2022北京豐臺高一（上）期末數(shù)    學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知函數(shù)，那么　　A． B． C． D．22．已知集合，1，2，3，，，2，，那么集合可能是　　A．，2， B．，1， C．，1， D．，3，3．已知，，，，那么下列結(jié)論成立的是　　A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的是　　A． B． C． D．5．下列函數(shù)中，最小正周期為的是　　A． B． C． D．6．已知，那么的最小值是　　A． B． C． D．7．已知函數(shù)，那么“”是“函數(shù)是增函數(shù)”的　　A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)研究表明，地震時釋放出的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為．已知兩次地震的能量與里氏震級分別為與，若，則　　A． B．3 C． D．9．在特定條件下，籃球賽中進(jìn)攻球員投球后，籃球的運(yùn)行軌跡是開口向下的拋物線的一部分．“蓋帽”是一種常見的防守手段，防守隊員在籃球上升階段將球攔截即為“蓋帽”，而防守隊員在籃球下降階段將球攔截則屬“違規(guī)”．對于某次投籃而言，如果忽略其他因素的影響，籃球處于上升階段的水平距離越長，則被“蓋帽”的可能性越大．收集幾次籃球比賽的數(shù)據(jù)之后，某球員投籃可以簡化為下述數(shù)學(xué)模型：如圖所示，該球員的投籃出手點為，籃框中心點為，他可以選擇讓籃球在運(yùn)行途中經(jīng)過，，，四個點中的某一點并命中，忽略其他因素的影響，那么被“蓋帽”的可能性最大的線路是　　A． B． C． D．10．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若是函數(shù)的一個零點，則的最小值是　　A． B． C． D．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．（5分）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么　　．12．（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點對稱．若，則　　．13．（5分）已知命題“，”是真命題，那么實數(shù)的取值范圍是 　　．14．（5分）函數(shù)的最小值是 　　．15．（5分）中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)．現(xiàn)有兩名剪紙藝人創(chuàng)作甲、乙兩種作品，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中點的橫、縱坐標(biāo)分別為第名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，點的橫、縱坐標(biāo)分別為第名藝人下午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，，2．給出下列四個結(jié)論：①該天上午第1名藝人創(chuàng)作的甲作品數(shù)比乙作品數(shù)少；②該天下午第1名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)少；③該天第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少；④該天第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少．其中所有正確結(jié)論的序號是 　　．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．（13分）已知不等式的解集．（Ⅰ）求實數(shù)，的值；（Ⅱ）若集合，求，．17．（14分）已知，且是第二象限角．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的定義域；（Ⅱ）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（Ⅲ）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明．19．（14分）一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒，能在短時間內(nèi)感染大量文件，使每個文件都不同程度地加長，造成磁盤空間的嚴(yán)重浪費．這種病毒開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存，每3分鐘后病毒所占內(nèi)存是原來的2倍．記分鐘后的病毒所占內(nèi)存為．（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（Ⅱ）如果病毒占據(jù)內(nèi)存不超過，時，計算機(jī)能夠正常使用，求本次開機(jī)計算機(jī)能正常使用的時長．20．（15分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）在用“五點法”作函數(shù)的圖象時，列表如下：0  020 0在答題卡相應(yīng)位置完成上述表格，并在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)在區(qū)間，上的圖象；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅲ）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．21．（15分）已知為正整數(shù)，集合，，，，，，2，，，對于中任意兩個元素，，，和，，，，定義：，，，；．（Ⅰ）當(dāng)時，設(shè)，1，，，0，，寫出，并計算；（Ⅱ）若集合滿足，且，，，求集合中元素個數(shù)的最大值，寫出此時的集合，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）若，，且，任取，求的值．
參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)，那么，故選：．【點評】本題考查函數(shù)解析式的計算，涉及函數(shù)值的計算，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意和并集的運(yùn)算直接寫出即可．【解答】解：因為集合，1，2，3，，，2，，所以集合中必須要有0和3，另外再在1，2，4中加數(shù)，也可以不加數(shù)，故選：．【點評】本題考查并集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】直接利用不等式的性質(zhì)和賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：對于：當(dāng)，時，不滿足，故錯誤；對于：當(dāng)，時，無意義，故錯誤；對于：當(dāng)時，所以，故錯誤；對于：利用不等式的性質(zhì)，所以，故正確．故選：．【點評】本題考查的知識要點：不等式的性質(zhì)，賦值法，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】由題意只要檢驗各選項中函數(shù)的奇偶性即可判斷．【解答】解：：函數(shù)定義域為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，符合題意；為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，不符合題意；為非奇非偶函數(shù)，圖象關(guān)于原點不對稱，不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷及奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由題意利用三角函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．【解答】解：由于的最小正周期為，故排除；由于的最小正周期為，故排除；由于的最小正周期為，故排除；由于的最小正周期為，故滿足條件，故選：．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的周期性，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由題中的條件，利用基本不等式即可解出．【解答】解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．故選：．【點評】本題考查了不等式的運(yùn)算，基本不等式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：當(dāng)時，，此時為單調(diào)增函數(shù)，故“” “函數(shù)是增函數(shù)”；若為增函數(shù)，則有，故由“函數(shù)是增函數(shù)”不能推出“”，所以“”是“函數(shù)是增函數(shù)”的充分不必要條件，故選：．【點評】本題考查了分段函數(shù)的單調(diào)性，充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】利用對數(shù)運(yùn)算法則和指數(shù)與對數(shù)互化求解．【解答】解：由題意得：，，兩式相減得：，，．故選：．【點評】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．【分析】定性分析即可得到答案．【解答】解：、兩點，橫坐標(biāo)相同，而點的縱坐標(biāo)大于點的縱坐標(biāo)，顯然，點上升階段的水平距離長；，兩點，縱坐標(biāo)相同，而點的橫坐標(biāo)小于點的橫坐標(biāo)，等經(jīng)過點的籃球運(yùn)行到與點橫坐標(biāo)相同時，顯然在點上方，故點上升階段的水平距離長；同理可知點路線優(yōu)于點路線，綜上：是被“蓋帽”的可能性最大的線路．故選：．【點評】本題考查了合情推理，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式的變換和函數(shù)的圖象的平移變換的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象；故函數(shù)，由于是函數(shù)的一個零點，故，故當(dāng)的最小值為時，關(guān)系式相等．故選：．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，函數(shù)的零點和方程的根，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11．【分析】由題意代入點的坐標(biāo)，即可求出的值．【解答】解：指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，解得：，故答案為：3．【點評】本題考查了冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，且，．故答案為：．【點評】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，結(jié)合全稱命題的定義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，，若命題“，”是真命題，必有，即的取值范圍為，；故答案為：，．【點評】本題考查命題真假的判斷，注意全稱命題的定義，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】將函數(shù)整理，由的范圍可得的最小值．【解答】解：，又因為，，所以當(dāng)時，最小為0，故答案為：0．【點評】本題考查三角函數(shù)的最值的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．15．【分析】根據(jù)已知及圖象逐一判斷即可．【解答】解：①由圖象可知的橫坐標(biāo)小于縱坐標(biāo)，所以該天上午第1名藝人創(chuàng)作的甲作品數(shù)比乙作品數(shù)少，故①正確；②由圖象可知的縱坐標(biāo)小于的縱坐標(biāo)，所以該天下午第1名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)比第2名藝人創(chuàng)作的乙作品數(shù)少，故②正確；③由圖象可知第1名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)都多于第2名藝人上午創(chuàng)作的甲作品數(shù)和乙作品數(shù)，第1名藝人下午創(chuàng)作的甲作品多于第2名藝人下午創(chuàng)作的甲作品，創(chuàng)作的乙作品少于第2名藝人下午創(chuàng)作的乙作品，但該天第2名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)比第1名藝人創(chuàng)作的作品總數(shù)少，故③錯誤，④正確．故答案為：①②④．【點評】本題主要考查命題真假的判斷，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．【分析】（Ⅰ）直接根據(jù)韋達(dá)定理即可求解，（Ⅱ）直接根據(jù)集合得基本運(yùn)算求解即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式的解集，和2是方程的兩根，且，，，（Ⅱ）集合，，，．【點評】本題主要考查韋達(dá)定理以及集合的基本運(yùn)算，比較基礎(chǔ)．17．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．（Ⅱ）利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因為，且是第二象限角，所以；（Ⅱ）．【點評】本題主要考查了誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（Ⅰ）由對數(shù)式的真數(shù)大于0，聯(lián)立不等式組求解；（Ⅱ）直接利用函數(shù)奇偶性的定義證明；（Ⅲ）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明．【解答】解：（Ⅰ）由，得；函數(shù)的定義域為；（Ⅱ）是定義域內(nèi)的偶函數(shù)．證明如下：，且的定義域為，是定義域內(nèi)的偶函數(shù)；（Ⅲ）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．證明如下：，設(shè)，則，，，則，，即，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．【點評】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定及證明，是中檔題．19．【分析】（Ⅰ）由題意可得，第分鐘后，病毒所占內(nèi)存為；（Ⅱ）由，求解指數(shù)方程得答案．【解答】解：（Ⅰ）因為在剛開機(jī)時它占據(jù)的內(nèi)存，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占的內(nèi)存是原來的2倍，所以，一個三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為；兩個三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為；三個三分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為；所以，分鐘后它占據(jù)的內(nèi)存為；（Ⅱ）由，得，解得．故本次開機(jī)計算機(jī)能正常使用的時長為57分鐘．【點評】本題考查函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．20．【分析】（Ⅰ）分別計算五點坐標(biāo)，利用五點法即可畫出圖形．（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．（Ⅲ）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解．【解答】解：（Ⅰ）完成上述表格如下：00200描點，連線，可得圖象如下：（Ⅱ）令，，解得，，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，．（Ⅲ）因為，可得，，所以，，，．【點評】本題考查了五點法作函數(shù)的圖象以及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】（1）根據(jù)定義直接求解即可；（2）根據(jù)定義，結(jié)合反證法進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)定義，結(jié)合絕對值的性質(zhì)進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1），1，，．（2）最大值是4．此時，0，，，1，，，0，，，1， 或，0，，，1，，，0，，，1，．若還有第5個元素，則必有，0，，，1，和，0，，，1，和，1，，，0，和，1，，，0，之一出現(xiàn)，其對應(yīng)的，不符合題意．（3）解：設(shè)，，，，，，，，，，，，所以，，，，，，，2，3，從而，，，，又，當(dāng) 時，；當(dāng)時，．所以，，，所以．【點評】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生的綜合能力，屬于難題．

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