2022-2023學(xué)年北京市人大附中八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  下列二次根式中，是最簡二次根式的是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，3.  如圖，?的對角線，相交于點(diǎn)，且，則的周長為(    )
 A.  B.  C.  D. 4.  下列等式不成立的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  如圖，下列四組條件中．不能判定四邊形是平行四邊形的是(    )
 A. ， B. ，
C. ， D. ，6.  如圖，在的正方形網(wǎng)格中，標(biāo)記格點(diǎn)、、、，且每個(gè)小正方形的邊長都是下列選項(xiàng)中的線段長度為的是(    )A. 線段
B. 線段
C. 線段
D. 線段7.  實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是(    )
 
A.  B.  C.  D. 8.  如圖，在?中，，為上一點(diǎn)，且，過作交于，則的度數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  校辦工廠要制作一些等腰三角形模具，工人師傅對四個(gè)模具的尺寸按照底邊、腰長和底邊上的高的順序進(jìn)行了記錄，其中記錄錯(cuò)誤的是(    )A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，10.  如圖，在?中，，是的中點(diǎn)，作于，連接、，下列結(jié)論不成立的是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共10小題，共22.0分）11.  若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．12.  分解因式： ______ ．13.  方程的解為______．14.  當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為______ ．15.  如圖，在?中，，，作于，則 ______ ； ______ ．
 16.  已知，，，若為整數(shù)且，則的值是______ ．17.  如圖，剪兩張對邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形在轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條的過程中，線段和的長度始終相等，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是______ ．
 18.  如圖，在中，，，，，分別是邊和上的點(diǎn)，把沿著直線折疊，若恰好落在中點(diǎn)上，則長為______ ．
 19.  如圖，點(diǎn)，為定點(diǎn)，直線，是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，對于下列各值：線段的長；的周長；的面積；直線與之間的距離；的大?。渲袝?huì)隨點(diǎn)的移動(dòng)而發(fā)生變化的是______填序號．20.  如圖，等邊邊長為，點(diǎn)為邊延長線上一動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接、．
用等式表示線段和的數(shù)量關(guān)系為：______ ；
線段長度的最小值為：______ ．三、計(jì)算題（本大題共1小題，共5.0分）21.  解不等式組：．四、解答題（本大題共7小題，共43.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）22.  本小題分
計(jì)算：；．23.  本小題分
先化簡，再求值：，其中：，．24.  本小題分
勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，且貼近人們的生活實(shí)際，古往今來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，出現(xiàn)了諸多證法下面是證明勾股定理的兩種圖形構(gòu)造方法，選擇______ 其中一種，補(bǔ)全后續(xù)證明過程． 勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為，，斜邊長為，那么已知：如圖，中，
，，，求證：．
 方法一
證明：如圖，將個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)大正方形，即分別使點(diǎn)、、共線，點(diǎn)、、共線，點(diǎn)、、共線，此時(shí)四邊形也是正方形．
 方法二
證明：如圖，將個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)梯形，即使點(diǎn)、、共線，此時(shí)為等腰直角三角形．
  25.  本小題分
如圖，在?中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且．
求證：四邊形是平行四邊形；
若為的平分線，且，，求?的周長．
26.  本小題分
在學(xué)習(xí)完二次根式后，數(shù)學(xué)興趣小組開始自主研究根式方程的解法，針對關(guān)于的根式方程，小組成員展開討論如材料一，并梳理了解法如材料二．
材料一： 小健同學(xué)：回憶分式方程解法，首先要去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，二元方程也是，首先要消元，將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程；
小康同學(xué)：對，就是要往解的形式轉(zhuǎn)化，現(xiàn)在關(guān)鍵就是要把根號化去；
小聰同學(xué)：我有辦法，方程左右兩邊同時(shí)平方就可以化去根號；
小明同學(xué)：對，平方可以化去根號，但可能不屬于同解變形，得注意驗(yàn)根
 材料二：
解：兩邊平方得：．
解得：．
檢驗(yàn)：將代入原方程，成立．
原方程的解為．通過以上材料，完成下列問題：
解關(guān)于的方程；
解關(guān)于的方程．27.  本小題分
已知?，．
如圖，若以為邊作等邊，且點(diǎn)恰好在邊上，直接寫出此時(shí)?的面積；
如圖，若以為斜邊作等腰直角，且點(diǎn)恰好在邊上，過作交于，連接．
依題意將圖補(bǔ)全；
用等式表示此時(shí)線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
如圖，以為邊作?，且，若，直接用等式表示此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系．
 28.  本小題分
在平面直角坐標(biāo)系中，對于沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形、給出如下定義：為圖形上任意一點(diǎn)，為圖形上任意一點(diǎn)，若、兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值分別為和，則稱比值為圖形和圖形的“距離關(guān)聯(lián)值”，記為．
已知?頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，．
若為?邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為______ ，最小值為______ ，因此點(diǎn)，? ______ ；
若為?對角線上一點(diǎn)，為?對角線上一點(diǎn)，其中．
若，則線段，? ______ ；
若線段，?，求的取值范圍；
若?的對角線交點(diǎn)為，且頂點(diǎn)在直線上，頂點(diǎn)在直線上，其中，請直接用含的代數(shù)式表示?，?．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．利用最簡二次根式定義判斷即可．
【解答】
解：原式，不符合題意；
B.原式，不符合題意；
C.原式為最簡二次根式，符合題意；
D.原式，不符合題意，
故選C．  2.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意．
故選：．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，由此即可判斷．
本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理．
 3.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，
，
．
故選：．
平行四邊形的對角線互相平分，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問題．
本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的周長等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等
 4.【答案】 【解析】解：．，故此選項(xiàng)不合題意；
B.，故此選項(xiàng)不合題意；
C.，故此選項(xiàng)不合題意；
D.，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：．
直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡得出答案．
此題主要考查了二次根式的乘除法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形可判斷四邊形為平行四邊形，故A能判斷；
B.根據(jù)兩組對邊平行的四邊形為平行四邊形可判斷四邊形為平行四邊形，故B能判斷；
C.不能判斷四邊形為平行四邊形，如滿足條件的四邊形可以為等腰梯形，故C不能判斷；
D.根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形可判斷四邊形為平行四邊形，故D能判斷
故選：．
平行四邊形的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
此題主要考查了學(xué)生對平行四邊形的判定的掌握情況．對于判定定理：“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．”應(yīng)用時(shí)要注意必須是“一組”，而“一組對邊平行且另一組對邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形．
 6.【答案】 【解析】解：由圖可得，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)勾股定理可以求得線段、、和的長，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．
本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出線段、、和的長．
 7.【答案】 【解析】解：由實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置可知，，
原式

，
故選：．
根據(jù)實(shí)數(shù)，在數(shù)軸上的位置確定、的符號，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡即可．
本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握數(shù)軸表示數(shù)的方法以及二次根式的性質(zhì)與化簡方法是正確解答的前提．
 8.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)平行四邊形 到現(xiàn)在得到，，求得，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高和底邊上的中線相互重合，可知底邊的一半、底邊上的高、腰構(gòu)成直角三角形，
只有，，中的一半為，且，可知滿足條件，
故選：．
根據(jù)底邊的一半、底邊上的高和腰構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行判斷即可．
主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的高、底邊的中線和頂角的平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：延長交延長線于，

A、是的中點(diǎn)，
，
在?中，，
，
，
，
，
，
，
即，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
B、四邊形是平行四邊形，
，
，
是的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
，
，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
C、設(shè)，則，
，
，
，
，
，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
D、≌，
，
，
，
，
故錯(cuò)誤，符合題意；
故選：．
延長交延長線于，利用平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)判斷選項(xiàng)B；設(shè)，則，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角的倍分關(guān)系可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D．
此題考查的是全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：，
．
故答案為：．
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．
本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：，
，
．
先提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解．平方差公式：．
本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用平方差公式進(jìn)行二次分解因式，也是難點(diǎn)所在．
 13.【答案】 【解析】解：去分母得：，
解得：，
檢驗(yàn)：把代入得：，
分式方程的解為．
故答案為：．
分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
 14.【答案】 【解析】解：

，
當(dāng)時(shí)，原式，
故答案為：．
根據(jù)完全平方公式把原式變形，把的值代入計(jì)算即可．
本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
 15.【答案】  【解析】解：在?中，，，
，，
，
，
，
，
故答案為：，．
根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可．
此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答．
 16.【答案】 【解析】解：，，
，
，
為整數(shù)且，
，
故答案為：．
估算出的值即可解答．
本題考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】平行四邊形的對邊相等 【解析】解：由題意可知，，，
四邊形為平行四邊形，
平行四邊形的對邊相等，
故答案為：平行四邊形的對邊相等．
由題意可知，，可證四邊形為平行四邊形，即可得出．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：在中，，，，
，
點(diǎn)是直角邊的中點(diǎn)，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，
得≌，
，
設(shè)為，則：，
在中：，
解得：，
故答案為：．
點(diǎn)是直角邊的中點(diǎn)，可以得到的長度，再利用翻折得到，在中利用勾股定理即可求出的長．
本題考查勾股定理以及圖形的變換中的折疊問題．在折疊過程中，對應(yīng)角和對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵；在直角三角形中，知道一條邊長以及另外兩條邊的關(guān)系時(shí)，通常采用方程思想來解題．
 19.【答案】 【解析】解：，
的面積不變，
，，
，的長為定值，
的長不變，的面積不變，直線與之間的距離不變，
故答案為．
根據(jù)三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)即可一一判斷；
本題考查三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
 20.【答案】  【解析】解：線段與的數(shù)量關(guān)系為：，理由如下：
延長至點(diǎn)，使，連接、，如圖所示：

點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，
，，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
是等邊三角形，
；
故答案為：；
連接，取的中點(diǎn)，連接作射線，如圖所示：

為等腰三角形，，
，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
是的中位線，
，
，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線，且，
當(dāng)時(shí)，最短，
，
，
在中，，
，
線段長度的最小值為．
故答案為：．
延長至點(diǎn)，使，連接、，先證≌，得，，則，再證≌，得，，然后證是等邊三角形，即可得出結(jié)論；
連接，取的中點(diǎn)，連接作射線，先由等腰三角形的性質(zhì)得，再由三角形中位線定理得，則，得點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線，且，當(dāng)時(shí)，最短，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得即可．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
 21.【答案】解：由，得：，
由，得：，
則不等式組的解集為． 【解析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
 22.【答案】解：

；



． 【解析】先把每一個(gè)二次根式化成最簡二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；
利用二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：原式

，
當(dāng)，時(shí)，原式． 【解析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減混合運(yùn)算法則把原式化簡，把、的值代入計(jì)算即可．
本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】方法一 【解析】解：方法一，
證明：如圖，將個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)大正方形，
即分別使點(diǎn)、、共線，點(diǎn)、、共線，點(diǎn)、、共線，
此時(shí)四邊形也是正方形，
大正方形的面積個(gè)直角三角形的面積小正方形的面積，
，即，
；
方法二，
證明：如圖，將個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)梯形，
即使點(diǎn)、、共線，此時(shí)為等腰直角三角形，
梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，
即，
化簡得：．
方法一：由大正方形的面積個(gè)直角三角形的面積小正方形的面積，即可得出結(jié)果；
方法二：梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，即可得出結(jié)果．
本題考查了勾股定理的證明，正確利用圖形中有關(guān)面積的等量關(guān)系得出勾股定理是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
即，
四邊形是平行四邊形；
解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
為的平分線，
，
，
，
，
?的周長． 【解析】由平行四邊形的在得，，再證，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
由平行四邊形的性質(zhì)得，，，再證，得，則，即可解決問題．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 26.【答案】解：，
兩邊平方得：，
解得：，
檢驗(yàn)：將代入原方程，成立，
所以原方程的解為；

，
兩邊平方得：，
解得：，
檢驗(yàn)：將代入原方程，不成立，
所以原方程無解． 【解析】方程兩邊平方得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
方程兩邊平方得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
本題考查了解無理方程，能把無理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．
 27.【答案】解：如圖，是等邊三角形，，
邊上的高為，
?的面積；
如圖即為補(bǔ)全的圖形；

，理由如下：
如圖，在上取，連接，
是等腰直角，
，，
在?中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，理由如下：
如圖，連接，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，連接，

在?中，，，
，
，
，
，
，
，
在?和?中，
，，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
． 【解析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出邊上的高為，再根據(jù)平行四邊形的面積等于底乘以高即可解決問題；
根據(jù)題意畫出圖形即可；
如圖，在上取，連接，證明≌，得，，再證明≌，得，進(jìn)而根據(jù)線段的和差即可解決問題；
連接，過點(diǎn)作延長線于點(diǎn)，連接，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理可得，然后證明四邊形是平行四邊形，證得，根據(jù)勾股定理可得．
本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識，得到≌是解題的關(guān)鍵．
 28.【答案】       【解析】解：當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，的值最大，最大值，
當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，的值最小，最小值為，
點(diǎn)，?．
故答案為：，，；

當(dāng)時(shí)，，，
此時(shí)，，
觀察圖象可知，，
線段，?．
故答案為：．

當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，解得，，
當(dāng)時(shí)，，解得，，
當(dāng)線段，?時(shí)，
．
當(dāng)時(shí)，同法可得，
綜上所述，滿足條件的的值為：或；

由可知，當(dāng)時(shí)，?，?．
當(dāng)時(shí)，?，?
當(dāng)點(diǎn)與或重合時(shí)，的值最大，最大值，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，的值最小，最小值為；
求出最大值，最小值可得結(jié)論；
根據(jù)方程求出空格特殊位置的值，可得結(jié)論；
利用中方法，分，，兩種情形分別求解．
本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，新定義“距離關(guān)聯(lián)值”等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
 

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