?2022-2023學(xué)年北京市人大附中八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（每小題3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（　?。?br /> A．1，1， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10
3．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD＝10，AB＝3．則△OCD的周長(zhǎng)為（　　）

A．13 B．8 C．7 D．5
4．下列等式不成立的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
5．如圖，下列四組條件中．不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br />
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
6．如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，標(biāo)記格點(diǎn)A、B、C、D，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．下列選項(xiàng)中的線段長(zhǎng)度為的是（　?。?br />
A．線段AB B．線段BC C．線段CD D．線段AD
7．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　?。?br />

A．﹣2a B．﹣2b C．2b﹣2a D．0
8．如圖，在?ABCD中，∠B＝42°，E為AD上一點(diǎn)，且DE＝DC，過(guò)D作DF⊥EC交BC于F，則∠DFC的度數(shù)為（　?。?br />
A．14° B．18° C．21° D．22°
9．校辦工廠要制作一些等腰三角形模具，工人師傅對(duì)四個(gè)模具的尺寸按照底邊、腰長(zhǎng)和底邊上的高的順序進(jìn)行了記錄，其中記錄錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5
10．如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB于E，連接CF、EF，下列結(jié)論不成立的是（　　）

A．∠BCD＝2∠DFC B．EF＝CF
C． D．S△BEC＝2S△CEF
二、填空題：（第11-19題每空2分，第20題每空1分，共22分）
11．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 　 ?。?br /> 12．分解因式：mn2﹣m＝　 　．
13．方程＝的解為 　 ?。?br /> 14．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式x2+2x+2的值為 　 ?。?br /> 15．如圖，在?ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，作CE⊥AB于E，則∠ECB＝　 　；CE＝　 ?。?br />
16．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)且，則n的值是 　 　．
17．如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形．在轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條的過(guò)程中，線段AD和BC的長(zhǎng)度始終相等，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是 　 ?。?br />
18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分別是邊AB和BC上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，若B恰好落在AC中點(diǎn)M上，則CE長(zhǎng)為 　 ?。?br />
19．如圖，點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，直線l∥AB，P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，對(duì)于下列各值：①線段MN的長(zhǎng)；②△PAB的周長(zhǎng)；③△PMN的面積；④直線MN與AB之間的距離；⑤∠APB的大?。渲袝?huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而發(fā)生變化的是　 　（填序號(hào)）．

20．如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為邊BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，CD＝DE，∠BDE＝120°，點(diǎn)F是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．
（1）用等式表示線段DF和AD的數(shù)量關(guān)系為：　 　；
（2）線段CF長(zhǎng)度的最小值為：　 ?。?br />
三、解答題：（第21題8分，第22-25題每小題8分，第26題6分，第27、28題每小題8分，共48分）
21．計(jì)算：（1）；（2）．
22．解不等式組：．
23．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：a＝3，b＝2．
24．勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，且貼近人們的生活實(shí)際，古往今來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，出現(xiàn)了諸多證法．下面是證明勾股定理的兩種圖形構(gòu)造方法，選擇 　 　其中一種，補(bǔ)全后續(xù)證明過(guò)程．
勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．已知：如圖，△ABC中，
∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．

方法一
證明：如圖，將4個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)大正方形HCDF，即分別使點(diǎn)C、B、D共線，點(diǎn)D、E、F共線，點(diǎn)F、G、H共線，此時(shí)四邊形ABEG也是正方形．

方法二
證明：如圖，將2個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)梯形，即使點(diǎn)P、A、C共線，此時(shí)△QAB為等腰直角三角形．

25．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，且AE＝CF．

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）若DE為∠ADC的平分線，且AD＝3，EB＝2，求?ABCD的周長(zhǎng)．

26．在學(xué)習(xí)完二次根式后，數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)始自主研究根式方程的解法，針對(duì)關(guān)于x的根式方程，小組成員展開(kāi)討論（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
小健同學(xué)：回憶分式方程解法，首先要去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，二元方程也是，首先要消元，將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程；
小康同學(xué)：對(duì)，就是要往解x＝a的形式轉(zhuǎn)化，現(xiàn)在關(guān)鍵就是要把根號(hào)化去；
小聰同學(xué)：我有辦法，方程左右兩邊同時(shí)平方就可以化去根號(hào)；
小明同學(xué)：對(duì)，平方可以化去根號(hào)，但可能不屬于同解變形，得注意驗(yàn)根
……
材料二：

解：兩邊平方得：5x﹣3＝1．
解得：．
檢驗(yàn)：將代入原方程，成立．
∴原方程的解為．
通過(guò)以上材料，完成下列問(wèn)題：
（1）解關(guān)于x的方程；
（2）解關(guān)于x的方程．
27．已知?ABCD，BC＝2．

（1）如圖1，若以BC為邊作等邊△BCE，且點(diǎn)E恰好在邊AD上，直接寫(xiě)出此時(shí)?ABCD的面積；
（2）如圖2，若以BC為斜邊作等腰直角△BCF，且點(diǎn)F恰好在邊AD上，過(guò)C作CG⊥CD交BF于G，連接AG．
①依題意將圖2補(bǔ)全；
②用等式表示此時(shí)線段CD，CG，AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，以BC為邊作?BCMN，且∠CMN＝60°，BN＝3．若NA⊥BD，直接用等式表示此時(shí)BD與NA的數(shù)量關(guān)系．

28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形M、N給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，若P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值分別為d1和d2，則稱(chēng)比值為圖形M和圖形N的“距離關(guān)聯(lián)值”，記為k（M，N）．
已知?ABCD頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，1），，C（1，﹣1），．

（1）若E為?ABCD邊上任意一點(diǎn)，則OE的最大值為 　 　，最小值為 　 　，因此k（點(diǎn)O，?ABCD）＝　 ?。?br /> （2）若F（x1，m）為?ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，G（x2，m）為?ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，其中x1≠x2．
①若，則k（線段FG，?ABCD）＝　 ??；
②若6≤k（線段FG，?ABCD）＜8，求m的取值范圍；
（3）若?HIJK的對(duì)角線交點(diǎn)為O，且頂點(diǎn)H（p，n）在直線AC上，頂點(diǎn)K（q，n）在直線BD上，其中p＜q，請(qǐng)直接用含n的代數(shù)式表示k（?HIJK，?ABCD）．



參考答案
一、選擇題：（每小題3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．
解：A、原式＝，不符合題意；
B、原式＝，不符合題意；
C、原式為最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
D、原式＝2，不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．
2．下列各組數(shù)中不能作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的是（　?。?br /> A．1，1， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，由此即可判斷．
解：A、12+12＝，故A不符合題意；
B、12+＝22，故B不符合題意；
C、42+52＝41≠62，故C符合題意；
D、62+82＝102，故D不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理．
3．如圖，?ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD＝10，AB＝3．則△OCD的周長(zhǎng)為（　?。?br />
A．13 B．8 C．7 D．5
【分析】平行四邊形的對(duì)角線互相平分，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD＝3，
C△OCD＝CD+OD+OC＝CD+（AC+BD），
∴C△OCD＝3+×10＝8．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的周長(zhǎng)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等
4．下列等式不成立的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)得出答案．
解：A．÷＝2，故此選項(xiàng)不合題意；
B．×＝6，故此選項(xiàng)不合題意；
C．＝2，故此選項(xiàng)不合題意；
D．＝，故此選項(xiàng)符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除法，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
5．如圖，下列四組條件中．不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（　?。?br />
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
【分析】平行四邊形的判定：①兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；④對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
解：根據(jù)平行四邊形的判定，A、B、D均符合是平行四邊形的條件，C則不能判定是平行四邊形．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了學(xué)生對(duì)平行四邊形的判定的掌握情況．對(duì)于判定定理：“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．”應(yīng)用時(shí)要注意必須是“一組”，而“一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等”的四邊形不一定是平行四邊形．
6．如圖，在4×3的正方形網(wǎng)格中，標(biāo)記格點(diǎn)A、B、C、D，且每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．下列選項(xiàng)中的線段長(zhǎng)度為的是（　　）

A．線段AB B．線段BC C．線段CD D．線段AD
【分析】根據(jù)勾股定理可以求得線段AB、BC、CD和AD的長(zhǎng)，然后即可判斷哪個(gè)選項(xiàng)符合題意．
解：由圖可得，
AB＝＝，
BC＝＝，
CD＝＝，
AD＝＝，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出線段AB、BC、CD和AD的長(zhǎng)．
7．實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果是（　?。?br />

A．﹣2a B．﹣2b C．2b﹣2a D．0
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置確定a、b的符號(hào)，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
解：由實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置可知，a＜0＜1＜b，
∴原式＝|a|﹣|b|+|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣a
＝﹣2a，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，掌握數(shù)軸表示數(shù)的方法以及二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)方法是正確解答的前提．
8．如圖，在?ABCD中，∠B＝42°，E為AD上一點(diǎn)，且DE＝DC，過(guò)D作DF⊥EC交BC于F，則∠DFC的度數(shù)為（　?。?br />
A．14° B．18° C．21° D．22°
【分析】根據(jù)平行四邊形 到現(xiàn)在得到AB∥DC，AD∥CD，求得∠BCD＝138°，得到∠DEC＝∠FCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠DEC＝∠DCE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．
解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AD∥CD，
∵∠B＝42°，
∴∠BCD＝138°，
∵AD∥CD，
∴∠DEC＝∠FCE，
∵DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠FCE＝∠DCE＝，
∵DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°﹣69°＝21°，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．校辦工廠要制作一些等腰三角形模具，工人師傅對(duì)四個(gè)模具的尺寸按照底邊、腰長(zhǎng)和底邊上的高的順序進(jìn)行了記錄，其中記錄錯(cuò)誤的是（　　）
A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5
【分析】根據(jù)底邊的一半、底邊上的高和腰構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行判斷即可．
解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，底邊上的高和底邊上的中線相互重合，可知底邊的一半、底邊上的高、腰構(gòu)成直角三角形，
只有10，26，24中10的一半為5，且52+242≠262，可知滿足條件，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的高、底邊的中線和頂角的平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，在?ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB于E，連接CF、EF，下列結(jié)論不成立的是（　　）

A．∠BCD＝2∠DFC B．EF＝CF
C． D．S△BEC＝2S△CEF
【分析】延長(zhǎng)EF交CD延長(zhǎng)線于M，利用平行四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)判斷選項(xiàng)B；設(shè)∠FEC＝x，則∠FCE＝x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角的倍分關(guān)系可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D．
解：延長(zhǎng)EF交CD延長(zhǎng)線于M，

A、∵F是AD的中點(diǎn)，
∴AF＝DF，
在?ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，
即∠BCD＝2∠DFC，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F是AD的中點(diǎn)，
∴AF＝DF，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝FM，
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝FM＝EF，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
C、設(shè)∠FEC＝x，則∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
D、∵△AEF≌△DMF，
∴EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵M(jìn)C＞BE，
∴S△BEC＜S△EFC，
故S△BEC＝2S△CEF錯(cuò)誤，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
二、填空題：（第11-19題每空2分，第20題每空1分，共22分）
11．若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為 　x≥3?。?br /> 【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案．
解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案為：x≥3．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．分解因式：mn2﹣m＝　m（n+1）（n﹣1）?。?br /> 【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：mn2﹣m，
＝m（n2﹣1），
＝m（n+1）（n﹣1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用平方差公式進(jìn)行二次分解因式，也是難點(diǎn)所在．
13．方程＝的解為 　x＝5?。?br /> 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
解：去分母得：2x＝x+5，
解得：x＝5，
檢驗(yàn)：把x＝5代入得：x（x+5）≠0，
∴分式方程的解為x＝5．
故答案為：x＝5．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
14．當(dāng)時(shí)，代數(shù)式x2+2x+2的值為 　18?。?br /> 【分析】根據(jù)完全平方公式把原式變形，把x的值代入計(jì)算即可．
解：x2+2x+2
＝x2+2x+1+1
＝（x+1）2+1，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，原式＝（﹣1+1）2+1＝17+1＝18，
故答案為：18．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
15．如圖，在?ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，作CE⊥AB于E，則∠ECB＝　30°?。籆E＝　?。?br />
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可．
解：∵在?ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，
∴AD＝BC＝2，∠B＝60°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB＝30°，
∴BE＝BC＝1，
∴CE＝＝，
故答案為：30°，．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答．
16．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n為整數(shù)且，則n的值是 　44?。?br /> 【分析】估算出的值即可解答．
解：∵442＝1936，452＝2025，
∴1936＜2023＜2025，
∴44＜＜45，
∵n為整數(shù)且n＜＜n+1，
∴n＝44，
故答案為：44．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握平方數(shù)是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，剪兩張對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形．在轉(zhuǎn)動(dòng)其中一張紙條的過(guò)程中，線段AD和BC的長(zhǎng)度始終相等，這里蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理是 　平行四邊形的對(duì)邊相等?。?br />
【分析】由題意可知AB∥CD，AD∥BC，可證四邊形ABCD為平行四邊形，即可得出AD＝BC．
解：由題意可知，AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD＝BC（平行四邊形的對(duì)邊相等），
故答案為：平行四邊形的對(duì)邊相等．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形ABCD為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分別是邊AB和BC上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，若B恰好落在AC中點(diǎn)M上，則CE長(zhǎng)為 　?。?br />
【分析】點(diǎn)M是直角邊AC的中點(diǎn)，可以得到MC的長(zhǎng)度，再利用翻折得到ME＝BE，在Rt△MCE中利用勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴，
∵點(diǎn)BM是直角邊AC的中點(diǎn)，
∴MC＝AC＝3，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，
得△MDE≌△BDE，
∴ME＝BE，
設(shè)CE為x，則：ME＝BE＝8﹣x，
在Rt△MCE中：x2+32＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理以及圖形的變換中的折疊問(wèn)題．在折疊過(guò)程中，對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵；在直角三角形中，知道一條邊長(zhǎng)以及另外兩條邊的關(guān)系時(shí)，通常采用方程思想來(lái)解題．
19．如圖，點(diǎn)A，B為定點(diǎn)，直線l∥AB，P是l上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別為PA，PB的中點(diǎn)，對(duì)于下列各值：①線段MN的長(zhǎng)；②△PAB的周長(zhǎng)；③△PMN的面積；④直線MN與AB之間的距離；⑤∠APB的大?。渲袝?huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而發(fā)生變化的是?、冖荨。ㄌ钚蛱?hào)）．

【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，平行線的性質(zhì)即可一一判斷．
解：∵l∥AB，
∴△PAB的面積不變，
∵PM＝MA，PN＝NB，
∴MN＝AB，∵AB的長(zhǎng)為定值，
∴MN的長(zhǎng)不變，△PMN的面積不變，直線MN與AB之間的距離不變，
故答案為：②⑤．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
20．如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為邊BC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，CD＝DE，∠BDE＝120°，點(diǎn)F是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．
（1）用等式表示線段DF和AD的數(shù)量關(guān)系為：　AD＝2DF??；
（2）線段CF長(zhǎng)度的最小值為：　　．

【分析】（1）延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M，使DF＝FM，連接BM、AM，先證△BFM≌△EFD（SAS），得BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，則BM∥DE，再證△ABM≌△ACD（SAS），得AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，然后證△AMD是等邊三角形，即可得出結(jié)論；
（2）連接CE，取BC的中點(diǎn)N，連接作射線NF，先由等腰三角形的性質(zhì)得∠DCE＝30°，再由三角形中位線定理得NF∥CE，則∠CNF＝∠DCE＝30°，得點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線NF，且∠CNF＝30°，當(dāng)CF⊥NF時(shí)，CF最短，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得CF＝CN＝即可．
解：（1）線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，理由如下：
延長(zhǎng)DF至點(diǎn)M，使DF＝FM，連接BM、AM，如圖1所示：

∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，
∴BF＝EF，
在△BFM和△EFD中，
，
∴△BFM≌△EFD（SAS），
∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，
∴BM∥DE，
∵線段CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，
∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，
∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，
，
∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∴△AMD是等邊三角形，
∴AD＝DM＝2DF；
故答案為：AD＝2DF；
（2）連接CE，取BC的中點(diǎn)N，連接作射線NF，如圖2所示：

∵△CDE為等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∵點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，
∴NF是△BCE的中位線，
∴NF∥CE，
∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為射線NF，且∠CNF＝30°，
當(dāng)CF⊥NF時(shí)，CF最短，
∵AB＝BC＝2，
∴CN＝1，
在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，
∴CF＝CN＝，
∴線段CF長(zhǎng)度的最小值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．
三、解答題：（第21題8分，第22-25題每小題8分，第26題6分，第27、28題每小題8分，共48分）
21．計(jì)算：（1）；（2）．
【分析】（1）先把每一個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答；
（2）利用二次根式的乘除法法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
解：（1）
＝2+3﹣
＝4；
（2）
＝÷
＝30÷
＝15．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
22．解不等式組：．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，
由x＜，得：x＜4，
則不等式組的解集為1＜x＜4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
23．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：a＝3，b＝2．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加減混合運(yùn)算法則把原式化簡(jiǎn)，把a(bǔ)、b的值代入計(jì)算即可．
解：原式＝﹣?a+a﹣b
＝﹣+a﹣b
＝a﹣b，
當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，原式＝3﹣2＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的加減混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
24．勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，且貼近人們的生活實(shí)際，古往今來(lái)，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，出現(xiàn)了諸多證法．下面是證明勾股定理的兩種圖形構(gòu)造方法，選擇 　方法一　其中一種，補(bǔ)全后續(xù)證明過(guò)程．
勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．已知：如圖，△ABC中，
∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求證：a2+b2＝c2．

方法一
證明：如圖，將4個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)大正方形HCDF，即分別使點(diǎn)C、B、D共線，點(diǎn)D、E、F共線，點(diǎn)F、G、H共線，此時(shí)四邊形ABEG也是正方形．

方法二
證明：如圖，將2個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)梯形，即使點(diǎn)P、A、C共線，此時(shí)△QAB為等腰直角三角形．

【分析】方法一：由大正方形的面積＝4個(gè)直角三角形的面積+小正方形的面積，即可得出結(jié)果；
方法二：梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，即可得出結(jié)果．
解：方法一，
證明：如圖，將4個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)大正方形HCDF，
即分別使點(diǎn)C、B、D共線，點(diǎn)D、E、F共線，點(diǎn)F、G、H共線，
此時(shí)四邊形ABEG也是正方形，
∵大正方形的面積＝4個(gè)直角三角形的面積+小正方形的面積，
∴（a+b）2＝4×ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
方法二，
證明：如圖，將2個(gè)全等的該直角三角形圍成一個(gè)梯形，
即使點(diǎn)P、A、C共線，此時(shí)△QAB為等腰直角三角形，
∵梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和，
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，
化簡(jiǎn)得：a2+b2＝c2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，正確利用圖形中有關(guān)面積的等量關(guān)系得出勾股定理是解題的關(guān)鍵．
25．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在CD上，且AE＝CF．

（1）求證：四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）若DE為∠ADC的平分線，且AD＝3，EB＝2，求?ABCD的周長(zhǎng)．

【分析】（1）由平行四邊形的在得AB＝CD，AB∥CD，再證BE＝DF，然后由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，再證∠ADE＝∠AED，得AE＝AD＝3，則AB＝AE+EB＝5，即可解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE為∠ADC的平分線，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝3，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5，
∴?ABCD的周長(zhǎng)＝2（AB+AD）＝2×（5+3）＝16．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．在學(xué)習(xí)完二次根式后，數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)始自主研究根式方程的解法，針對(duì)關(guān)于x的根式方程，小組成員展開(kāi)討論（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
小健同學(xué)：回憶分式方程解法，首先要去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，二元方程也是，首先要消元，將二元方程轉(zhuǎn)化為一元方程；
小康同學(xué)：對(duì)，就是要往解x＝a的形式轉(zhuǎn)化，現(xiàn)在關(guān)鍵就是要把根號(hào)化去；
小聰同學(xué)：我有辦法，方程左右兩邊同時(shí)平方就可以化去根號(hào)；
小明同學(xué)：對(duì)，平方可以化去根號(hào)，但可能不屬于同解變形，得注意驗(yàn)根
……
材料二：

解：兩邊平方得：5x﹣3＝1．
解得：．
檢驗(yàn)：將代入原方程，成立．
∴原方程的解為．
通過(guò)以上材料，完成下列問(wèn)題：
（1）解關(guān)于x的方程；
（2）解關(guān)于x的方程．
【分析】（1）方程兩邊平方得出x﹣2＝1，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（2）方程兩邊平方得出x2+4x﹣3＝（x﹣1）2，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．
解：（1）＝1，
兩邊平方得：x﹣2＝1，
解得：x＝3，
檢驗(yàn)：將x＝3代入原方程，成立，
所以原方程的解為x＝3；

（2），
兩邊平方得：x2+4x﹣3＝（x﹣1）2，
解得：x＝，
檢驗(yàn)：將x＝代入原方程，不成立，
所以原方程無(wú)解．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解無(wú)理方程，能把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化成有理方程是解此題的關(guān)鍵．
27．已知?ABCD，BC＝2．

（1）如圖1，若以BC為邊作等邊△BCE，且點(diǎn)E恰好在邊AD上，直接寫(xiě)出此時(shí)?ABCD的面積；
（2）如圖2，若以BC為斜邊作等腰直角△BCF，且點(diǎn)F恰好在邊AD上，過(guò)C作CG⊥CD交BF于G，連接AG．
①依題意將圖2補(bǔ)全；
②用等式表示此時(shí)線段CD，CG，AG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（3）如圖3，以BC為邊作?BCMN，且∠CMN＝60°，BN＝3．若NA⊥BD，直接用等式表示此時(shí)BD與NA的數(shù)量關(guān)系．

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出BC邊上的高為，再根據(jù)平行四邊形ABCD的面積等于底乘以高即可解決問(wèn)題；
（2）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；
②如圖2，在CG上取CH＝CD，連接FH，證明△CFH≌△BFA（SAS），得FH＝FA，∠CFH＝∠BFA＝45°，再證明△FHG≌△FAG（SAS），得HG＝AG，進(jìn)而根據(jù)線段的和差即可解決問(wèn)題；
（3）連接BM，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接DM，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理可得BM2＝BQ2+MQ2＝（）2+（）2＝19，然后證明四邊形ADMN是平行四邊形，證得MD⊥BD，根據(jù)勾股定理可得BM2＝BD2+MD2＝BD2+NA2＝19．
解：（1）如圖1，∵△BCE是等邊三角形，BC＝2，
∴BC邊上的高為，
∴?ABCD的面積＝2；
（2）①如圖2即為補(bǔ)全的圖形；

②CG＝CD+AG，理由如下：
如圖2，在CG上取CH＝CD，連接FH，
∵△BCF是等腰直角，
∴FB＝FC，∠FBC＝∠FCB＝45°，
在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC＝45°，
∴∠FAB+∠FBA＝135°，
∴∠FBA＝135°﹣∠BAD，
∵CG⊥CD，
∴∠GCD＝90°，
∴∠FCH＝90°﹣∠FCD＝90°﹣（∠BCD﹣∠FCB）＝90°﹣（∠BAD﹣45°）＝135°﹣∠BAD，
∴∠FCH＝∠FBA，
∵CF＝BF，CH＝AB，
∴△CFH≌△BFA（SAS），
∴FH＝FA，∠CFH＝∠BFA＝45°，
∵∠BFC＝90°，
∴∠HFG＝∠BFA＝45°，
∵FG＝FG，
∴△FHG≌△FAG（SAS），
∴HG＝AG，
∴CG＝CH+HG＝CD+AG，
∴CG＝CD+AG，
（3）BD2+NA2＝19，理由如下：
如圖3，連接BM，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接DM，

在?BCMN中，CM＝BN＝3，BC∥MN，
∴∠MCN＝∠CMN＝60°，
∴CQ＝CM＝，
∴MQ＝CQ＝，
∵BC＝2，
∴BQ＝BC+CQ＝，
∴BM2＝BQ2+MQ2＝（）2+（）2＝19，
在?BCMN和?ABCD中，
∵BC∥MN，BC＝MN，BC∥AD，BC＝AD，
∴MN∥AD，MN＝AD，
∴四邊形ADMN是平行四邊形，
∴AN∥MD，
∵NA⊥BD，
∴MD⊥BD，
∴BM2＝BD2+MD2＝BD2+NA2＝19，
∴BD2+NA2＝19．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，得到△CFH≌△BFA是解題的關(guān)鍵．
28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)圖形M、N給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為圖形N上任意一點(diǎn)，若P、Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值分別為d1和d2，則稱(chēng)比值為圖形M和圖形N的“距離關(guān)聯(lián)值”，記為k（M，N）．
已知?ABCD頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣1，1），，C（1，﹣1），．

（1）若E為?ABCD邊上任意一點(diǎn)，則OE的最大值為 　2　，最小值為 　1　，因此k（點(diǎn)O，?ABCD）＝　2?。?br /> （2）若F（x1，m）為?ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，G（x2，m）為?ABCD對(duì)角線AC上一點(diǎn)，其中x1≠x2．
①若，則k（線段FG，?ABCD）＝　6　；
②若6≤k（線段FG，?ABCD）＜8，求m的取值范圍；
（3）若?HIJK的對(duì)角線交點(diǎn)為O，且頂點(diǎn)H（p，n）在直線AC上，頂點(diǎn)K（q，n）在直線BD上，其中p＜q，請(qǐng)直接用含n的代數(shù)式表示k（?HIJK，?ABCD）．

【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)E與D或B重合時(shí)，OE的值最大，最大值＝＝2，當(dāng)點(diǎn)E在y軸上時(shí)，OE的值最小，最小值為1；
（2）①求出最大值d1，最小值d2可得結(jié)論；
②根據(jù)方程求出空格特殊位置m的值，可得結(jié)論；
（3）利用（2）中方法，分n＞0，n＜0，兩種情形分別求解．
解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與D或B重合時(shí)，OE的值最大，最大值＝＝2，
當(dāng)點(diǎn)E在y軸上時(shí)，OE的值最小，最小值為1，
∴K（點(diǎn)O，?ABCD）＝＝2．
故答案為：2，1，2；

（2）①當(dāng)m＝時(shí)，OF＝DF，AG＝OG，
此時(shí)F（，），G（﹣，），
觀察圖象可知d1＝FB＝3，d2＝，
∴k（線段FG，?ABCD）＝＝6．
故答案為：6．

②當(dāng)m＞0時(shí)，d1＝2+2m，d2＝1﹣m，
當(dāng)＝6時(shí)，＝6，解得，m＝，
當(dāng)＝8時(shí)，＝8，解得，m＝，
∴當(dāng)6≤k（線段FG，?ABCD）＜8時(shí)，
≤m＜．
當(dāng)m＜0時(shí)，同法可得﹣＜m≤﹣，
綜上所述，滿足條件的m的值為：≤m＜或﹣＜m≤﹣；

（3）由（2）可知，當(dāng)n＞0時(shí)，k（?HIJK，?ABCD）＝．
當(dāng)n＜0時(shí)，k（?HIJK，?ABCD）＝..

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，新定義“距離關(guān)聯(lián)值”等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．

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