2022-2023學年陜西省西安市鐵一中學高二下學期期中數(shù)學（理）試題 一、單選題1．集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據分式不等式解法解出集合，一元二次不等式解法解出集合，再由補集與交集的運算即可求解.【詳解】依題意，因為，解得，所以，所以因為，解得，所以所以.故選：D.2．復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位，則對應的點所在象限為A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】先利用復數(shù)的除法，化簡復數(shù)，計算得，得到復平面中對應得點，即得解.【詳解】由于， 在復平面中對應的點為：，在第一象限故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算及幾何意義，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.3．已知圖是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖，且其陰離子排列如圖所示，圖中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，，，，，是其中四個圓的圓心，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立以為一組基底的基向量,其中且的夾角為60°,根據平面向量的基本定理可知,向量和均可以用表示,再結合平面向量數(shù)量積運算法則即可得解.【詳解】解：如圖所示,建立以為一組基底的基向量,其中且的夾角為60°,∴,,∴.故選：A.4．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】分段求出函數(shù)的解析式，利用導數(shù)判斷其單調性，根據單調性可得答案.【詳解】當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當，即時，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B5．正整數(shù)1，2，3，…，的倒數(shù)的和已經被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；當很大時.其中稱為歐拉—馬歇羅尼常數(shù)，，至今為止都不確定是有理數(shù)還是無理數(shù).設表示不超過的最大整數(shù).用上式計算的值為（    ）（參考數(shù)據：，）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】，利用估計范圍，從而求得值.【詳解】由題意知.而， 又， ，， ， ，故，故選：B6．若直線：上存在長度為2的線段AB，圓O：上存在點M，使得，則的取值范圍是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意，以AB為直徑的圓與圓О有公共點，設AB中點為，則，問題轉化為圓O上存在點M，直線上存在點N，使得，根據點到直線的距離公式列出不等式，即可求得的取值范圍.【詳解】由題意，以AB為直徑的圓與圓О有公共點，設AB中點為，則，問題轉化為圓O上存在點M，直線上存在點N，使得，故只需點M到直線的距離的最小值小于或等于1，即點О到直線的距離，解得或.故選：A.7．如圖是一款多功能粉碎機的實物圖，它的進物倉可看作正四棱臺，已知該四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為，則該款粉碎機進物倉的容積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，結合棱臺的體積計算公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】畫出滿足題意的正四棱臺，如圖所示，則．過點D作于點E，則，所以該正四棱臺的體積為．故選：C8．在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：y＝k（x+1）與曲線（θ為參數(shù)）在第一象限恰有兩個不同的交點，則實數(shù)k的取值范圍為（    ）A．（0，1） B．（0，） C．[，1） D．【答案】D【分析】對曲線的參數(shù)方程消參求得普通方程，利用導數(shù)求得直線與曲線相切時直線的斜率以及臨界狀態(tài)對應直線的斜率，即可容易求得結果.【詳解】對曲線的方程消參可得：，即，，作圖如下：若直線與曲線在第一象限內相切時，設其斜率為，設直線與曲線在第一象限的切點為，且因為，，故可得，則，即，解得（舍去）.故此時切點坐標為，對應直線的斜率.當直線過點時，設其斜率為，故可得.數(shù)形結合可知，當直線與曲線C在第一象限內有兩個交點時，斜率的取值范圍為，即為.故選：.【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉化，以及直線與拋物線相切時切點的求解，涉及導數(shù)的幾何意義，屬綜合中檔題.9．已知將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若在上有3個極值點，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等變化得，由圖象的變化得，結合題意和余弦函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.【詳解】因為又因為，令 ，又因為,當時,在上有3個極值點等價于在上有3個極值點，的圖象如圖所示：由余弦函數(shù)的性質可得:,解得:.故選:C.10．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作圓的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B，C，且，則雙曲線的離心率為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】設切點為，利用垂直關系可得，由題意結合雙曲線的定義可得，，在中利用余弦定理解出的值即可求雙曲線的離心率.【詳解】如圖所示，設切點為，連接，由雙曲線的定義可知，，所以，因為，所以，因為，所以，所以在中，由余弦定理可得，即，整理得，又，得，即，解得或（舍去），所以，則雙曲線的離心率，故選：C11．某校組織甲、乙兩個班的學生到“農耕村”參加社會實踐活動，某天安排有釀酒、油坊、陶藝、打鐵、紡織、竹編制作共六項活動可供選擇，每個班上午、下午各安排一項活動（不重復），且同一時間內每項活動都只允許一個班參加，則活動安排方案的種數(shù)為（    ）A．126 B．360 C．600 D．630【答案】D【分析】按兩個班共選擇活動項數(shù)進行分類，至少選兩項，至多選四項，故分三類求解即可.本題等同染色問題，即四區(qū)域六色涂，相鄰不能涂同色問題.【詳解】按兩個班共選擇活動項數(shù)分三類：第一類：兩個班共選擇2項活動，有種方法；第二類：兩個班共選擇3項活動，有種方法；第三類：兩個班共選擇4項活動，有種方法.則活動安排方案的種數(shù)為.故選：D.【點睛】直接分類法是求解有限制條件排列問題的常用方法：先選定一個適當?shù)姆诸悩藴?，將要完成的事件分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù).而對于分類過多的問題，正難則反，一般采用間接法處理.12．已知是上的偶函數(shù)，且當時，．若， 則（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據函數(shù)為偶函數(shù)可得出的圖象關于直線對稱，結合導數(shù)判斷時函數(shù)的單調性，由此結合函數(shù)的性質和，可得出，即可判斷C，D；脫掉絕對值符號化簡，可判斷A，B.【詳解】由是上的偶函數(shù)，得，即，所以的圖象關于直線對稱．當時，，由，僅在時取等號，得在區(qū)間上為減函數(shù)，則在區(qū)間上為增函數(shù)，根據圖象的對稱性，由得，則C正確、D錯誤．當異號時，則或，即或，即選項A，B的結果不能確定，故選：C． 二、填空題13．已知函數(shù)在的圖像與軸圍成的區(qū)域面積為，則的展開式中的系數(shù)為______．【答案】【分析】先根據定積分的定義求出，然后二項式可以化簡為，進而可以求解．【詳解】由已知可得，所以二項式的展開式中含的項為，故的系數(shù)為，故答案為：．14．已知三棱錐中，底面是邊長為的正三角形，點P在底面上的射影為底面的中心，且三棱錐外接球的表面積為，球心在三棱錐內，則二面角的平面角的余弦值為______．【答案】【分析】根據給定條件，求出球半徑并確定球位置，再作出二面角的平面角，結合三棱錐的結構特征求解作答.【詳解】設正的中心為，有，而平面，則，延長交于點，則點為的中點，有，，即為二面角的平面角，由，得，顯然三棱錐為正三棱錐，其外接球的球心在線段上，由三棱錐的外接球的表面積為，則該球半徑，由，解得，，，所以，所以二面角的平面角的余弦值為.故答案為：15．數(shù)列的前項和為，且，若對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【分析】由可化簡得到的通項公式，由通項公式形式上的特點可知為等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的首項和公差，代入的公式，即可把不等式化為，分為偶數(shù)和為奇數(shù)討論即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，當時，.當時，，兩式相減得，化簡得，當時，.所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，由得，即對任意恒成立，當為偶數(shù)時，不等式化為，所以；當為奇數(shù)時，不等式化為，即，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：16．已知函數(shù)，若總存在兩條不同的直線與函數(shù)圖象均相切，則實數(shù)a的范圍為_______．【答案】【分析】將有兩條公切線轉化為與直線有兩個不同交點，后利用導數(shù)研究函數(shù)單調性與極值情況畫出大致圖象，即可得答案.【詳解】設切線在上的切點分別為.因.則切線方程可表示為：，也可表示為：，其中.則.則總存在兩條不同的直線與函數(shù)圖象均相切，等價于與直線有兩個不同交點.，則.令在上單調遞增，在上單調遞減，則.注意到，，可得大致圖象如下，則.故答案為： 三、解答題17．如圖，在極坐標系中，曲線C1是以C1（4，0）為圓心的半圓，曲線C2是以為圓心的圓，曲線C1、C2都過極點O．（1）分別寫出半圓C1，C2的極坐標方程；（2）直線l：與曲線C1，C2分別交于M、N兩點（異于極點O），P為C2上的動點，求△PMN面積的最大值．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）直接利用轉換關系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換．（2）利用三角函數(shù)關系式的變換和三角形的面積的公式的應用求出結果．【詳解】（1）曲線C1是以C1（4，0）為圓心的半圓，所以半圓的極坐標方程為，曲線C2是以為圓心的圓，轉換為極坐標方程為．（2）由（1）得：|MN|＝|．顯然當點P到直線MN的距離最大時，△PMN的面積最大．此時點P為過C2且與直線MN垂直的直線與C2的一個交點，設PC2與直線MN垂直于點H，如圖所示：在Rt△OHC2中，|，所以點P到直線MN的最大距離d，所以．【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，三角函數(shù)關系式的恒等變換，三角形的面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中檔題．18．的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，D為BC中點，，求AD的長.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據余弦定理與正弦定理將邊化角結合三角恒等變換即可求解；（2）先求解，由正弦定理求出邊，結合余弦定理即可求解．【詳解】（1）由，∴，∴，∵ ，由正弦定理得∴，∴，∴，解得；（2），，∴，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，解得．19．如圖，在四棱錐P－ABCD中，，AB⊥BC，，，E為AB的中點．(1)證明：BD⊥平面APD；(2)求平面APD和平面CEP的夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）已知條件求出，，的長度，勾股定理證得，取AD的中點O，連接OP，OC，有，得，勾股定理證得，從而平面，有，所以平面.（2）建立空間直角坐標系，求相關點的坐標，求相關向量的坐標，求平面APD和平面CEP的一個法向量，利用向量夾角公式求平面APD和平面CEP的夾角的余弦值【詳解】（1）在直角梯形ABCD中，易得AB＝4，，，∴，∴BD⊥AD． 取AD的中點O，連接OP，OC，易得PO⊥AD，，如圖所示，在△CDO中，易得，又，∴，∴PO⊥OC，又PO⊥AD，，平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，平面ABCD，∴BD⊥OP，又BD⊥AD，，平面APD，∴BD⊥平面APD．（2）如圖，以D為坐標原點，DA，DB所在直線分別為x，y軸，過點D且與PO平行的直線為z軸建立空間直角坐標系，則D（0，0，0），，，，，，∴，，∵BD⊥平面APD，∴平面APD的一個法向量為．設平面CEP的法向量為，則，得，取y＝1，得，∴，∴平面APD和平面CEP的夾角的余弦值為．【點睛】方法點撥利用向量法求二面角的方法主要有兩種：（1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的范圍；（2）分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大?。?/span>20．已知F為拋物線的焦點，過F且傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點，.（1）求拋物線的方程：（2）已知為拋物線上一點，M，N為拋物線上異于P的兩點，且滿足，試探究直線MN是否過一定點？若是，求出此定點；若不是，說明理由.【答案】（1）  （2）過定點，【解析】(1)設出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，根據韋達定理即可求解出的值，即可求解出拋物線的方程；(2)求解出點坐標，設出直線的方程，根據求解出之間的關系，從而確定出直線所過的定點.【詳解】解：（1）由已知，直線AB的方程為聯(lián)立直線與拋物線，消y可得，，所以，因為，所以，即拋物線的方程為.（2）將代入可得，不妨設直線MN的方程為,聯(lián)立，消x得，則有，由題意,化簡可得，，代入此時直線MN的方程為，所以直線MN過定點.【點睛】本題考查拋物線方程求解以及拋物線中的直線過定點問題，難度一般.(1)圓錐曲線中已知兩條直線的斜率之間的關系，可將斜率表示為對應的韋達定理形式，從而確定出未知參數(shù)之間的關系；(2)直線的過定點問題，實際就是求解直線方程中參數(shù)之間的關系.21．某市為了更好的了解全體中小學生感染新冠感冒后的情況，以便及時補充醫(yī)療資源.從全市中小學生中隨機抽取了100名抗原檢測為陽性的中小學生監(jiān)測其健康狀況，100名中小學生感染奧密克戎后的疼痛指數(shù)為，并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：疼痛指數(shù)人數(shù)（人）10819名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.(1)統(tǒng)計學中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本中隨機抽取1名學生，記事件：該名學生為有癥狀感染者，事件：該名學生為重癥感染者，求似然比的值；(2)若該市所有抗原檢測為陽性的中小學生的疼痛指數(shù)近似的服從正態(tài)分布，且.若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學生中隨機抽取3名，設這3名學生中輕癥感染者人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析， 【分析】（1）應用條件概率公式計算求解即可；（2）應用，由二項分布分別寫出求分布列及計算數(shù)學期望.【詳解】（1）由題意得：，，，.（2），，則，可能的取值為，的分布列為：0123數(shù)學期望.22．已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)有個極值點．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析 【分析】（1）根據給定條件可得有三個不同的解，構造函數(shù)，探討其性質即可推理作答.（2）由（1）確定的取值或范圍，并且有，兩邊取對數(shù)并換元，對不等式作等價變形，構造函數(shù)，利用導數(shù)推理作答.【詳解】（1）因為，所以，因函數(shù)有個極值點，即有三個不同的解，由，得或，則有不等于的兩個不同的解，令，則，當時，，當時，，于是函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則，又當時，，且，當時，，因此方程有兩解時，即，所以實數(shù)的取值范圍是；（2）由（1）知，，，，，兩邊取自然對數(shù)得，整理得，令，則且，，，顯然，等價于，，令，，則，令，則，從而得函數(shù)在上單調遞增，則有，因此函數(shù)在上單調遞增，總有，所以不等式成立.【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明，將所證不等式等價轉化，借助換元構造新函數(shù)，再利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理. 

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