?2015-2016學(xué)年湖北省黃岡市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）
　
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）
1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的模等于（　?。?br /> A． B．2 C． D．
2．如表是某廠1﹣4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：由散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是=﹣0.7x+，則=（　?。?br /> 　月份x
　1
　2
　3
　4
　用水量y
　4.5
4　
3　
2.5　
A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2
3．①由“若a，b，c∈R，則（ab）c=a（bc）”類比“若、、為三個(gè)向量，則（?）=（?）”；
②在數(shù)列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，猜想an=2n﹣2；
③在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”；上述三個(gè)推理中；
正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．函數(shù)y=x3﹣x2+5在x=1處的切線傾斜角為（　?。?br /> A． B． C． D．
5．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，則（?RA）∩B=（　　）
A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}
6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，則f=（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
7．下列所給4個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)椋ā　。?br /> （1）小明離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；
（2）小明騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；
（3）小明出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來(lái)為了趕時(shí)間開始加速．

A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）
8．已知函數(shù)y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣1，0）是單調(diào)遞增的，A，B，C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則下列不等式中一定成立的是（　?。?br /> A．f（sinA）＞f（cosA） B．f（sinA）＞f（cosB） C．f（sinC）＜f（cosB） D．f（sinC）＞f（cosB）
9．如圖，函數(shù)、y=x、y=1的圖象和直線x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個(gè)部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)的部分是④⑧，則f（x）可能是（　　）

A．y=x2 B． C． D．y=x﹣2
10．函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的圖象是（　?。?br /> A． B． C． D．
11．若函數(shù)y=x2﹣3x﹣4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇﹣，﹣4]，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，4] B． C． D．
12．已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)y=f（x）+x﹣4 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
　
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），那么函數(shù)f（x﹣3）+1的圖象一定過(guò)點(diǎn)　?。?br /> 14．已知條件p：x2﹣3x﹣4≤0，條件q：|x﹣3|≤m，若￢q是￢p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　?。?br /> 15．f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則常數(shù)c的值為 　?。?br /> 16．設(shè)點(diǎn)P，Q分別是曲線y=x+lnx和直線y=2x+2的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為　?。?br /> 　
三、解答題（共5小題，滿分60分）
17．已知z、ω為復(fù)數(shù)，（1+3i）z為純虛數(shù)，ω=，且|ω|=5，求ω．
18．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣x2+2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，a﹣2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．已知函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R．
（Ⅰ）若a+b≥0，求證：f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）；
（Ⅱ）判斷（Ⅰ）中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．
20．某中學(xué)對(duì)“學(xué)生性別和是否喜歡看NBA比賽”作了一次調(diào)查，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，男生喜歡看NBA的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡看NBA的人數(shù)占女生人數(shù)的．
（1）若被調(diào)查的男生人數(shù)為n，根據(jù)題意建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；
（2）若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡看NBA和性別有關(guān)，求男生至少有多少人？
附：X2=，
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．已知函數(shù)，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
　
選考題（請(qǐng)?jiān)?2,23,24三個(gè)選考題中任選一個(gè)作答，多答則以第一個(gè)計(jì)分）[選修4-1：集合選講證明]
22．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E．
（Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大?。?br />
　
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
23．已知曲線C的參數(shù)方程是（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
（1）求曲線C與直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=，求實(shí)數(shù)m的值．
　
[選修4-5：不等式選講]
24．設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．
　

2015-2016學(xué)年湖北省黃岡市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的）
1．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的模等于（　?。?br /> A． B．2 C． D．
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．
【分析】利用虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，化復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再利用復(fù)數(shù)的模的定義求出它的模．
【解答】解：∵復(fù)數(shù)==1﹣i，
∴||=|1﹣i|==，
故選：A．
　
2．如表是某廠1﹣4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)：由散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是=﹣0.7x+，則=（　?。?br /> 　月份x
　1
　2
　3
　4
　用水量y
　4.5
4　
3　
2.5　
A．10.5 B．5.15 C．5.25 D．5.2
【考點(diǎn)】線性回歸方程．
【分析】計(jì)算樣本中心，代入回歸方程得出．
【解答】解： =， =3.5．
∴3.5=﹣0.7×2.5+，解得=5.25．
故選C．
　
3．①由“若a，b，c∈R，則（ab）c=a（bc）”類比“若、、為三個(gè)向量，則（?）=（?）”；
②在數(shù)列{an}中，a1=0，an+1=2an+2，猜想an=2n﹣2；
③在平面內(nèi)“三角形的兩邊之和大于第三邊”類比在空間中“四面體的任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積”；上述三個(gè)推理中；
正確的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．
【分析】①向量的數(shù)量積概念和相等向量的定義，即可判斷；②通過(guò)構(gòu)造數(shù)列，求通項(xiàng)，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得到；③通過(guò)作過(guò)頂點(diǎn)作在底面上的射影，由每個(gè)側(cè)面的面積大于投影面積，即可判斷．
【解答】解：①三個(gè)實(shí)數(shù)的乘積滿足乘法的結(jié)合律，而三個(gè)向量的乘積是向量，而向量相等要滿足大小相等，方向相同，向量（?）、（?）不一定滿足，故①錯(cuò)；
②由a1=0，an+1=2an+2，可得，an+1+2=2（an+2），則數(shù)列{an+2}為等比數(shù)列，易得an=2n﹣2，故②正確；
③在四面體ABCD中，設(shè)點(diǎn)A在底面上的射影為O，則三個(gè)側(cè)面的面積都大于在底面上的投影的面積，故三個(gè)側(cè)面的面積之和一定大于底面的面積，故③正確．
故選C．
　
4．函數(shù)y=x3﹣x2+5在x=1處的切線傾斜角為（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．
【分析】求導(dǎo)數(shù)，x=1時(shí)，y′=﹣1，即可求出函數(shù)y=x3﹣x2+5在x=1處的切線傾斜角．
【解答】解：∵y=x3﹣x2+5，
∴y′=x2﹣2x，
x=1時(shí)，y′=﹣1，
∴函數(shù)y=x3﹣x2+5在x=1處的切線傾斜角為，
故選：D．
　
5．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，則（?RA）∩B=（　　）
A．{x|x＞2} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜0}
【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．
【分析】由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，求出?RA={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（?RA）∩B．
【解答】解：∵全集U=R，
集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，
∴?RA={x|x＜0，或x＞2}，
∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，
∴（?RA）∩B={x|x＞2}．
故選A．
　
6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（﹣x）=f（x），f（﹣2）=﹣3，則f=（　?。?br /> A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2
【考點(diǎn)】函數(shù)的值．
【分析】由已知得f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，f（2）=3，f（3+x）=f（x），由此能求出f的值．
【解答】解：由函數(shù)f（x）是定義在R上的函數(shù)，得f（﹣x）=﹣f（x），f（0）=0，
由f（﹣2）=﹣3，得f（2）=﹣f（﹣2）=3，
由，得f（3+x）=f[﹣（﹣）]=f（﹣）=﹣f（）=﹣f[]=﹣f（﹣x）=f（x），
即f（3+x）=f（x），
∴f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，
∴f=f+f=f（0）+f（2）=0+3=3．
故選：C．
　
7．下列所給4個(gè)圖象中，與所給3件事吻合最好的順序?yàn)椋ā　。?br /> （1）小明離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；
（2）小明騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時(shí)間；
（3）小明出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來(lái)為了趕時(shí)間開始加速．

A．（4）（1）（2） B．（4）（2）（3） C．（4）（1）（3） D．（1）（2）（4）
【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．
【分析】根據(jù)小明所用時(shí)間和離開家距離的關(guān)系進(jìn)行判斷．根據(jù)回家后，離家的距離又變?yōu)?，可判斷（1）的圖象開始后不久又回歸為0；
由途中遇到一次交通堵塞，可判斷中間有一段函數(shù)值沒有發(fā)生變化；
由為了趕時(shí)間開始加速，可判斷函數(shù)的圖象上升速度越來(lái)越快．
【解答】解：（1）離家不久發(fā)現(xiàn)自己作業(yè)本忘記在家里，回到家里，這時(shí)離家的距離為0，故應(yīng)先選圖象（4）；
（2）騎著車一路以常速行駛，此時(shí)為遞增的直線，在途中遇到一次交通堵塞，則這段時(shí)間與家的距離必為一定值，故應(yīng)選圖象（1）；
（3）最后加速向?qū)W校，其距離隨時(shí)間的變化關(guān)系是越來(lái)越快，故應(yīng)選圖象（2）．
故答案為：（4）（1）（2），
故選：A．
　
8．已知函數(shù)y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣1，0）是單調(diào)遞增的，A，B，C是銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角，則下列不等式中一定成立的是（　　）
A．f（sinA）＞f（cosA） B．f（sinA）＞f（cosB） C．f（sinC）＜f（cosB） D．f（sinC）＞f（cosB）
【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．
【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、銳角三角形的性質(zhì)、正弦函數(shù)的單調(diào)性，判斷各個(gè)選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．
【解答】解：由于知函數(shù)y=f（x）是（﹣1，1）上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（﹣1，0）是單調(diào)遞增的，故它在（0，1）上單調(diào)遞減．
對(duì)于A，由于不能確定sinA、sinB的大小，故不能確定f（sinA）與f（sinB）的大小，故A不正確；
對(duì)于B，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個(gè)內(nèi)角，∴，得，注意到不等式的兩邊都是銳角，
兩邊取正弦，得，即sinA＞cosB，又f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，由sinA＞cosB，可得f（sinA）＜f（cosB），故B不正確；
對(duì)于C，∵A，B，C是銳角三角形△ABC的三個(gè)內(nèi)角，，得，注意到不等式的兩邊都是銳角，兩邊取余弦，
得，即cosC＜sinB；再由f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，由cosC＜sinB，可得f（cosC）＜f（sinB），得C正確；
對(duì)于D，由對(duì)B的證明可得f（sinC）＜f（cosB），故D不正確；
故選：C．
　
9．如圖，函數(shù)、y=x、y=1的圖象和直線x=1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個(gè)部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過(guò)的部分是④⑧，則f（x）可能是（　?。?br />
A．y=x2 B． C． D．y=x﹣2
【考點(diǎn)】?jī)绾瘮?shù)的概念、解析式、定義域、值域．
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)行分析判定即可．
【解答】解：∵函數(shù)y=xα的圖象過(guò)④⑧部分，
∴函數(shù)y=xα在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，
∴α＜0；
又x=2時(shí)，y=＞，
∴函數(shù)y=xα的圖象經(jīng)過(guò)⑧部分，
∴取α=﹣，
即函數(shù)y==．
故選：B．
　
10．函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的圖象是（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．
【分析】由x﹣＞0，可求得函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的定義域，可排除A，再?gòu)钠媾夹陨吓懦鼶，再利用函數(shù)在（1，+∞）的遞增性質(zhì)可排除C，從而可得答案．
【解答】解：∵f（x）=ln（x﹣），
∴x﹣＞0，即=＞0，
∴x（x+1）（x﹣1）＞0，
解得﹣1＜x＜0或x＞1，
∴函數(shù)f（x）=ln（x﹣）的定義域?yàn)閧x|﹣1＜x＜0或x＞1}，故可排除A，D；
又f′（x）=＞0，
∴f（x）在（﹣1，0），（1+∞）上單調(diào)遞增，可排除C，
故選B．
　
11．若函數(shù)y=x2﹣3x﹣4的定義域?yàn)閇0，m]，值域?yàn)閇﹣，﹣4]，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，4] B． C． D．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．
【分析】根據(jù)函數(shù)的函數(shù)值f（）=﹣，f（0）=﹣4，結(jié)合函數(shù)的圖象即可求解
【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣，
∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4，
故由二次函數(shù)圖象可知：
m的值最小為；
最大為3．
m的取值范圍是：[，3]，
故選：C

　
12．已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)y=f（x）+x﹣4 的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．
【分析】由題意，判斷此函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=﹣x+4，與y=f（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象得出兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到原函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
【解答】解：函數(shù)y=f（x）+x﹣4的零點(diǎn)
即是函數(shù)y=﹣x+4與y=f（x）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
由圖知，函數(shù)y=﹣x+4與y=f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
故函數(shù)y=f（x）+x﹣4的零點(diǎn)有2個(gè)．
故選：B．

　
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），那么函數(shù)f（x﹣3）+1的圖象一定過(guò)點(diǎn)?。?，1）　．
【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化．
【分析】由題意可得f（2）=0，令x=5，可得f（x﹣3）+1=1，即可得到定點(diǎn)（5，1）．
【解答】解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，0），∴f（2）=0，
當(dāng)x=5時(shí)，f（5﹣3）+1=f（2）+1=1即函數(shù)f（x﹣3）+1的圖象一定過(guò)點(diǎn)（5，1）．
故答案為：（5，1）．
　
14．已知條件p：x2﹣3x﹣4≤0，條件q：|x﹣3|≤m，若￢q是￢p的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是　[4，+∞）?。?br /> 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．
【分析】分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用逆否命題的等價(jià)性，將條件轉(zhuǎn)化為p是q的充分不必要條件，然后確定實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：∵p：x2﹣3x﹣4≤0得﹣1≤x≤4，即p：﹣1≤x≤4．設(shè)A={x|﹣1≤x≤4}．
∵￢q是￢p的充分必要條件，∴p是q的充分不必要條件，
則q：|x﹣3|≤m有解，即m＞0，則﹣m≤x﹣3≤m，得3﹣m≤x≤3+m，設(shè)B={x|3﹣m≤x≤3+m}．
∵p是q的充分不必要條件．
2p?q成立，但q?p不成立，即A?B，
則，即．得m≥4
綜上m的取值范圍是[4，+∞）
　
15．f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則常數(shù)c的值為 　6　．
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．
【分析】先求出f′（x），根據(jù)f（x）在x=2處有極大值則有f′（2）=0得到c的值為2或6，先讓c=2然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到x=2取到極小值矛盾，所以舍去，所以得到c的值即可．
【解答】解：f（x）=x3﹣2cx2+c2x，f′（x）=3x2﹣4cx+c2，
f′（2）=0?c=2或c=6．若c=2，f′（x）=3x2﹣8x+4，
令f′（x）＞0?x＜或x＞2，f′（x）＜0?＜x＜2，
故函數(shù)在（﹣∝，）及（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞減，
∴x=2是極小值點(diǎn)．故c=2不合題意，c=6．
故答案為6
　
16．設(shè)點(diǎn)P，Q分別是曲線y=x+lnx和直線y=2x+2的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為　?。?br /> 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．
【分析】設(shè)直線y=2x+t與曲線y=x+lnx相切于點(diǎn)Q（a，b）．利用函數(shù)y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解得切點(diǎn)為Q（1，1）．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得Q到直線y=2x+2的距離d，即為所求．
【解答】解：設(shè)直線y=2x+t與曲線y=x+lnx相切于點(diǎn)Q（a，b）．
y=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+，
切線的斜率為1+=2，
解得a=1，b=1+ln1=1，
可得切點(diǎn)為Q（1，1）．
Q到直線y=2x+2的距離d==．
即有P、Q兩點(diǎn)間距離的最小值為．
故答案為：．
　
三、解答題（共5小題，滿分60分）
17．已知z、ω為復(fù)數(shù)，（1+3i）z為純虛數(shù)，ω=，且|ω|=5，求ω．
【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．
【分析】設(shè)z=m+ni（m，n∈R），代入（1+3i）z，由純虛數(shù)概念可得m﹣3n=0①，代入ω=，由|ω|=5可得m2+n2=250②，聯(lián)立可求得m，n，再代入可得ω．
【解答】解：設(shè)z=m+ni（m，n∈R），
因?yàn)椋?+3i）z=（1+3i）（m+ni）=m﹣3n+（3m+n）i為純虛數(shù)，
所以m﹣3n=0①，
ω=，
由|ω|=5，得，即m2+n2=250②
由①②解得或，
代入ω=可得，ω=±（7﹣i）．
　
18．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=﹣x2+2x
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，a﹣2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的對(duì)稱性，即可求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合即可求出a的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)x＜0，則﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x．
又f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．
于是x＜0時(shí)f（x）=x2+2x．
所以f（x）=．
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）=的圖象如圖：
則由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣1，1]
要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上單調(diào)遞增，（畫出圖象得2分）
結(jié)合f（x）的圖象知，
所以1＜a≤3，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，3]．

　
19．已知函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，a，b∈R．
（Ⅰ）若a+b≥0，求證：f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）；
（Ⅱ）判斷（Ⅰ）中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．
【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；命題的真假判斷與應(yīng)用．
【分析】（I）由已知中函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，根據(jù)a+b≥0，易得a≥﹣b，且b≥﹣a，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，即可得到答案．
（II）（I）中命題的逆命題為若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），則a+b≥0，根據(jù)正“難”則“反”的原則，我們可以用反證法判定結(jié)論的真假．
【解答】證明：（Ⅰ）因?yàn)閍+b≥0，所以a≥﹣b．
由于函數(shù)f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函數(shù)，
所以f（a）≥f（﹣b）．
同理，f（b）≥f（﹣a）．
兩式相加，得f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）．…
（Ⅱ）逆命題：
若f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b），則a+b≥0．
用反證法證明
假設(shè)a+b＜0，那么
所以f（a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b）．
這與f（a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）矛盾．故只有a+b≥0，逆命題得證．
…
　
20．某中學(xué)對(duì)“學(xué)生性別和是否喜歡看NBA比賽”作了一次調(diào)查，其中男生人數(shù)是女生人數(shù)的2倍，男生喜歡看NBA的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡看NBA的人數(shù)占女生人數(shù)的．
（1）若被調(diào)查的男生人數(shù)為n，根據(jù)題意建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；
（2）若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡看NBA和性別有關(guān)，求男生至少有多少人？
附：X2=，
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)．
【分析】（1）由題意填入列聯(lián)表即可，（2）利用X2=求值，從而確定n的最小值．
【解答】答案 （1）由已知，得

喜歡NBA
不喜歡NBA
合計(jì)
男生


n
女生



合計(jì)
n


（2）解：K2===，
若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡看NBA和性別有關(guān)．
則K2≥3.841，即n≥10.24；
又∵為整數(shù)，
∴n的最小值為12．
即：男生至少12人．
　
21．已知函數(shù)，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．
【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，確定切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的斜率，即可得到曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，． …
∴f'（0）=2，
∵f（0）=0，
∴曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程是2x﹣y=0．…
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)可得，． …
當(dāng)a=0時(shí)，，所以f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減． …
當(dāng)a≠0，．
①當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x1=﹣a，，f（x）與f'（x）的情況如下：
x
（﹣∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
f（x1）
↗
f（x2）
↘
故f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（﹣∞，﹣a），；單調(diào)增區(qū)間是．…
②當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）與f'（x）的情況如下：
x
（﹣∞，x2）
x2
（x2，x1）
x1
（x1，+∞）
f'（x）
+
0
﹣
0
+
f（x）
↗
f（x2）
↘
f（x1）
↗
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是，（﹣a，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是，（﹣a，+∞）．…
綜上，a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，﹣a），單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增．a(chǎn)=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減；a＜0時(shí)，f（x）在，（﹣a，+∞）單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減．
　
選考題（請(qǐng)?jiān)?2,23,24三個(gè)選考題中任選一個(gè)作答，多答則以第一個(gè)計(jì)分）[選修4-1：集合選講證明]
22．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的切線，BC交⊙O于點(diǎn)E．
（Ⅰ）若D為AC的中點(diǎn)，證明：DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大?。?br />
【考點(diǎn)】圓的切線的判定定理的證明．
【分析】（Ⅰ）連接AE和OE，由三角形和圓的知識(shí)易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）設(shè)CE=1，AE=x，由射影定理可得關(guān)于x的方程x2=，解方程可得x值，可得所求角度．
【解答】解：（Ⅰ）連接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，
在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
連接OE，則∠OBE=∠OEB，
又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，
∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）設(shè)CE=1，AE=x，
由已知得AB=2，BE=，
由射影定理可得AE2=CE?BE，
∴x2=，即x4+x2﹣12=0，
解方程可得x=
∴∠ACB=60°

　
[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
23．已知曲線C的參數(shù)方程是（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
（1）求曲線C與直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=，求實(shí)數(shù)m的值．
【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．
【分析】（1）由sin2α+cos2α=1，能求出曲線C的普通方程，消去直線l中的參數(shù)，能求出直線l的普通方程．．
（2）求出圓心C（0，m）到直線l：2x﹣y+2=0的距離d，再由勾股定理結(jié)合弦長(zhǎng)能求出m．
【解答】解：（1）∵曲線C的參數(shù)方程是（α為參數(shù)），
∴曲線C的普通方程：x2+（y﹣m）2=1，
∵直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），
∴消去參數(shù)，得直線l的普通方程為：2x﹣y+2=0．
（2）∵曲線C：x2+（y﹣m）2=1是以C（0，m）為圓心，以1為半徑的圓，
圓心C（0，m）到直線l：2x﹣y+2=0的距離：d==|m﹣2|，
又直線l與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|=，
∴2=
解得m=1或m=3．
　
[選修4-5：不等式選講]
24．設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．
【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．
【分析】（1）若a=﹣1，由絕對(duì)值的意義求得不等式f（x）≥3的解集．
（2）由條件利用絕對(duì)值的意義求得函數(shù)f（x）的最小值為|a﹣1|，可得|a﹣1|=2，由此求得a的值．
【解答】解：（1）若a=﹣1，函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、﹣1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而﹣1.2和 1.5 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、﹣1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于3，
故不等式f（x）≥3的解集為{x|≤﹣1.5，或 x≥1.5}．
（2）由于?x∈R，f（x）≥2，故函數(shù)f（x）的最小值為2．
函數(shù)f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1、a對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值為|a﹣1|，
即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．
　

2016年11月1日

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