?2020北京十一學(xué)校高一（上）期末
數(shù) 學(xué)
一、選擇題（共8小題，每題3分）
1．（3分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則（　?。?br /> A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
2．（3分）已知y＝f（x）是定義R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2x﹣1，則f（log2）＝（　　）
A． B．﹣ C．﹣15 D．15
3．（3分）若三角形的兩內(nèi)角A，B滿(mǎn)足sinAcosB＜0，則此三角形必為（　?。?br /> A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．以上三種情況都可能
4．（3分）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+＞（n≥2）的過(guò)程中，由n＝k遞推到n＝k+1時(shí)不等式左邊（　?。?br /> A．增加了
B．增加了+
C．增加了+，但減少了
D．以上各種情況均不對(duì)
5．（3分）若函數(shù)f（x）＝是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 （　?。?br /> A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）

6．（3分）已知函數(shù){an}的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足Sn＝2n+1﹣1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　?。?br /> A．a(chǎn)n＝2n B．a(chǎn)n＝2n
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
7．（3分）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．“f （0）＝0”是“函數(shù) f （x） 是奇函數(shù)”的充要條件
B．若 p：?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，則￢p：?x∈R，x2﹣x﹣1＜0
C．若p∧q為假命題，則p，q 均為假命題
D．“若α＝，則sinα＝”的否命題是“若α≠，則sinα≠”
8．（3分）汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是（　?。?br /> A． B．
C． D．
二、填空題（共6小題每題4分）
9．（4分）函數(shù)y＝（）x，（x≥0）的值域?yàn)椤? ?。?br /> 10．（4分）函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣5）xm+1是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是　 ?。?br /> 11．（4分）若θ∈（，π），則下列各式中正確的有　 ?。▽?xiě)出所有正確的序號(hào)）
①sinθ+cosθ＜0 ②sinθ﹣cosθ＞0
③|sinθ|＜|cosθ|④sinθ+cosθ＞0
12．（4分）已知等比數(shù)列{an}，a10，a30是方程x2﹣10x+16＝0的兩實(shí)根，則a20等于　 ?。?br /> 13．（4分）已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1＝，若a1＝﹣，則a2019＝　 ?。?br /> 14．（4分）某慢性疾病患者，因病到醫(yī)院就醫(yī)，醫(yī)生給他開(kāi)了處方藥（片劑），要求此患者每天早、晚間隔12小時(shí)各服一次藥，每次一片，每片200毫克．假設(shè)該患者的腎臟每12小時(shí)從體內(nèi)大約排出這種藥在其體內(nèi)殘留量的50%，并且醫(yī)生認(rèn)為這種藥在體內(nèi)的殘留量不超過(guò)400毫克時(shí)無(wú)明顯副作用．若該患者第一天上午8點(diǎn)第一次服藥，則第二天上午8點(diǎn)服完藥時(shí)，藥在其體內(nèi)的殘留量是　 　毫克，若該患者堅(jiān)持長(zhǎng)期服用此藥________明顯副作用（此空填“有”或“無(wú)”）．
三、解答題（共6個(gè)小題：第15題8分，第16、17題每題7分，第18、19題每題9分，第20題12分，共52分）
15．（8分）化簡(jiǎn)求值：
（1）0.0081﹣（）0.5+（ln2）0．
（2）lg4+lg25+log3﹣eln2．

16．（7分）設(shè)集合A＝{x|y＝log2（x﹣1）}，B＝{y|y＝﹣x2+2x﹣2，x∈R}
（1）求集合A，B；
（2）若集合C＝{x|2x+a＜0}，且滿(mǎn)足B∪C＝C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

17．（7分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a3+a8＝37，a7＝23．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn＝an+2n，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

18．（9分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知a1＝4，公差d＞0，a4是a2與a8的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{}前n項(xiàng)和Tn．


19．（9分）已知函數(shù)f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值是最小值的8倍．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a＞1時(shí)，解不等式loga（2a+2x）＜loga（x2+1）．



20．（12分）已知函數(shù)f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）記函數(shù)g（x）＝10f（x）+3x，求函數(shù)g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

2020北京十一學(xué)校高一（上）期末數(shù)學(xué)
參考答案
一、選擇題（共8小題，每題3分）
1．【分析】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易得log20.2＜0，20.2＞1，0＜0.20.3＜1，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．
【解答】解：a＝log20.2＜log21＝0，
b＝20.2＞20＝1，
∵0＜0.20.3＜0.20＝1，
∴c＝0.20.3∈（0，1），
∴a＜c＜b，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題．
2．【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得log2＝﹣log216＝﹣4，由函數(shù)的解析式求出f（4）的值，進(jìn)而結(jié)合函數(shù)的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，log2＝﹣log216＝﹣4，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝2x﹣1，則f（4）＝24﹣1＝15，
則f（log2）＝f（﹣4）＝﹣f（4）＝﹣15；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
3．【分析】由已知根據(jù)三角形內(nèi)角的范圍可求cosB＜0，進(jìn)而判斷得解三角形的形狀．
【解答】解：∵A，B∈（0，π），且sinAcosB＜0，
∴sinA＞0，cosB＜0，
∴三角形必為鈍角三角形，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的形狀的判斷，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
4．【分析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，由n＝k遞推到n＝k+1時(shí)，增加了+，但減少了．
【解答】解：數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò)程中，當(dāng)n＝k時(shí)，不等式左邊為，
∴當(dāng)n＝k+1時(shí)，不等式的左邊為
＝，
∴不等式左邊增加了，減少了．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，屬基礎(chǔ)題．
5．【分析】若函數(shù)f（x）＝是R上的增函數(shù)，則，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝是R上的增函數(shù)，
∴，
解得：a∈[4，8），
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，正確理解分段函數(shù)的單調(diào)性是解答的關(guān)鍵．
6．【分析】a1＝S1＝22﹣1＝3，n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2n＝2n，由此能求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解答】解：∵函數(shù){an}的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足Sn＝2n+1﹣1，
∴a1＝S1＝22﹣1＝3，
n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2n＝2n，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
7．【分析】根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析、判斷正誤即可．
【解答】解：對(duì)于A，f （0）＝0時(shí)，函數(shù) f （x）不一定是奇函數(shù)，如f（x）＝x2，x∈R；
函數(shù) f （x） 是奇函數(shù)時(shí)，f（0）不一定＝0，如f（x）＝，x≠0；
是即不充分也不必要條件，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，命題p：?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0，
則￢p：?x∈R，x2﹣x﹣1≤0，∴B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若p∧q為假命題，則p，q至少有一假命題，∴C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若α＝，則sinα＝的否命題是
“若α≠，則sinα≠”，∴D正確．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題真假的判斷問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
8．【分析】由已知中汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē)，汽車(chē)的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，我們可以根據(jù)實(shí)際分析函數(shù)值S（路程）與自變量t（時(shí)間）之間變化趨勢(shì)，分析四個(gè)答案即可得到結(jié)論．
【解答】解：由汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)后的加速行駛階段，
路程隨時(shí)間上升的速度越來(lái)越快，
故圖象的前邊部分為凹升的形狀；
在汽車(chē)的勻速行駛階段，
路程隨時(shí)間上升的速度保持不變
故圖象的中間部分為平升的形狀；
在汽車(chē)減速行駛之后停車(chē)階段，
路程隨時(shí)間上升的速度越來(lái)越慢，
故圖象的前邊部分為凸升的形狀；
分析四個(gè)答案中的圖象，
只有A答案滿(mǎn)足要求，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】從左向右看圖象，如果圖象是凸起上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢；如果圖象是凹陷上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來(lái)越快；如果圖象是直線(xiàn)上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度保持不變；如果圖象是水平直線(xiàn)，表明相應(yīng)的量保持不變，即不增長(zhǎng)也不降低；如果圖象是凸起下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來(lái)越快；如果圖象是凹陷下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來(lái)越慢；如果圖象是直線(xiàn)下降的，表明相應(yīng)的量降低速度保持不變．
二、填空題（共6小題每題4分）
9．【分析】根據(jù)函數(shù)y＝（）x的單調(diào)性，求出該函數(shù)在x≥0時(shí)的值域．
【解答】解：∵函數(shù)y＝（）x在定義域R上是減函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，y＝≤＝1，
又∵y＝＞0恒成立；
∴函數(shù)y的值域?yàn)椋?，1]．
故答案為：（0，1]．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的值域的問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．
10．【分析】由函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，列方程求出m的值．
【解答】解：由函數(shù)f（x）＝（m2﹣m﹣5）xm+1是冪函數(shù)，
得m2﹣m﹣5＝1，即m2﹣m﹣6＝0，
解得m＝﹣2或m＝3；
又f（x）為偶函數(shù)，即m+1為偶數(shù)，
所以實(shí)數(shù)m的值是3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．
11．【分析】由題意利用三角函數(shù)的定義域和值域，不等式的基本性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：若θ∈（，π），
則 sinθ∈（0，），cosθ（﹣1，﹣），∴sinθ+cosθ＜0，故①成立；
則 sinθ﹣cosθ＞0，故②成立；
則③|sinθ|＜|cosθ|，故③成立；
則④sinθ+cosθ＞0不成立，
故答案為：①②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的定義域和值域，不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
12．【分析】解方程x2﹣10x+16＝0，得a10＝2，a30＝8或a10＝8，a30＝2，由此能求出a20．
【解答】解：∵等比數(shù)列{an}，a10，a30是方程x2﹣10x+16＝0的兩實(shí)根，
∴解方程x2﹣10x+16＝0，得a10＝2，a30＝8或a10＝8，a30＝2，
∴
∴

又∵
∴
∴a20＝＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的第20項(xiàng)的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
13．【分析】利用數(shù)列的遞推公式求出前3項(xiàng)，推導(dǎo)出{an}是以3為周期的數(shù)列，由此能求出a2019．
【解答】解：∵數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1＝，a1＝﹣，
∴a2＝＝，
a3＝＝3，
a4＝＝﹣，
∴{an}是以3為周期的數(shù)列，
∵2019＝673×3，
∴a2019＝a3＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的第2019項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式等等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
14．【分析】由已知中，該藥片每片200毫克，他的腎臟每12小時(shí)從體內(nèi)濾出該藥的50%，我們可設(shè)該生第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為an毫克，由于上午8點(diǎn)第一次服藥，則第2天上午服完藥時(shí)共服了3次藥，依次計(jì)算出a1，a2，a3的值，即可得到第2天上午服完藥時(shí)，藥在他體內(nèi)還殘留量；先考慮該運(yùn)動(dòng)員若長(zhǎng)期服用此藥，此藥在體內(nèi)殘留量，與400比照后，即可得到答案．
【解答】解：設(shè)該生第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為an毫克，
則：a1＝200，a2＝200+a1×（1﹣50%）＝200×1.5＝300，
a3＝200+a2×（1﹣50%）＝200+200×1.5×0.5
＝350 （4分）
故第二天早間，他第三次服空藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為350毫克．
該運(yùn)動(dòng)員若長(zhǎng)期服用此藥，則此藥在體內(nèi)殘留量為＝400（1﹣0.5n），當(dāng)n→+∞時(shí)，藥在體內(nèi)殘留量無(wú)限接近400
∴長(zhǎng)期服用此藥，不會(huì)產(chǎn)生副作用，
即該生長(zhǎng)期服用該藥，不會(huì)產(chǎn)生副作用．
故答案為：350，無(wú)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的函數(shù)特征，數(shù)列的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件分析出數(shù)列是等比數(shù)列，也是數(shù)列中的難點(diǎn)．
三、解答題（共6個(gè)小題：第15題8分，第16、17題每題7分，第18、19題每題9分，第20題12分，共52分）
15．【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．
【解答】解：（1）原式＝﹣+1＝﹣+1＝3．
（2）原式＝lg100+﹣2＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．【分析】（1）集合A即函數(shù)y＝log2（x﹣1）定義域，B即y＝﹣x2+2x﹣2，x∈R的值域．
（2）先求出集合C，由B∪C＝C 可得?B?C，∴﹣＞﹣1，解不等式得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）A＝{x|y＝log2（x﹣1）}＝{x|（x﹣1）＞0}＝（1，+∞），
B＝{y|y＝﹣x2+2x﹣2，x∈R}＝{y|y＝﹣（x﹣1）2﹣1，x∈R}＝（﹣∞，﹣1]．
（2）集合C＝{x|2x+a＜0}＝{x|x＜﹣}，
∵?B∪C＝C，
∴B?C，
∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍（﹣∞，2）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域、值域的求法，利用集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍．
17．【分析】（Ⅰ）直接利用已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和．
【解答】解：（Ⅰ）由等差數(shù)列{an} 中設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，
由于：a3+a8＝37，a7＝23．
則：，
解得a1＝5，
所以．
所以an＝3n+2．
（Ⅱ）bn＝an+2n＝3n+2+2n，
由 （Ⅰ） 知，+，
＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的求和的應(yīng)用．
18．【分析】（1）由等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知列式求得d，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{}前n項(xiàng)和為T(mén)n．
【解答】解：（1）∵a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，
∴，即，
∴（4+3d）2＝（4+d）（4+7d），解得d＝4或d＝0．
∵d＞0，∴d＝4．
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1+（n﹣1）d＝4n；
（2）∵，
∴，
則＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．
19．【分析】（Ⅰ）分類(lèi)討論當(dāng)a＞1時(shí)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，求出最大值，最小值，即可求解答案．
（Ⅱ）轉(zhuǎn)化log2（4+2x）＜log2（x2+1）得出得出不等式組，
求解即可
【解答】解：f（x）max＝a2，f（x）min＝a﹣1，則＝a3＝8，解得a＝2；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）＝max＝a﹣1，f（x）min＝a2，則＝a﹣3＝8，解得a＝；
故a＝2或a＝
（Ⅱ） 當(dāng)a＞1時(shí)，由前知a＝2，不等式loga（2a+2x）＜loga（x2+1）
即得解集為（﹣2，﹣1）∪（3，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考察了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論的思想，屬于中檔題，關(guān)鍵是分類(lèi)得出方程，不等式組．
20．【分析】（1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）的定義域；推導(dǎo)出f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），由此得到f（x）是偶函數(shù)．
（2）由﹣2＜x＜2，得f（x）＝lg（4﹣x2），從而函數(shù)g（x）＝﹣x2+3x+4，由此能求出函數(shù)g（x）的值域．
（3）由不等式f（x）＞m有解，得到m＜f（x）max，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，2）．
∵f（﹣x）＝lg（2﹣x）+lg（2+x）＝f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）＝lg（2+x）+lg（2﹣x）＝lg（4﹣x2）．
∵g（x）＝10f（x）+3x，
∴函數(shù)g（x）＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max＝g（）＝，g（x）min→g（﹣2）＝﹣6，
∴函數(shù)g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t＝4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值為lg4．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m＜lg4}．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域的求法，考查函數(shù)的奇偶性的判斷，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．

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