2021屆上海市華東師大二附中高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題  一、單選題1．已知空間向量和，設(shè)和，則 “”是“”的（    ）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合空間向量共線的坐標(biāo)表示、二階行列式判斷可得出結(jié)論.【詳解】充分性：若，則；若、至少有一個(gè)非零向量，可設(shè)，則存在實(shí)數(shù)，使得，則，，.充分性成立；必要性：取，，則，，但與不共線，必要性不成立.因此，“”是“”的充分非必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，同時(shí)也考查了空間向量共線坐標(biāo)表示的應(yīng)用以及行列式的計(jì)算，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.2．已知的反函數(shù)為，則的定義域?yàn)椋?/span>    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)原函數(shù)的定義域是反函數(shù)值域,只需求反函數(shù)的值域即可得到.【詳解】因?yàn)?/span>的反函數(shù)為,所以的定義域?yàn)?/span>的值域,因?yàn)?/span>,所以,即的值域?yàn)?/span>,所以的定義域?yàn)?/span>.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了原函數(shù)與其反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.3．運(yùn)用祖暅原理計(jì)算球的體積時(shí)，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意一個(gè)平面所截，若截面面積都相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個(gè)平行于底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】構(gòu)造一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，通過計(jì)算可得高相等時(shí)截面面積相等，根據(jù)祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐體積．【詳解】解：構(gòu)造一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐，則當(dāng)截面與頂點(diǎn)距離為時(shí)，小圓錐的底面半徑為，則，，故截面面積為，把代入橢圓可得，橄欖球形幾何體的截面面積為，由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查類比推理，涉及了立體幾何知識(shí)，祖暅原理等，屬于中檔題．4．已知數(shù)列滿足，，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（    ）A．數(shù)列單調(diào)遞增B．不存在正數(shù)，使得恒成立C．D．【答案】D【解析】利用數(shù)列單調(diào)性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷B選項(xiàng)的正誤；推導(dǎo)出，利用數(shù)列極限的運(yùn)算性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出數(shù)列前項(xiàng)，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，則，即，，則，以此類推可得知，對(duì)任意的，，所以，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，數(shù)列單調(diào)遞增，且對(duì)任意的，，可知當(dāng)，，所以，不存在正數(shù)，使得恒成立，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，，則，，所以，，所以，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，數(shù)列滿足，，則，，，，由于數(shù)列單調(diào)遞增，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，考查數(shù)列的單調(diào)性、極限的求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.  二、填空題5．已知集合，，則________【答案】【解析】解出集合B，根據(jù)并集運(yùn)算法則即可得解.【詳解】由題解得所以，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查集合的并集運(yùn)算，關(guān)鍵在于熟練掌握絕對(duì)值不等式的解法.6．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部為________【答案】1【解析】求解再得出虛部即可.【詳解】因?yàn)?/span>，故，故虛部為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算與虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.7．若，則__________．【答案】【解析】直接利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8．二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為________【答案】252【解析】寫出展開式通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為5可得其項(xiàng)數(shù)，從而得系數(shù)．【詳解】展開式通項(xiàng)公式為，由得所求系數(shù)為．故答案為：252【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．9．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________．【答案】【解析】因?yàn)?/span>是等差數(shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．若x，y滿足約束條件則的最大值是__________．【答案】【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線，在平面區(qū)域內(nèi)找到一點(diǎn)使得直線在縱軸上的截距最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在縱軸上的截距最大，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程組的解，解得：，因此的最大值為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.11．圓錐的母線長為10，高為8，它的側(cè)面展開圖的中心角為________弧度【答案】【解析】利用勾股定理求得底面半徑，然后求得底面周長就是弧長.再根據(jù)弧長公式求出中心角即可.【詳解】解: 因?yàn)閳A錐的母線長為10，高為8,所以底面半徑為:,側(cè)面展開圖的弧長為:,則側(cè)面展開圖的中心角為:.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，考查了弧長公式.正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長是扇形的弧長.12．已知方程恰有3個(gè)解，則的取值范圍為________【答案】【解析】分類討論去掉絕對(duì)值，根據(jù)方程恰有3個(gè)解，可分析出每一類的方程的根的情況，進(jìn)而通過判別式和韋達(dá)定理列不等式組求出的取值范圍.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)方程無解；當(dāng)時(shí)，①，當(dāng)時(shí)，②，要方程恰有3個(gè)解，則方程①有兩個(gè)正根，方程②有一正根一負(fù)根，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值的方程的根的問題，關(guān)鍵是要分類討論去絕對(duì)值，是一道基礎(chǔ)題.13．已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為________【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，可得，橢圓的左焦點(diǎn)為，，，則，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.因此，的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中向量數(shù)量積最值的求解，考查了橢圓有界性以及二次函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.14．有五張寫有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1張記好數(shù)字后放回，這樣抽4次，則抽到的最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4的概率是________【答案】【解析】五張不同的卡片，有放回的抽4次，共有種不同的取法，最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4的取法指所選的數(shù)字均來自1，2，3，4或者2，3，4，5的情況，再去掉重復(fù)的部分——所選的數(shù)字均來自2，3，4的情況，再利用概率公式即可求概率.【詳解】有五張寫有1、2、3、4、5的卡片，每次抽取1張記好數(shù)字后放回，這樣抽4次，共有種不同的取法，差值可能為1、2、3、4，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，則4 次抽取中5或1沒有抽到，沒有抽到1的有 沒有抽到5的有 ，5和1都沒有抽到的有種，所以抽到的最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4有種，所以抽到的最大數(shù)與最小數(shù)的差小于4的概率故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型求概率，涉及排列組合知識(shí)，屬于中檔題.15．已知，，則的最大值為________【答案】【解析】將的平方化為，令，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】（）令，則（）式，其在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，（）式取得最大值，∴的最大值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，利用整體代換思想是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.16．在△中，，，點(diǎn)為△內(nèi)（包括邊界）任意一點(diǎn)，若，則的取值范圍為________【答案】【解析】記，可得出，設(shè)直線交于點(diǎn)，設(shè)，證明出，設(shè)，可得出，然后過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，進(jìn)而得出，求出的最大值和最小值，進(jìn)而可得出的取值范圍.【詳解】記，從而，在直線上任取一點(diǎn)，設(shè)，由于，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，，則，設(shè)直線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線交直線于點(diǎn)，則，設(shè)，則，且，即，由于、不共線，則，，由于與方向相反，則且，過點(diǎn)作直線的平行線交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)取得最小值，此時(shí)，即；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)取得最大值，設(shè)直線交于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，易證，可得，，可得，所以，為線段的中點(diǎn)，，則，，則，取的中點(diǎn)，連接，則，且，從而，，則，所以，，所以，的最大值為，即.綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用平面向量的基本定理求含參代數(shù)式的取值范圍，考查了等和線性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計(jì)算能力，屬于難題. 三、解答題17．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）根據(jù)題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)，之后求得平面的法向量以及向量的坐標(biāo)，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明： 在正方形中，，因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面，又因?yàn)?/span>平面，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?/span>所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，則有，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.18．已知函數(shù)（a為實(shí)常數(shù)）.（1）討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由;（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)u的最大值【答案】（1），奇函數(shù)，，非奇非偶函數(shù)；理由見解析；（2）3.【解析】（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可求得的值；又，則不可能為偶函數(shù)，即時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（2）對(duì)任意的，不等式恒成立，化簡不等式參變分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用換元法和對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出最值，代入得出實(shí)數(shù)u的最大值．【詳解】（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，對(duì)恒成立，所以，解得，又，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，所以不可能為偶函數(shù)，所以時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).（2）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，，，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，所以對(duì)任意的，不等式恒成立，令，令，因?yàn)?/span>，在是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以實(shí)數(shù)u的最大值是3.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和恒成立問題，考查函數(shù)奇偶性的定義，考查對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．19．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗擊新冠肺炎的有效措施之一是早發(fā)現(xiàn)?早隔離.現(xiàn)某地發(fā)現(xiàn)疫情，衛(wèi)生部門欲將一塊如圖所示的四邊形區(qū)域沿著邊界用固定高度的板材圍成一個(gè)封閉的隔離區(qū).經(jīng)測量，邊界與的長都是200米，，.（1）若，求的長(結(jié)果精確到米)；（2）圍成該區(qū)域至多需要多少米長度的板材？(不計(jì)損耗，結(jié)果精確到米).【答案】（1）米；（2）631米.【解析】（1）直接根據(jù)正弦定理即可求出；（2）設(shè)，利用正弦定理、三角函數(shù)的變換和三角函數(shù)的性質(zhì)可求出取得最大值，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】（1）聯(lián)結(jié)，則在中由，得：所以的長約為163米（2）設(shè)，則在中，由，得：所以所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)圍成該施工區(qū)域所需的板材長度最長，為千米，約為631米【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理，三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于中檔題．20．已知拋物線（）的焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.（1）求的方程；（2）若點(diǎn)是拋物線上、之間一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求△面積的最小值；（3）若的垂直平分線與相交于、兩點(diǎn)，且、、、四點(diǎn)在同一圓上，求的方程.【答案】（1）；（2）2；（3）或.【解析】（1）設(shè)出直線的方程，代入，利用列方程求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，利用韋達(dá)定理求出，再利用直線和拋物線相切時(shí)距離最大，求出△的高，求出△的面積，進(jìn)而可得最小值；（3）可的方程為，與拋物線聯(lián)立，求出，即線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)的方程，與拋物線聯(lián)立，求出，即線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用、、、四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于，列方程計(jì)算即可.【詳解】解：（1）由已知，設(shè)，設(shè)直線的方程為，代入，得，則，于是，得，∴的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，于是， 由題意，拋物線過點(diǎn)的切線與直線平行，可設(shè)該切線的方程為，代入，得，由，可得，從而可得點(diǎn)到直線的距離為，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即面積的最小值為2；（3）由題意知與坐標(biāo)軸不垂直，∴可設(shè)的方程為，代入，得，設(shè)、，則，．∴的中點(diǎn)為，，又的斜率為，∴的方程為，將上式代入，并整理得，設(shè)、，則，，∴的中點(diǎn)為，，由于垂直平分，∴、、、四點(diǎn)在同一圓上等價(jià)于，從而，即，化簡得：，解得：或，所求直線的方程為或．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交，相切，熟練應(yīng)用韋達(dá)定理來求弦長和弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，考查計(jì)算能力與分析能力，是一道中檔題.21．在無窮數(shù)列中，，、是給定的非零整數(shù).（1）若，，求；（2）證明：數(shù)列中必存在的項(xiàng)；（3）證明：數(shù)列中一定可以選取無窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)列.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)，，進(jìn)行遞推得到數(shù)列的周期性求解. （2）假設(shè)中沒有“0”項(xiàng)，由，當(dāng)都有，然后分，討論求解. （3）設(shè)第一次出現(xiàn)“0”項(xiàng)為，記，由自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，，求解.【詳解】（1）∵，，，，，，，，，，……∴自第20項(xiàng)起，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值1，1，0，又，∴．（2）假設(shè)中沒有“0”項(xiàng)，由于，∴當(dāng)都有，若，則，若，則，即要么比至少小1，要么比至少小1，令，，則，由于是確定的正整數(shù)，這樣下去，必然存在某項(xiàng)，這與矛盾，∴中必有“0”項(xiàng)．（3）若第一次出現(xiàn)“0”項(xiàng)為，記，則自第項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，，，即，，，，∴數(shù)列中一定可以選取無窮多項(xiàng)組成兩個(gè)不同的常數(shù)列．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的周期性和數(shù)列的存在性，還考查了理解辨析和邏輯推理的能力，屬于中檔題. 

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