過點(diǎn)，，所以，從而．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力．是基礎(chǔ)題．6．【分析】先求截面圓的半徑，然后求出截面面積．【解答】解：球的半徑為2，球心到平面的距離為1，截面圓的半徑是，截面面積為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的性質(zhì)、球的體積、點(diǎn)到平面的距離，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】利用等體積法轉(zhuǎn)化求解點(diǎn)到平面的距離即可．【解答】解：在三棱錐中，平面，，，，可得，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，可得，可得，解得．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間點(diǎn)、線、面距離的求法，等體積法的應(yīng)用，是中檔題．8．【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷即可求求解．【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，所以，所以橢圓中，因?yàn)?/span>，，，，所以，在橢圓上．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，屬基礎(chǔ)題．9．【分析】利用圓的圓心到直線的距離大于等于半徑，求解的最大值即可．【解答】解：為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，可得，即，解得，，所以的最大值為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．10．【分析】以為分界線，把花瓶看作近似兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，設(shè)上半部分圓臺(tái)體積為，下半部分圓臺(tái)體積為，再結(jié)合圓臺(tái)的面積公式，即可求解．【解答】解：以為分界線，把花瓶看作近似兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，設(shè)上半部分圓臺(tái)體積為，下半部分圓臺(tái)體積為，以為半徑的圓面面積為，以為半徑的圓面面積為，以為半徑的圓面面積為，所以，，故，故最接近的是丙同學(xué)的估算，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查有關(guān)柱體、錐體體積的有關(guān)計(jì)算，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．【分析】直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把圓的一般式轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，進(jìn)一步求出圓心和半徑．【解答】解：圓轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式，故圓心坐標(biāo)為，半徑為1．故答案為：；1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓的方程的一般式和標(biāo)準(zhǔn)式之間的轉(zhuǎn)換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】直接把向量轉(zhuǎn)化再結(jié)合數(shù)量積即可求解結(jié)論．【解答】解：在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，如圖：故，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間向量的數(shù)量積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】選①②，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)直接求解，選①③，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求出， 即可得解，選②③，可由頂點(diǎn)坐標(biāo)及 離心率得出，，即可求解．【解答】解：選①②，由題意則，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選①③，由題意，，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；選②③，由題意知，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：①②，或①③，或②③，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】先求出的坐標(biāo)以及橢圓的短軸端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后分直線的斜率不存在與存在討論，利用三角形的面積公式以及求解方程解的方法求出三角形的面積，由此即可求解．【解答】解：由已知可得，所以，則，且，當(dāng)過原點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程為，則，兩點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，所以，，則，所以三角形的面積為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓方程可得：，所以，則，所以點(diǎn)，，，，所以三角形的面積為，綜上，三角形的面積的最大值為4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及到求解三角形面積的最值問題，考查了學(xué)生的邏輯推理能力以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．15．【分析】在矩形中，過，點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，對(duì)于①，連接，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得，則可得，進(jìn)而得到矛盾，可判斷；對(duì)于②，在翻折過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，再根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算即可；對(duì)于③，由題可知，，設(shè)平面與平面所成的二面角為，進(jìn)而得到，，進(jìn)而得到異面直線與所成角的余弦值范圍，即可判斷．【解答】解：如圖1，在矩形中，過，點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，，則在翻折過程中，形成圖2的幾何體，故對(duì)于①，連接，假設(shè)存在某個(gè)位置，使得，由圖，，所以平面，則，這與圖1中的與不垂直矛盾，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，在翻折過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，此時(shí)，體積為，故三棱錐的體積不大于，故②正確；對(duì)于③，，，由②得討論可得，，所以，則，，，設(shè)平面與平面所成的二面角為，所以，，故，要使直線與為異面直線，所以，所以，，則，，，由于，，所以在翻折過程在，存在某個(gè)位置，使得異面直線與所成角為．故答案為：②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查錐體體積的有關(guān)計(jì)算，線面垂直的證明，異面直線夾角的向量求法，屬于中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求半徑，進(jìn)而得圓方程；（Ⅱ）根據(jù)直線與圓的弦長(zhǎng)公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由，所以圓的方程為．（Ⅱ）由點(diǎn)到直線的距離為，所以弦長(zhǎng)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的方程的求解，圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）只要證明平行于平面平面內(nèi)直線即可；（Ⅱ）只要證明，即可；（Ⅲ）用向量數(shù)量積計(jì)算二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：因?yàn)?/span>，平面；平面，所以平面．（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>，是直三棱柱，所以平面，所以、、兩兩垂直，建系如圖，，0，，，1，，，0，，，0，，，1，，，1，，，0，，，1，，因?yàn)?/span>，，所以平面．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，1，是平面的法向量，，1，，，1，，令，1，，因?yàn)?/span>，，所以是平面的法向量，因?yàn)槎娼?/span>是銳角，設(shè)其大小為，，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了二面角的計(jì)算問題，屬于中檔題．18．【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線求出即可得出拋物線方程和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出弦長(zhǎng)和即可求出．【解答】解：（1）將代入可得，解得，所以拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）由題得，設(shè)直線方程為，設(shè)，，，，聯(lián)立方程，可得，則，所以，因?yàn)橹本€與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，則，則，因?yàn)?/span>，所以，解得，所以直線的方程為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求拋物線方程及直線和拋物線相交的問題，第（2）中為避免討論直線的斜率是否存在就將直線方程設(shè)為，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件求得，，即可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，，，，，，，進(jìn)而聯(lián)立，結(jié)合題意可得或，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理可得，設(shè)的中點(diǎn)，，證明，進(jìn)而得到，，故，綜合即可得到證明．【解答】解：（Ⅰ）由橢圓的離心率，又焦點(diǎn)可得，所以可得，，所以橢圓的方程為：；證明：（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，，聯(lián)立，可得，所以△，解得，因?yàn)?/span>，故或，設(shè)，，，，，，則，設(shè)向量，，，，所以，，，所以，即，設(shè)的中點(diǎn)，，則，，所以，又因?yàn)?/span>，所以，則，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，故，則是等腰直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合，考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，韋達(dá)定理的應(yīng)用，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，屬于中檔題．

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