課時質(zhì)量評價(四十七)A組　全考點鞏固練1．古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．若橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2均在x軸上，橢圓C的面積為2π，且短軸長為2，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．＋y2＝1   B．＋＝1C．＋＝1   D．＋＝1B　解析：由題意可得解得因為橢圓C的焦點在x軸上，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1．2．已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為，則實數(shù)m等于(　　)A．2   B．2或  C．2或6   D．2或8D　解析：顯然m＞0且m≠4，當(dāng)0＜m＜4時，橢圓長軸在x軸上，則＝，解得m＝2；當(dāng)m＞4時，橢圓長軸在y軸上，則＝，解得m＝8．3．已知橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在橢圓C上．若|PF1|＝6，則∠PF1F2的余弦值為(　　)A．   B．  C．   D．A　解析：因為＋＝1，|PF1|＝6，|PF1|＋|PF2|＝2a＝16，所以|PF2|＝10．而|F1F2|＝2＝10，故cos∠PF1F2＝＝＝．4．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9．動圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程是(　　)A．－＝1   B．＋＝1 C．－＝1   D．＋＝1D　解析：設(shè)動圓的圓心M(x，y)，半徑為r．因為圓M與圓C1：(x－4)2＋y2＝169內(nèi)切，與圓C2：(x＋4)2＋y2＝9外切，所以|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r．|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由橢圓的定義，知點M的軌跡是以C1，C2為焦點，長軸長為16的橢圓，則a＝8，c＝4，所以b2＝82－42＝48，所以動圓的圓心M的軌跡方程為＋＝1．5．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為4，則橢圓C的方程為(　　)A．＋＝1   B．＋y2＝1C．＋＝1   D．＋＝1A　解析：若△AF1B的周長為4，由橢圓的定義可知，4a＝4，所以a＝．因為e＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以橢圓C的方程為＋＝1．故選A．6．(多選題)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F2，O為坐標(biāo)原點，直線y＝x－過F2交C于A，B兩點．若△AF1B的周長為8，則(　　)A．橢圓焦距為B．橢圓方程為＋y2＝1C．弦長＝D．S△OAB＝BC　解析：因為△AF1B的周長為8，所以4a＝8，得a＝2．因為y＝x－過右焦點F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以橢圓焦距為2，故A錯誤；所以橢圓方程為＋y2＝1，故B正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得5x2－8x＋8＝0，Δ＝(－8)2－4×5×8>0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝，x1x2＝，＝＝＝＝＝，故C正確；原點到直線y＝x－的距離為d＝＝，所以S△OAB＝d＝××＝，故D錯誤． 7．已知橢圓E的中心為原點，焦點在x軸上，橢圓上一點到焦點的最小距離為2－2．又離心率為，則橢圓E的方程為________．＋＝1　解析：因為橢圓上一點到焦點的最小距離為a－c，所以a－c＝2－2，離心率e＝，所以＝，解得a＝2，c＝2，則b2＝a2－c2＝4，所以橢圓E的方程為＋＝1．8．已知點P(0,1)，橢圓＋y2＝m(m>1)上兩點A，B滿足＝2，則當(dāng)m＝______時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大．5　解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(－x1,1－y1)，＝(x2，y2－1)．由＝2，得即因為點A，B在橢圓上，所以解得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以當(dāng)m＝5時，點B橫坐標(biāo)的絕對值最大，最大值為2．9．已知兩定點A(－1,0)和B(1,0)，動點P(x，y)在直線l：y＝x＋3上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，求橢圓C的離心率的最大值．解：不妨設(shè)橢圓方程為＋＝1(a>1)，與直線l的方程聯(lián)立消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0．由題意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，解得a≥，所以e＝＝≤，所以e的最大值為．B組　新高考培優(yōu)練10．(2021·新高考八省聯(lián)考)橢圓＋＝1(m>0)的焦點為F1，F2，上頂點為A．若∠F1AF2＝，則m＝(　　)A．1　　　B．　　　C．　　　D．2C　解析：在橢圓＋＝1(m>0)中，a＝，b＝m，c＝＝1，如下圖所示：因為橢圓＋＝1(m>0)的上頂點為點A，焦點為F1，F2，所以|AF1|＝|AF2|＝a．因為∠F1AF2＝，所以△F1AF2為等邊三角形，則|AF1|＝|F1F2|，即＝a＝2c＝2，因此，m＝．故選C．11．已知A1，A2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點，P是橢圓C上異于A1，A2的任意一點．若直線PA1，PA2的斜率的乘積為－，則橢圓C的離心率為(　　)A．   B．  C．   D．D　解析：設(shè)P(x0，y0)，則×＝－，化簡得＋＝1，則＝，e＝＝＝．故選D．12．(2021·廣東汕頭模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為，直線y＝kx與該橢圓交于A，B兩點，分別過A，B向x軸作垂線，若垂足恰為橢圓的兩個焦點，則k等于(　　)A．±   B．±  C．±   D．±2A　解析：聯(lián)立?(b2＋a2k2)x2＝a2b2，則x＝±，由題意知＝c，① 因為e＝＝，所以a＝2c，b＝＝c，代入①可得＝c2?k＝±．13．如圖，用與底面成45°角的平面截圓柱得一截口曲線，即橢圓，則該橢圓的離心率為(　　)A．   B．  C．   D．A　解析：設(shè)圓柱的底面圓的直徑為d，則橢圓的短軸長為d．因為截面與底面成45°角，所以橢圓的長軸長為d，所以橢圓的半焦距為＝，則e＝＝＝．14．(多選題)設(shè)橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的動點，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．|PF1|＋|PF2|＝2B．離心率e＝C．△PF1F2面積的最大值為D．以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－＝0相切AD　解析：由橢圓C：＋y2＝1可知，a＝，b＝1，c＝1，所以左、右焦點為F1(－1,0)，F2(1,0)，根據(jù)橢圓的定義|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，故A正確；離心率e＝＝，故B錯誤；所以△PF1F2面積的最大值為×2c×b＝bc＝1，故C錯誤；由原點(0,0)到直線x＋y－＝0的距離d＝＝1＝c，所以以線段F1F2為直徑的圓與直線x＋y－＝0相切，故D正確．故選AD．15．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(1,0)，其關(guān)于直線y＝bx的對稱點Q在橢圓上，則離心率e＝________，S△FOQ＝________．　　解析：設(shè)點Q(x，y)，則由點Q與橢圓的右焦點F(1,0)關(guān)于直線y＝bx對稱得解得代入橢圓C的方程得＋＝1，結(jié)合a2＝b2＋1，解得則橢圓的離心率e＝＝，S△FOQ＝|OF|·＝×1×＝．16．過橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點作x軸的垂線，交C于A，B兩點，直線l過C的左焦點和上頂點．若以AB為直徑的圓與l存在公共點，則C的離心率的取值范圍是________．0＜e≤　解析：由題設(shè)知，直線l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB為直徑的圓的圓心為(c,0)，根據(jù)題意，將x＝c代入橢圓C的方程，得y＝±，即圓的半徑r＝．又圓與直線l有公共點，所以≤，化簡得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又0＜e＜1，所以0＜e≤．17．(2022·江蘇質(zhì)檢)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，焦距為2．(1)求C的方程；(2)若斜率為－的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(點P，Q均在第一象限)，O為坐標(biāo)原點．證明：直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列．(1)解：由題意可得解得又b2＝a2－c2＝1，所以橢圓C的方程為＋y2＝1．(2)證明：設(shè)直線l的方程為y＝－x＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y，得x2－2mx＋2(m2－1)＝0，則Δ＝4m2－8(m2－1)＝4(2－m2)>0，且x1＋x2＝2m>0，x1x2＝2(m2－1)>0，故y1y2＝＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＝，kOPkOQ＝＝＝＝k，即直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列． 

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