2022-2023學年陜西省西安市第三中學高二下學期期中數學（理）試題 一、單選題1．某校有高三學生1200名，現采用系統抽樣法從中抽取200名學生進行核酸檢測，用電腦對這1200名學生隨機編號1，2，3，…，1200，已知隨機抽取的一個學生編號為10，則抽取的學生最大編號為（     ）A．2004 B．1198 C．1192 D．1086【答案】B【分析】首先求出分段間隔，再根據系統抽樣規(guī)則計算可得.【詳解】根據系統抽樣法可知，分段間隔為，編號共分為段，編號屬于第段，所以最大編號在第段，號碼為．故選：B2．在下列各事件中，發(fā)生可能性最大的是（    ）A．拋擲兩枚質地均勻的硬幣，至少有一枚正面朝上B．拋擲一顆質地均勻的骰子，點數大于2C．有1000張彩票，其中50張有獎，從中隨機買1張中獎D．一個袋子中有20個紅球8個白球，從中摸出1個球是紅球【答案】A【分析】根據概率的定義，逐個選項進行計算，比較大小即可得解.【詳解】對于A，拋擲兩枚質地均勻的硬幣，可能的結果有（正正），（正反），（反正），（反反），所以至少有一枚正面朝上的概率；對于B，拋擲一顆質地均勻的骰子，點數可以為1，2，3，4，5，6，點數大于2的概率為；對于C，有1000張彩票，其中50張有獎，從中隨機買1張中獎的概率；對于D，袋子中共有28個球，紅球有20個，摸出1個是紅球的概率；又，故發(fā)生可能性最大的是A；故選：A3．給出以下四個問題，①輸入一個數，輸出它的相反數；②求面積為的正方形的周長；③求三個數，，中的最大數；④求函數的函數值.其中不需要用條件語句來描述其算法的有（    ）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】對于①②，求值只需要代入相應的公式不需要用條件語句，對于③④，要分情況討論，需要用條件語句來描述其算法，即可得正確答案.【詳解】對于①：輸入一個數，求它的相反數，只需代入求即可，是順序結構，故①不需要用條件語句來描述其算法；對于②：求面積為的正方形的周長，代入即可，是順序結構，故②不需要用條件語句來描述其算法；對于③：求三個數，，中的最大數，必須先進行大小比較，需要用條件語句，對于④：求函數的函數值，必須對進行條件判斷，需要用條件語句，所以①②不需要用條件語句，③④需要用條件語句，要用條件語句來描述其算法的有2個，故選：B.4．某校舉辦了迎新年知識競賽，將100人的成績整理后畫出的頻率分布直方圖如下，則根據頻率分布直方圖，下列結論不正確的是（    ）A．中位數70 B．眾數75 C．平均數68.5 D．平均數70【答案】D【分析】根據題意，由頻率分布直方圖分別計算，即可得到結果.【詳解】的頻率為因為最高小矩形的中點橫坐標為，顯然眾數是75，故B正確；的頻率是0.1，的頻率是0.15，的頻率是0.25，其頻率和為0.5，所以中位數為70，故A正確；平均數，所以C正確.故選:D.5．某市商品房調查機構隨機抽取n名市民，針對其居住的戶型結構和是否滿意進行了調查，如圖1，被調查的所有市民中二居室住戶共100戶，所占比例為，四居室住戶占.如圖2，這是用分層抽樣的方法從所有被調查的市民對戶型是否滿意的問卷中，抽取20%的調查結果繪制成的統計圖，則下列說法錯誤的是（    ）A．B．被調查的所有市民中四居室住戶共有150戶C．用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有20戶D．用分層抽樣的方法抽取的市民中對三居室滿意的有10戶【答案】D【分析】根據餅圖、直方圖分析樣本總量及四居室住戶數，結合分層抽樣的性質分析二居室、三居室住戶數及滿意度即可.【詳解】因為被調查的所有市民中二居室住戶共100戶，所占比例為，所以，四居室住戶有戶，三居室住戶有200戶，故A，B正確；用分層抽樣的方法抽取的二居室住戶有戶，故C正確；用分層抽樣的方法抽取的市民中對三居室滿意的有戶，故D錯誤.故選：D6．設，且，若能被17整除，則等于（    ）A．0 B．1 C．13 D．16【答案】D【分析】將利用二項式定理展開，通過能被整除可得能被整除，進而可得的值.【詳解】，能被17整除，且能被17整除，故能被17整除，觀察選項可得.故選：D.7．某高中調查學生對2022年冬奧會的關注是否與性別有關，隨機抽樣調查150人，進行獨立性檢驗，經計算得，臨界值表如下：0.150.100.050.0250.0102.0722.0763.8415.0246.635則下列說法中正確的是：（    ）A．有97.5%的把握認為“學生對2022年冬奧會的關注與性別無關”B．有99%的把握認為“學生對2022 年冬奧會的關注與性別有關”C．在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下可認為“學生對2022年冬奧會的關注與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過2.5%的前提下可認為“學生對2022年冬奧會的關注與性別無關”【答案】C【分析】根據獨立性檢驗的方法即可求解.【詳解】由題意可知，，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下可認為“學生對2022 年冬奧會的關注與性別有關”.故選：C.8．如圖，用隨機模擬方法近似估計在邊長為e（為自然對數的底數）的正方形中陰影部分的面積，先產生兩組區(qū)間上的隨機數和，，，…，，從而得到1000個點的坐標（），再統計出落在該陰影部分內的點數為260個，則此陰影部分的面積約為（    ）A．0.70 B．1.04 C．1.26 D．1.92【答案】D【分析】求出正方形的面積，利用落在陰影部分內的點數與總點數比值求出陰影部分面積.【詳解】正方形面積為，故此陰影部分的面積約為故選：D9．如圖，一圓形信號燈分成四塊燈帶區(qū)域，現有3種不同的顏色供燈帶使用，要求在每塊燈帶里選擇1種顏色，且相鄰的2塊燈帶選擇不同的顏色，則不同的信號總數為（    ）A．18 B．24 C．30 D．42【答案】A【分析】根據涂色問題，按照使用顏色種數進行分類，再結合分步計數原理，即可得總的方法數.【詳解】若用3種不同的顏色燈帶，故有兩塊區(qū)域涂色相同，要么，要么相同，有2種方案，則不同的信號數為；若只用2種不同的顏色燈帶，則顏色相同，顏色相同，只有1種方案，則不同的信號數為；則不同的信號總數為.故選：A．10．已知、的對應值如下表所示:xy與具有較好的線性相關關系，可用回歸直線方程近似刻畫，則在的取值中任取兩個數均不大于的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出樣本中心點的坐標，將其代入回歸直線方程，求出的值，可得出的所有取值，然后利用組合計數原理結合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由表格中的數據可得，，所以這組數據的樣本點的中心的坐標為，又因為點在回歸直線上，所以，解得，所以的取值分別為、、、、，在這個數中，任取兩個，取到的兩個數都不大于的概率為.故選：B.11．已知的展開式中，奇數項的二項式系數之和是64，則的展開式中，的系數為（    ）A． B．672 C． D．280【答案】D【分析】利用二項式系數的性質求出，再將拆為，利用的展開式的通項可求得結果.【詳解】因為奇數項二項式系數和為，則， ，的展開式的通項為，所以展開式中含項系數為，故選：D.12．排成一排的8個座位，甲、乙、丙3人隨機就座，要求甲乙必須在相鄰兩座位就座，但都與丙不相鄰（即之間有空座位），則不同坐法種數為（    ）A．30 B．60 C．120 D．336【答案】B【分析】將甲、乙（連同座位）看成一個整體，和丙去插5個座位形成6個空隙，即可得出答案.【詳解】將甲、乙連同兩個座位捆綁在一起看成一個元素，丙連同一個座位捆綁在一起看成一個元素，剩余5個座位形成6個空隙，從中選出2個空隙安排這兩個元素，然后甲、乙可以交換順序.所以種不同坐法.故選：B 二、填空題13．若，則______.【答案】6【分析】由求得，由此求得.【詳解】，即，由題意可得，，解得且，∴，解得．∴．故答案為：6．14．一組樣本數據：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實數a的值為______.【答案】5【分析】求出中心點，由線性回歸方程過中心點列方程求解.【詳解】，，由線性回歸方程過中心點得.故答案為：515．在的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中含項的系數為___________【答案】【分析】先由二項式系數最大確定,再由通項公式求含項的系數即可.【詳解】由只有第5項的二項式系數最大可得：.∴通項公式，令，解得.∴展開式中含項的系數為.故答案為：.16．“二進制”來源于我國古代的《易經》，二進制數由數字0和1組成，比如：二進制數化為十進制的計算公式如下，若從二進制數、、、中任選一個數字，則二進制數所對應的十進制數大于2的概率為__________．【答案】/0.25【分析】將二進制轉化為十進制，再計算概率即可.【詳解】；；；，十進制數大于2的概率為.故答案為： 三、解答題17．用、、、、、這六個數字.(1)可以組成多少個數字不重復的三位數；(2)可以組成多少個數字允許重復的三位數；(3)可以組成多少個數字不重復的小于的自然數.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）分析可知，數字不重復的三位數中，首位數字不為零，個位和十位的數字無限制，利用分步乘法計數原理可得結果；（2）分析可知，數字允許重復的三位數中，首位數字不為零，個位和十位的數字無限制，利用分步乘法計數原理可得結果；（3）分三種情況討論：個位數、兩位數、三位數，分別計算出這三種情況下滿足條件的自然數的個數，利用分類加法計數原理可得結果.【詳解】（1）解：若組成的數字為數字不重復的三位數，則首位數字不為零，個位和十位的數字無限制，所以，數字不重復的三位數個數為.（2）解：若組成的數字為數字允許重復的三位數，則首位數字不為零，個位和十位的數字無限制，所以，數字允許重復的三位數的個數為個.（3）解：若組成的數字為數字不重復的小于的自然數，分以下三種討論：①數字為個位數，共個；②數字為兩位數，則首位不能為零，個位無限制，共個；③數字為三位數，共有個.綜上所述，數字不重復的小于的自然數個數為個.18．從某中學隨機抽樣1000名學生，獲得了他們一周課外閱讀時間（單位：小時）的樣本數據，整理得到樣本數據的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據的分組區(qū)間為：，，，，，，.(1)求該樣本數據的平均數.（同一組中的每個數據可用該組區(qū)間的中點值代替）；(2)估計該校學生每周課外閱讀時間超過8小時的概率.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用頻率分布直方圖平均數的求法求解即可；（2）結合（1）中結論，求得，，頻率之和即可得解n.【詳解】（1）依題意，結合頻率分布直方圖，該周課外閱讀時間在的頻率為：，所以該樣本數據的平均數為.（2）閱讀時間超過8小時的概率為，所以估計該校學生每周課外閱讀時間超過8小時的概率為.19．2022年冬奧會在北京舉辦．現有如圖所示“2022?北京冬夢之約”的四枚郵票供小明選擇，依次記為A，B，C，D，背面完全相同．將這四枚郵票背面朝上，洗勻放好(1)小明從中隨機抽取一枚，恰好抽到是B（冰墩墩）概率是_________（直接寫出結果）(2)小穎從中隨機抽取一枚不放回，再從中隨機抽取一枚．請用列表或畫樹狀圖的方法，求小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接運用概率的公式求解即可；（2）用列表法或樹狀圖表示出所有可能的情況，再找出是B和C的情況，用概率公式求解即可【詳解】（1）由題意可知，共有四種等可能的情況，∴小明從中隨機抽取一枚，恰好抽到是（冰墩墩）概率是；（2）根據題意畫樹狀圖，如圖所示，從上圖可以看出，共有12種等可能的情況，其中小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的情況有2種．∴小穎同學抽到的兩枚郵票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率為：．20．基礎學科招生改革試點，即強基計劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生.聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進制造和國家安全等關鍵領域以及國家人才緊缺的人文社會科學領域.某校在一次強基計劃模擬考試后，從全體考生中隨機抽取52名，獲取他們本次考試的數學成績（）和物理成績（），繪制成如圖散點圖：根據散點圖可以看出與之間有線性相關關系，但圖中有兩個異常點，.經調查得知，考生由于重感冒導致物理考試發(fā)揮失常，考生因故未能參加物理考試，為了使分析結果更科學準確，剔除這兩組數據后，對剩下的數據作處理，得到一些統計的值：，，，，，其中，分別表示這50名考生的數學成績、物理成績，，與的相關系數.(1)若不剔除，兩名考生的數據，用52組數據作回歸分析，設此時與的相關系數為.試判斷與的大小關系（不必說明理由）；(2)求關于的線性回歸方程（系數精確到0.01），并估計如果考生加了這次物理考試，物理成績是多少？（精確到0.1）【答案】(1)(2),81.2分 【分析】（1）由題意結合相關系數的概念即可直接判斷；（2）由題意計算出，代入公式計算出，即可得回歸方程，再代入即可估考生的物理成績.【詳解】（1）由題意,與成正相關關系，異常點會?低變量之間的相關程度，∴；（2）由題意，（1）及表得，，，，，，∴，∴，∴，∴，將代入，得，所以估計同學的物理成績?yōu)?/span>分.21．已知的展開式中第3項與第6項的二項式系數相等，求的展開式中：(1)所有二項式系數之和．(2)系數絕對值最大的項．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據二項式系數相等關系可求得，根據二項式系數和的結論可直接求得結果；（2）根據展開式通項公式，設第項的系數的絕對值最大，采用不等式法可求得的取值，代入展開式通項公式即可求得結果.【詳解】（1）因為的展開式中第3項與第6項的二項式系數相等，所以且，解得，所以展開式的二項式系數之和為；（2）展開式的通項為，設展開式第項的系數的絕對值最大，則，解得，又因，所以，所以展開式中，系數絕對值最大的項為．22．已知關于的一元二次函數.（1）設集合和，分別從集合和中隨機抽取一個數作為和，求函數在區(qū)間上是增函數的概率；（2）設點是區(qū)域內的隨機點，求在區(qū)間上是增函數的概率.【答案】（1）（2）【詳解】試題分析：（1）因為，函數在區(qū)間上是增函數，所以只需函數對稱軸，然后寫出所有的基本事件，找出滿足的基本事件，分別計算其個數，再利用古典概型的概率公式可得函數在區(qū)間上是增函數的概率；（2）（，）是區(qū)域內的隨機點，由（1）知（，）滿足且時，函數在區(qū)間上是增函數，所以滿足條件的點應在區(qū)域內，因此這是幾何概型問題，分別求這兩個區(qū)域的面積，通過面積比可得所求概率．試題解析：（1）∵函數的圖象的對稱軸為要使在區(qū)間上為增函數，當且僅當>0且，若=1則=－1；若=2則=－1，1；若=3則=－1，1；∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5，∴所求事件的概率為．（2）由（1）知當且僅當且>0時，函數在區(qū)間上為增函數，依條件可知試驗的全部結果所構成的區(qū)域為，構成所求事件的區(qū)域為三角形部分．由∴所求事件的概率為．【解析】1、古典概型；2、幾何概型．【方法點晴】本題主要考查的是古典概型和幾何概型，屬于中檔題．解題時一定要分清問題是古典概型還是幾何概型，對于古典概型通過列出所有基本事件數出基本事件個數或通過分析得到基本事件個數，然后確定滿足所求條件的基本事件個數，利用求解；幾何概型要分清基本事件空間區(qū)域的度量是長度、面積、體積，然后分別求出對應的度量利用計算，本題涉及到了線性區(qū)域面積的計算是難點． 

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