湖南省長郡、雅禮、一中2021屆高三月考試卷一（全國卷）數(shù)學（理科）一、選擇題1．已知集合，，則（    ）A．    B．C．   D．2．若復數(shù)滿足，則下列說法正確的是（    ）A．的虛部為  B．為實數(shù)  C．  D．3．\展開式中項的系數(shù)為（    ）A．   B．   C．15   D．54．設，若單位向量，滿足：且向量與的夾角為，則（    ）A．   B．   C．   D．15．已知數(shù)列滿足，則（    ）A．  B．  C．  D．6．隨機變量的分布列如表：124若，則（    ）A．   B．   C．   D．7．設，，，則，，的大小關(guān)系是（    ）A．  B．  C．  D．8．函數(shù)的圖象的大致形狀是（    ）A．  B．C．  D．9．如圖，已知三棱錐，點是的中點，且，，過點作一個截面，使截面平行于和，則截面的周長為（    ）A．12   B．10   C．8   D．610．技術(shù)的數(shù)學原理之一便是著名的香農(nóng)公式：．它表示：在受噪聲干撓的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比．按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至2000，則大約增加了（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．  B．  C．  D．11．已知函數(shù)在區(qū)間恰有3個零點，則的取值范圍是（    ）A．  B．  C．  D．12．已知雙曲線（，），過原點任作一條直線，分別交雙曲線兩支于點，（點在第一象限），點為的左焦點，且滿足，，則的離心率為（    ）A．   B．   C．   D．2二、填空題13．甲、乙、丙、丁4名學生參加體育鍛煉，每人在，，三個鍛煉項目中恰好選擇一項進行鍛煉，則甲不選項、乙不選B項的概率為______．14．已知銳角、滿足，則的最小值為______．15．如圖，已知圓錐底面圓的直徑與側(cè)棱、構(gòu)成邊長為的正三角形，點是底面圓上異于，的動點，則、、、四點所在球面的半徑是______．16．已知點，，動點，分別在直線和上，且與兩直線垂直，則的最小值為______．三、解答題（一）必考題17．圓的內(nèi)接四邊形中，，，．（1）求的長度；（2）求圓的半徑．18．三棱柱中，平面，且，，，為中點．（1）求四面體的體積；（2）求平面與所成銳二面角的余弦．19．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．（1）求橢圓的方程．（2）設為橢圓上非頂點的任意一點，若、分別為橢圓的左頂點和上頂點，直線交軸于，直線交軸于，，問：的值是不是定值？若為定值，求之，若不為定值，說明理由．20．如圖，一只螞蟻從單位正方體的頂點出發(fā)，每一步（均為等可能性的）經(jīng)過一條邊到達另一頂點，設該螞蟻經(jīng)過步回到點的概率為．（1）分別寫出，的值；（2）設一只螞蟻從頂點出發(fā)經(jīng)過步到達點的概率為，求的值；（3）求．21．（1）求的最大值；（2）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（二）選考題22．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標系（以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸）中，曲線的方程為，曲線，交于，兩點，其中定點．（1）若，求的值；（2）若，，成等比數(shù)列，求的值．23．選修4-5：不等式選講已知函數(shù)，．（1）若不等式無解，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，函數(shù)的最小值為2，求實數(shù)的值．2021屆高三月考試卷一（全國卷）數(shù)學（理科）參考答案1．【答案】B【解析】【解答】解：∵，．故選B．2．【答案】C【解析】【解答】解：因為，所以．故選C．3．【答案】B【解析】【解答】解：展開式中項的系數(shù)：；展開式中項的系數(shù)：；故展開式中項的系數(shù)為．故選B．4．【答案】A【解析】【解答】解：根據(jù)題意，設，，∴，，∴，解得．故選A．5．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，可知，則，∴．故選D6．【答案】A【解析】【解答】解：，解得；．故選A．7．【答案】C【解析】【解答】解：∵，，，∴．故選C．8．【答案】A【解析】【解答】解：因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項D；，當時，，，所以，單調(diào)遞增；當時，，，所以，也是單調(diào)遞增．綜上可知，在上單調(diào)遞增，排除選項B和C．故選A．9．【答案】D【解析】【解答】如圖所示，過點作，交于點，過點作交于點，過點作，交于點；由作圖可知：，所以四邊形是平行四邊形；可得，；所以截面四邊形的周長為．故選D．10．【答案】A【解析】【解答】解：將信噪比從1000提升至2000時，，故大約增加了．故選A．11．【答案】D【解析】【解答】解：問題等價于函數(shù)在區(qū)間恰有3個零點，故，于是可得．故選D．12．【答案】A【解析】【解答】解：由題意可知：雙曲線的右焦點，由關(guān)于原點的對稱點為，則|，∴四邊形為平行四邊形，則，，由，根據(jù)雙曲線的定義，∴，，．∴，在中，，，，∴，整理得：，則雙曲線的離心率．故選A．13．【答案】【解析】【解答】解：法一：每位學生選擇三個鍛煉項目有種，則4人總的選擇方式共有種，其中甲、乙的選擇方式有種，其余兩人仍有種，故甲不選、乙不選項目的概率為．法二：只考慮甲、乙的選擇，不加限制均為3種，受到限制后均為2種，而甲乙的選擇相互獨立，故甲不選、乙不選項目的概率為．故答案為．14．【答案】18【解析】【解答】解：∵，∴，設，，則，∵，均為銳角，∴，，∴，當且僅當，即，即，時，等號成立．∴的最小值為18．故答案為18．15．【答案】2【解析】【解答】解：如圖，設底面圓的圓心為，、、、四點所在球面的球心為，連接，則平面，且在線段上．易知，．設球的半徑為，在中，由勾股定理得，解得．故答案為2．16．【答案】【解析】【解答】解：設，由于與兩直線垂直且，則，故．此式可理解為點到及的距離之和，其最小值即為．故所求最小值為．故答案為．17．【答案】（1）設圓半徑為，由正弦定理，，，∴，又．故．而．∴．設，則．∴．∴．即．（2），∴，∴．∴．【解析】18．【答案】解：（1）．（2）設為中點，為中點，以射線，，為非負，，軸．建立空間直角坐標系，則，，，，．∴，，，．設平面，則取，設平面，則取，．故平面與平面所成銳二面角的余弦為．【解析】19．【答案】解：（1），設橢圓方程為，將點坐標代入可得，故橢圓方程為即．（2）設，，由、、共線可知，由、、共線可知．，．∴，由于，∴．【解析】20．【答案】解：（1），．（2）由于從頂點出發(fā)經(jīng)過步到達點的概率為，則由出發(fā)經(jīng)過步到達點，的概率也是，為奇數(shù)時，所以，為偶數(shù)時，由出發(fā)經(jīng)過步不可能到，，，這四個點，．（3）同理，由，，分別經(jīng)2步到點的概率都是，由出發(fā)經(jīng)過（為偶數(shù)）步再回到的路徑分為以下四類：①由經(jīng)歷步到，再經(jīng)2步回到，概率為；②由經(jīng)歷步到，再經(jīng)2步回到．概率為；③由經(jīng)歷步到，再經(jīng)2步回到．概率為；④由經(jīng)歷步到，再經(jīng)2步回到．概率為；所以，結(jié)合．消元得：，即，所以，故．綜上所述，．【解析】21．【答案】解：（1），則，令得．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴．（2）設，由得，則．①若，則時，，，，，此時對恒成立，故在單調(diào)遞減，，故符合要求．②若，由于故，∴，而對恒成立，∴．∴符合要求，綜上，的取值范圍為．【解析】22．【答案】（1）∵曲線的方程為，∴，即．∴曲線的直角坐標方程為，又已知，∴曲線的直角坐標方程為．將曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），與聯(lián)立，得，由于，∴設方程兩根為，，則，，∴．（2）將曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)），與聯(lián)立，得，由于，∴設方程兩根為，，則，，且，，又，，成等比數(shù)列，∴，得，則，即．∴，得，解得，又，∴，∴當，，成等比數(shù)列時，得值為．【解析】23．【答案】解：（1）∵，∴由，得，∵不等式無解．∴，又∵，∴，∴或，∴實數(shù)的取值范圍是．（2）∵，∴，∴，由圖可知當時，，∴符合題意，∴．

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