練案[14] 第八講　函數(shù)與方程A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．已知函數(shù)f(x)＝－log2x，則f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( C )A．(0,1)  B．(2,3)C．(3,4)  D．(4，＋∞)[解析]　易知f(x)是單調(diào)函數(shù)，f(3)＝2－log23>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0，故f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(3,4)．2．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為( D )A.，0  B．－2,0C.  D．0[解析]　當(dāng)x≤1時(shí)，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；當(dāng)x>1時(shí)，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝，又因?yàn)?/span>x>1，所以此時(shí)方程無(wú)解．綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.3．若函數(shù)f(x)的唯一零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間(0,4)，(0,2)，(1,2)，內(nèi)，則與f(0)符號(hào)相同的是( C )A．f(4)  B．f(2)C．f(1)  D．f[解析]　由題意知f(x)的零點(diǎn)在內(nèi)，可知f(0)與f(1)符號(hào)相同．4．設(shè)a是函數(shù)f(x)＝2x－logx的零點(diǎn)．若x0>a，則f(x0)的值滿(mǎn)足( C )A．f(x0)＝0B．f(x0)<0C．f(x0)>0D．f(x0)的符號(hào)不確定[解析]　∵函數(shù)y＝2x和y＝log2x在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，∴f(x)＝2x－logx＝2x＋log2x在(0，＋∞)上為增函數(shù)．又∵a是函數(shù)f(x)＝2x＋log2x的零點(diǎn)，∴f(a)＝0，∴當(dāng)x0>a時(shí)，f(x0)>0.5．(2022·青島市月考)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是( D )A．(－∞，－1)  B．(－∞，0)C．(－1,0)  D．[－1,0)[解析]　當(dāng)x>0時(shí)，由f(x)＝2x－1＝0，得x＝，所以f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，由題可知f(x)在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝ex＋a，令ex＋a＝0，得a＝－ex，因?yàn)?<ex≤1，所以－1≤a<0.故選D.6．(2023·西安調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足f(a)＝0，g(b)＝0，則( A )A．g(a)<0<f(b)  B．f(b)<0<g(a)C．0<g(a)<f(b)  D．f(b)<g(a)<0[解析]　易知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，由f(a)＝0知0<a<1；函數(shù)g(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln 2＋1>0，由g(b)＝0知1<b<2，所以g(a)<g(1)<0，f(b)>f(1)>0，故g(a)<0<f(b)．7．已知函數(shù)f(x)＝若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1>x2)，則x1－x2的最小值是( D )A．1  B．2C.  D．[解析]　根據(jù)題意可得－t＝0，解得x1＝t2(t≥0)，2(x2＋1)－t＝0，解得x2＝t－1(t<2)，則x1－x2＝t2－t＋1＝2＋(0≤t<2)，當(dāng)t＝時(shí)，x1－x2取得最小值.8．已知函數(shù)f(x)＝則方程f[f(x)]－2＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)為( C )A．6  B．5 C．4  D．3[解析]　令t＝f(x)，則方程f[f(x)]－2＝0等價(jià)于f(t)－2t－＝0，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出f(x)與直線(xiàn)y＝2x＋的圖象(圖略)，由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)且f(t)－2t－＝0的兩根分別為t1＝0和1<t2<2，當(dāng)t1＝f(x)＝0時(shí)解得x＝2；當(dāng)t2＝f(x)∈(1,2)時(shí)，f(x)有3個(gè)不等實(shí)根，綜上所述，方程f(f(x))－2＝0的實(shí)根個(gè)數(shù)為4，故選C.二、多選題9．下列函數(shù)中，在(－1,1)內(nèi)有零點(diǎn)且單調(diào)遞減的是( AD )A．y＝log(x＋1)  B．y＝2x－1C．y＝x2－  D．y＝－x3[解析]　函數(shù)y＝log(x＋1)在定義域上單調(diào)遞減，且x＝0時(shí)y＝0，y＝x2－在(－1,1)上不是單調(diào)函數(shù)，y＝－x3在定義域上單調(diào)遞減，且x＝0時(shí)y＝0.對(duì)于y＝2x－1，當(dāng)x＝0∈(－1,1)時(shí)，y＝0且y＝2x－1在R上單調(diào)遞增．故選AD.10．下列圖象表示的函數(shù)中有兩個(gè)零點(diǎn)的有( CD )[解析]　有兩個(gè)零點(diǎn)就是函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．11．若函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點(diǎn)是2，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax的零點(diǎn)可以是( AC )A．0  B． C．－  D．2[解析]　2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝0，得x＝0或－，故選AC.12．(2023·濟(jì)寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝x－log2x,0<a<b<c，f(a)f(b)f(c)<0，實(shí)數(shù)d是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)．給出下列四個(gè)判斷，其中可能成立的是( ABD )A．d<a  B．d>bC．d>c  D．d<c[解析]　由y＝x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，y＝log2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，可得f(x)＝x－log2x在定義域(0，＋∞)上是減函數(shù)，當(dāng)0<a<b<c時(shí)，f(a)>f(b)>f(c)，因?yàn)?/span>f(a)f(b)f(c)<0，f(d)＝0，所以①f(a)，f(b)，f(c)都為負(fù)值，則a，b，c都大于d；②f(a)>0，f(b)>0，f(c)<0，則a，b都小于d，c大于d.綜合①②可得d>c不可能成立．三、填空題13．若區(qū)間[a，b]滿(mǎn)足：①函數(shù)f(x)在[a，b]上有定義且單調(diào)；②函數(shù)f(x)在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]，則稱(chēng)區(qū)間[a，b]為函數(shù)f(x)的共鳴區(qū)間，若函數(shù)f(x)＝2－k存在共鳴區(qū)間，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_[1,2)__.[解析]　∵函數(shù)f(x)＝2－k在[－1，＋∞)上單調(diào)遞增，若存在共鳴區(qū)間[a，b](a≥－1)，則，即f(x)＝x，也就是方程2－k＝x在[－1，＋∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令＝t≥0，得x＝t2－1，∴關(guān)于它的方程t2－2t－1＋k＝0在[0，＋∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令g(t)＝t2－2t－1＋k，則，即，解得1≤k<2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[1,2)．14．(2023·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的零點(diǎn)為_(kāi)－1和1__.[解析]　令f(x)＝0得或解得x＝1或x＝－1，∴f(x)的零點(diǎn)為－1和1.15．(2022·江蘇淮安聯(lián)考)函數(shù)f(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿(mǎn)足f＝f，并且方程f(x)＝0有三個(gè)實(shí)根，則這三個(gè)實(shí)根的和為 　.[解析]　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝對(duì)稱(chēng)，所以方程f(x)＝0有三個(gè)實(shí)根時(shí)，一定有一個(gè)根是，另外兩個(gè)根的和為1，故方程f(x)＝0的三個(gè)實(shí)根的和為.16．(2022·廣東陽(yáng)江調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_(－1,0)__.[解析]　關(guān)于x的方程f(x)＝k有三個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)于函數(shù)f(x)與函數(shù)y＝k的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－1,0)．B組能力提升1．(2022·濟(jì)寧模擬)若函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( C )A．(1,3)  B．(1,2)C．(0,3)  D．(0,2)[解析]　由條件可知f(1)·f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解得0<a<3.2．(多選題)(2023·青島模擬)某同學(xué)求函數(shù)f(x)＝ln x＋2x－6的零點(diǎn)時(shí)，用計(jì)算器算得部分函數(shù)值如表所示：f(2)≈－1.307f(3)≈1.099f(2.5)≈－0.084f(2.75)≈0.512f(2.625)≈0.215f(2.562 5)≈0.066則方程ln x＋2x－6＝0的近似解(精確度0.1)可取為( AB )A．2.52  B．2.56C．2.66  D．2.75[解析]　由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似根在(2.5,2.562 5)內(nèi)，因此選項(xiàng)A中2.52符合，選項(xiàng)B中2.56也符合，故選AB.3．函數(shù)f(x)＝|lg x2|＋x2－2|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( C )A．2  B．3 C．4  D．6[解析]　函數(shù)f(x)＝|lg x2|＋x2－2|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程|lg x2|＝－x2＋2|x|的根的個(gè)數(shù)，考慮g(x)＝|lg x2|，h(x)＝－x2＋2|x|，定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，g(x)＝|2lg x|，h(x)＝－x2＋2x，作出函數(shù)圖象：兩個(gè)函數(shù)一共有兩個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)x>0時(shí)，|lg x2|＝－x2＋2|x|有兩根，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得：當(dāng)x<0時(shí)|lg x2|＝－x2＋2|x|有兩根，所以|lg x2|＝－x2＋2|x|一共4個(gè)根，即函數(shù)f(x)＝|lg x2|＋x2－2|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4.故選C.4．已知函數(shù)f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則( C )A．x1<x2<x3  B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1  D．x3<x1<x2[解析]　作出y＝x與y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的圖象，如圖所示，可知選C.5．(多選題)在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單的講就是對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)f(x)，存在一個(gè)點(diǎn)x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱(chēng)該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是( BCD )A．f(x)＝2x＋x  B．g(x)＝x2－x－3C．f(x)＝x＋1  D．f(x)＝|log2x|－1[解析]　對(duì)于A(yíng)：2x0＋x0＝x0無(wú)解，所以A不滿(mǎn)足；對(duì)于B：x－x0－3＝x0，解得x0＝3或x0＝－1，所以B滿(mǎn)足題意；對(duì)于C：＋1＝x0，解得x0＝>0，所以C滿(mǎn)足題意；對(duì)于D：|log2x0|－1＝x0，在同一直角坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)f(x)以及y＝x的圖象，可確定兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即方程有解，所以D滿(mǎn)足題意．故選BCD.6．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8,8]上有四個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝_－8__.[解析]　因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝－2對(duì)稱(chēng)，又f(x－4)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x＋4)，所以f(x－4)＝f(x＋4)，f(x)＝f(x＋8)，所以f(x)是周期為8的周期函數(shù)．因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[－6，－2]上單調(diào)遞減，畫(huà)出f(x)的可能圖象如圖所示．作出直線(xiàn)y＝m(m>0)．不妨設(shè)x1<x2<x3<x4，由對(duì)稱(chēng)性可知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.7．(2022·廈門(mén)模擬)已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f[f(x)]的所有零點(diǎn)之和為 　.[解析]　當(dāng)x≤0時(shí)，x＋1＝0，x＝－1.由f(x)＝－1，可得x＋1＝－1或log2x＝－1，∴x＝－2或x＝；當(dāng)x>0時(shí)，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；∴函數(shù)y＝f[f(x)]的所有零點(diǎn)為－2，，0,2，∴所有零點(diǎn)的和為－2＋＋0＋2＝. 

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