2022-2023學年北京市第四中學高二下學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知數(shù)列滿足，且，那么（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即可求解.【詳解】由題意，得，得數(shù)列是等差數(shù)列，公差，.故選：C2．函數(shù)的導數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由常用函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則即可得答案.【詳解】，故選：B.3．生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標，若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為A． B．C． D．【答案】B【分析】本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應用古典概率的計算公式求解．【詳解】設其中做過測試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過測試的取法有共6種，所以恰有2只做過測試的概率為，選B．【點睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．應用列舉法寫出所有基本事件過程中易于出現(xiàn)遺漏或重復，將兔子標注字母，利用“樹圖法”，可最大限度的避免出錯．4．函數(shù)在處的瞬時變化率為（    ）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】函數(shù)在某點處的瞬時變化率即為函數(shù)在改點的導數(shù)值，求導得解【詳解】，所以函數(shù)在處的瞬時變化率為故選：B【點睛】本題考查函數(shù)在某點處的導數(shù)值，屬于基礎題.5．投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記兩次的點數(shù)均為奇數(shù)，兩次的點數(shù)之和為4，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】用列舉法寫出事件所含的基本事件，同時可得事件含有的基本事件，從而可得概率．【詳解】由題意，共9個基本事件，其中和為4的只有和兩個事件，所以．故選：C．6．在等比數(shù)列中，，，則等于（  ）A．9 B．72 C．9或72 D．9或-72【答案】D【詳解】設等比數(shù)列的公比為，∵，，∴，解得或，故或，故選：D.7．有甲、乙兩個袋子，甲袋中有2個白球和1個紅球，乙袋中有2個紅球和中1個白球，這6個球手感上不可區(qū)別.現(xiàn)從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，則收到紅球的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用條件概率及古典概率的計算公式，結(jié)合全概率公式即可求解.【詳解】設“從甲袋放入乙袋的是白球”， “從甲袋放入乙袋的是紅球” “從乙袋中任取一球是紅球”，則.故選：B.8．設是公差為的等差數(shù)列，為其前項和，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（    ）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】通過舉反例可以判斷得結(jié)論.【詳解】當時，數(shù)列不一定是遞增數(shù)列，例如, , ；當數(shù)列為遞增數(shù)列時，也不一定成立，例如，此時單調(diào)遞增，所以“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.9．某堆雪在融化過程中，其體積V（單位：）與融化時間t（單位：h）近似滿足函數(shù)關系：（H為常數(shù)），其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為.那么瞬時融化速度等于的時刻是圖中的（    ）.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，平均融化速度為，反映的是圖象與坐標軸交點連線的斜率，通過觀察某一時刻處瞬時速度（即切線的斜率），即可得到答案.【詳解】解：平均融化速度為，反映的是圖象與坐標軸交點連線的斜率，觀察可知處瞬時速度（即切線的斜率）為平均速度一致，故選：C．【點睛】本題考查了圖象的識別，瞬時變化率和切線斜率的關系，理解平均速度表示的幾何意義（即斜率）是解題的關鍵.10．已知常數(shù)，數(shù)列滿足.現(xiàn)給出下列四個命題：①當時，數(shù)列為遞減數(shù)列；②當時，數(shù)列為遞減數(shù)列；③當時，數(shù)列不一定有最大項；④當為正整數(shù)時，數(shù)列必有兩項相等的最大項.其中正確命題的序號是（    ）A．①② B．③④ C．②③④ D．②④【答案】D【分析】由于，再根據(jù)的范圍討論即可判斷對錯.【詳解】對于①：當時，，，所以數(shù)列不是遞減數(shù)列，所以①不正確；對于②：當時，，所以.所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故②正確；對于③：當時，因為，當時，，，，所以數(shù)列有最大項，故③不正確；對于④：，當為正整數(shù)時，.當時，；當時，令，解得，，若，則，數(shù)列單調(diào)遞增；若，則，數(shù)列單調(diào)遞減；若，；所以數(shù)列必有兩項相等的最大項，故④正確.故選：D【點睛】關鍵點睛：由，再根據(jù)的范圍進行分類討論，得到數(shù)列的單調(diào)性. 二、雙空題11．已知隨機變量X的分布列如下：X012P0.4p0.4則p＝___；D（X）＝___．【答案】     /     /【分析】利用隨機變量分布列的性質(zhì)知，求得；利用期望和方差的公式求得；【詳解】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，知，所以， ，；故答案為：；. 三、填空題12．已知甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.5和0.8，且兩人投籃相互沒有影響.若投進一球得2分，未進得0分，則每人投籃一次，得分相等的概率為______.【答案】/【分析】根據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率公式，即可求解.【詳解】若兩人都沒有投進，概率,若兩人都投進，概率，則得分相等的概率.故答案為：13．某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立，設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，，則______.【答案】0.6【分析】由題意知，，根據(jù)二項分布的概率、方差公式計算即可.【詳解】由題意知，該群體的10位成員使用移動支付的概率分布符合二項分布，所以，所以或．由，得，即，所以，所以，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是二項分布問題，根據(jù)二項分布求概率，再利用方差公式求解即可．14．德國數(shù)學家科拉茨1937年提出了一個著名的陦想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半（即）如果是奇數(shù)，則將它乘3加1（即）.不斷重復這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前既也不能證明，也不能否定.現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)（首項）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項為1（注：1可以多次岕現(xiàn)），則的所有不同值的個數(shù)為______.【答案】6【分析】根據(jù)科拉茨的猜想從反推的所有可能取值，列表展示.【詳解】如果正整數(shù)按照上述規(guī)則施行變換后第八項為1，則變換中的第7項一定為2，變換中的第6項一定為4，變換中的第5項可能為1，也可能是8，變換中的第4項可能是2，也可能是16，變換中的第4項為2時，變換中的第3項是4，變換中的第2項是1或8，變換中的第1項是2或16，變換中的第4項為16時，變換中的第3項是32或5，變換中的第2項是64或10，變換中的第1項是128或21或20或3，如圖得到的反推結(jié)果：2故答案為：615．已知數(shù)列的前項和為，為數(shù)列的前項積，滿足，給出下列四個結(jié)論：①；②；③為等差數(shù)列；④.其中所有正確結(jié)論的序號是______.【答案】①③④【分析】根據(jù)關系式，當時，即可求得的值；由得，當時，可得，可證明為等差數(shù)列，即可求得，則可求得，則可判斷其他選項.【詳解】因為，所以當時，，解得或，又，所以，故，故①正確；因為，可得，所以，當時，，所以，是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，則，故④正確；所以，則，所以為等差數(shù)列，故③正確；當時，，又不符合所以，故②不正確.故答案為：①③④. 四、解答題16．在等差數(shù)列{}中，(1)求{}的通項公式；(2)若是公比為2的等比數(shù)列，，求數(shù)列{}的前n項和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設公差為，根據(jù)已知求出首項與公差，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得解；（2）根據(jù)等差數(shù)列的通項求出數(shù)列的通項，即可得出數(shù)列{}的通項，再利用分組求和法即可得解.【詳解】（1）解：設公差為，則，解得，則，所以，所以；（2）解：，因為是公比為2的等比數(shù)列，所以，所以，所以.17．某高校學生社團為了解“大數(shù)據(jù)時代”下大學生就業(yè)情況的滿意情況，對20名學生進行問卷計分調(diào)查（滿分100分），得到如圖所示的莖葉圖：(1)計算男生打分的平均分.再觀蔡莖葉圖，設女生分數(shù)的方差為，男生分數(shù)的方差為，直接指出與的大小關系（結(jié)論不需要證明）；(2)從這20多學生中打分在80分以上的同學中隨機抽取3人，求被抽到的女生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)平均分為69；(2)分布列見解析，數(shù)學期望為. 【分析】（1）結(jié)合莖葉圖計算可得男生打的平均分為69；觀察莖葉圖可知女生打分比較集中，男生打分比較分散，故.（2）由題意可得的可能取值為1，2，3，結(jié)合超幾何概型的概率公式即可求得分布列，然后計算可得數(shù)學期望.【詳解】（1）解：男生打的平均分為：，觀察莖葉圖可知女生打分比較集中，男生打分比較分散，故.（2）因為打分在80分以上的有3女2男，所以的可能取值為1，2，3，，，，所以的分布列為：123.18．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率；(2)設，若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，求實數(shù)的值；(3)求過點且與曲線相切的直線方程.【答案】(1)2(2)1(3)或 【分析】（1）根據(jù)平均變化率公式，即可求解；（2）利用導數(shù)求的幾何意義求切線斜率，利用斜率相等，即可求解；（3）首先設切點，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程.【詳解】（1）函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為；（2），，，，，，由題意可知，，得；（3），設切點為，，則曲線在點處的切線方程為，切線過點，則，化簡為，即，則，得或，當時，切線方程為，當時，切線方程為，綜上可知，切線方程為或.19．隨著人民生活水平的提高，人們對牛奶品質(zhì)要求越來越高.某牛奶企業(yè)針對生產(chǎn)的鮮奶和酸奶，在一地區(qū)進行了質(zhì)量滿意調(diào)查.現(xiàn)從消費者人群中隨機抽取500人作為樣本，得到下表（單位：人） 老年人中年人青年人酸奶鮮奶酸奶鮮奶酸奶鮮奶滿意100120120100150120不滿意503030505080(1)從樣本中任意取1人，求這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶質(zhì)量滿意的概率；(2)從該地區(qū)青年人中隨機選取3人，以頻率估計概率，記這3人中對酸奶滿意的人數(shù)為，求的分布列與期望；(3)依據(jù)表中三個年齡段的數(shù)據(jù)，你認為哪一個消費群體鮮奶的滿意度提升0.1，使得整體對鮮奶的滿意度提升最大？（直接寫出結(jié)果）注：本題中的滿意度是指消費群體中滿意的人數(shù)與該消費群體總?cè)藬?shù)的比值.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望(3)青年人 【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，計算滿意的概率；（2）由條件可知，，根據(jù)二項分布，求分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，結(jié)合每類人對鮮奶的滿意度，即可作出判斷.【詳解】（1）設這個人恰好對生產(chǎn)的酸奶滿意人數(shù)事件為，樣本總?cè)藬?shù)為500人，其中對酸奶滿意人數(shù)為人，所以；（2）用樣本頻率估計總體概率，青年人對酸奶滿意的概率，的取值為，，，，，，所以的分布列為0123的數(shù)學期望是.（3）青年人青年人總體人數(shù)最多，對鮮奶的滿意度較低，所以鮮奶的滿意度提高0.1，則人數(shù)提高最多，則整體對鮮奶的滿意度會大幅提高.20．已知數(shù)列的前項和，數(shù)列的前項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)求使不等式成立的最小正整數(shù)的值.【答案】(1)，(2)(3)8 【分析】（1）根據(jù)求出，為公比為2的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求出答案；（2）利用錯位相減法求和得到答案；（3）在（2）的基礎上，解不等式結(jié)合單調(diào)性得到答案.【詳解】（1）當時，，當時，，經(jīng)檢驗，，滿足，綜上：，故，因為①，當時，②，兩式相減得，即，中，令得，，故為公比為2的等比數(shù)列，首項為1，所以，（2），則，兩式相減得，故；（3），因為當時，，又單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，又，又，解得，故最小正整數(shù)的值為8.21．數(shù)列滿足：.記的前項和為，并規(guī)定.定義集合.(1)對數(shù)列：，0.7，，0.9，0.1，求集合；(2)若集合，證明：.(3)給定正整數(shù)，對所有滿足的數(shù)列，求集合的元素個數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)證明見解析(3) 【分析】(1)直接利用信息求出結(jié)果；(2)根據(jù)所給的條件和關系式求出結(jié)果；(3)利用(2)的結(jié)論，進一步求出關系，即集合的最小值.【詳解】（1）因為，，所以.（2）由集合的定義知，且是使得成立的最小的，由于，所以，即.（3）因為，所以非空.設集合，不妨設，則由（2）可知，，同理，且，所以.因為，所以的元素個數(shù).取常數(shù)數(shù)列：，并令，則，適合題意，且，其元素個數(shù)恰為.綜上，的元素個數(shù)的最小值為. 

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