練案[13]  第七講　函數(shù)的圖象A組基礎鞏固一、單選題1．定義：若函數(shù)f(x)的圖象經過Ω變換后所得圖象的對應函數(shù)的值域與f(x)的值域相同，則稱Ω變換是f(x)的“同值變換”，則下列正確的是( A )A．f(x)＝cos，Ω：將函數(shù)f(x)的圖象關于點(e,0)對稱B．f(x)＝x2－2|x|，Ω：將函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱C．f(x)＝2x－1，Ω：將函數(shù)f(x)的圖象關于x軸對稱D．f(x)＝log2x，Ω：將函數(shù)f(x)的圖象關于直線y＝x對稱[解析]　因為函數(shù)f(x)＝cos的圖象關于x軸上的點(e,0)對稱后得到的仍然為三角函數(shù)，值域仍然為[－1,1]，故A正確；因為f(x)＝x2－2|x|的值域為[－1，＋∞)，關于原點對稱后的函數(shù)為f(x)＝－x2＋2|x|，值域為(－∞，1]，所以B錯誤；f(x)＝2x－1的值為(－1，＋∞)，關于x軸對稱后的值域為(－∞，1)，所以C錯誤；f(x)＝log2x的值域為R，f(x)＝log2x關于y＝x對稱的函數(shù)為f(x)＝log2x的反函數(shù)，即y＝2x值域為(0，＋∞)，所以D錯誤．2．已知函數(shù)f(x)＝logax(0<a<1)，則函數(shù)y＝f(|x|＋1)的圖象大致為( A )[解析]　解法一：先作出函數(shù)f(x)＝logax(0<a<1)的圖象，當x>0時，y＝f(|x|＋1)＝f(x＋1)，其圖象由函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位得到，又函數(shù)y＝f(|x|＋1)為偶函數(shù)，所以再將函數(shù)y＝f(x＋1)(x>0)的圖象關于y軸對稱翻折到y軸左邊．得到x<0時的圖象，故選A.解法二：因為|x|＋1≥1,0<a<1，所以f(|x|＋1)＝loga(|x|＋1)≤0，故選A.3．函數(shù)f(x)＝的圖象大致是( A )[解析]　根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝，其定義域為{x|x≠0且x≠±1}，有f(－x)＝－＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除B，D；又f＝<0，所以排除C.4．設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝－f(x)，則y＝f(x)的圖象可能是( D )[解析]　由函數(shù)f(－x)＝－f(x)，f(x＋2)＝－f(x)可知，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且圖象關于直線x＝1對稱，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，故其周期為4，對照圖形可知符合要求的為D.5．如圖，虛線部分是四個象限的角平分線，實線部分是函數(shù)y＝f(x)的部分圖象，則f(x)可能是( B )A．f(x)＝x2sin x  B．f(x)＝xsin xC．f(x)＝x2cos x  D．f(x)＝xcos x[解析]　首先由圖象可知函數(shù)f(x)關于y軸對稱是偶函數(shù)，則A，D被排除；再由圖象可得|f(x)|≤|x|，若f(x)＝x2cos x，當x＝2π時，f(2π)＝4π2>2π，不符合，故選B.6．(2022·山東濰坊期末)函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象如圖所示，則y＝f(x)·g(x)的部分圖象可能是( A )[解析]　由圖象可知y＝f(x)的圖象關于y軸對稱，是偶函數(shù)，y＝g(x)的圖象關于原點對稱，是奇函數(shù)且定義域為{x|x≠0}，所以y＝f(x)·g(x)的定義域是{x|x≠0}，且是奇函數(shù)，排除B、C；又當x∈時，f(x)>0，g(x)<0，所以f(x)·g(x)<0，排除D.滿足題意的只有A.故選A.7．已知定義在區(qū)間[0,2]上的函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為( B )[解析]　y＝f(x)y＝f(－x)y＝f(2－x)y＝－f(2－x)．故選B.8．(2023·北京育才學校高三月考)若偶函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]時，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|的根的個數(shù)是( C )A．2個  B．3個C．4個  D．多于4個[解析]　f(x)＝log3|x|的解的個數(shù)，等價于y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象的交點個數(shù)，因為函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，所以周期T＝2，當x∈[0,1]時，f(x)＝x，且f(x)為偶函數(shù)，在同一個坐標系中畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象，如圖所示：顯然函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝log3|x|的圖象有4個交點，故選C.二、多選題9．關于函數(shù)f(x)＝的圖象，下列說法正確的是( AC )A．原點對稱  B．直線y＝x對稱C．增函數(shù)  D．減函數(shù)[解析]　由題意可知，函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x)＝＝2x－2－x，f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故選AC.10．(2023·濰坊模擬)兩個函數(shù)的圖象經過平移后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出四個函數(shù)：f1(x)＝log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函數(shù)是( AC )A．f2(x)與f4(x)  B．f1(x)與f3(x)C．f1(x)與f4(x)  D．f3(x)與f4(x)[解析]　f3(x)＝log2x2是偶函數(shù)，而其余函數(shù)無論怎樣變換都不是偶函數(shù)，故其他函數(shù)圖象經過平移后不可能與f3(x)的圖象重合，故排除選項B、D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，將f2(x)＝log2(x＋2)的圖象沿著x軸先向右平移兩個單位長度得到y＝log2x的圖象，再沿著y軸向上平移一個單位長度可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的圖象，可知選項A是“同形”函數(shù)；將f1(x)＝log2(x＋1)的圖象沿著x軸向右平移一個單位長度得到y＝log2x的圖象，再沿著y軸向上平移一個單位長度可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的圖象，可知選項C是“同形”函數(shù)，故選AC.11．(2022·江蘇七市調研)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，則y＝f(x)的大致圖象可能為( ABD )[解析]　當a<0時，y＝，即y2－x2＝－a(y≥0)，所以該曲線是焦點在y軸的雙曲線的上半支，即為D；當a＝0時，y＝＝|x|，即為A；當a>0時，若x∈[－，]，則y2＋x2＝a(y≥0)，該曲線是圓心在原點，半徑為的圓的上半部分(含端點)，若x∈(－∞，－)∪(，＋∞)，x2－y2＝a(y≥0)，則該曲線是焦點在x軸上的雙曲線位于x軸上方的部分，即為B.故選ABD.三、填空題12．(2023·石家莊模擬)若函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(1,1)，則函數(shù)y＝f(4－x)的圖象一定經過點_(3,1)__.[解析]　由于函數(shù)y＝f(4－x)的圖象可以看作y＝f(x)的圖象先關于y軸對稱，再向右平移4個單位長度得到．點(1,1)關于y軸對稱的點為(－1,1)，再將此點向右平移4個單位長度，可推出函數(shù)y＝f(4－x)的圖象過定點(3,1)．13.已知奇函數(shù)f(x)在x≥0時的圖象如圖所示，則不等式xf(x)<0的解集為_(－2，－1)∪(1,2)__.[解析]　∵xf(x)<0，∴x和f(x)異號，由于f(x)為奇函數(shù)，補齊函數(shù)的圖象如圖．當x∈(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)時，f(x)>0，當x∈(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)時，f(x)<0，∴不等式xf(x)<0的解集為(－2，－1)∪(1,2)．14．(2022·東蘇揚州期末)不等式2－x≤log2(x＋1)的解集是_{x|x≥1}__.[解析]　畫出y＝2－x，y＝log2(x＋1)的圖象如圖所示，由圖可知，解集為{x|x≥1}．15．已知函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m的零點有兩個，則實數(shù)m的取值范圍是_{－1}∪(0，＋∞)__.[解析]　在同一平面直角坐標系內作出函數(shù)y＝x2－2|x|的圖象和直線y＝m，可知當m>0或m＝－1時，直線y＝m與函數(shù)y＝x2－2|x|的圖象有兩個交點，即函數(shù)f(x)＝x2－2|x|－m有兩個零點．B組能力提升1．函數(shù)y＝2|x|sin 2x的圖象可能是( D )[解析]　解法一：設f(x)＝2|x|sin 2x，則f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故排除A、B；當x∈時，f(x)＝2xsin 2x>0，當x∈時，f(x)<0，故排除C.故選D.解法二：當x∈時，2|x|>0，sin 2x<0，所以y＝2|x|sin 2x<0，故排除A、B；當x∈時，2|x|>0，sin 2x<0，y＝2|x|sin 2x<0，故排除C.故選D.2．(多選題)(2022·河南浉河區(qū)校級月考)將函數(shù)f(x)的圖象沿x軸向左平移1個單位長度，得到奇函數(shù)g(x)的圖象，則下列函數(shù)f(x)不能滿足條件的是( ACD )A．f(x)＝B．f(x)＝ex－1－e1－xC．f(x)＝x＋D．f(x)＝log2(x＋1)＋1[解析]　由題意知，f(x)必須滿足兩個條件：①f(1)＝0，②f(1＋x)＝－f(1－x)．對于選項A，C，D，f(1)均不為0，不滿足條件；對于選項B，f(1)＝e0－e0＝0，f(1＋x)＝ex－e－x，f(1－x)＝e－x－ex＝－f(1＋x)．故選ACD.3．(2022·安徽合肥九中模擬)現(xiàn)有四個函數(shù)：①y＝x·sin x，②y＝x·cos x，③y＝x·|cos x|，④y＝x·2x的部分圖象如圖，但順序被打亂，則按照圖象從左到右的順序，對應的函數(shù)序號正確的一組是( A )A．①④②③  B．①④③②C．④①②③  D．③④②①[解析]　函數(shù)①y＝x·sinx為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，對應的是第一個函數(shù)圖象，從而排除選項C，D；對于函數(shù)④y＝x·2x，因為y′＝2x(1＋xln 2)，當x>0時，y′>0，函數(shù)單調遞增，所以函數(shù)④y＝x·2x對應的是第二個函數(shù)圖象；又當x>0時，函數(shù)③y＝x·|cos x|≥0，對應的是第四個函數(shù)圖象，從而排除選項B，選A.4．(2023·濟南模擬)若平面直角坐標系內A，B兩點滿足：(1)點A，B都在f(x)的圖象上；(2)點A，B關于原點對稱，則稱點對(A，B)是函數(shù)f(x)的一個“和諧點對”，(A，B)與(B，A)可看作一個“和諧點對”．已知函數(shù)f(x)＝則f(x)的“和諧點對”有( B )A．1個  B．2個C．3個  D．4個[解析]　作出函數(shù)y＝x2＋2x(x<0)的圖象關于原點對稱的圖象(如圖中的虛線部分)，看它與函數(shù)y＝(x≥0)的圖象的交點個數(shù)即可，觀察圖象可得交點個數(shù)為2，即f(x)的“和諧點對”有2個．5．(2023·襄陽模擬)若函數(shù)f(x)＝的圖象關于點(1,1)對稱，則實數(shù)a＝_1__.[解析]　f(x)＝＝a＋，關于點(1，a)對稱，故a＝1.6.已知函數(shù)f(x)在R上單調且其部分圖象如圖所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集為(－1,2)，則實數(shù)t的值為_1__.[解析]　由圖象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即f(3)<f(x＋t)<f(0)．又y＝f(x)在R上單調遞減，∴0<x＋t<3，不等式解集為(－t,3－t)．依題意，t＝1. 

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