第六節(jié)　對數(shù)與對數(shù)函數(shù)考試要求：1．理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù)．2．了解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性．3．知道同底的對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)與指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．對數(shù)的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN．②loga＝logaM－logaN．③logaMn＝nlogaM (n∈R)．(2)對數(shù)的性質(zhì)①loga1＝0．②logaa＝1．③alogaN＝N．④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．(3)對數(shù)的換底公式logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1)．3．對數(shù)函數(shù)(1)一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是(0，＋∞)． (2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 0<a<1a>1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時，y＝0當(dāng)x>1時，y<0；當(dāng)0<x<1時，y>0當(dāng)x>1時，y>0；當(dāng)0<x<1時，y<0減函數(shù)增函數(shù) 對數(shù)函數(shù)圖象的特征(1)由圖可知，0<d<c<1<b<a．(2)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1,0)，且過點(diǎn)(a,1)，，函數(shù)圖象只在第一、第四象限，并過x軸正半軸上的(1,0)．4．反函數(shù)一般地，同底的指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換，圖象關(guān)于直線y＝x對稱．5．常用結(jié)論換底公式的三個重要結(jié)論(1)logab＝．(2)logambn＝logab．(3)logab·logbc·logcd＝logad．其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，c>0且c≠1，m，n∈R．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)loga(MN)＝logaM＋logaN．  (　×　)(2)logax·logay＝loga(x＋y)．  (　×　)(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． ????????????? ????????????? (　×　)(4)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同． ????????????? ????????????? (　√　)2．已知x·log32＝1，則4x＝(　　)A．4 B．6  C．4 D．9D　解析：因?yàn)?/span>x·log32＝1，所以x＝log23，所以4x＝4＝4＝9．故選D．3．若函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，則f(x)＝(　　)A．log2x B．   C．log0.5x D．2x－2A　解析：由題意知f(x)＝logax(a>0，且a≠1)．因?yàn)?/span>f(2)＝1，所以loga2＝1．所以a＝2．所以f(x)＝log2x．4．函數(shù)y＝lg|x|(　　)A．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增B．是偶函數(shù)，在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減D．是奇函數(shù)，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增B　解析：y＝lg|x|是偶函數(shù)，由圖象知(圖略)，函數(shù)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．5．已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________．－7　解析：因?yàn)?/span>f(x)＝log2(x2＋a)，且f(3)＝1，所以f(3)＝log2(9＋a)＝1，所以a＋9＝2，所以a＝－7．考點(diǎn)1　對數(shù)的運(yùn)算——基礎(chǔ)性1．計算：log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)A．0    B．2    C．4    D．6D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6．2．(2021·全國甲卷)青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足L＝5＋lg V．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為(≈1.259)(　　)A．1.5    B．1.2    C．0.8    D．0.6C　解析：由L＝5＋lg V，當(dāng)L＝4.9時，lg V＝－0.1，則V＝10－0.1＝10＝≈≈0.8．3．(2021·天津卷)若2a＝5b＝10，則＋＝(　　)A．－1    B．lg 7    C．1    D．log710C　解析：因?yàn)?/span>2a＝5b＝10，所以a＝log210，b＝log510，所以＋＝＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．1．解決這類問題首先了解代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，判斷是利用對數(shù)運(yùn)算法則，還是換底公式進(jìn)行求解，然后利用法則或公式進(jìn)行運(yùn)算或化簡．2．有些題目，如第2題、第3題要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化問題．考點(diǎn)2　對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用——綜合性(1)在同一直角坐標(biāo)系中，f(x)＝kx＋b與g(x)＝logbx的圖象如圖，則下列關(guān)系正確的是(　　)A．k＜0,0＜b＜1 B．k＞0，b＞1C．f g(1)＞0(x＞0) D．x＞1時，f(x)－g(x)＞0D　解析：由直線方程可知，k＞0,0＜b＜1，故選項A，B不正確；又g(1)＝0，故選項C不正確；當(dāng)x＞1時，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故選項D正確．(2)當(dāng)0＜x≤時，4x＜logax，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．    B．    C．(1，)    D．(，2)B　解析：易知0＜a＜1，函數(shù)y＝4x與y＝logax的大致圖象如圖．由題意可知只需滿足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1．故選B．1．將本例(2)中“4x＜logax”變?yōu)?/span>“4x＝logax有解”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____________．　解析：若方程4x＝logax在上有解，則函數(shù)y＝4x與函數(shù)y＝logax的圖象在上有交點(diǎn)．由圖象可知解得0＜a≤，即a的取值范圍為．2．若本例(2)變?yōu)椋阂阎坏仁?/span>x2－logax<0對x∈恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．　解析：由x2－logax<0得x2<logax．設(shè)f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈時，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可．當(dāng)a>1時，顯然不成立；當(dāng)0<a<1時，如圖所示．要使x2<logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有≤loga，解得a≥，所以≤a<1．即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．利用對數(shù)函數(shù)圖象解決的兩類問題及技巧(1)在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．1．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的圖象可能是(　　)A　　　　　BC　　　　　DD　解析：由于本題中函數(shù)為y＝xa(x>0)與y＝logax，對于選項A，沒有冪函數(shù)圖象，故錯誤；對于選項B，由y＝xa(x>0)的圖象知a>1，而由y＝logax的圖象知0<a<1，故B錯誤；對于選項C，由y＝xa(x>0)的圖象知0<a<1，而由y＝logax的圖象知a>1，故C錯誤；對于選項D，由y＝xa(x>0)的圖象知0<a<1，而由y＝logax的圖象知0<a<1．故選D．2．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(1，＋∞)　解析：問題等價于函數(shù)y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象有且只有一個交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知a>1．考點(diǎn)3　對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用——應(yīng)用性考向1　比較大小(1)(2021·新高考全國Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，則下列判斷正確的是(　　)A．c<b<a B．b<a<cC．a<c<b D．a<b<cC　解析：a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b．(2)已知函數(shù)f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則(　　)A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)B　解析：因?yàn)?/span>f(－x)＝loga|－x|＝loga|x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)．又函數(shù)f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(－2)<f(3)．比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法常見類型解題方法底數(shù)為同一常數(shù)可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷底數(shù)為同一字母需對底數(shù)進(jìn)行分類討論底數(shù)不同，真數(shù)相同可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較底數(shù)與真數(shù)都不同常借助1,0等中間量進(jìn)行比較 考向2　解對數(shù)不等式(1)函數(shù)y＝的定義域是(　　)A．[1,2] B．[1,2) C． D．D　解析：由log (2x－1)≥0，得0<2x－1≤1．所以<x≤1．(2)已知不等式logx(2x2＋1)＜logx(3x)＜0成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．　解析：原不等式?①或②，解不等式組①得＜x＜，不等式組②無解，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是．簡單對數(shù)不等式問題的求解策略(1)解決簡單的對數(shù)不等式，應(yīng)先利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)的對數(shù)值，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解．(2)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和底數(shù)a的值有關(guān)，在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，要按0<a<1和a>1進(jìn)行分類討論．(3)某些對數(shù)不等式可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．1．(2020·全國Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，則(　　)A．a＞2b  B．a＜2bC．a＞b2 D．a＜b2B　解析：2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b．令f(x)＝2x＋log2x，則f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．又因?yàn)?/span>22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，所以2a＋log2a＜22b＋log22b，即f(a)＜f(2b)，所以a＜2b．2．若log2x＝log3y＝log5z＜－1，則(　　)A．2x＜3y＜5z B．5z＜3y＜2xC．3y＜2x＜5z D．5z＜2x＜3yB　解析：設(shè)log2x＝log3y＝log5z＝t，則t＜－1，x＝2t，y＝3t，z＝5t，因此2x＝2t＋1,3y＝3t＋1,5z＝5t＋1．又t＜－1，所以t＋1＜0，由冪函數(shù)y＝xt＋1的單調(diào)性可知5z＜3y＜2x．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x)≤2，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　)A．[－1，＋∞) B．(0,4]C．[－1,4] D．(－∞，4]C　解析：∵函數(shù)f(x)＝∴當(dāng)x>1時，f(x)≤2即log2x≤2，解得1<x≤4，當(dāng)x≤1時，f(x)≤2即≤2，解得－1≤x≤1．綜上所述，不等式的解集為[－1,4]．故選C． 

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