練案[12]　 第六講　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．計算＋log25－log210的值為( D )A．－10  B．－8C．10  D．8[解析]　＋log25－log210＝(36)＋log2＝9－1＝8.2．函數(shù)y＝的定義域是( C )A．[1,2]  B．[1,2)C.  D．[解析]　由即解得x≥，故選C.3．(2023·河南鄭州模擬)函數(shù)y＝3＋loga(2x＋3)(a>0且a≠1)的圖象必經(jīng)過定點的坐標(biāo)為( A )A．(－1,3)  B．(－1,4)C．(0,3)  D．(2,2)[解析]　因為當(dāng)x＝－1時，y＝3＋0＝3，所以該函數(shù)的圖象必經(jīng)過定點(－1,3)，故選A.4．函數(shù)f(x)＝log(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為( D )A．(0，＋∞)  B．(－∞，0)C．(2，＋∞)  D．(－∞，－2)[解析]　函數(shù)y＝f(x)的定義域為(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因為函數(shù)y＝f(x)是由y＝logt與t＝g(x)＝x2－4復(fù)合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，g(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增．選D.5．(2022·四川成都二診)設(shè)a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，則a，b，c的大小關(guān)系是( A )A．a<b<c  B．a<c<bC．c<a<b  D．c<b<a[解析]　因為對數(shù)函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以log30.5<log31＝0.因為對數(shù)函數(shù)y＝log0.2x在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以0＝log0.21<log0.20.3<log0.20.2＝1.因為指數(shù)函數(shù)y＝2x在R上單調(diào)遞增，所以20.3>20＝1.綜上可知，a<b<c.6．(2023·惠州市月考)為了給地球減負(fù)，提高資源利用率，全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經(jīng)成為新時尚．假設(shè)某市2020年全年用于垃圾分類的資金為2 000萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的資金比上一年增長20%，則該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1億元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70)( B )A．2030年  B．2029年C．2028年  D．2027年[解析]　設(shè)經(jīng)過n年后，投入資金為y萬元，則y＝2 000(1＋20%)n.由題意得2 000(1＋20%)n>10 000，即1.2n>5，則nlg 1.2>lg 5，所以n>≈＝8.75，因為n∈N*，所以n≥9，即該市全年用于垃圾分類的資金開始超過1億元的年份是2029年．故選B.7．已知函數(shù)f(x)＝ln(－2x)－1，則f(lg 3)＋f＝( D )A．－1  B．0 C．2  D．－2[解析]　∵f(－x)＝ln(＋2x)－1＝ln －1＝－ln(－2x)－1，∴f(－x)＋f(x)＝－2，∴f(lg 3)＋f＝f(lg 3)＋f(－lg 3)＝－2.8．已知函數(shù)f(x)＝|lg x|,0<a<b，且f(a)>f(b)，則( B )A．ab>1  B．0<ab<1C．ab＝1  D．(a－1)(b－1)>0[解析]　由題意得0<a<b<1或0<a<1<b.當(dāng)0<a<b<1時，顯然0<ab<1；當(dāng)0<a<1<b時，由f(a)>f(b)得－lg a>lg b，∴lg a＋lg b＝lg(ab)<0，∴0<ab<1.綜上可知，0<ab<1.二、多選題9．(2022·山東煙臺模擬)已知loga<1(a>0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍可以是( AD )A.  B．C.  D．[解析]　∵loga<1＝logaa，故當(dāng)0<a<1時，y＝logax為減函數(shù)，0<a<；當(dāng)a>1時，y＝loga<0，∴a>1符合題意，綜上知A、D正確．10.函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a>0，a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是( BC )A．a>1  B．0<c<1C．0<a<1  D．c>1[解析]　由圖象可知函數(shù)為減函數(shù)，∴0<a<1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由圖象知0<1－c<1，∴0<c<1.11．關(guān)于函數(shù)f(x)＝ln ，下列說法中正確的有( BD )A．f(x)的定義域為(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．f(x)為奇函數(shù)C．f(x)在定義域上是增函數(shù)D．對任意x1，x2∈(－1,1)，都有f(x1)＋f(x2)＝f[解析]　函數(shù)f(x)＝ln ＝ln，其定義域滿足(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，∴定義域為{x|－1<x<1}，∴A不對．由f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，是奇函數(shù)，∴B對．函數(shù)y＝－1在定義域內(nèi)是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減，∴f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，C不對．f(x1)＋f(x2)＝ln ＋ln ＝ln＝f，∴D對．三、填空題12．(2023·河南信陽質(zhì)量檢測)若a＝(a>0)，則loga＝_4__.[解析]　∵a＝＝3(a>0)，∴a＝，∴a＝4，∴loga＝4. 13．(2022·云南玉溪模擬)f(x)＝(loga)x在R上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是 　.[解析]　∵f(x)＝(loga)x在R上為減函數(shù)，∴0<loga<1，即log1<loga<log.∴<a<1.14．(2023·湖北高三月考)已知函數(shù)f(x)＝ln＋sin x＋1，則f＋f＝_2__.[解析]　令g(x)＝ln＋sin x，則函數(shù)g(x)的定義域為(－1,1)，關(guān)于原點對稱，又g(－x)＝ln＋sin(－x)＝ln－1－sin x＝－ln－sin x＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，所以g＋g＝0，所以f＋f＝＋＝g＋g＋2＝2.15．函數(shù)f(x)＝log2·log(2x)的最小值為 －　.[解析]　依題意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，當(dāng)log2x＝－，即x＝時等號成立，所以函數(shù)f(x)的最小值為－.四、解答題16．(2023·湛江質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．[解析]　(1)因為f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，此時f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3，即函數(shù)f(x)的定義域為(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3，則g(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減．又y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)．(2)假設(shè)存在實數(shù)a，使f(x)的最小值為0，則h(x)＝ax2＋2x＋3應(yīng)有最小值1，因此應(yīng)有解得a＝.故存在實數(shù)a＝，使f(x)的最小值為0.17．(2022·江蘇海門中學(xué)高二階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)＝log3(9x＋1)－x.(1)證明：函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；(2)若f(m)>f(2－m)，求實數(shù)m的取值范圍．[解析]　(1)證明：由解析式知：函數(shù)定義域為R，f(－x)＝log3(9－x＋1)＋x＝log3(1＋9x)－log332x＋x＝log3(9x＋1)－x＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．(2)由f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3，則m＝3x∈(0，＋∞)且遞增，令t＝m＋，則m∈(0,1)上遞減，m∈(1，＋∞)上遞增，又y＝log3t遞增，所以x∈(－∞，0)上f(x)遞減，x∈(0，＋∞)上f(x)遞增，又f(x)為偶函數(shù)，由f(m)>f(2－m)，可得|m|>|2－m|，即－|m|<2－m<|m|，當(dāng)m<0時，m<2－m<－m無解；當(dāng)m>0時，－m<2－m<m，可得m>1；綜上，m>1.B組能力提升1．已知lg a＋lg b＝0，則函數(shù)f(x)＝a－x與函數(shù)g(x)＝logbx的圖象可能是( C )[解析]　由lg a＋lg b＝0，得ab＝1.∴f(x)＝a－x＝－x＝bx，因此f(x)＝bx與g(x)＝logbx單調(diào)性相同．A，B，D中的函數(shù)單調(diào)性相反，只有C的函數(shù)單調(diào)性相同．2．(多選題)(2022·臨沂期末)若10a＝4,10b＝25，則( ACD )A．a＋b＝2  B．b－a＝1C．ab>8lg22  D．b－a>lg 6[解析]　由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，則a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正確；b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg 6且lg <1，故B錯誤，D正確；ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正確．故選ACD.3．設(shè)0<a<1，則( B )A．log2a>  B．>C．log2a<  D．log2<[解析]　∵0<a<1，∴0<a2<a<<1，∴在A中，log2a＝，故A錯誤；在B中，>，故B正確；在C中，log2a>，故C錯誤；在D中，log2>，故D錯誤．4．若函數(shù)f(x)＝logm(m>0且m≠1)在[2,3]上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為( D )A．(1,36]  B．[36，＋∞)C．(1,16]∪[36，＋∞)    D．(1,16] [解析]　由題意，不妨設(shè)g(x)＝＝4x＋，則g′(x)＝4－＝，由g′(x)≤0時g(x)為減函數(shù)，即m≥4x2，又y＝4x2在[2,3]上為單調(diào)遞增，所以ymax＝4×32＝36，所以m≥36，而此時函數(shù)y＝logmx為增函數(shù)，一減一增為減，故不合題意；同理由g′(x)≥0時g(x)為增函數(shù)，即m≤4x2，又y＝4x2在[2,3]上為單調(diào)遞增，所以ymin＝4×22＝16，所以m≤16，而當(dāng)m>1時，函數(shù)y＝logmx為增函數(shù)，因此當(dāng)1<m≤16時，同增為增，滿足題意．故選D.5．已知函數(shù)f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，則實數(shù)a＝ 　；若函數(shù)g(x)＝ax＋m－3的圖象不經(jīng)過第一象限，則實數(shù)m的取值范圍為_[－1，＋∞)__.[解析]　當(dāng)a>1時，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上單調(diào)遞減，∴無解；當(dāng)0<a<1時，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上單調(diào)遞增，∴解得a＝.∵g(x)＝x＋m－3的圖象不經(jīng)過第一象限，∴g(0)＝m－3≤0，解得m≥－1，即實數(shù)m的取值范圍是[－1，＋∞)．6．已知函數(shù)f(x)＝log(x2－2ax＋3)．(1)若f(x)的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)在[－1，＋∞)內(nèi)有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(4)若函數(shù)f(x)的值域為(－∞，－1]，求實數(shù)a的值．[解析]　(1)由f(x)的定義域為R，知x2－2ax＋3>0的解集為R，則Δ＝4a2－12<0，解得－<a<.所以a的取值范圍為(－，)．(2)函數(shù)f(x)的值域為R等價于u＝x2－2ax＋3取(0，＋∞)上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0?a≤－或a≥.所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，－]∪[，＋∞)．(3)由f(x)在[－1，＋∞)內(nèi)有意義，知u(x)＝x2－2ax＋3>0對x∈[－1，＋∞)恒成立，因為y＝u(x)圖象的對稱軸為x＝a，所以當(dāng)a<－1時，u(x)min＝u(－1)>0，即解得－2<a<－1；當(dāng)a≥－1時，u(x)min＝u(a)＝3－a2>0，即－<a<，所以－1≤a<.綜上可知，a的取值范圍為(－2，)．(4)因為y＝f(x)≤－1，所以u(x)＝x2－2ax＋3的值域為[2，＋∞)，又u(x)＝(x－a)2＋3－a2≥3－a2，則有u(x)min＝3－a2＝2，解得a＝±1.7．已知函數(shù)f(x)＝log2.(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，求a的取值范圍；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實數(shù)a的取值范圍．[解析]　(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，所以log2(1＋a)＝0，所以a＝0.當(dāng)a＝0時，f(x)＝－x是R上的奇函數(shù)．所以a＝0.(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù)，則＋a>0恒成立．即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0，則a的取值范圍是[0，＋∞)．(3)由已知得函數(shù)f(x)是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.由題設(shè)得log2(1＋a)－log2≥2，則log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．所以解得－<a≤－.故實數(shù)a的取值范圍是. 

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