2022-2023學(xué)年北京市第二中學(xué)高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式可求，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?/span>，所以．又因?yàn)?/span>，所以．故選:C.2．已知雙曲線C：的離心率e＝，且其右焦點(diǎn)為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求得c的值，根據(jù)離心率，可求得a的值，根據(jù)b2＝c2－a2，可求得b的值，即可求得答案.【詳解】根據(jù)右焦點(diǎn)為F2(5，0)，可得c＝5，又離心率為，所以a＝4，所以b2＝c2－a2＝9，所以雙曲線方程為，故選：C.3．從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先列舉出所有情況，再從中挑出數(shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無序從6張卡片中無放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出； 4．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（    ）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B 5．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（    ）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B 6．猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動(dòng)之一．已知甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)猜一個(gè)燈謎，每人猜對(duì)的概率均為，并且每人是否猜對(duì)相互獨(dú)立在三人中至少有兩人猜對(duì)的條件下，甲猜對(duì)的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用條件概率公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)事件:三人中至少有兩人猜對(duì),事件:甲猜對(duì),所以有，，因此，故選：A7．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有一個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】D【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)求導(dǎo)后判斷函數(shù)單調(diào)性，即可判斷極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，結(jié)合A選項(xiàng)求解的函數(shù)單調(diào)性和極值點(diǎn)的值，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)利用函數(shù)平移，構(gòu)造，判斷的奇偶性，進(jìn)一步得到對(duì)稱中心；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)條件直接求出切線方程即可判斷結(jié)果；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，定義域?yàn)?/span>，可得，令，可得，因?yàn)?/span>，得或，，得，即在單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，即是有極大值點(diǎn)，是有極小值點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由A可知極大值為，極小值，，由在單調(diào)遞增和零點(diǎn)存在定理可知，在存在1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，極小值，所以在恒大于0，所以有一個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，可設(shè)，得，則為奇函數(shù)，所以圖像關(guān)于對(duì)稱，將向上平移1個(gè)單位可得，故函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由A知，令，解得，則，，所以切線方程為和，即和，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：D8．函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D 9．若曲線的一條切線為，其中，為正實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)已知求出，，再利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則有，∵，∴，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.10．已知是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且，，對(duì)，與有且僅有一個(gè)成立，則的最小值為（    ）A．18 B．20 C．21 D．23【答案】B【分析】令，由題設(shè)易知或有一項(xiàng)為1，則，判斷各項(xiàng)取值情況，進(jìn)而求的最小值.【詳解】當(dāng)滿足時(shí)，，令，則或有一項(xiàng)為1，而，∴，又是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，∴，，，，此時(shí)的最小值為，當(dāng)滿足時(shí)，，，，，，，時(shí)，，因?yàn)?/span>，所以的最小值為20.故選:B. 二、填空題11．設(shè)隨機(jī)變量，，則________．【答案】/【分析】隨機(jī)變量，得到曲線關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)曲線的對(duì)稱性和概率之和為1可得得結(jié)果．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，故.故答案為：.12．在甲，乙，丙三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有8%，6%，4%的人患了流感.若這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)的比為5：3：2，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，這個(gè)人患流感的概率是______.【答案】/0.066【分析】患流感的人可能來自三個(gè)地方，利用條件概率公式求解.【詳解】設(shè)事件B為此人患流感，，，分別代表此人來自甲，乙，丙三個(gè)地區(qū)，根據(jù)題意可知：，，，，，，.故答案為：13．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：0123 若離散型隨機(jī)變量，則________．【答案】/【分析】先求出隨機(jī)變量的概率，再求出，最后根據(jù)性質(zhì)求出即可.【詳解】設(shè)隨機(jī)變量的概率為：，則，所以，由，所以，故答案為：.14．已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．【答案】【分析】由有兩個(gè)極值點(diǎn)可得有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，用導(dǎo)數(shù)研究的圖像即可求解【詳解】由題意，有兩根，且兩根的兩邊導(dǎo)函數(shù)值異號(hào)，又，令，則有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則，令有，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，，故作出圖象.可得當(dāng)有兩根時(shí)故答案為：15．如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點(diǎn)，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐．當(dāng)△ABC的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為______．【答案】【詳解】如下圖，連接DO交BC于點(diǎn)G，設(shè)D，E，F重合于S點(diǎn)，正三角形的邊長(zhǎng)為x(x>0)，則.， ，三棱錐的體積.設(shè)，x>0，則，令，即，得，易知在處取得最大值.∴.點(diǎn)睛:對(duì)于三棱錐最值問題，需要用到函數(shù)思想進(jìn)行解決，本題解決的關(guān)鍵是設(shè)好未知量，利用圖形特征表示出三棱錐體積.當(dāng)體積中的變量最高次是2次時(shí)可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，當(dāng)變量是高次時(shí)需要用到求導(dǎo)的方式進(jìn)行解決. 三、解答題16．已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，，，，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為；【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）先根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，由等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）根據(jù)分組求和法結(jié)合等差與等比數(shù)列的求和公式求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由題意可得，,故,解得.又，,所以，.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）得，所以.17．小明同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)(滿分100分)如下表所示： 語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物第一次879291928593第二次829495889487（1）從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，求該科成績(jī)大于90分的概率；（2）從小明同學(xué)第一次測(cè)試和第二次測(cè)試的科目中各隨機(jī)抽取1科，記X為抽取的2科中成績(jī)大于90分的科目數(shù)量，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)有另一名同學(xué)兩次測(cè)試成績(jī)(滿分100分)及相關(guān)統(tǒng)計(jì)信息如下表所示： 語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物6科成績(jī)均值6科成績(jī)方差第一次第二次將每科兩次測(cè)試成績(jī)的均值作為該科的總評(píng)成績(jī)，這6科總評(píng)成績(jī)的方差為.有一種觀點(diǎn)認(rèn)為：若，則.你認(rèn)為這種觀點(diǎn)是否正確？(只寫“正確”或“不正確”)【答案】（1）（2）分布列見解析，（3）不正確【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得結(jié)果；（2）計(jì)算出的各個(gè)取值的概率可得分布列，根據(jù)期望公式計(jì)算可得數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)方差公式計(jì)算，結(jié)合比較可得答案.【詳解】（1）共有6科成績(jī)，其中成績(jī)大于90分的有數(shù)學(xué)、英語、物理和生物共4科，所以從小明同學(xué)第一次測(cè)試的科目中隨機(jī)抽取1科，該科成績(jī)大于90分的概率為.（2）的所有可能取值為：0，1，2，，，，所以X的分布列為：012數(shù)學(xué)期望.（3）設(shè)，則，則，同理可得，，因?yàn)?/span>，所以，所以的符號(hào)不確定，所以與無法比較大小，，所以，故這種觀點(diǎn)不正確.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：掌握求離散型隨機(jī)變量的分布列的步驟和數(shù)學(xué)期望公式是解題關(guān)鍵.18．如圖，在四棱錐中，，，，，平面平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的大小為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）存在；【分析】（1）由線面平行判定定理證明即可；（2）由勾股定理得出，進(jìn)而得，再由面面垂直的性質(zhì)定理即可證明平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】證明：（1）因?yàn)?/span>，平面，平面，所以平面.（2）取的中點(diǎn)N，連接.在直角梯形中，易知，且.在中，由勾股定理得.在中，由勾股定理逆定理可知.又因?yàn)槠矫?/span>平面，且平面平面，所以平面.（3）取的中點(diǎn)O，連接，.所以，因?yàn)?/span>平面，所以平面.因?yàn)?/span>，所以.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.易知平面的一個(gè)法向量為.假設(shè)在棱上存在一點(diǎn)E，使得二面角的大小為.不妨設(shè)（），所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則 即令，，所以.從而.解得或.因?yàn)?/span>，所以.由題知二面角為銳二面角.所以在棱上存在一點(diǎn)E，使得二面角的大小為，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明線面平行，線面垂直以及由面面角求其他量，屬于中檔題.19．已知函數(shù)．(1)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)證明不等式恒成立．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(3)證明見解析. 【分析】（1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可求解；（2）求出導(dǎo)函數(shù)后對(duì)的值進(jìn)行分情況討論即可求；（3）用切線不等式可證得結(jié)果.【詳解】（1）時(shí)，，依題意切點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以函數(shù)在處的切線的斜率為，故函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，得，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）要證恒成立，即證恒成立，令，，由（2）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以恒成立，即有時(shí)恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，亦有即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”號(hào).所以一方面，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”號(hào)，另一方面恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)，所以恒成立，原不等式得證.20．已知橢圓的右頂點(diǎn)，離心率．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線l交x軸于T，交曲線C于A，B兩點(diǎn)，是否存在k使得為定值，若存在，求出k值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在， 【分析】（1）根據(jù)橢圓頂點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求出，可得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，由韋達(dá)定理及兩點(diǎn)間距離公式寫出，觀察式子可知當(dāng)時(shí)即可.【詳解】（1）因?yàn)闄E圓右頂點(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）假設(shè)存在k，則k≠0，設(shè)，設(shè)直線：，如圖，  由，化簡(jiǎn)得，，，為定值，所以，所以，所以.21．對(duì)于給定的奇數(shù) ，設(shè)是由個(gè)數(shù)組成的行列的數(shù)表，數(shù)表中第行，第列的數(shù)，記為的第行所有數(shù)之和，為的第列所有數(shù)之和，其中.對(duì)于，若且同時(shí)成立，則稱數(shù)對(duì)為數(shù)表的一個(gè)“好位置”  1001010(Ⅰ)直接寫出右面所給的數(shù)表的所有的“好位置”；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的 都有成立，求數(shù)表中的“好位置”個(gè)數(shù)的最小值.(Ⅲ)求證：數(shù)表中的“好位置”個(gè)數(shù)的最小值為．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值為【分析】（Ⅰ）根據(jù)題中條件，直接列舉出結(jié)果； (Ⅱ)先由題意，確定，再確定“好位置”的數(shù)個(gè)數(shù)最小值，最后列舉，即可得出結(jié)果. （Ⅲ）同(Ⅱ)結(jié)合對(duì)稱性確定“好位置”的數(shù)個(gè)數(shù)最小值，再通過列舉，證得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）“好位置”有： （Ⅱ）因?yàn)閷?duì)于任意的，；所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；因此若為“好位置”，則必有，且 ，即                  設(shè)數(shù)表中共有個(gè)，其中有列中含的個(gè)數(shù)不少于，則有列中含的個(gè)數(shù)不多于，所以，，因?yàn)?/span>為自然數(shù)，所以的最小值為 因此該數(shù)表中值為，且相應(yīng)位置不為“好位置”的數(shù)個(gè)數(shù)最多不超過所以，該數(shù)表好位置的個(gè)數(shù)不少于個(gè)                而下面的數(shù)表顯然符合題意1110011100110101100110011此數(shù)表的“好位置”的個(gè)數(shù)恰好為 綜上所述，該數(shù)表的“好位置”的個(gè)數(shù)的最小值為（Ⅲ） 當(dāng)為“好位置”時(shí)，且時(shí)，則有，所以，注意到為奇數(shù)，，所以有同理得到                                  當(dāng)為“好位置”，且時(shí)，則，則必有，注意到為奇數(shù)，，所以有同理得到                                       因?yàn)榻粨Q數(shù)表的各行，各列，不影響數(shù)表中“好位置”的個(gè)數(shù)，所以不妨設(shè)            其中，則數(shù)表可以分成如下四個(gè)子表    其中是行列，是行列，是行列，是行列設(shè)，，，中的個(gè)數(shù)分別為則，，，中的個(gè)數(shù)分別為則數(shù)表中好位置的個(gè)數(shù)為個(gè)而  ， 所以 所以 而  顯然當(dāng)取得最小值時(shí)，上式取得最小值，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)表中至少含有個(gè)，而，所以至少為此時(shí)當(dāng)時(shí)，數(shù)表中至少含有個(gè)而，所以至少為此時(shí)下面的數(shù)表滿足條件，其“好位置”的個(gè)數(shù)為【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理，結(jié)合題中所給條件，逐步分析即可，屬于?？碱}型，難度較大. 

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