2022-2023學(xué)年陜西省漢中市興華學(xué)校與鎮(zhèn)巴中學(xué)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題含解析

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2022-2023學(xué)年陜西省漢中市興華學(xué)校與鎮(zhèn)巴中學(xué)高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則直接計算得到答案.【詳解】由，虛部為1，故選項C正確.故選：C.2．（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】應(yīng)用微積分基本定理求定積分即可.【詳解】．故選：C3．如果函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為,則A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)平均變化率的定義，可知故選4．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)及函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)公式可求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).【詳解】∵   ，，∴   ，故選：C.5．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（    ）A．（-1，1） B．（0，1） C．[1，+∞） D．[0，+∞]【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，解得，令，解得，則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，故選：.6．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A．[0，1] B．(－∞，0]∪[1，＋∞) C．[0，2] D．(－∞，0]∪[2，＋∞)【答案】C【分析】求導(dǎo)得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據(jù)題意得，解得．故選：C7．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為 (　　)A． B．C． D．【答案】B【詳解】試題分析：不妨設(shè)直線，即橢圓中心到的距離，故選B.【解析】1、直線與橢圓；2、橢圓的幾何性質(zhì).【方法點晴】本題考查直線與橢圓、橢圓的幾何性質(zhì)，涉及方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，綜合性較強(qiáng)，屬于較難題型. 不妨設(shè)直線，即橢圓中心到的距離，利用方程思想和數(shù)形結(jié)合思想建立方程是本題的關(guān)鍵節(jié)點. 8．已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：拋物線的焦點坐標(biāo)為,所以橢圓的一個焦點坐標(biāo)為，所以，又，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選A．【解析】1．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)．9．倫教奧運會自行車賽車館有一個明顯的雙曲線屋頂，該賽車館是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的雙曲線頂?shù)囊欢谓瓶闯呻x心率為的雙曲線C：上支的一部分，點F是C的下焦點，若點P為C上支上的動點，則與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為（    ）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】根據(jù)離心率求出雙曲線方程，可得出焦點坐標(biāo)及漸近線方程，再利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化為求，數(shù)形結(jié)合即可得出最小值．【詳解】依題意，雙曲線的離心率為，則，解得， 所以雙曲線方程為，則雙曲線得下焦點為，上焦點，漸近線方程為，如圖，根據(jù)圖形的對稱性，不妨取漸近線為，即，又點P為雙曲線上支上的動點，則，過點P作，垂足為Q，過點作，垂足為M，則，所以與P到C的一條漸近線的距離之和的最小值為．故選：C．10．函數(shù)的極值點為（    ）A．8 B． C．1 D．【答案】D【分析】求出定義域為，然后求導(dǎo)數(shù)，從而根據(jù)二次函數(shù)的圖象即可判斷導(dǎo)數(shù)符號，進(jìn)而可得出的極值點．【詳解】依題意可得函數(shù)定義域為，則，令，解得，或（舍去），則當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以是的極值點，且為極小值點．故選：D．11．已知函數(shù)，下列說法正確的是（    ）A．在處的切線方程為 B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．的極小值為 D．方程有兩個不同的解【答案】B【分析】求出函數(shù)的定義域及導(dǎo)數(shù)，再逐項求解判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，對于A，，而，因此圖象在處的切線方程為，A錯誤；對于B，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，B正確；對于C，由選項B知，當(dāng)時，取得極大值，C錯誤；對于D，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，即方程在上有唯一解，而當(dāng)時，恒有成立，即該方程在上無解，所以方程只有一個解，D錯誤.故選：B12．過點作曲線切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)切點，進(jìn)而求得切線方程，進(jìn)而得到，構(gòu)造函數(shù)分析的單調(diào)性與取值范圍即可判斷有且僅有兩根時b的取值范圍．【詳解】設(shè)切點為，由，則，所以過的切線方程為，即，故有且僅有兩根，設(shè)，則，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)，，此時單調(diào)遞減，又當(dāng)時，，，，所以的圖象如下：故有且僅有兩根，則b的取值范圍為．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用過曲線外一點作曲線切線的條數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于寫出切線方程，將點的坐標(biāo)代入切線方程，將切線與切點建立一一對應(yīng)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化函數(shù)的零點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與數(shù)形結(jié)合思想求解． 二、填空題13．拋物線的準(zhǔn)線方程為______.【答案】【詳解】試題分析：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，所以準(zhǔn)線方程是【解析】拋物線方程14．已知函數(shù)，則函數(shù)在處的切線方程是____________．【答案】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值求解斜率，再利用點斜式求解即可．【詳解】由，則，所以，，所以函數(shù)在處的切線方程為，即故答案為：．15．求過點且與圓相切的直線方程為______.【答案】x＝4或3x+4y＝0【分析】先考慮直線的斜率是否存在，然后結(jié)合點到直線的距離公式即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線方程為y+3＝k（x－4），即kx－y－4k－3＝0，由題意得，解得k＝，此時直線方程為3x+4y＝0，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為x＝4此時圓心 到直線x＝4的距離為3，所以直線與圓相切，符合題意.故答案為：x＝4或3x+4y＝0.16．已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點且斜率為，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點（點在軸下方），且，則的離心率為____________.【答案】/【分析】作出圖形，可求得，利用角平分線的性質(zhì)可求得，結(jié)合勾股定理可求得，進(jìn)一步可求得，利用勾股定理可得出的值，結(jié)合雙曲線的離心率公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示：因為直線的斜率為，由圖可知，直線的斜率為，因為，所以，，易知直線的方程為，即，所以，，因為直線、關(guān)于軸對稱，則，由角平分線的性質(zhì)可得，所以，，，所以，，由勾股定理可得，即，整理可得，所以，雙曲線的離心率為.故答案為：. 三、解答題17．已知直線與圓.(1)若直線和圓無公共點，求m的取值范圍；(2)若直線和圓交于兩點，且兩個交點處的圓的半徑互相垂直，求m的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由直線與圓的位置關(guān)系，圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可解出范圍；（2）直線與圓相交，兩交點與圓心構(gòu)成等腰直角三角形，得出邊長與圓心到直線距離的關(guān)系，列出等式出結(jié)果.【詳解】（1）由已知，得圓心坐標(biāo)為，半徑，圓心到直線的距離∵直線與圓無公共點，，即，解得或，故m的取值范圍為（2）若直線和圓交于兩點，兩點，如圖所示，兩條半徑、互相垂直，幾何關(guān)系可知為等腰直角三角形，設(shè)到直線的距離為，，即，解得18．求下列函數(shù)的極值：（1）；（2）．【答案】（1）極小值為，極大值為；（2）極小值為，極大值為．【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)零點，列表即可求解；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，可得導(dǎo)函數(shù)零點，列出變化時，，的變化情況即可.【詳解】（1）．令，解得，．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：200單調(diào)遞減單調(diào)遞增22單調(diào)遞減由上表看出，當(dāng)時，取得極小值，為；當(dāng)時，取得極大值，為．（2）．令，解得，．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：100單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減由上表看出，當(dāng)時，取得極小值，為；當(dāng)時，取得極大值，為．19．如圖，在正四棱柱中，底面邊長為2，高為4.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，證明向量數(shù)量積等于零來證明；（2）計算平面的法向量，根據(jù)與法向量的夾角與與平面所成角互余求解.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，即.（2）由（1）得，設(shè)平面的一個法向量為，則取 則設(shè)直線與平面所成角為 ，則：所以直線與平面所成角的正弦值為.20．已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且右焦點為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于不同的兩點，，點，若直線的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，求證:直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據(jù)長短軸關(guān)系得，再利用及關(guān)系即可得到橢圓方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得， 得到韋達(dá)定理式，根據(jù)，化簡得，將韋達(dá)定理式代入化簡即可得到，則可得到定點坐標(biāo).【詳解】（1）由橢圓的長軸長是短軸長的倍，可得．所以．又，所以，解得．所以．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）聯(lián)立，得，設(shè)，，可得，，由題知，即，即，即，化簡得，解得，∴直線的方程為，故直線恒過定點.【點睛】關(guān)鍵點睛：設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓方程得，則得到韋達(dá)定理式，根據(jù)，則，展開化簡得，再將韋達(dá)定理式代入，則可得到定點坐標(biāo).21．已知函數(shù)在處有極值.（1）求a，b的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式先求得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極值及極值點即可得關(guān)于a，b的方程組，即可求得a，b的值.（2）將a，b的代入解析式并求得定義域，求得極值點，根據(jù)極值點左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號即可判斷函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】（1）函數(shù)，.又在處有極值，∴，即，解得.（2）由（1）可知，其定義域是，且.令，解得，（舍），由，得；由，得.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)的極值點與極值求參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.22．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：．【答案】(1)見解析；(2)見解析. 【分析】（1）求導(dǎo)，分、與討論求解單調(diào)性即可；（2）可轉(zhuǎn)化為，令，即證明.設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可證明.【詳解】（1），①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.③當(dāng)時，令，得，當(dāng)時，；當(dāng)時，.綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）,即為，即，令，可得，即證明.設(shè)，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，即.所以.【點睛】結(jié)論點睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．