2023北京密云高一（上）期末數(shù)    學(xué)2023.1一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1. 已知集合，，則（    ）A.  B.  C.  D. 2. 設(shè)命題：，則的否定為（    ）A.  B. C  D. 3. 若，，則角是　　A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角4. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞減是（    ）A.  B.  C.  D. 5. 下列不等式成立的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則6. 在平面直角坐標(biāo)系中，角以射線為始邊，終邊與單位圓的交點(diǎn)位于第四象限，且橫坐標(biāo)為，則的值為（    ）A  B.  C.  D. 7. 已知函數(shù)，則此函數(shù)的最小值等于（    ）A.  B.  C.  D. 8. “是第一象限角”是“是單調(diào)減函數(shù)”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件9. 香農(nóng)定理是通信制式的基本原理．定理用公式表達(dá)為：，其中為信道容量（單位：），為信道帶寬（單位：），為信噪比．通常音頻電話連接支持的信道帶寬，信噪比．在下面四個(gè)選項(xiàng)給出的數(shù)值中，與音頻電話連接支持的信道容量最接近的值是（    ）A.  B.  C.  D. 10. 定義在上的奇函數(shù)，滿足且對(duì)任意的正數(shù)，有，則不等式的解集是（    ）A.  B. C.  D. 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11. 函數(shù)的定義域?yàn)?/span>______.12. 已知扇形的圓心角是弧度，半徑為，則扇形的弧長為______，面積為______．13. 計(jì)算： ______．（用數(shù)字作答）14. 函數(shù)的定義域是______，最小正周期是______．15. 混沌理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用．在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在上的函數(shù)，對(duì)于，令，若使得，且當(dāng)，時(shí)，，則稱是的一個(gè)周期為的周期點(diǎn)．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則是周期為的周期點(diǎn)；②若，則是周期為的周期點(diǎn)；③若，則存在周期為的周期點(diǎn)；④若，則，都不是的周期為的周期點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16. 已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．17. 已知函數(shù)，．（1）求和值，并畫出函數(shù)的圖象；（2）寫出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和值域；（3）若方程有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，寫出實(shí)數(shù)的取值范圍．18. 設(shè)函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，求解集；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．19. 已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)解析式和最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值及對(duì)應(yīng)的x的取值；（3）當(dāng)時(shí)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．20. 已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．21. 已知集合?，規(guī)定：集合中元素的個(gè)數(shù)為，且．若，則稱集合是集合的衍生和集．（1）當(dāng)，時(shí)，分別寫出集合，的衍生和集；（2）當(dāng)時(shí)，求集合的衍生和集的元素個(gè)數(shù)的最大值和最小值．
參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1. 【答案】C【解析】【分析】由交集的定義求解即可【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，故選：C2. 【答案】B【解析】【分析】本題根據(jù)題意直接寫出命題的否定即可.【詳解】解：因?yàn)槊}：，所以的否定：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，是基礎(chǔ)題.3. 【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義，可確定，進(jìn)而可知在第四象限．【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義有，所以，所以在第四象限，故選D．【點(diǎn)睛】當(dāng)的終邊在不同象限的時(shí)候，其三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)也發(fā)生變化，記憶的口訣是“全正切余”即：第一象限全為正，第二象限正弦正，第三象限切為正，第四象限余弦正．4. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性定義、冪函數(shù)、正弦函數(shù)單調(diào)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，令，則其定義域?yàn)?/span>，又，為奇函數(shù)；由冪函數(shù)性質(zhì)知：在上單調(diào)遞減，A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則其定義域?yàn)?/span>，又，為偶函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則其定義域?yàn)?/span>，又，為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：A.5. 【答案】B【解析】【分析】通過反例可知AD錯(cuò)誤；利用作差法可知C錯(cuò)誤；根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知B正確.【詳解】對(duì)于A，若，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，B正確；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：B.6. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義和同角三角函數(shù)關(guān)系可得，利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，又為第四象限角，，.故選：A.7. 【答案】D【解析】【分析】將函數(shù)配湊為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：D.8. 【答案】D【解析】【分析】通過反例可說明充分性不成立；由余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間可知必要性不成立，由此可得結(jié)論.【詳解】若，，此時(shí)且均為第一象限角，此時(shí)，不滿足單調(diào)減函數(shù)定義，充分性不成立；若為單調(diào)減函數(shù)，則，此時(shí)未必為第一象限角，必要性不成立；綜上所述：“是第一象限角”是“是單調(diào)減函數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D.9. 【答案】A【解析】【分析】將代入公式中，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和近似值可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：.故選：A.10. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義可知在上單調(diào)遞減，結(jié)合奇偶性可知在上單調(diào)遞減且；分別在和的情況下，利用單調(diào)性解不等式即可.【詳解】對(duì)任意的正數(shù)，有，在上單調(diào)遞減；為定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減且；，；當(dāng)時(shí)，可化為，，解得：；當(dāng)時(shí)，可化為，，解得：；綜上所述：不等式的解集為.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性求解函數(shù)不等式的問題，解決此類問題中，奇偶性和單調(diào)性的作用如下：（1）奇偶性：統(tǒng)一不等式兩側(cè)符號(hào)，同時(shí)根據(jù)奇偶函數(shù)對(duì)稱性確定對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性；（2）單調(diào)性：將函數(shù)值的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的大小關(guān)系.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式列出不等式，求出使解析式有意義的自變量的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】由解得且，即函數(shù)的定義域?yàn)?/span>.故答案為：.12. 【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長和面積公式直接求解即可.【詳解】扇形弧長；扇形面積.故答案為：；.13. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.14. 【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】由可解得函數(shù)的定義域；由正切型函數(shù)最小正周期求法可求得結(jié)果.【詳解】由得：，定義域?yàn)?/span>；的最小正周期.故答案為：；.15. 【答案】②③④【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由可知，不符合定義，知①錯(cuò)誤；假設(shè)是周期為的周期點(diǎn)，驗(yàn)證可知，成立，知②正確；令，可得，，，知③正確；由二次函數(shù)值域知恒成立，從而得到④正確.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，，解得：，又，，不滿足當(dāng)，時(shí)，，不是周期為的周期點(diǎn)；對(duì)于②，假設(shè)是周期為的周期點(diǎn)，則需，；，，假設(shè)成立，②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，，，是周期為的周期點(diǎn)，③正確；對(duì)于④，，恒成立，不存在的情況，即，都不是的周期為的周期點(diǎn)，④正確.故答案為：②③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的新定義問題，解題關(guān)鍵是明確是的一個(gè)周期為的周期點(diǎn)的定義，即需同時(shí)滿足和的條件，根據(jù)遞推關(guān)系式驗(yàn)證是否滿足定義即可得到結(jié)論.三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16. 【答案】（1），    （2）    （3）【解析】【分析】（1）化簡集合，即可得到，（2）化簡集合，求出，即可得到（3）化簡集合，根據(jù)，即可求出的取值范圍【小問1詳解】由題意在和中，∴∴，【小問2詳解】由題意及（1）得在和中，∴∴∴【小問3詳解】由題意及（1）（2）得在和中，∵∴解得：∴的取值范圍為17. 【答案】（1），；圖象見解析    （2）單調(diào)增區(qū)間為，；值域?yàn)?/span>    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)解析式可直接求得函數(shù)值；將在軸下方的圖象翻折到軸上方即可得到的圖象；（2）根據(jù)圖象可直接得到單調(diào)增區(qū)間和值域；（3）將問題轉(zhuǎn)化為圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可得結(jié)果.【小問1詳解】，，，.圖象如下圖所示，【小問2詳解】由圖象可知：的單調(diào)增區(qū)間為，；的值域?yàn)?/span>.【小問3詳解】若有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18. 【答案】（1）和    （2）    （3）存在實(shí)數(shù)【解析】【分析】（1）令，解方程即可求得零點(diǎn)；（2）解一元二次不等式即可求得解集；（3）根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理可構(gòu)造方程組求得的值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；令，解得：或，零點(diǎn)為和.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：，即.【小問3詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，則且是方程的兩根，，解得：；存在實(shí)數(shù)，使得.19. 【答案】（1）    （2）答案見解析    （3）減區(qū)間；增區(qū)間【解析】【分析】（1）由函數(shù)的圖象的最值點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．（2），根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間上的最值及對(duì)應(yīng)的x的取值；（3）當(dāng)時(shí)，分兩種情況討論，可寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【小問1詳解】由函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象可得：，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得,【小問2詳解】，時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為【小問3詳解】，故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；20. 【答案】（1）    （2）偶函數(shù)，證明見解析    （3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)大于零可直接解不等式求得定義域；（2）根據(jù)奇偶性的定義直接判斷即可得到結(jié)論；（3）由對(duì)數(shù)真數(shù)大于零首先確定恒成立時(shí)的范圍；由對(duì)數(shù)不等式可得，采用分離變量法，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求得的范圍；綜合即可得到的最小值.【小問1詳解】由得：，，即的定義域?yàn)?/span>.【小問2詳解】由（1）知：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，為偶函數(shù).【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，則當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得：；；由得：，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，；綜上所述：實(shí)數(shù)的最小值為.21. 【答案】（1）的衍生和集；的衍生和集    （2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）由衍生和集定義可直接寫出結(jié)果；（2）設(shè)，，列舉得到所有必然不相等的兩個(gè)元素之和的情況，由此得到最小值；假設(shè)任意兩個(gè)元素之和都不相等，可確定最大值.【小問1詳解】由衍生和集的定義知：集合的衍生和集；集合的衍生和集.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，且；，集合的衍生和集的元素個(gè)數(shù)的最小值為；若集合中任意兩個(gè)元素的和不相等，則衍生和集的元素個(gè)數(shù)取得最大值，最大值為；最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合中的新定義問題，解題關(guān)鍵是明確衍生和集的本質(zhì)是集合中兩個(gè)元素之和，根據(jù)集合中元素的互異性可確定衍生和集中元素個(gè)數(shù)最小和最大的情況.

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