2022-2023學(xué)年陜西省西北農(nóng)林技大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題含解析

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2022-2023學(xué)年陜西省西北農(nóng)林技大學(xué)附屬中學(xué)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)在上是偶函數(shù)”的推理過程是A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．非以上答案【答案】C【詳解】分析：解決本題的關(guān)鍵是了解演繹推理的含義，演繹推理又稱三段論推理，是由兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論組成，大前提是一般原理（規(guī)律），即抽象得出一般性、統(tǒng)一性的成果；小前提是指?jìng)€(gè)別對(duì)象，這是從一般到個(gè)別的推理，從這個(gè)推理，然后得出結(jié)論．解答：解：根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f（x）=x2是偶函數(shù)”的推理過程是：大前提：對(duì)于函數(shù)y=f（x），若對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；小前提：函數(shù)f（x）=x2滿足對(duì)定義域R內(nèi)的任意x，都有f（-x）=f（x）；結(jié)論：函數(shù)f（x）=x2是偶函數(shù)．它是由兩個(gè)前提和一個(gè)結(jié)論組成，是三段論式的推理，故根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f（x）=x2是偶函數(shù)”的推理過程是演繹推理．故選C．2．若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，可得.故選：D.3．已知復(fù)數(shù)，則A．2 B．-2 C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，故選A4．設(shè)函數(shù)．若為奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為(　　)A． B． C． D．【答案】D【詳解】分析：利用奇函數(shù)偶次項(xiàng)系數(shù)為零求得，進(jìn)而得到的解析式，再對(duì)求導(dǎo)得出切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.詳解：因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，解得，所以，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，化簡(jiǎn)可得，故選D.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)曲線在某個(gè)點(diǎn)處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數(shù)解析式，此時(shí)利用到結(jié)論多項(xiàng)式函數(shù)中，奇函數(shù)不存在偶次項(xiàng)，偶函數(shù)不存在奇次項(xiàng)，從而求得相應(yīng)的參數(shù)值，之后利用求導(dǎo)公式求得，借助于導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式求得結(jié)果.5．下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)微積分基本定理一一計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，，所以，故A正確；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，其中，所以，故D錯(cuò)誤；故選：A6．給出下面四個(gè)類比結(jié)論①實(shí)數(shù)，，若，則或；類比向量，，若，則或②實(shí)數(shù)，，有；類比向量，，有③向量，有；類比復(fù)數(shù)，有④實(shí)數(shù)，有，則；類比復(fù)數(shù)，有，，其中類比結(jié)論正確的命題個(gè)數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】①錯(cuò)誤，因?yàn)槿粝蛄?/span>互相垂直，則；③錯(cuò)誤，因?yàn)?/span>是復(fù)數(shù)的模是一個(gè)實(shí)數(shù)，而是個(gè)復(fù)數(shù)，比如若，則，;④錯(cuò)誤，若假設(shè)復(fù)數(shù)，，則，但是，．②正確．故選B．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由k到k+1，不等式左邊的變化是（　?。?/span>A．增加項(xiàng)B．增加和兩項(xiàng)C．增加和兩項(xiàng)同時(shí)減少項(xiàng)D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】C【詳解】時(shí)，左邊，時(shí)，左邊，由“”變成“”時(shí)，兩式相減可得 ，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題；用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)：①明確初始值n0并驗(yàn)證真假．（必不可少）②“假設(shè)n=k時(shí)命題正確”并寫出命題形式．③分析“n=k+1時(shí)”命題是什么，并找出與“n=k”時(shí)命題形式的差別．弄清左端應(yīng)增加的項(xiàng)．④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等，并用上假設(shè)．8．定義運(yùn)算：，例如則下列等式不能成立的是（     ）. A． B．C． D．（其中）【答案】C【分析】根據(jù)定義逐項(xiàng)分析即得.【詳解】因?yàn)?/span>，它表示的是的結(jié)果為和中的較大數(shù)，對(duì)A，和都是和中的較大數(shù)，故，正確；對(duì)B，是，，中的較大數(shù)，正確；對(duì)C，表示和中的較大數(shù)的平方，而表示和中的較大數(shù)，例如時(shí)，，等式就不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)D，和都表示與和中的較大數(shù)的乘積，故正確.故選：C.9．曲線在點(diǎn) 處的切線與直線和 圍成的三角形的面積為A． B． C． D．1【答案】A【詳解】，所以在點(diǎn)處的切線方程為，它與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，所以三角形面積為故選：A10．設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用放縮法可得出結(jié)論.【詳解】，故選：B.11．設(shè)函數(shù)，則A．為的極大值點(diǎn) B．為的極小值點(diǎn)C．為的極大值點(diǎn) D．為的極小值點(diǎn)【答案】D【詳解】試題分析：因?yàn)?/span>，所以．又，所以為的極小值點(diǎn)．【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．點(diǎn)評(píng)：極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0 ，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．12．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則不等式，即，根據(jù)單調(diào)性解得即可.【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，則不等式，即為，即為，，所以不等式的解集為.故選：B 二、填空題13．____________.【答案】【分析】找出被積函數(shù)的原函數(shù)，利用微積分基本定理可求出所求定積分的值.【詳解】解：，故答案為：14．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【分析】直接求導(dǎo)，分離參數(shù)得.【詳解】，又∵在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，∴，∴．故答案為：.15．在中學(xué)數(shù)學(xué)中，從特殊到一般，從具體到抽象是常見的一種思維形式．如從指數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì)；從對(duì)數(shù)函數(shù)中可抽象出的性質(zhì)．那么從函數(shù)______（寫出一個(gè)具體函數(shù)即可）可抽象出的性質(zhì)．【答案】（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性問題，只需找到符合題意的解析式即可，不妨令，即可判斷.【詳解】令，則，，，所以，符合題意.故答案為：（答案不唯一）16．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離是______．【答案】【分析】作直線的平行線，使得與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切點(diǎn)為，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】作直線的平行線，使得與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)楹瘮?shù)，可得，所以曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為，即切線的斜率為令，解得，則，即切點(diǎn)為，又由點(diǎn)到直線的距離公式，可得切線到直線的距離為，即到直線的最小距離為.故答案為：. 三、解答題17．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)為A，實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，（1）z為實(shí)數(shù)？z為純虛數(shù)？（2）A位于第三象限？【答案】（1）當(dāng) m＝3或m＝6時(shí)，z為實(shí)數(shù)；當(dāng)m＝5時(shí)，z為純虛數(shù)；（2）3＜m＜5【分析】（1）當(dāng)復(fù)數(shù)的虛部等于0時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)；當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部等于0，且虛部不等于0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)；（2）當(dāng)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都小于0時(shí)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，解不等式組求出實(shí)數(shù)m的取值范圍即可．【詳解】復(fù)數(shù)（1）當(dāng)m2﹣9m+18＝0，解得 m＝3或m＝6，故當(dāng) m＝3或m＝6時(shí)，z為實(shí)數(shù)． 當(dāng)，解得m＝5，故當(dāng)m＝5時(shí)，z為純虛數(shù)；（2）當(dāng)    即 ，即3＜m＜5時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本概念，復(fù)數(shù)代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．18．已知兩曲線和都經(jīng)過點(diǎn)，且在點(diǎn)處有公切線，試求、、的值．【答案】，，【分析】根據(jù)點(diǎn)在曲線上，求出，再求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在點(diǎn)處有公切線求出，再根據(jù)點(diǎn)在曲線上求出.【詳解】∵點(diǎn)在曲線上，∴，∴，函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)分別為和，且在點(diǎn)處有公切線，∴，解得，又由點(diǎn)在曲線上可得，解得．綜上，，，．19．已知,分別求,,的值，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并證明你的結(jié)論.【答案】詳見解析.【詳解】試題分析：將代入，即可求得的值；觀察，根據(jù)上一步的結(jié)果可以歸納出一般的結(jié)論：自變量的和為 ，則函數(shù)值的和為 ，根據(jù)結(jié)論的形式將代入并化簡(jiǎn)求值即可完成證明.試題解析：由，得 ,,. 歸納猜想一般性結(jié)論為 證明如下： 【方法點(diǎn)睛】本題通過觀察幾組等式，歸納出一般規(guī)律來考查函數(shù)的解析式及歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟: 一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.20．已知，用分析法證明：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)分析法證明的步驟，逐步分析，即可求解.【詳解】要證明，只需證，只需證，只需證，即，只需證，即，顯然成立，故原不等式成立.21．設(shè)函數(shù)(1)討論的單調(diào)性；(2)求在區(qū)間的最大值和最小值．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；(2)在區(qū)間上的最大值為，最小值為. 【分析】（1）先求函數(shù)的定義域，解不等式求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，解不等式求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，又.令，解得或；令，解得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）由（1）可得：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，又，，而，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為：.即在區(qū)間上的最大值為，最小值為.22．設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為，減區(qū)間為(2) 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）分、兩種情況討論，在時(shí)，直接驗(yàn)證即可；在時(shí)，由可得出，對(duì)實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證對(duì)任意的能否恒成立，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立.①當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，不合乎題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.