?2020北京清華附中高一（上）期末
數(shù) 學
一.選擇題（每小題4分，共40分）.
1．（4分）已知集合A＝{x|x2＜1}，且a∈A，則a的值可能為（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
2．（4分）下列函數(shù)在定義域內單調遞增的是（　?。?br /> A．y＝x2 B．y＝tanx C．y＝0.5x D．y＝lgx
3．（4分）若點P（4，3）在角α的終邊上，則cosα＝（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（4分）在a＝log30.1，b＝tan，c＝2，d＝sin2中，最大的數(shù)為（　　）
A．a B．b C．c D．d
5．（4分）“α+β＝+2kπ，k∈Z”是“sinα＝cosβ”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
6．（4分）下列區(qū)間包含函數(shù)f（x）＝x+log2x﹣5零點的為（　?。?br /> A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）
7．（4分）函數(shù)f（x）＝的定義域為（　?。?br /> A．（﹣1，0）∪（0，+∞） B．[﹣1，0）∪（0，+∞）
C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
8．（4分）某車間分批生產某種產品，每批的生產準備費用為800元．若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，且每件產品每天的倉儲費用為1元．為使平均每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小，每批應生產產品（　　）
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
9．（4分）已知θ＝（0，），sin2θ＝，則sinθ﹣cosθ＝（　?。?br /> A． B．﹣ C． D．﹣
10．（4分）若函數(shù)f（x）的圖象上存在一點A（x0，y0），滿足x0+y0＝0，且x0y0≠0，稱函數(shù)f（x）為“可相反函數(shù)”．在：①y＝sinx；②y＝lnx；③y＝x2+4x+1；④y＝﹣e﹣x中，為“可相反函數(shù)”的全部序號是（　　）
A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④
二、填空題（每小題5分，共30分）.
11．（5分）已知冪函數(shù)f（x）＝xm經過點（2，），則f（）＝　 　．
12．（5分）已知θ為第二象限角，且sinθ＝，則sin（θ+）＝　 　．
13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖，則函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為　 　．

14．（5分）關于函數(shù)f（x）＝sinx與g（x）＝cosx有下面三個結論：
①函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)g（x）的圖象平移得到：
②函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）在（，π）上均單調遞減；
③若直線x＝t與這兩個函數(shù)的圖象分別交于不同的A，B兩點，則|AB|≤1．
其中全部正確結論的序號為　 ?。?br /> 15．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，若函數(shù)y＝f（x）﹣k恰有兩個不同的零點．則實數(shù)k的取值范圍為　 ?。?br /> 16．（5分）定義：如果函數(shù)y＝f（x）在定義域內給定區(qū)間[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），滿足f（x0）＝，則稱函數(shù)y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函數(shù)”．x0是它的一個均值點，若函數(shù)f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是　 ?。?br /> 三、解答題（共6小題，共80分）.
17．（13分）計算：
（1）log64+2log63．
（2）×
（3）cos120°+tan135°．
18．（13分）已知＝．
（1）若α為第三象限角，求cosα的值；
（2）求tan（α+）的值；
（3）求cos2α的值．
19．（13分）已知函數(shù)f（x）＝|logax|（a＞0，a≠1）．
（1）若f（2）＝，求實數(shù)a的值；
（2）若0＜x1＜x2，且f（x1）＝f（x2），求x1x2的值；
（3）若函數(shù)f（x）在[，3]的最大值與最小值之和為2，求實數(shù)a的值．
20．（13分）已知函數(shù)f（x）＝4cosxsin（x+）．
（1）求f（）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其圖象的對稱軸方程：
（3）對于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，求實數(shù)m的取值范圍．
21．（14分）若函數(shù)f（x）的定義域為R，且存在非零實數(shù)T，使得對于任意x∈R，f（x+T）＝Tf（x）恒成立，稱函數(shù)f（x）滿足性質P（T）．
（1）分別判斷下列函數(shù)是否滿足性質P（1），并說明理由；
①f（x）＝sin2πx；
②g（x）＝cosπx．
（2）若函數(shù)f（x）既滿足性質P（2）．又滿足性質P（3），求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若函數(shù)f（x）滿足性質P（1.01）．求證：存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．
22．（14分）已知集合A為非空數(shù)集，定義A+＝{x|x＝a+b，a，b∈A}，A﹣＝{x|x＝|a﹣b|，a，b∈A}．
（1）若集合A＝{﹣1，1}，直接寫出集合A+及A﹣；
（2）若集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，求證x1+x4＝x2+x3；
（3）若集A?{x|0≤x≤2020，x∈N}，且A+∩A﹣＝?，求集合A中元素的個數(shù)的最大值．

2020北京清華附中高一（上）期末數(shù)學
參考答案
一.選擇題（每小題4分，共40分）.
1．【答案】C
【分析】化簡集合A，利用元素與集合之間的關系即可得出．
【解答】解：集合A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，
四個選項中，只有0∈A，
故選：C．
【點評】本題考查了元素與集合之間的關系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
2．【答案】D
【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中函數(shù)的單調性，綜合即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，y＝x2，是二次函數(shù)，在其定義域上不是單調函數(shù)，不符合題意；
對于B，y＝tanx，是正切函數(shù)，在其定義域上不是單調函數(shù)，不符合題意；
對于C，y＝0.5x，是指數(shù)函數(shù)，在定義域內單調遞減，不符合題意；
對于D，y＝lgx，是對數(shù)函數(shù)，在定義域內單調遞增，符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查函數(shù)單調性的判斷，注意常見函數(shù)的單調性即可，屬于基礎題．
3．【答案】A
【分析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosα的值．
【解答】解：∵點P（4，3）在角α的終邊上，則cosα＝＝，
故選：A．
【點評】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．
4．【答案】B
【分析】分別判斷三個數(shù)的大小，進行比較即可．
【解答】解：a＝log30.1＜0，b＝tan＝1，c＝2∈（0，1），d＝sin2＜1，
則最大的是b＝1．
故選：B．
【點評】本題主要考查函數(shù)值的大小比較，分別判斷四個數(shù)的取值范圍是解決本題的關鍵．比較基礎．
5．【答案】A
【分析】sinα＝cosβ?cos（﹣α）＝cosβ，可得β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．即可判斷出結論．
【解答】解：sinα＝cosβ?cos（﹣α）＝cosβ，
∴β＝2kπ±（（﹣α），k∈Z．
化為：α+β＝+2kπ，k∈Z，或β﹣α＝﹣+2kπ，k∈Z，
∴“α+β＝+2kπ，k∈Z“是“sinα＝cosβ“的充分不必要條件．
故選：A．
【點評】本題考查了三角函數(shù)方程的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．
6．【答案】C
【分析】此類選擇題可以用代入計算出函數(shù)值，利用零點判定定理解決
【解答】解：經計算f（1）＝1﹣5＝﹣4＜0，f（2）＝2+1﹣5＝﹣2＜0，f（3）＝3+log23﹣5＝log23﹣2＜0，f（4）＝4+2﹣5＝1＞0，
故函數(shù)的零點所在區(qū)間為（3，4），
故選：C．
【點評】本題考查函數(shù)零點判定定理，屬于基礎題．
7．【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)成立的條件，即可求出函數(shù)的定義域．
【解答】解：要使函數(shù)有意義，則ln（x+1）≠0，且x+1＞0，
即x＞﹣1且x≠0，
故函數(shù)的定義域為{x|x＞﹣1且x≠0}，
故選：A．
【點評】本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件，比較基礎．
8．【答案】B
【分析】若每批生產x件，則平均倉儲時間為天，可得倉儲總費用為，再加上生產準備費用為800元，可得生產x件產品的生產準備費用與倉儲費用之和是＝元，由此求出平均每件的生產準備費用與倉儲費用之和，再用基本不等式求出最小值對應的x值
【解答】解：根據(jù)題意，該生產x件產品的生產準備費用與倉儲費用之和是＝
這樣平均每件的生產準備費用與倉儲費用之和為（x為正整數(shù)）
由基本不等式，得
當且僅當時，f（x）取得最小值、
可得x＝80時，每件產品的生產準備費用與倉儲費用之和最小
故選：B．
【點評】本題結合了函數(shù)與基本不等式兩個知識點，屬于中檔題，運用基本不等式時應該注意取等號的條件，才能準確給出答案．
9．【答案】D
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦函數(shù)公式即可求解．
【解答】解：∵θ＝（0，），sin2θ＝，
∴sinθ﹣cosθ＜0，
∴sinθ﹣cosθ＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣．
故選：D．
【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，二倍角的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．
10．【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件把問題轉化為函數(shù)f（x）與直線y＝﹣x有交點且交點不在坐標原點，結合圖象即可得到結論
【解答】解：由定義可得：；
函數(shù)f（x）為“可相反函數(shù)”，即函數(shù)f（x）與直線y＝﹣x有交點且交點不在坐標原點．
結合圖象可得：只有②③④符合要求；
故選：D．

【點評】本題考查可相反函數(shù)的判斷，考查函數(shù)性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題
二、填空題（每小題5分，共30分）.
11．【答案】見試題解答內容
【分析】把點的坐標代入冪函數(shù)解析式求出m的值，求出解析式，再計算f（）的值．
【解答】解：冪函數(shù)f（x）＝xm經過點（2，），
即2m＝，解得m＝﹣2，
所以f（x）＝x﹣2；
所以f（）＝＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了冪函數(shù)的定義與應用問題，是基礎題．
12．【答案】見試題解答內容
【分析】由已知結合同角平方關系可求cosθ，然后結合誘導公式進行化簡即可求解．
【解答】解：因為θ為第二象限角，且sinθ＝，
所以cos，
則sin（θ+）＝cosθ＝﹣．
故答案為：﹣
【點評】本題主要考查了同角平方關系及誘導公式在三角化簡求值中的應用，屬于基礎試題．
13．【答案】見試題解答內容
【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調性，得出結論．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象，
可得A＝1，?＝﹣，∴ω＝π．
再根據(jù)五點法作圖，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（π?x+）．
令2kπ﹣≤π?x+≤2kπ+，求得2k﹣≤x≤2k﹣，
故函數(shù)的增區(qū)間為[2k﹣，2k﹣]，k∈Z，
故答案為：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．
【點評】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，正弦函數(shù)的單調性，屬于中檔題．
14．【答案】見試題解答內容
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的性質逐個判斷即可．
【解答】解：對于①，由于f（x）＝sinx＝cos（x+），所以函數(shù)f（x）＝sinx的圖象可由函數(shù)g（x）＝cosx的圖象向左平移個單位得到；①正確；
對于②，函數(shù)f（x）＝sinx在（，π）上為減函數(shù)，函數(shù)g（x）＝cosx在（，π）上為減函數(shù)；②正確；
對于③，若直線x＝t與這兩個函數(shù)的圖象分別交于不同的A，B兩點，則|AB|＝|sint﹣cost|＝|sin（t﹣）|≤．故③錯誤；
故正確結論序號為①②；
故答案為：①②．
【點評】本題考查三角函數(shù)的性質，圖象及三角變換，屬于中檔題．
15．【答案】見試題解答內容
【分析】題目等價于函數(shù)f（x）與y＝k的圖象有2個不同的交點，作出圖象，數(shù)形結合即可
【解答】解：條件等價于方程f（x）＝k有2個不等實根，也即函數(shù)f（x）與y＝k的圖象有2個不同的交點，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：

由圖象可知，﹣1＜k＜0或1≤k≤3，
故k∈（﹣1，0）∪[1，3]，
故答案為（﹣1，0）∪[1，3]．
【點評】本題考查函數(shù)零點與方程根的關系，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．
16．【答案】見試題解答內容
【分析】根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）內有實數(shù)根，若函數(shù)g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）內有零點．首先滿足：△≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．對稱軸：x＝﹣．對m分類討論即可得出．
【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）＝x2+mx是[﹣1，1]上的平均值函數(shù)，
則方程x2+mx＝，即x2+mx﹣m＝0在（﹣1，1）內有實數(shù)根，
若函數(shù)g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）內有零點．
則△＝m2+4m≥0，解得m≥0，或m≤﹣4．
g（1）＝1＞0，g（﹣1）＝1﹣2m．g（0）＝﹣m．
對稱軸：x＝﹣．
①m≥0時，﹣≤0，g（0）＝﹣m≤0，g（1）＞0，因此此時函數(shù)g（x）在（﹣1，1）內一定有零點．∴m≥0滿足條件．
②m≤﹣4時，﹣≥2，由于g（1）＝1＞0，因此函數(shù)g（x）＝x2+mx﹣m在（﹣1，1）內不可能有零點，舍去．
綜上可得：實數(shù)m的取值范圍是[0，+∞）．
故答案為：[0，+∞）．
【點評】本題考查了新定義、二次函數(shù)的性質、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
三、解答題（共6小題，共80分）.
17．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）利用對數(shù)的運算性質求解即可得解．
（2）利用指數(shù)的運算即可求解．
（3）利用誘導公式化簡根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．
【解答】解：（1）log64+2log63＝

（2）×＝2+2+2＝2＝21＝2．
（3）cos120°+tan135°＝cos（180°﹣60°）+tan（180°﹣45°）＝﹣cos60°﹣tan45°＝﹣﹣1＝﹣．
【點評】本題主要考查了對數(shù)，指數(shù)的運算，考查了誘導公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．
18．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由題意利用同角三角函數(shù)的基本關系，求得cosα的值．
（2）由題意利用兩角和的正切公式，求得所給式子的值．
（3）由題意利用二倍角公式的余弦公式，求得cos2α的值．
【解答】解：（1）∵已知＝＝，∴tanα＝3＝．
∵α為第三象限角，∴cosα＜0，sinα＜0，且 sin2α+cos2α＝1．
求得sinα＝﹣，cosα＝﹣．
（2）由以上可得，tan（α+）＝＝＝﹣2．
（3）cos2α＝2cos2α﹣1＝2?﹣1＝﹣．
【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角和的正切公式、二倍角公式的余弦公式的應用，屬于基礎題．
19．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）代入直接求解即可；
（2）計算可知loga（x1x2）＝0，由此得到x1x2＝1；
（3）分析可知函數(shù)f（x）在[，3]的最大值為2，討論即可得解．
【解答】解：（1）依題意，，即或，
解得a＝4或；
（2）依題意，|logax1|＝|logax2|，又0＜x1＜x2，故logax1+logax2＝0，即loga（x1x2）＝0，故x1x2＝1；
（3）顯然當x＝1時，函數(shù)f（x）＝|logax|取得最小值為0，則函數(shù)f（x）在[，3]的最大值為2，
若，解得或；
若f（3）＝|loga3|＝2，解得或；
結合（2）可知，只有或滿足題意．
【點評】本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象及性質，考查邏輯推理能力，屬于基礎題．
20．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）直接利用已知條件求解即可．
（2）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和對稱軸求得f（x）的最小正周期和對稱軸即可．
（3）求出函數(shù)f（0）的值，然后求解函數(shù)在（0，π）的范圍內，求出x的值等于f（0），即可得到m的最大值．
【解答】解：（1）f（x）＝4cosxsin（x+）．
f（）＝0．
（2）依題意，得函數(shù)f（x）＝4cosxsin（x+）＝4cosx?（sinx+cosx）＝sin2x+2cos2x﹣1+1
＝2（sin2x+cos2x）+1＝2sin（2x+）+1．
它的最小正周期為＝π．
函數(shù)f（x）的圖象的對稱軸方程
令2x+＝kπ+，求得x＝kπ+，k∈Z．
（3）對于任意x∈[0，m]均有f（x）≥f（0）成立，
f（0）＝4cos0sin＝2．
2sin（2x+）+1＝2，可得x＝時，f（）＝2，
所以0＜m≤．
【點評】本題主要考查三角恒等變換，兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的最值的求法，正弦函數(shù)的周期性和對稱性，屬于中檔題．
21．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據(jù)P（1）的定義可知，該函數(shù)的周期為1，利用公式可分別求出它們的周期；
（2）根據(jù)P（2）、P（3）的性質，合理變換x的取值，結合性質，可構造出關于f（x）的方程解出f（x）；
（3）采用構造法，將P（1.01）的性質轉化為，讓函數(shù)值隨著x后面累加1.01，絕對值逐漸縮小，再利用賦值法求得符合題意的x0．
【解答】解：（1）令T＝1，則f（x+1）＝f（x），即該函數(shù)的周期為1，
∵f（x）＝sin2πx的周期為＝1，故f（x）滿足性質P（1），
②g（x）＝cosπx的周期為＝2，故g（x）不滿足性質P（1），
（2）函數(shù)f（x）既滿足性質P（2）．又滿足性質P（3），
∴f（x+2）＝2f（x），f（x+3）＝3f（x），
∴f（x+3）＝f（x+1+2）＝2f（x+1）＝3f（x）①
又f（x+2）＝f（x﹣1+3）＝3f（x﹣1）＝2f（x）②
結合f（x+1）＝f（x﹣1+2）＝2f（x﹣1）③，聯(lián)立①②③消去f（x+1）、f（x﹣1）
解得f（x）＝0．
（3）因為f（x+1.01）＝1.01f（x），所以f（x）＝f（x+1.01），
所以f（x﹣1.01）＝，取x＝0，，，……，
f（﹣n×1.01）＝，（n∈N+）
易知＜0.001，且隨著n的增大|f（﹣n×1.01）|的值遞減．
對兩邊取常用對數(shù)得：﹣nlg1.01+lg|f（0）|＜﹣3
整理后得，取大于的整數(shù)n時，對應的x0＝﹣n×1.01滿足|f（x0）|＜0.001．
所以，存在x0∈R．使得|f（x0）|＜0.001．
【點評】本題考查了抽象函數(shù)及其應用，重點考查學生的邏輯推理能力，屬較難的題目．
22．【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據(jù)題目定義，直接得到集合A+及A﹣；
（2）根據(jù)兩集合相等即可找到x1，x2，x3，x4的關系；
（3）通過假設A集合{m，m+1，m+2，…，4040}，m≤2020，m∈N，求出相應的A+及A﹣，通過A+∩A﹣＝?建立不等關系求出相應的值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，由A＝{﹣1，1}，則A+＝{﹣2，0，2}，A﹣＝{0，2}；
（2）由于集合A＝{x1，x2，x3，x4}，x1＜x2＜x3＜x4，且A﹣＝A，
所以A﹣中也只包含四個元素，即A﹣＝{0，x2﹣x1，x3﹣x1，x4﹣x1}，
剩下的x3﹣x2＝x4﹣x3＝x2﹣x1，所以x1+x4＝x2+x3；
（3）設 A＝{a1，a2，…ak} 滿足題意，其中 a1＜a2＜…＜ak，
則 2a1＜a1+a2＜a1+a3＜…＜a1+ak＜a2+ak＜a3+ak＜…＜ak﹣1+ak＜2ak，
∴|A+|?2k﹣1，a1﹣a1＜a2﹣a1＜a3﹣a1＜…＜ak﹣a1，∴|A﹣|?k，
∵A+∩A﹣＝?，由容斥原理|A+∪A﹣|＝|A+|+|A﹣|?3k﹣1，
A+∪A﹣中最小的元素為0，最大的元素為2ak，
∴|A+∪A﹣|?2ak+1，
∴3k﹣1?2ak+1?4041（k∈N*），
∴k≤1347，
實際上當A＝{674，675，676，…，2020}時滿足題意，證明如下：
設 A＝{m，m+1，m+2，…，2020}，m∈N，
則 A+＝{2m，2m+1，2m+2，…，4040}，A﹣＝{0，1，2，…，2020﹣m}，
依題意有2020﹣m＜2m，即m＞673，
故m的最小值為674，于是當m＝674時，A中元素最多，
即A＝{674，675，676，…，2020}時滿足題意，
綜上所述，集合A中元素的個數(shù)的最大值是1347．
【點評】本題考查的知識點是新定義，正確理解集合A+，A﹣的定義是解答的關鍵．

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