課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(十三)(建議用時(shí)：45分鐘)A組　全考點(diǎn)鞏固練1．函數(shù)f (x)＝ex＋x－3在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　)A．0 B．1  C．2 D．3B　解析：由題知函數(shù)f (x)是增函數(shù)．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理及f (0)＝－2＜0，f (1)＝e－2>0，可知函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．故選B．2．函數(shù)f (x)＝1－xlog2x的零點(diǎn)所在區(qū)間是(　　)A． B．C．(1，2) D．(2，3)C　解析：f ＝1－log2＝1＋＝>0，f ＝1－log2＝1＋＝>0，f (1)＝1－0>0，f (2)＝1－2log22＝－1<0.由f (1)·f (2)<0知選C項(xiàng)．3．若函數(shù)f (x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)C　解析：由條件可知f (1)f (2)＜0，即(2－2－a)·(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，解得0＜a＜3.4．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)函數(shù)f (x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　)A．2 B．3C．4 D．5B　解析：令f (x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，即2sin x－2sin xcos x＝0，所以2sin x(1－cos x)＝0，所以sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，由sin x＝0得x＝0，π或2π；由cos x＝1得x＝0或2π.故函數(shù)f (x)的零點(diǎn)為0，π，2π，共3個(gè)．故選B．5．函數(shù)f (x)＝|x－2|－ln x在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)A．0  B．1  C．2  D．3C　解析：由題意可知f (x)的定義域?yàn)?/span>(0，＋∞)．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x－2|(x>0)，y＝ln x(x>0)的圖象如圖所示．由圖可知函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.6．設(shè)f (x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增，且f ·f <0，則方程f (x)＝0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)(　　)A．可能有3個(gè)實(shí)數(shù)根  B．可能有2個(gè)實(shí)數(shù)根C．有唯一的實(shí)數(shù)根  D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根C　解析：因?yàn)?/span>f (x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增，且f ·f <0，所以f (x)在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn). 所以方程f (x)＝0在區(qū)間[－1,1]內(nèi)有唯一的實(shí)數(shù)根．7．已知函數(shù)f (x)＝(a∈R)．若函數(shù)f (x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(－∞，1]A　解析：畫出函數(shù)f (x)的大致圖象如圖所示．因?yàn)楹瘮?shù)f (x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以f (x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x≤0時(shí)，f (x)有一個(gè)零點(diǎn)，需1－a≥0，即a≤1；當(dāng)x>0時(shí)，f (x)有一個(gè)零點(diǎn)，需－a<0，即a>0.綜上，0<a≤1.8．方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，則a的最小值為________．1　解析：若方程log0.5(a－2x)＝2＋x有解，則＝a－2x有解，即×＋2x＝a有解．因?yàn)?/span>×＋2x＝×＋2x≥2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝－1時(shí)，等號(hào)成立，故a的最小值為1.9．若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，則x1x2等于________．1　解析：考慮到x1，x2是函數(shù)y＝ex、函數(shù)y＝ln x分別與函數(shù)y＝的圖象的公共點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)，而A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，因此x1x2＝1.10．已知函數(shù)f (x)＝若f (x0)＝－1，則x0＝________；若關(guān)于x的方程f (x)＝k有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．－1　(0,1)　解析：由f (x0)＝－1，得或解得x0＝－1.關(guān)于x的方程f (x)＝k有兩個(gè)不同零點(diǎn)等價(jià)于y＝f (x)的圖象與直線y＝k有兩個(gè)不同交點(diǎn)，如圖．觀察圖象可知，當(dāng)0＜k＜1時(shí)y＝f (x)的圖象與直線y＝k有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即k∈(0,1)．11. 已知二次函數(shù)f (x)＝ax2＋bx＋c滿足a＞b＞c，且f (1)＝0，函數(shù)g(x)＝f (x)＋bx.(1)證明：函數(shù)y＝g(x)必有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)；(2)設(shè)函數(shù)y＝g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2 ，求|x1－x2|的取值范圍．解：(1)由f (1)＝0得a＋b＋c＝0，所以b＝－(a＋c)，g(x)＝f (x)＋bx＝ax2＋2bx＋c.令g(x)＝0，即ax2＋2bx＋c＝0，則Δ＝4b2－4ac＝4(a＋c)2－4ac＝4(a2＋2ac＋c2－ac)＝4＋3c2＝4＋3c2＞0，即ax2＋2bx＋c＝0有兩個(gè)不等實(shí)根．所以函數(shù)y＝g(x)必有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)．(2)由(1)知y＝g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，即方程ax2＋2bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根，所以所以|x1－x2|＝＝＝2＝2＝2＝2.因?yàn)?/span>f (1)＝a＋b＋c＝0，且a＞b＞c，所以a＞0，c＜0.當(dāng)a＞0，c＜0且＝－時(shí)，|x1－x2|min＝.所以|x1－x2|的取值范圍為[，＋∞)．B組　新高考培優(yōu)練12．(多選題)已知函數(shù)f (x)＝g(x)＝f (x)＋x＋a，則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可能為(　　)A．0  B．1  C．2  D．3BC　解析：畫出函數(shù)f (x)的圖象，y＝ex在y軸右側(cè)的去掉，如圖，再畫出直線y＝－x，之后上下移動(dòng)直線y＝－x.可以發(fā)現(xiàn)直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)或一個(gè)交點(diǎn)．13．設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?/span>R，f (－x)＝f (x)，f (x)＝f (2－x)．當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f (x)＝x3，則函數(shù)g(x)＝|cos πx|－f (x)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(　　)A．3  B．4  C．5  D．6C　解析：由f (－x)＝f (x)，得f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．由f (x)＝f (2－x)，得f (x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱．當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f (x)＝x3，所以f (x)在[－1,2]上的圖象如圖．令g(x)＝|cos πx|－f (x)＝0，得|cos πx|＝f (x)，函數(shù)y＝f (x)與y＝|cos πx|的圖象在上的交點(diǎn)有5個(gè)．14．已知函數(shù)f (x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常數(shù)a，b滿足2a＝3,3b＝2，則n＝________.－1　解析：a＝log23>1，0<b＝log32<1.令f (x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝ax和y＝－x＋b的圖象，如圖所示．由圖可知，兩函數(shù)的圖象在區(qū)間(－1,0)內(nèi)有交點(diǎn)，所以函數(shù)f (x)在區(qū)間(－1，0)內(nèi)有零點(diǎn)，所以n＝－1.15．若曲線y＝log2(2x－m)(x>2)上至少存在一點(diǎn)與直線y＝x＋1上的一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則m的取值范圍為________．(2,4]　解析：直線y＝x＋1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為y＝x－1.依題意方程log2(2x－m)＝x－1在(2，＋∞)上有解．則m＝2x－1在x∈(2，＋∞)上有解，所以m>2.又2x－m>0恒成立，則m≤(2x)min，即m≤4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2,4]．16．已知函數(shù)f (x)＝若方程f (x)＝kx－2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．[3，＋∞)　解析：由題意知函數(shù)f (x)的圖象與恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2)的直線y＝kx－2有兩個(gè)交點(diǎn)，作出y＝f (x)與y＝kx－2的圖象，如圖所示．當(dāng)直線y＝kx－2過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，k＝3.結(jié)合圖象知，當(dāng)k≥3時(shí)，直線與y＝f (x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．17．已知a∈R，函數(shù)f (x)＝log2.(1)當(dāng)a＝5時(shí)，解不等式f (x)＞0；(2)若函數(shù)g(x)＝f (x)＋2log2x只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；解：(1)當(dāng)a＝5時(shí)，f (x)＝log2.由f (x)＞0，即log2＞0，可得＋5＞1，解得x＜－或x＞0.即不等式f (x)＞0的解集為∪(0，＋∞)．(2)g(x)＝f (x)＋2log2x＝log2＋2log2x＝log2·x2(其中x＞0)．因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝f (x)＋2log2x只有一個(gè)零點(diǎn)，即g(x)＝0只有一個(gè)根，即·x2＝1在(0，＋∞)上只有一個(gè)解，即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一個(gè)解．①當(dāng)a＝0時(shí)，方程x－1＝0，解得x＝1，符合題意．②當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)函數(shù)y＝ax2＋x－1.當(dāng)a＞0時(shí)，此時(shí)函數(shù)y＝ax2＋x－1與x軸的正半軸，只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；當(dāng)a＜0時(shí)，要使得函數(shù)y＝ax2＋x－1與x軸的正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足解得a＝－ .綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪[0，＋∞)． 

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