?2015-2016學(xué)年湖北省黃岡市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．設(shè)集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=（　?。?br /> A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
　
2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（　?。?br /> A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=
　
3．下列各組向量中可以作為基底的是（　?。?br /> A． =（0，0），=（1，﹣2） B． =（1，2），=（3，4）
C． =（3，5），=（6，10） D． =（2，﹣3），=（﹣2，3）
　
4．要得到函數(shù)y=sin（4x﹣）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象（　?。?br /> A．向左平移單位 B．向右平移單位
C．向左平移單位 D．向右平移單位
　
5．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則=（　?。?br /> A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
　
6．如果一個(gè)點(diǎn)既在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上又在指數(shù)函數(shù)的圖象上，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“幸運(yùn)點(diǎn)”，在下列的五個(gè)點(diǎn)M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“幸運(yùn)點(diǎn)”有多少個(gè)（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
　
7．已知函數(shù)f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，記a=m，若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，記a=n，則m+2n的值為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．﹣1
　
8．若sinθ=，cosθ=，且θ的終邊不落在坐標(biāo)軸上，則tanθ的值為（　?。?br /> A． B．或0
C．0 D．以上答案都不對(duì)
　
9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω均為正的常數(shù)，φ為銳角）的最小正周期為π，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，記a=f（0），b=f（），c=f（），則有（　?。?br /> A．a(chǎn)=b＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
　
10．如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（　　）

A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
　
11．設(shè)定義在區(qū)間（﹣b，b）上的函數(shù)f（x）=lg是奇函數(shù)（a，b∈R，且a≠﹣2），則ab的取值范圍是（　?。?br /> A．（1，] B．（0，] C．（1，） D．（0，）
　
12．對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，則下列函數(shù)中余弦周期函數(shù)有多少個(gè)？（　?。?br /> ①h（x）=2016x
②h（x）=|x|
③h（x）=x+sin．
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
　
　
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣1，），則tanα=　　　　　　．
　
14．若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)g（x）=的定義域?yàn)椤　　　　　。?br /> 　
15．已知函數(shù)f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是[﹣1，0]，則a+b=　　　　　?。?br /> 　
16．已知a=log827，則2a+2﹣a=　　　　　?。?br /> 　
　
三、解答題（共6小題，滿分70分）
17．已知方程x2+px+q=0的兩個(gè)不相等實(shí)根為α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=?，求p，q的值？
　
18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若與的夾角為，求sinx+cosx的值．
　
19．李莊村電費(fèi)收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：
方案一：每戶每月收管理費(fèi)2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時(shí)，超過部分按每度0.6元．
方案二：不收管理費(fèi)，每度0.58元．
（1）求方案一收費(fèi)L（x）元與用電量x（度）間的函數(shù)關(guān)系；
（2）李剛家九月份按方案一交費(fèi)35元，問李剛家該月用電多少度？
（3）李剛家月用電量在什么范圍時(shí)，選擇方案一比選擇方案二更好？
　
20．如圖，半徑為4m的水輪繞著圓心O逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，水輪圓心O距離水面2m，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從離開水面的時(shí)刻（P0）開始計(jì)算時(shí)間．
（1）將點(diǎn)P距離水面的高度y（m）與時(shí)間t（s）滿足的函數(shù)關(guān)系；
（2）求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間．

　
21．若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）是“可拆函數(shù)”．
（1）函數(shù)f（x）=是否是“可拆函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b+2x是“可拆函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍：
（3）證明：f（x）=cosx是“可拆函數(shù)”．
　
22．已知集合M{h（x）|h（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x都有h（﹣x）=﹣h（x）}設(shè)函數(shù)f（x）=（a，b為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，判斷是否有f（x）∈M，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）∈M，且對(duì)任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范圍．
　
　

2015-2016學(xué)年湖北省黃岡市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．設(shè)集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=（　?。?br /> A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1） D．（﹣∞，1]
【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．
【專題】集合．
【分析】求解一元二次方程化簡(jiǎn)M，求解對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)N，然后利用并集運(yùn)算得答案．
【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，
N={x|lgx≤0}=（0，1]，
得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題．
　
2．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（　　）
A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=
【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．
【專題】函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：y=cosx是偶函數(shù)，不滿足條件．
y=sinx既是奇函數(shù)又存在零點(diǎn)，滿足條件．
y=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），為非奇非偶函數(shù)，不滿足條件．
y=是奇函數(shù)，但沒有零點(diǎn)，不滿足條件．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，比較基礎(chǔ)．
　
3．下列各組向量中可以作為基底的是（　?。?br /> A． =（0，0），=（1，﹣2） B． =（1，2），=（3，4）
C． =（3，5），=（6，10） D． =（2，﹣3），=（﹣2，3）
【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．
【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；平面向量及應(yīng)用．
【分析】判斷向量是否共線，即可推出結(jié)果．
【解答】解：由題意可知=（1，2），=（3，4）不共線，可以作為基底．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查共面向量基本定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
　
4．要得到函數(shù)y=sin（4x﹣）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象（　　）
A．向左平移單位 B．向右平移單位
C．向左平移單位 D．向右平移單位
【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．
【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【分析】直接利用三角函數(shù)的平移原則推出結(jié)果即可．
【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，
要得到函數(shù)y=sin（4x﹣）的圖象，只需將函數(shù)y=sin4x的圖象向右平移單位．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖象的平移，值域平移變換中x的系數(shù)是易錯(cuò)點(diǎn)．
　
5．在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則=（　?。?br /> A．﹣4 B．4 C．﹣8 D．8
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．
【專題】平面向量及應(yīng)用．
【分析】直接利用已知條件求解即可．
【解答】解：在等腰△ABC中，BC=4，AB=AC，則=cosB=|BC|2=8．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的求法，基本知識(shí)的考查．
　
6．如果一個(gè)點(diǎn)既在對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象上又在指數(shù)函數(shù)的圖象上，那么稱這個(gè)點(diǎn)為“幸運(yùn)點(diǎn)”，在下列的五個(gè)點(diǎn)M（1，1），N（1，2），P（2，1），Q（2，2），G（2，）中，“幸運(yùn)點(diǎn)”有多少個(gè)（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．3
【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易得M，N不是幸運(yùn)點(diǎn)，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，易得N，P不是幸運(yùn)點(diǎn)，利用“幸運(yùn)點(diǎn)”的定義，我們易構(gòu)造指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程，得到Q（2，2），G（2，0.5）兩個(gè)點(diǎn)是幸運(yùn)點(diǎn)，從而得到答案．
【解答】解：當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax（a＞0，a≠1）恒過（1，0）點(diǎn)，
故M（1，1），N（1，2），一定不是幸運(yùn)點(diǎn)，
當(dāng)y=1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）恒過（0，1）點(diǎn)，
故P（2，1）也一定不是幸運(yùn)點(diǎn)，
而Q（2，2）是函數(shù)y=x與y=的交點(diǎn)；
G（2，）是函數(shù)y=x與y=log4x的交點(diǎn)；
故幸運(yùn)點(diǎn)有2個(gè)，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)的性質(zhì)，排除掉不滿足“幸運(yùn)點(diǎn)”定義的M，N，P點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
　
7．已知函數(shù)f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R），若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，記a=m，若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，記a=n，則m+2n的值為（　?。?br /> A．0 B．1 C．2 D．﹣1
【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．
【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】利用函數(shù)f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函數(shù)，得到g（x）=ex+ae﹣x為奇函數(shù)，然后利用g（0）=0，可以解得m．函數(shù)f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函數(shù)，所以g（x）=ex+ae﹣x為偶函數(shù)，可得n，即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)g（x）=ex+ae﹣x，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x（ex+ae﹣x）是偶函數(shù)，所以g（x）=ex+ae﹣x為奇函數(shù)．
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，所以g（0）=0，
即g（0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x（ex+ae﹣x）是奇函數(shù)，所以g（x）=ex+ae﹣x為偶函數(shù)
所以（e﹣x+aex）=ex+ae﹣x即（1﹣a）（e﹣x﹣ex）=0對(duì)任意的x都成立
所以a=1，所以n=1，
所以m+2n=1
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，特別是要掌握奇函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)，若奇函數(shù)f（x）過原點(diǎn)，則必有f（0）=0，要靈活使用奇函數(shù)的這一性質(zhì)．
　
8．若sinθ=，cosθ=，且θ的終邊不落在坐標(biāo)軸上，則tanθ的值為（　?。?br /> A． B．或0 C．0 D．以上答案都不對(duì)
【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．
【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．
【分析】由sin2θ+cos2θ===1，求出k，由此有求出tanθ．
【解答】解：∵sinθ=，cosθ=，且θ的終邊不落在坐標(biāo)軸上，
∴sin2θ+cos2θ===1，
解得k=﹣7或k=1（舍），
∴sinθ===，
cosθ===，
∴tanθ==．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的正切值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式的合理運(yùn)用．
　
9．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω均為正的常數(shù)，φ為銳角）的最小正周期為π，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，記a=f（0），b=f（），c=f（），則有（　　）
A．a(chǎn)=b＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜a＜b
【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．
【專題】函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【分析】根據(jù)周期和對(duì)稱軸作出f（x）的大致圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性判斷大?。?br /> 【解答】解：∵f（x）的周期為π，∴ω=2，
∵A＞0，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，∴sin（+φ）=﹣1，∴+φ=﹣+2kπ，
即φ=﹣+2kπ，∵φ是銳角，∴φ=．∴f（x）=Asin（2x+）．
令A(yù)=1，作出f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的大致函數(shù)圖象，

由圖象可知f（x）在[0，]上單調(diào)遞增，∴f（0）＜f（），
∵f（x）關(guān)于x=對(duì)稱，∴f（0）=f（），
∴f（0）=f（）＜f（）．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
　
10．如圖，函數(shù)f（x）的圖象為折線ACB，則不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是（　?。?br />
A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1＜x≤2}
【考點(diǎn)】指、對(duì)數(shù)不等式的解法．
【專題】不等式的解法及應(yīng)用．
【分析】在已知坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合得到不等式的解集．
【解答】解：由已知f（x）的圖象，在此坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2（x+1）的圖象，如圖
滿足不等式f（x）≥log2（x+1）的x范圍是﹣1＜x≤1；所以不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)形結(jié)合求不等式的解集；用到了圖象的平移．
　
11．設(shè)定義在區(qū)間（﹣b，b）上的函數(shù)f（x）=lg是奇函數(shù)（a，b∈R，且a≠﹣2），則ab的取值范圍是（　?。?br /> A．（1，] B．（0，] C．（1，） D．（0，）
【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．
【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】由題意和奇函數(shù)的定義f（﹣x）=﹣f（x）求出a的值，再由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零求出函數(shù)的定義域，則所給的區(qū)間應(yīng)是定義域的子集，求出b的范圍進(jìn)而求出ab的范圍．
【解答】解：∵定義在區(qū)間（﹣b，b）內(nèi)的函數(shù)f（x）=lg是奇函數(shù)，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即lg=﹣lg=lg，
則有=，
即1﹣a2x2=1﹣4x2，解得a=±2，
又∵a≠﹣2，∴a=2；則函數(shù)f（x）=lg，
要使函數(shù)有意義，則＞0，即（1+2x）（1﹣2x）＞0
解得：﹣＜x＜，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海ī?，）?br /> ∴（﹣b，b）?（﹣，），∴0＜b≤
∴ab=2b∈（1，]，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了奇函數(shù)的定義以及求對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，利用子集關(guān)系求出b的范圍，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和對(duì)定義的運(yùn)用能力．
　
12．對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x），若存在正常數(shù)T，使得cosg（x）是以T為周期的函數(shù)，則稱g（x）為余弦周期函數(shù)，則下列函數(shù)中余弦周期函數(shù)有多少個(gè)？（　?。?br /> ①h（x）=2016x
②h（x）=|x|
③h（x）=x+sin．
A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．
【專題】計(jì)算題；新定義；數(shù)形結(jié)合；分析法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【分析】根據(jù)余弦周期函數(shù)的定義，判斷cosg（x+T）是否等于cosg（x）即可；
【解答】解：①h（x）=2016x的定義域?yàn)镽；
∵cosh（x+π）=cos[2016（x+π）]=cos（2016x+2016π）=cos（2016x）=cosh（x），
∴h（x）是以π為周期的余弦周期函數(shù)；
②h（x）=|x|的定義域?yàn)镽；
∵cosh（x+2π）=cos（|x+2π|）=cos（|x|）=cosh（x），
∴h（x）是以2π為周期的余弦周期函數(shù)；
③h（x）=x+sin的定義域?yàn)镽；
∵cosh（x+6π）=cos（x+6π+sin）=cos（x+sin）=cosh（x），
∴h（x）是以6π為周期的余弦周期函數(shù)；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】考查對(duì)余弦周期函數(shù)定義的理解，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
　
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．已知角α的終邊過點(diǎn)（﹣1，），則tanα=　﹣?。?br /> 【考點(diǎn)】任意角的三角函數(shù)的定義．
【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【分析】由三角函數(shù)的定義，tanα=，求出值即可
【解答】解：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（﹣1，），
∴tanα==﹣．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的定義tanα=，利用公式求值題．
　
14．若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)g（x）=的定義域?yàn)椤0，1）?。?br /> 【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．
【專題】函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．
【分析】首先根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，得到函數(shù)g（x）的分子對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=f（2x）的定義域?yàn)?x∈[0，2]，解之得0≤x≤1，再結(jié)合分式的分母不等于0，列出不等式組，解之可得函數(shù)g（x）的定義域．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇0，2]，
∴函數(shù)y=f（2x）的定義域?yàn)?x∈[0，2]，解得0≤x≤1，
因此函數(shù)g（x）=的定義域滿足：，可得0≤x＜1．
∴函數(shù)g（x）=的定義域?yàn)椋篬0，1）．
故答案為：[0，1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題給出一個(gè)函數(shù)的定義域，求與它有關(guān)聯(lián)的另一個(gè)函數(shù)的定義域，著重考查了函數(shù)的定義域及其求法，屬于基礎(chǔ)題．
　
15．已知函數(shù)f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定義域和值域都是[﹣1，0]，則a+b=　﹣?。?br /> 【考點(diǎn)】函數(shù)的值域．
【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】對(duì)a進(jìn)行分類討論，分別題意和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出方程組，
【解答】解：當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+b在定義域上是增函數(shù)，
所以，解得b=﹣1， =0不符合題意舍去；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+b在定義域上是減函數(shù)，
所以解得b=﹣2，a=
綜上a+b=，
故答案為；﹣
【點(diǎn)評(píng)】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及分類討論思想，屬于基礎(chǔ)題
　
16．已知a=log827，則2a+2﹣a=　?。?br /> 【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值．
【專題】計(jì)算題；規(guī)律型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】化簡(jiǎn)已知條件，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．
【解答】解：a=log827=log23．
2a+2﹣a==．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．
　
三、解答題（共6小題，滿分70分）
17．已知方程x2+px+q=0的兩個(gè)不相等實(shí)根為α，β．集合A={α，β}，B={2，4，5，6}，C={1，2，3，4}，A∩C=A，A∩B=?，求p，q的值？
【考點(diǎn)】子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換；一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系．
【專題】計(jì)算題．
【分析】先根據(jù)A∩C=A知A?C，然后根據(jù)A={α，β}，可知α∈C，β∈C，而A∩B=?，則α?B，β?B，顯然A即屬于C又不屬于B的元素只有1和3，不仿設(shè)α=1，β=3，最后利用應(yīng)用韋達(dá)定理可得p與q．
【解答】解：由A∩C=A知A?C；又A=α，β，則α∈C，β∈C．
而A∩B=?，故α?B，β?B．
顯然A即屬于C又不屬于B的元素只有1和3．
不仿設(shè)α=1，β=3
對(duì)于方程x2+px+q=0的兩根α，β
應(yīng)用韋達(dá)定理可得p=﹣4，q=3．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了子集與交集、并集運(yùn)算的轉(zhuǎn)換，以及一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題之列．
　
18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量=（，﹣），=（sinx，cosx），x∈（0，）．
（1）若⊥，求tanx的值；
（2）若與的夾角為，求sinx+cosx的值．
【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．
【專題】計(jì)算題；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用．
【分析】（1）根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到坐標(biāo)的關(guān)系等式，求出tanx；
（2）利用數(shù)量積公式得到x的三角函數(shù)等式，結(jié)合平方關(guān)系求出sinx+cosx．
【解答】解：（1）因⊥，所以sinx﹣cosx=0 …（2分）
所以tanx=1 …（5分）
（2）因?yàn)榕c的夾角為，，所以①…（7分）
設(shè)sinx+cosx=a②
由①2+②2得a2= …（10分）
因x是銳角，所以a為正值，所以a=…（12分）
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量垂直的性質(zhì)和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值；屬于基礎(chǔ)題．
　
19．李莊村電費(fèi)收取有以下兩種方案供農(nóng)戶選擇：
方案一：每戶每月收管理費(fèi)2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時(shí)，超過部分按每度0.6元．
方案二：不收管理費(fèi)，每度0.58元．
（1）求方案一收費(fèi)L（x）元與用電量x（度）間的函數(shù)關(guān)系；
（2）李剛家九月份按方案一交費(fèi)35元，問李剛家該月用電多少度？
（3）李剛家月用電量在什么范圍時(shí)，選擇方案一比選擇方案二更好？
【考點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．
【專題】應(yīng)用題；函數(shù)思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】（1）分0≤x≤30、x＞30兩種情況討論即可；
（2）通過分別令0≤x≤30、x＞30時(shí)L（x）=35計(jì)算即得結(jié)論；
（3）通過分別令0≤x≤30、x＞30時(shí)L（x）＜0.58x計(jì)算即得結(jié)論．
【解答】解：（1）當(dāng)0≤x≤30時(shí)，L（x）=2+0.5x；
當(dāng)x＞30時(shí)，L（x）=2+30×0.5+（x﹣30）×0.6=0.6x﹣1，
∴（注：x 也可不取0）；
（2）當(dāng)0≤x≤30時(shí)，由L（x）=2+0.5x=35得x=66，舍去；
當(dāng)x＞30時(shí)，由L（x）=0.6x﹣1=35得x=60，
∴李剛家該月用電60度；
（3）設(shè)按第二方案收費(fèi)為F（x）元，則F（x）=0.58x，
當(dāng)0≤x≤30時(shí)，由L（x）＜F（x），
得：2+0.5x＜0.58x，解得：x＞25，
∴25＜x≤30；
當(dāng)x＞30時(shí)，由L（x）＜F（x），
得：0.6x﹣1＜0.58x，解得：x＜50，
∴30＜x＜50；
綜上，25＜x＜50．
故李剛家月用電量在25度到50度范圍內(nèi)（不含25度、50度）時(shí)，選擇方案一比方案二更好．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．
　
20．如圖，半徑為4m的水輪繞著圓心O逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，水輪圓心O距離水面2m，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從離開水面的時(shí)刻（P0）開始計(jì)算時(shí)間．
（1）將點(diǎn)P距離水面的高度y（m）與時(shí)間t（s）滿足的函數(shù)關(guān)系；
（2）求點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要的時(shí)間．

【考點(diǎn)】在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型．
【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)模型法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P到水面的距離y（m）與時(shí)間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系，利用周期求得ω，當(dāng)t=0時(shí)，y=0，進(jìn)而求得φ的值，則函數(shù)的表達(dá)式可得．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得t=5+15k（k∈Z）即當(dāng)k=0時(shí)，即t=5（s）時(shí)，點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)．
【解答】解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
由于水輪繞著圓心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，可設(shè)點(diǎn)P到水面的距離y（m）與時(shí)間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系，
∵水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，
∴．
∴．
∵水輪半徑為4 m，
∴A=4．
∴．
當(dāng)t=0時(shí)，y=0．
∴．
∴．
（2）由于最高點(diǎn)距離水面的距離為6，
∴．
∴．
∴．
∴t=5+15k（k∈Z）．
∴當(dāng)k=0時(shí)，即t=5（s）時(shí)，點(diǎn)P第一次達(dá)到最高點(diǎn)．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型的問題，考查了運(yùn)用三角函數(shù)的最值，周期等問題確定函數(shù)的解析式．
　
21．若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，則稱函數(shù)f（x）是“可拆函數(shù)”．
（1）函數(shù)f（x）=是否是“可拆函數(shù)”？請(qǐng)說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b+2x是“可拆函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b的取值范圍：
（3）證明：f（x）=cosx是“可拆函數(shù)”．
【考點(diǎn)】函數(shù)解析式的求解及常用方法．
【專題】計(jì)算題；證明題；閱讀型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的求值．
【分析】（1）當(dāng)k=0時(shí)，易知是“可拆函數(shù)”；當(dāng)k≠0時(shí)，方程可化為x2+x+1=0，從而判斷；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b+2x是“可拆函數(shù)”，化簡(jiǎn)可得b=2x﹣2有解，從而解得；
（3）由題意知判斷方程cos（x+1）=cosx+cos1是否有解即可．
【解答】解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=0，是“可拆函數(shù)”；
當(dāng)k≠0時(shí)，
f（x+1）=，f（1）=k，
故=+k，
即x2+x+1=0，
方程無解，
故f（x）=不是“可拆函數(shù)”；
（2）若函數(shù)f（x）=2x+b+2x是“可拆函數(shù)”，
則方程f（x+1）=f（x）+f（1）有解，
即2（x+1）+b+2x+1=2x+b+2x+2+b+2有解，
即b=2x﹣2有解，
故b＞﹣2；
（3）證明：令f（x+1）=f（x）+f（1），
即cos（x+1）=cosx+cos1，
即cosxcos1﹣sinxsin1﹣cosx=cos1，
即（cos1﹣1）cosx﹣sinxsin1=cos1，
故存在θ，
故cos（x+θ）=cos1，
即cos（x+θ）=cos1，
即cos（x+θ）=，
∵cos21﹣（2﹣2cos1）
=cos21+2cos1﹣2
＜cos2+2cos﹣2=+﹣2＜0，
故0＜＜1，
故方程cos（x+1）=cosx+cos1有解，
即f（x）=cosx是“可拆函數(shù)”．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的接受能力及分類討論的思想應(yīng)用，同時(shí)考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與應(yīng)用．
　
22．已知集合M{h（x）|h（x）的定義域?yàn)镽，且對(duì)任意x都有h（﹣x）=﹣h（x）}設(shè)函數(shù)f（x）=（a，b為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=b=1時(shí)，判斷是否有f（x）∈M，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）∈M，且對(duì)任意的x都有f（x）＜sinθ成立，求θ的取值范圍．
【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義；元素與集合關(guān)系的判斷．
【專題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；不等式的解法及應(yīng)用；集合．
【分析】（1）求出f（x）的解析式，計(jì)算f（﹣1），f（1），即可判斷；
（2）由題意可得可得f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣對(duì)x∈R恒成立，即有（2a﹣b）?22x+（2ab﹣4）?2x+（2a﹣b）=0，求得a，b，再由指數(shù)函數(shù)的值域求得f（x）的范圍，由恒成立思想可得sinθ≥，由正弦函數(shù)的圖象即可得到所求范圍．
【解答】解：（1）舉反例即可．f（x）=，由f（﹣1）==，
f（1）==﹣，可得f（﹣1）≠﹣f（1），即有f（x）?M；
（2）由f（x）∈M，可得f（﹣x）=﹣f（x），即
=﹣對(duì)x∈R恒成立，
即有（2a﹣b）?22x+（2ab﹣4）?2x+（2a﹣b）=0，
即為，解得或，
由f（x）的定義域?yàn)镽，可得舍去，
故a=1，b=2，即有f（x）==﹣+，
由2x＞0，可得1+2x＞1，即0＜＜1，
則f（x）∈（﹣，），
由對(duì)任意的x都有f（x）＜sinθ成立，可得
sinθ≥，
解得2kπ+≤θ≤2kπ+，k∈Z．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性的判斷和運(yùn)用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想求出函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．
　



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