2023屆天津市高三一模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)集合描述法的定義求得集合，從而求出集合，即可求解.【詳解】，又，則或，則，則，故選：D.2．復(fù)數(shù)（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由的周期性以及復(fù)數(shù)的除法進(jìn)行計算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以由周期性可知.故選：C.3．下列選項中說法正確的是A．若非零向量，滿足，則與的夾角為銳角B．“，”的否定是“，”C．直線，，的充要條件是D．在中，“若，則”的逆否命題是真命題【答案】D【解析】利用，同向的情況判斷；利用特稱命題的定義判斷；利用等價于判斷；利用正弦定理邊角互化以及原命題與其逆否命題的等價性判斷.【詳解】對于，，同向時，與的夾角為0，不是銳角，故不正確；對于， “，”的否定應(yīng)該是“，”，故不正確；對于， 等價于，即，得的充要條件是 ，故不正確；對于， ，由正弦定理可得，由于大邊對大角，，即原命題正確，逆否命題是真命題 ，故正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查向量的夾角、特稱命題的否定、兩直線平行的充要條件以及正弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于中檔題.做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的、自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.4．以下說法不正確的是（    ）A．78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位數(shù)為88B．相關(guān)系數(shù)的絕對值接近于0，兩個隨機(jī)變量沒有相關(guān)性C．的展開式中常數(shù)項為15D．必然事件和不可能事件與任意事件相互獨(dú)立【答案】B【分析】求出選項A中數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)，即可判斷A；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的知識可判斷B；求出的展開式中常數(shù)項可判斷C；根據(jù)必然事件、不可能事件的概念可判斷D．【詳解】對于A：因?yàn)?/span>，所以第75百分位數(shù)為，故A正確；對于B：相關(guān)系數(shù)r的絕對值接近于0，表示兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，并不說明變量之間不存在其它相關(guān)關(guān)系，故B錯誤；對于C：常數(shù)項為，故C正確；對于D：由必然事件和不可能事件的定義，可得D正確．故選：B．5．函數(shù)的部分圖象可能是（    ）A．  B．C． D．【答案】A【解析】排除法，根據(jù)和的符號可排除B，D，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性即可得出結(jié)論．【詳解】解：，∴舍去B，，∴舍去D，時，，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．6．已知，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，，再對，進(jìn)行取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】由，，，則，，又，，則，即，所以．故選：D．7．距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的是一種茅屋，如圖1所示，該茅屋主體是一個正四棱錐，側(cè)面是正三角形，且在茅屋的一側(cè)建有一個入戶甬道，甬道形似從一個直三棱柱上由茅屋一個側(cè)面截取而得的幾何體，一端與茅屋的這個側(cè)面連在一起，另一端是一個等腰直角三角形．圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側(cè)棱長為6m，，，，點(diǎn)D在正四棱錐的斜高PH上，平面ABC且．不考慮建筑材料的厚度，則這個茅屋（含甬道）的室內(nèi)容積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為求四棱錐體積與三棱柱體積再加一個小三棱錐體積之和，運(yùn)用體積公式求解即可.【詳解】設(shè)為正四棱錐底面中心，連接，則，，，取的中點(diǎn)，連接，過作于，則．在直角中．過作交于連接．則，所求體積故選：B8．圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于、兩點(diǎn)，且，則下列說法正確的有（    ）① 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；②圓關(guān)于直線對稱；③ 經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短的直線方程為；④ 若是圓上一動點(diǎn)，則的最大值為．A．②③ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【分析】對于①：由已知得出圓的圓心和半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷出①；對于②：判斷直線是否過圓心，即可判斷出圓是否關(guān)于直線對稱；對于③：求出經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短的直線方程，即可判斷③；對于④將轉(zhuǎn)化為圓上動點(diǎn)到點(diǎn)距離最大值的平方，求出最大距離，即可判斷④．【詳解】對于①：過圓心作，垂足為，則，，所以，即，又因?yàn)閳A與軸相切于點(diǎn)，所以圓心的坐標(biāo)為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故①錯誤；對于②：因?yàn)閳A心在直線上，所以直線是圓的一條對稱軸，故②正確；對于③：設(shè)點(diǎn)為，因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)部，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)與圓相交弦長最短時，該直線垂直于，因?yàn)?/span>，所以該直線斜率，所以該直線方程為：，即，故③正確；對于④：設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)取最大時，點(diǎn)位于直線上，且位于圓心的右側(cè)，因?yàn)?/span>,所以，所以，故④錯誤，所以正確的有②③，故選：A．9．甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（2）乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（3）丙在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（4）丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，；（5）戊在下落的過程中依次撞擊到樹枝，，，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．最高處的樹枝定是 B．最低處的樹枝一定是C．九根樹枝從高到低不同的順序共有種 D．九根樹枝從高到低不同的順序共有種【答案】C【分析】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)?/span>，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，根據(jù)的位置不同分類討論，求得這九根樹枝從高到低不同的順序共33種.【詳解】由題判斷出部分樹枝由高到低的順序?yàn)?/span>，還剩下，，，且樹枝比高，樹枝在樹枝，之間，樹枝比低，最高可能為G或I，最低為F或H，故A 、B錯誤；先看樹枝，有4種可能，若在，之間，則有3種可能：①在，之間，有5種可能；②在，之間，有4種可能；③在，之間，有3種可能，此時樹枝的高低順序有（種）.若不在，之間，則有3種可能，有2種可能，若在，之間，則有4種可能，若在，之間，則有3種可能，此時樹枝的高低順序有（種）可能，故這九根樹枝從高到低不同的順序共有種，故C項正確.故選：C. 二、填空題10．若，，則___________.【答案】【分析】由，兩邊取以為底的對數(shù)，得，由，令，則，從而可得，則，從而得出答案.【詳解】由，兩邊取以 為底的對數(shù)，得，由，令，則，所以，即，所以，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由以及，則 ，由即，則故答案為： 三、雙空題11．某高中數(shù)學(xué)社團(tuán)招募成員，依次進(jìn)行筆試，面試兩輪選拔，每輪結(jié)果都分“合格”和“不合格”.當(dāng)參選同學(xué)在第一輪筆試中獲得“合格”時，才能進(jìn)入下一輪面試選拔，兩輪選拔都合格的同學(xué)入選到數(shù)學(xué)社團(tuán).現(xiàn)有甲同學(xué)參加數(shù)學(xué)社團(tuán)選拔，已知甲同學(xué)在筆試，面試選拔中獲得“合格”和“不合格”的概率分別為，，且在筆試，面試兩輪選拔中取得的成績均相互獨(dú)立，互不影響且概率相同，則甲同學(xué)能進(jìn)入到數(shù)學(xué)社團(tuán)的概率是___________，設(shè)甲同學(xué)在本次數(shù)學(xué)社團(tuán)選拔中恰好通過X輪選拔，則數(shù)學(xué)期望___________．【答案】          【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得空1；由相互獨(dú)立事件的乘法公式分別求出甲同學(xué)通過0、1、2輪選拔的概率，然后由期望公式可得.【詳解】記甲同學(xué)通過筆試為事件A，通過面試為事件B，因?yàn)?/span>，所以則甲同學(xué)能進(jìn)入到數(shù)學(xué)社團(tuán)的概率；甲同學(xué)無法通過筆試的概率，通過筆試但沒有通過面試的概率，得分布列：X012P所以.故答案為：，. 四、填空題12．與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線都相切的圓被稱為三角形的旁切圓，旁切圓的圓心被稱為三角形的旁心，每個三角形有三個旁心，如圖1所示.已知，是雙曲線的焦點(diǎn)，是雙曲線右支上一點(diǎn)，是的一個旁心，如圖2所示，直線與軸交于點(diǎn)，則___________.【答案】/1.25【分析】根據(jù)旁心為兩外角和一個內(nèi)角角平分線交點(diǎn)，利用角平分線性質(zhì)得到，再由合比性質(zhì)、雙曲線定義求結(jié)果即可.【詳解】雙曲線中，，所以，，則，由角平分線性質(zhì)知：，而，故.故答案為：13．在中，已知，，，為線段上的點(diǎn)，且，則的最小值為___________．【答案】【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，設(shè)，，結(jié)合已知得出，根據(jù)基本不等式求解即可．【詳解】因?yàn)?/span>，且，所以，即，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，由得，由得，因?yàn)?/span>，所以，即，由及得，設(shè)，，因?yàn)?/span>，所以，，所以將，代入得，，即，所以，因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，故答案為：．14．已知函數(shù)．給出下列四個結(jié)論：①的最小正周期是；②的一條對稱軸方程為；③若函數(shù)在區(qū)間上有5個零點(diǎn)，從小到大依次記為，則；④存在實(shí)數(shù)a，使得對任意，都存在且，滿足．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】②③【分析】畫出函數(shù)圖像，可判斷①②，對于③，轉(zhuǎn)化為與在上交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合得到5個根的對稱性，從而得到答案；對于④，時，單調(diào)遞增，且，從而判斷出存在實(shí)數(shù)a，使得對任意，只有一個，滿足要求.【詳解】的圖象如下：對于①，的最小正周期是，①錯誤；對于②，的一條對稱軸方程為，②正確；對于③，畫出圖象，與在上有5個交點(diǎn)，這5個交點(diǎn)即為函數(shù)在區(qū)間上有5個零點(diǎn)，從小到大依次記為，且關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，則，故，③正確；對于④，時，單調(diào)遞增，且，對任意，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，故，由單調(diào)性可知存在實(shí)數(shù)a，使得對任意，只有一個，滿足，④錯誤.故答案為：②③【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)問題：將函數(shù)零點(diǎn)問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點(diǎn)問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點(diǎn)之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進(jìn)行解決. 五、雙空題15．已知，函數(shù),當(dāng)時，函數(shù)的最大值是_____；若函數(shù)的圖象上有且只有兩對點(diǎn)關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是______．【答案】     /     【分析】第一空，根據(jù)分段函數(shù)解析式，對于 時的解析式，利用均值不等式結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值；第二空，把函數(shù)的圖象上有且只有兩對點(diǎn)關(guān)于軸對稱轉(zhuǎn)化為 的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象與僅有兩個交點(diǎn)的問題，數(shù)形結(jié)合，求得答案.【詳解】當(dāng) 時，，令，當(dāng) ，即時取等號，即當(dāng)時， ，令，又因?yàn)?/span>,則;因?yàn)?/span>圖象僅有兩對點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，即 的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象與圖象僅有兩個交點(diǎn)，當(dāng) 時， ，設(shè)其關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為 ，∴，∵，由（1）可知近似圖象如圖所示：時，，當(dāng)與僅有兩個交點(diǎn)時，，綜上，a的取值范圍是 ，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)最值的求解以及參數(shù)的范圍求解，涉及到三角函數(shù)以及均值不等式的知識，綜合性較強(qiáng)，解答時要注意數(shù)形結(jié)合的思想方法,解答的關(guān)鍵是把函數(shù)的圖象上有且只有兩對點(diǎn)關(guān)于軸對稱轉(zhuǎn)化為 的圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)圖象與僅有兩個交點(diǎn)的問題. 六、解答題16．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知(1)求角的大??；(2)已知，的面積為6，求：①邊長的值；②的值.【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換運(yùn)算求解；（2）①根據(jù)題意利用面積公式可求得，再利用余弦定理運(yùn)算求解；②先利用余弦定理求得，再根據(jù)平方求，利用倍角公式和兩角差的余弦公式運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，可得，∵，∴.（2）①∵的面積，∴，由余弦定理：，則；②∵，即，則，∴，故.17．如圖，在直三棱柱中，，，是棱上的一點(diǎn)，是的延長線與的延長線的交點(diǎn)，且平面（1）求證：；（2）求二面角的正弦值；（3）若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)，由平面，利用線面平行的性質(zhì)，可得，由是的中點(diǎn)，證得為的中點(diǎn)；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角的正弦值；（3）在第二問的基礎(chǔ)上，設(shè)，根據(jù)直線與平面所成的角的正弦值，求出，求出線段的長【詳解】（1）連結(jié)，設(shè)，連結(jié)∵平面，平面，平面平面，∴.∵為正方形的中心，∴.∴.∵，∴.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，又，則，令，得，設(shè)平面的法向量為，又，則則，令，得，，，∴∴∴二面角的正弦值為.（3）設(shè)，其中∴，∵，∴∴，【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算解決二面角，線面角問題，還考查了學(xué)生空間想象能力，運(yùn)算能力，屬于中檔題.18．是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若的面積最大時且最大面積為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線：與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由的面積最大時且最大面積為求得且，再結(jié)合即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知，設(shè)直線：，則直線：，然后分別與聯(lián)立求出，，再利用斜率公式得出的值即可.【詳解】（1）當(dāng)是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時的面積最大，設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，則即，又，∴，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）依題意點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線不與垂直，設(shè)直線：，即，直線：，即，設(shè)，，由得，∴，∴，則.又，，∴，又，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問題，本題關(guān)鍵是通過方程思想求出A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，第一問是基礎(chǔ)出題，第二問對運(yùn)算求解能力要求較高，屬中等難度題.19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且點(diǎn)（n，Sn）在函數(shù)y＝2x+1﹣2的圖象上．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足：b1＝0，bn+1+bn＝an，求數(shù)列{bn}的前n項和公式；（3）在第（2）問的條件下，若對于任意的n∈N*不等式bn＜λbn+1恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）（1，+∞）【解析】由題意可知，分當(dāng)，和兩種情況，可得數(shù)列的通項公式；可得，分為奇數(shù)和為偶數(shù)，由累加的方法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得答案；由可知，分當(dāng)為偶數(shù)和奇數(shù)時，考慮數(shù)列的單調(diào)性，可得的最大值是1，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】由題意可知，．當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以． 由可知，即．當(dāng)時，，①當(dāng)時，，所以，②當(dāng)時，，③當(dāng)時，，所以，④當(dāng)時為偶數(shù)），，所以以上個式子相加，得，又，所以，當(dāng)為偶數(shù)時，．同理，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時，． 因此，當(dāng)為偶數(shù)時，數(shù)列的前項和；當(dāng)為奇數(shù)時，數(shù)列的前項和．故數(shù)列的前項和． 由可知，①當(dāng)為偶數(shù)時，，所以隨的增大而減小，從而，當(dāng)為偶數(shù)時，的最大值是．②當(dāng)為奇數(shù)時，，所以隨的增大而增大，且．綜上，的最大值是1．因此，若對于任意的，不等式恒成立，只需，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的求和，考查等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)，考查數(shù)列的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知函數(shù)，.（1）若時，直線是曲線的一條切線，求的值；（2）令.①若，討論在的最大值；②若在區(qū)間上有零點(diǎn)，求的最小值.【答案】（1）；（2）①，②.【解析】（1）求導(dǎo)可得，設(shè)切點(diǎn)，可得，即可求出的值，代入，可求得，即可得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入，即可求得b的值；（2）①由題意得可得的解析式，令，解得，分別討論當(dāng)、、三種情況的正負(fù)，可得的單調(diào)性，即可求得在的最大值；②由①可得的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，構(gòu)造不等式組，分析計算，即可得結(jié)果.【詳解】（1），，則，設(shè)切點(diǎn)，所以，解得，所以，即切點(diǎn)，又切點(diǎn)P在切線上，代入解得，（2），①由，可得，所以，，令，解得，當(dāng)，即時，，所以在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以；當(dāng)，即時，   當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)，   當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，當(dāng)時，，可得，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，可得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，綜上：.②由①可得，當(dāng)時，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，所以，所以；當(dāng)時，在為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以或，即或，所以或所以，設(shè)，，，恒成立，所以在（1,2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以在（1,2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以；當(dāng)時，在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即，所以，所以，綜上的最小值為.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義，并靈活應(yīng)用，難點(diǎn)在于，討論的單調(diào)性時，當(dāng)時，在為單調(diào)遞減函數(shù)，在為單調(diào)遞增函數(shù)，求最大值，還需比較的大小，計算難度偏大，考查分析理解，計算求值的能力，屬難題. 

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