?2023年四川省內(nèi)江市市中區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）下列四個數(shù)中，是負數(shù)的是（　　）
A．|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．﹣
2．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
3．（3分）人的大腦每天能記錄大約8600萬條信息，8600萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.86×108 B．8.6×103 C．8.6×107 D．86×102
4．（3分）下列既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，點B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．70°
6．（3分）如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A、B對應(yīng)的實數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（　　）

A．a(chǎn)+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a(chǎn)+2＜b+2
7．（3分）下列說法正確的是（　?。?br /> A．調(diào)查中央電視臺《開學(xué)第一課》的收視率，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式
B．數(shù)據(jù)3，5，4，1，﹣2的中位數(shù)是4
C．一個抽獎活動中，中獎概率為，表示抽獎20次就有1次中獎
D．甲、乙兩名射擊運動員10次射擊成績（單位：環(huán)）的平均數(shù)相等，方差分別為S甲2＝0.4，S乙2＝2，則甲的成績比乙的穩(wěn)定
8．（3分）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
9．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OF⊥BC于點F，∠BOF＝65°，則∠AOD為（　　）

A．70° B．65° C．50° D．45°
10．（3分）甲、乙兩同學(xué)從A地出發(fā)，騎自行車在同一條路上行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s（千米）和行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法：
（1）他們都行駛了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小時；
（3）乙比甲晚出發(fā)了0.5小時；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙兩人同時到達目的地．
其中，符合圖象描述的說法有（　?。?br />
A．2個 B．4個 C．3個 D．5個
11．（3分）在銳角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE為高，F(xiàn)是BC的中點，連接DE，DF，EF．有下列結(jié)論：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等邊三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE與四邊形BCDE的面積比是1：3．其中正確的結(jié)論是（　?。?br />
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是5．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根是（　?。?br /> A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案直接填在題中橫線上）
13．（5分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 　 　．
14．（5分）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有實數(shù)解，則m的取值范圍是：　 ?。?br /> 15．（5分）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B和C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交邊AB于點E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，則AB的長為 　 　．

16．（5分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標系中，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)至y軸的正半軸上的A′處，若CO＝1，則陰影部分面積為 　 ?。?br />
三、解答題（本大題共5小題，共44分）
17．（10分）（1）計算：．
（2）先化簡：，再從0、1、2、3中選擇一個適合的數(shù)代入求值．
18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分別與AC交于點M，N．
求證：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．

19．（8分）有史料記載，內(nèi)江鐘鼓樓始建于明洪武初年，天順六年至萬歷年間，曾先后二毀兩修，清光緒年間，又毀于火后復(fù)修．在沒有高層建筑的時代，一直流傳著“內(nèi)江有座鐘鼓樓，半截還在天里頭”的說法．它位于內(nèi)江城區(qū)中心，建筑規(guī)模極小，但歷史內(nèi)涵極為豐富，被稱為內(nèi)江“袖珍博物館”，現(xiàn)已申報國家級重點文物保護單位；學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在開展“數(shù)學(xué)與傳承”探究活動中，進行了“鐘鼓樓知識知多少”專題調(diào)查活動，將調(diào)查問題設(shè)置為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四類．他們隨機抽取部分市民進行問卷調(diào)查，并將結(jié)果繪制成了如下兩幅統(tǒng)計圖：

（1）設(shè)本次問卷調(diào)查共抽取了m名市民，圖2中“不太了解”所對應(yīng)扇形的圓心角是n度，分別寫出m，n的值；
（2）根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，在12000名市民中，估計“非常了解”的人數(shù)有多少？
（3）為進一步跟蹤調(diào)查市民對鐘鼓樓知識掌握的具體情況，興趣組準備從附近的3名男士和2名女士中隨機抽取2人進行調(diào)查，請用列舉法（樹狀圖或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
20．（8分）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角∠GAE＝50.2°，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度i＝5：12，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．
（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）

21．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（1，4）、B（4，n）．
（1）求這兩個函數(shù)的表達式；
（2）請結(jié)合圖象直接寫出不等式kx+b≤的解集；
（3）若點P為x軸上一點，△ABP的面積為6，求點P的坐標．

四、填空題（本大題共4個小題．每小題6分，共24分。請將解答結(jié)果直接填在題中的橫線上）
22．（6分）已知實數(shù)a，b滿足，則的值為 　 ?。?br /> 23．（6分）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點，連接AF并延長交BC于點G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝　 ?。?br />
24．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數(shù)的點，其順序為（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根據(jù)這個規(guī)律，第2023個點的坐標 　 ?。?br />
25．（6分）如圖，點A，B的坐標分別為A（6，0），B（0，6），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，M為線段AC的中點，連接OM，當OM取最大值時，點M的坐標為 　 ?。?br />
五、解答題（3個小題，共36分）
26．（12分）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】（1）請用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．
根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．

27．（12分）如圖⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC上，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）求證：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求點O到AD的距離．

28．（12分）在同一平面直角坐標系中，拋物線C1y＝ax2﹣2x﹣3與拋物線C2：y＝x2+mx+n關(guān)于y軸對稱，C2與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側(cè)交y軸于點D．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）對于拋物線C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一點P，作PF⊥x軸于F，交AD于點E，若E關(guān)于PD的對稱點E′恰好落在y軸上，求P點坐標；
（3）在拋物線C1上是否存在一點G，在拋物線C2上是否存在一點Q，使得以A、B、G、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出G、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．


2023年四川省內(nèi)江市市中區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）下列四個數(shù)中，是負數(shù)的是（　?。?br /> A．|﹣3| B．﹣（﹣3） C．（﹣3）2 D．﹣
【考點】實數(shù)；相反數(shù)；絕對值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】D
【分析】根據(jù)小于0的是負數(shù)即可求解．
【解答】解：|﹣3|＝3，﹣（﹣3）＝3，（﹣3）2＝9，
∴四個數(shù)中，負數(shù)是﹣．
故選：D．
【點評】此題主要考查了正數(shù)和負數(shù)，判斷一個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，關(guān)鍵是看它比0大還是比0?。?br /> 2．（3分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2+a3＝a6 B．（ab）2＝ab2
C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【考點】平方差公式；冪的乘方與積的乘方．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】D
【分析】根據(jù)積的乘方、平方差公式、完全平方公式運算法則判斷即可．
【解答】解：A、a2+a3不是同類項不能計算，故A不正確；
B、（ab）2＝a2b2，故B不正確；
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不正確；
D、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，正確；
故選：D．
【點評】本題考查了積的乘方、平方差公式、完全平方公式運算法則的應(yīng)用，熟練的運用法則是解題關(guān)鍵．
3．（3分）人的大腦每天能記錄大約8600萬條信息，8600萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（　?。?br /> A．0.86×108 B．8.6×103 C．8.6×107 D．86×102
【考點】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】C
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．
【解答】解：將8600萬用科學(xué)記數(shù)法表示為8.6×107．
故選：C．
【點評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
4．（3分）下列既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【考點】中心對稱圖形；軸對稱圖形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】A
【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)、中心對稱圖形的性質(zhì)分別分析得出答案．
【解答】解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：A．
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形、軸對稱對稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．
5．（3分）如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，點B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（　?。?br />
A．30° B．40° C．50° D．70°
【考點】垂線；平行線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】B
【分析】首先利用平行線的性質(zhì)得到∠1＝∠DAC，然后利用AB⊥AC得到∠BAC＝90°，最后利用角的和差關(guān)系求解．
【解答】解：如圖所示，
∵直線a∥b，
∴∠1＝∠DAC，
∵∠1＝130°，
∴∠DAC＝130°，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．
故選：B．

【點評】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確平行線的性質(zhì)，求出∠DAC的度數(shù)．
6．（3分）如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A、B對應(yīng)的實數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（　?。?br />
A．a(chǎn)+b＜0 B．b﹣a＜0 C．2a＞2b D．a(chǎn)+2＜b+2
【考點】實數(shù)與數(shù)軸；不等式的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】D
【分析】首先利用數(shù)軸上的信息確定a、b的正負性，然后利用不等式的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：根據(jù)數(shù)軸可知a＜0＜b，|a|＜|b|，
A：依題意a+b＞0，故結(jié)論錯誤；
B：依題意b﹣a＞0，故結(jié)論錯誤；
C：依題意2a＜2b，故結(jié)論錯誤；
D：依題意a+2＜b+2，故結(jié)論正確．
故選：D．
【點評】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應(yīng)關(guān)系，同時也利用了不等式的性質(zhì)．
7．（3分）下列說法正確的是（　?。?br /> A．調(diào)查中央電視臺《開學(xué)第一課》的收視率，應(yīng)采用全面調(diào)查的方式
B．數(shù)據(jù)3，5，4，1，﹣2的中位數(shù)是4
C．一個抽獎活動中，中獎概率為，表示抽獎20次就有1次中獎
D．甲、乙兩名射擊運動員10次射擊成績（單位：環(huán)）的平均數(shù)相等，方差分別為S甲2＝0.4，S乙2＝2，則甲的成績比乙的穩(wěn)定
【考點】概率公式；全面調(diào)查與抽樣調(diào)查；算術(shù)平均數(shù)；中位數(shù)；方差．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】D
【分析】利用調(diào)查方式的選擇、中位數(shù)的定義、概率的意義及方差的意義分別判斷后即可確定正確的選項．
【解答】解：A、調(diào)查中央電視臺《開學(xué)第一課》的收視率，應(yīng)采用抽樣調(diào)查的方式，故錯誤，不符合題意；
B、數(shù)據(jù)3，5，4，1，﹣2的中位數(shù)是3，故錯誤，不符合題意；
C、一個抽獎活動中，中獎概率為，抽獎20次可能有1次中獎，也可能不中獎，故錯誤，不符合題意；
D、甲、乙兩名射擊運動員10次射擊成績（單位：環(huán)）的平均數(shù)相等，方差分別為S甲2＝0.4，S乙2＝2，則甲的成績比乙的穩(wěn)定，正確，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了概率公式、調(diào)查方式的選擇、中位數(shù)的定義、概率的意義及方差的意義等知識，解題的關(guān)鍵是了解統(tǒng)計的有關(guān)知識，難度不大．
8．（3分）《孫子算經(jīng)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，其中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺，問木頭長多少尺？可設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，則所列方程組正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【考點】由實際問題抽象出二元一次方程組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】D
【分析】設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根木頭的長，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量木頭，則木頭還剩余1尺”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：設(shè)木頭長為x尺，繩子長為y尺，
由題意可得．
故選：D．
【點評】本題考查由實際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
9．（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OF⊥BC于點F，∠BOF＝65°，則∠AOD為（　?。?br />
A．70° B．65° C．50° D．45°
【考點】圓周角定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】C
【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠B＝25°，由垂徑定理得：＝，最后由圓周角定理可得結(jié)論．
【解答】解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO＝90°，
∵∠BOF＝65°，
∴∠B＝90°﹣65°＝25°，
∵弦CD⊥AB，AB為⊙O的直徑，
∴＝，
∴∠AOD＝2∠B＝50°．
故選：C．
【點評】本題考查垂徑定理，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識，屬于中考常考題型．
10．（3分）甲、乙兩同學(xué)從A地出發(fā)，騎自行車在同一條路上行駛到B地，他們離出發(fā)地的距離s（千米）和行駛時間t（小時）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，有下列說法：
（1）他們都行駛了18千米；
（2）甲在途中停留了0.5小時；
（3）乙比甲晚出發(fā)了0.5小時；
（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；
（5）甲、乙兩人同時到達目的地．
其中，符合圖象描述的說法有（　　）

A．2個 B．4個 C．3個 D．5個
【考點】函數(shù)的圖象．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】C
【分析】通過觀察圖象可得到甲出發(fā)0.5小時后停留了0.5小時，然后再用1.5小時到達離出發(fā)地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小時出發(fā)，用1.5小時到達離出發(fā)地18千米的目的地，根據(jù)此信息分別對5種說法分別進行判斷．
【解答】解：觀察圖象，甲、乙到達目的地時離出發(fā)地的距離都為18千米，所以（1）正確；
甲在0.5小時至1小時之間，S沒有變化，說明甲在途中停留了0.5小時，所以（2）正確；
甲出發(fā)0.5小時后乙開始出發(fā)，說明（3）正確；
兩圖象相交后乙的圖象在甲的上方，說明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正確；
甲出發(fā)2.5小時后到達目的地，而乙在甲出發(fā)2小時后到達目的地，所以（5）不正確．
故選：C．
【點評】本題考查了函數(shù)圖象：學(xué)會看函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象中獲取信息，并且解決有關(guān)問題．
11．（3分）在銳角△ABC中，∠A＝60°，BD，CE為高，F(xiàn)是BC的中點，連接DE，DF，EF．有下列結(jié)論：①AD：AB＝AE：AC；②△DEF是等邊三角形；③BE+CD＝BC；④△ADE與四邊形BCDE的面積比是1：3．其中正確的結(jié)論是（　　）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】C
【分析】根據(jù)垂直定義可得∠AEC＝∠ADB＝90°，從而可證△ABD∽△ACE，利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷①；利用三角形的內(nèi)角和可以求出∠ABC+∠ACB＝120°，從而求出∠BEF+∠BFE+∠CFD+∠CDF＝240°，再利用直角三角形斜邊上的中線可得EF＝DF＝BF＝CF，從而可得∠BEF＝∠BFE，∠CFD＝∠CDF，進而可得∠BFE+∠CFD＝120°，然后再利用平角定義求出∠EFD＝60°，即可判斷②；在Rt△BEC和Rt△BDC中，分別利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE，CD的長，然后進行計算即可判斷③；根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余可得∠ABD＝30°，從而可得＝，再利用①的結(jié)論可證△ADE∽△ABC，從而利用相似三角形的性質(zhì)即可判斷④．
【解答】解：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴＝，
故①正確；
∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵∠BEC＝∠BDC＝90°，F(xiàn)是BC的中點，
∴EF＝BF＝BC，DF＝CF＝BC，
∴EF＝DF＝BF＝CF，
∴∠BEF＝∠EBF，∠DCF＝∠CDF，
∴∠BEF+∠CDF＝120°，
∴∠BFE+∠CFD＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BEF+∠CDF）＝60°，
∴∠EFD＝180°﹣（∠BFE+∠CFD）＝60°，
∴△DEF是等邊三角形，
故②正確；
在Rt△BEC中，BE＝BC?cos∠ABC，
在Rt△BDC中，CD＝BC?cos∠ACB，
∴BE+CD＝BC?cos∠ABC+BC?cos∠ACB
＝BC（cos∠ABC+cos∠ACB）
≠BC，
故③不正確；
∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝30°，
∴AD＝AB，
∵＝，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴△ADE與四邊形BCDE的面積比是1：3，
故④正確，
所以，上列結(jié)論正確的個數(shù)是3，
故選：C．
【點評】本題考查了解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點，關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是5．則關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，這兩個整數(shù)根是（　?。?br /> A．﹣2或4 B．﹣2或0 C．0或4 D．﹣2或5
【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（﹣1，0）與（3，0）兩點求對稱軸，后面兩個方程二次項、一次項系數(shù)沒變，所以兩根的和也不變還是2．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過（3，0）與（﹣1，0）兩點，
∴當y＝0時，0＝ax2+bx+c的兩個根為3和﹣1，函數(shù)y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，
又∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有兩個根，其中一個根是5．
∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一個根為﹣3，函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，
如圖，

∵0＜n＜m，
∴﹣m＞﹣m，
∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，
∴直線y＝﹣n與y＝ax2+bx+c的交點的橫坐標為﹣2，4，
∴這關(guān)于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有兩個整數(shù)根，是﹣2或4，
故選：A．
【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握這兩個知識點的綜合應(yīng)用，其中二次函數(shù)對稱軸的確定及函數(shù)與方程的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請把答案直接填在題中橫線上）
13．（5分）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是 　x＞3　．
【考點】二次根式有意義的條件；分式有意義的條件．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】x＞3．
【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由題意得，x﹣3＞0，
解得x＞3．
故答案為：x＞3．
【點評】本題考查的是代數(shù)式有意義的條件，掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．
14．（5分）若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有實數(shù)解，則m的取值范圍是：　m≤7且m≠3　．
【考點】根的判別式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】m≤7且m≠3．
【分析】根據(jù)二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式Δ≥0，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有實數(shù)根，
∴Δ＝16﹣4（m﹣3）×1≥0且m﹣3≠0，
解得：m≤7且m≠3．
故答案為：m≤7且m≠3．
【點評】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，根據(jù)二次項系數(shù)非零結(jié)合根的判別式Δ≥0，列出關(guān)于m的一元一次不等式組是解決問題的關(guān)鍵．
15．（5分）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以點B和C為圓心，以大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交邊AB于點E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，則AB的長為 　7　．

【考點】等腰直角三角形；作圖—基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】7．
【分析】設(shè)MN交BC于D，連接EC，由作圖可知：MN是線段BC的垂直平分線，即得BE＝CE＝4，有∠ECB＝∠B＝45°，從而∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，由勾股定理得AE＝3，故AB＝AE+BE＝7．
【解答】解：設(shè)MN交BC于D，連接EC，如圖：

由作圖可知：MN是線段BC的垂直平分線，
∴BE＝CE＝4，
∴∠ECB＝∠B＝45°，
∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，
在Rt△ACE中，
AE＝＝＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，
故答案為：7．
【點評】本題考查尺規(guī)作圖中的計算問題，解題的關(guān)鍵是掌握用尺規(guī)作線段垂直平分線的方法，得到MN是線段BC的垂直平分線．
16．（5分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在以AB的中點O為坐標原點，AB所在直線為x軸建立的平面直角坐標系中，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)，使點A旋轉(zhuǎn)至y軸的正半軸上的A′處，若CO＝1，則陰影部分面積為 　?。?br />
【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；坐標與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】．
【分析】由CO＝1，可得AO＝OB＝1求出AB＝2，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得A′B＝AB，然后求出∠OA′B＝30°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠A′BA＝60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°，再根據(jù)S陰影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′＝S扇形BAA′﹣S扇形BCC′，然后利用扇形的面積公式列式計算即可得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO＝1，
∴OA＝OB＝1，
∴AC＝BC＝，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝OA+OB＝2，
∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)點A在A′處，
∴BA′＝AB＝2，
∴BA′＝2OB，
∴∠OA′B＝30°，
∴∠A′BA＝60°，
即旋轉(zhuǎn)角為60°，
S陰影＝S扇形BAA′+S△A′BC′﹣S△ABC﹣S扇形BCC′
＝S扇形ABA′﹣S扇形CBC′
＝
＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，表示出陰影部分的面積等于兩個扇形的面積的差是解題的關(guān)鍵，難點在于求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
三、解答題（本大題共5小題，共44分）
17．（10分）（1）計算：．
（2）先化簡：，再從0、1、2、3中選擇一個適合的數(shù)代入求值．
【考點】分式的化簡求值；負整數(shù)指數(shù)冪；整式的混合運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（1）xy7．
（2）x，1．
【分析】（1）根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪的意義、整式的乘除運算法則即可求出答案．
（2）根據(jù)分式的加減運算法則以及乘除運算法則進行化簡，然后將x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝x﹣4y6?（﹣8x6y3）÷（﹣xy2）
＝（x2y9）÷（﹣xy2）
＝xy7．
（2）原式＝?
＝?
＝x，
由分式有意義的條件可知：x不能取0，2，
故當x＝1時，
原式＝1．
【點評】本題考查負整數(shù)指數(shù)冪的意義、整式的乘除運算法則、分式的乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分別與AC交于點M，N．
求證：（1）△ADE≌△CDF．
（2）ME＝NF．

【考點】菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）證明過程見解答．
【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定SAS，可以證明結(jié)論成立；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰三角形的性質(zhì)，可以得到DE＝DF，DM＝DN，從而可以得到ME＝NF．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
（2）由（1）知△ADE≌△CDF，
∴∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAM＝∠DCN，
∵∠ADM＝∠CDN，
∴∠DMA＝∠DNC，
∴∠DMN＝∠DNM，
∴DM＝DN，
∴DE﹣DM＝DF﹣DN，
∴ME＝NF．
【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
19．（8分）有史料記載，內(nèi)江鐘鼓樓始建于明洪武初年，天順六年至萬歷年間，曾先后二毀兩修，清光緒年間，又毀于火后復(fù)修．在沒有高層建筑的時代，一直流傳著“內(nèi)江有座鐘鼓樓，半截還在天里頭”的說法．它位于內(nèi)江城區(qū)中心，建筑規(guī)模極小，但歷史內(nèi)涵極為豐富，被稱為內(nèi)江“袖珍博物館”，現(xiàn)已申報國家級重點文物保護單位；學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在開展“數(shù)學(xué)與傳承”探究活動中，進行了“鐘鼓樓知識知多少”專題調(diào)查活動，將調(diào)查問題設(shè)置為“非常了解”、“比較了解”、“基本了解”、“不太了解”四類．他們隨機抽取部分市民進行問卷調(diào)查，并將結(jié)果繪制成了如下兩幅統(tǒng)計圖：

（1）設(shè)本次問卷調(diào)查共抽取了m名市民，圖2中“不太了解”所對應(yīng)扇形的圓心角是n度，分別寫出m，n的值；
（2）根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，在12000名市民中，估計“非常了解”的人數(shù)有多少？
（3）為進一步跟蹤調(diào)查市民對鐘鼓樓知識掌握的具體情況，興趣組準備從附近的3名男士和2名女士中隨機抽取2人進行調(diào)查，請用列舉法（樹狀圖或列表）求恰好抽到一男一女的概率．
【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（1）200，7.2度；
（2）3360人；
（3）．
【分析】（1）根據(jù)“基本了解”的人數(shù)除以占比求得m點的值，根據(jù)360°乘以“不太了解”的占比即可求解；
（2）根據(jù)樣本估計總體，由圖2知：“非常了解”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的28%，用12000×28%，即可求解；
（3）根據(jù)題意畫出樹狀圖，列出可能結(jié)果，進而根據(jù)概率公式即可求解．
【解答】解：（1）由圖（1）可知：“基本了解”的人數(shù)為40人，
由圖（2）可知：“基本了解”的人數(shù)占總數(shù)的20%，
∴m＝40÷20%＝200（人）；
由圖（1）可知：“比較了解”有100人，
∴“比較了解”所對應(yīng)扇形的圓心角是180°，
由圖2知：“不太了解”所對應(yīng)扇形的圓心角是n＝360°×（50%﹣20%﹣28%）＝7.2度；
（2）由圖2知：“非常了解”的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的28%，
于是估計在12000名市民中，“非常了解”的人數(shù)有12000×28%＝3360（人）．
答：在12000名市民中，估計“非常了解”的人數(shù)有3360人．
（3）從3名男士和2名女士中隨機抽取2人進行調(diào)查，抽查情況畫樹狀圖如圖所示，

由上表可知，一共有20種等可能結(jié)果，其中恰好抽到一男一女的情況有12種，
∴恰好抽到一男一女的概率為．
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，用畫樹狀圖法求概率；畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果數(shù)，概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．能對圖表信息進行具體分析和熟練掌握概率公式是關(guān)鍵．
20．（8分）數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓高度．如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角∠GAE＝50.2°，臺階AB長26米，臺階坡面AB的坡度i＝5：12，然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角∠EBF＝63.4°，則塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為多少米．
（參考數(shù)據(jù)：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）

【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題；解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】約為47米．
【分析】如圖，延長EF交AG于點H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點P，則四邊形BFHP是矩形，設(shè)EF＝a米，BF＝b米，構(gòu)建方程組求解．
【解答】解：如圖，延長EF交AG于點H，則EH⊥AG，作BP⊥AG于點P，則四邊形BFHP是矩形，

∴FB＝PH，F(xiàn)H＝PB，
由i＝5：12，可以假設(shè)BP＝5x，AP＝12x，
∵PB2+PA2＝AB2，
∴（5x）2+（12x）2＝262，
∴x＝2或﹣2（舍去），
∴PB＝FH＝10，AP＝24，
設(shè)EF＝a米，BF＝b米，
∵tan∠EBF＝，
∴≈2，
∴a≈2b①，
∵tan∠EAH＝＝＝，
∴≈1.2②，
由①②得a≈47，b≈23.5，
答：塔頂?shù)降孛娴母叨菶F約為47米．
【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題．
21．（10分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（1，4）、B（4，n）．
（1）求這兩個函數(shù)的表達式；
（2）請結(jié)合圖象直接寫出不等式kx+b≤的解集；
（3）若點P為x軸上一點，△ABP的面積為6，求點P的坐標．

【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為y＝；一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+5；
（2）0＜x≤1或x≥4；
（3）點P的坐標為（1，0）或（9，0）．
【分析】（1）將點A（1，4）代入y＝可得m的值，求得反比例函數(shù)的解析式；根據(jù)反比例函數(shù)解析式求得點B坐標，再由A、B兩點的坐標可得一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象得出不等式kx+b≤的解集即可；
（3）利用面積的和差關(guān)系可求解．
【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝，得：m＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；
把B（4，n）代入y＝，得：n＝1，
∴B（4，1），
把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+5；

（2）根據(jù)圖象得：當0＜x≤1或x≥4時，kx+b≤；
∴不等式kx+b≤的解集為0＜x≤1或x≥4；
（3）如圖，設(shè)直線AB與x軸交于點C，

∵直線AB與x軸交于點C，
∴點C坐標為（5，0），
∵△ABP的面積為6，
∴×PC×4﹣PC×1＝6
∴PC＝4，
∴點P的坐標為（1，0）或（9，0）．
【點評】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握圖象的交點的坐標滿足兩個函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
四、填空題（本大題共4個小題．每小題6分，共24分。請將解答結(jié)果直接填在題中的橫線上）
22．（6分）已知實數(shù)a，b滿足，則的值為 　0或2?。?br /> 【考點】分式的化簡求值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】0或2．
【分析】將已知等式變形可得（a+b）2（a﹣b）2＝0，然后根據(jù)“兩個因式相乘等于0，則必有一個因式為0”即可得出a＝﹣b或a＝b，最后代入即可．
【解答】解：∵，
∴，
∴（a2+b2）2＝4a2b2，
整理，得（a+b）2（a﹣b）2＝0，
∴a＝﹣b或a＝b，
當a＝﹣b時，；
當a＝b時，，
綜上：原式＝0或2，
故答案為：0或2．
【點評】此題考查的是分式的基本性質(zhì)和因式分解，掌握分式的基本性質(zhì)、利用平方差公式因式分解和兩個因式相乘等于0，則必有一個因式為0是解決此題的關(guān)鍵．
23．（6分）如圖，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)為DE中點，連接AF并延長交BC于點G，若S△EFG＝1，則S△ABC＝　24?。?br />
【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】24．
【分析】方法一：取AG的中點M，連接DM，根據(jù)AAS證△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根據(jù)等高關(guān)系求出△ADM的面積為2，根據(jù)△ADM和△ABG邊和高的比例關(guān)系得出S△ADM＝S△ABG，從而得出梯形DMGB的面積為6，進而得出△BDE的面積為6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面積．
方法二：連接AE，根據(jù)線段比例關(guān)系得出＝＝，再由＝＝，得出S△AEG＝S△ACG＝4，推出S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，即可得出S△ABC＝2S△ACE＝24，
【解答】解：方法一：∵DE是△ABC的中位線，
∴D、E分別為AB、BC的中點，
如圖過D作DM∥BC交AG于點M，
∵DM∥BC，
∴∠DMF＝∠EGF，
∵點F為DE的中點，
∴DF＝EF，
在△DMF和△EGF中，
，
∴△DMF≌△EGF（AAS），
∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，
∵點D為AB的中點，且DM∥BC，
∴AM＝MG，
∴FM＝AM，
∴S△ADM＝2S△DMF＝2，
∵DM為△ABG的中位線，
∴＝，
∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，
∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，
∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，
∵DE是△ABC的中位線，
∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，
方法二：連接AE，

∵DE是△ABC的中位線，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∵F是DE的中點，
∴＝，
∴＝＝，
∵S△EFG＝1，
∴S△ACG＝16，
∵EF∥AC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴S△AEG＝S△ACG＝4，
∴S△ACE＝S△ACG﹣S△AEG＝12，
∴S△ABC＝2S△ACE＝24，
故答案為：24．

【點評】本題主要考查三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形面積等知識點，正確得出中位線分三角形的面積比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
24．（6分）如圖，在平面直角坐標系中，有若干個橫縱坐標分別為整數(shù)的點，其順序為（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根據(jù)這個規(guī)律，第2023個點的坐標 ?。?5，2）?。?br />
【考點】規(guī)律型：點的坐標．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（45，2）．
【分析】觀察圖形可知，以最外邊的矩形邊長上的點為準，點的總個數(shù)等于x軸上右下角的點的橫坐標的平方，橫坐標是奇數(shù)時，最后以橫坐標為該數(shù)，縱坐標以0結(jié)束；據(jù)此求解即可．
【解答】解：觀察圖形可知，到每一個橫坐標結(jié)束，經(jīng)過整數(shù)點的個數(shù)等于最后橫坐標的平方，
∴橫坐標以n結(jié)束的有n2個點，
∵452＝2025，
∴第2025個點的坐標是（45，0），
∴2023個點的縱坐標往上數(shù)2個單位為2，
∴2023個點的坐標是（45，2）；
故答案為：（45，2）．
【點評】本題考查了點坐標規(guī)律探究，觀察出點的個數(shù)與橫坐標存在平方關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
25．（6分）如圖，點A，B的坐標分別為A（6，0），B（0，6），C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，M為線段AC的中點，連接OM，當OM取最大值時，點M的坐標為 ?。?，4）?。?br />
【考點】點與圓的位置關(guān)系；坐標與圖形性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系；三角形中位線定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（4，4）．
【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的⊙B上，通過畫圖可知，C在BD與圓B的交點時，OM最小，在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結(jié)論．
【解答】解：如圖，
∵點C為坐標平面內(nèi)一點，BC＝2，
∴C在⊙B上，且半徑為2，
取OD＝OA＝6，連接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，
∴OM是△ACD的中位線，
∴OM＝CD，
當OM最大時，即CD最大，而D，B，C三點共線時，當C在DB的延長線上時，OM最大，
∵OB＝OD＝6，∠BOD＝90°，
∴BD＝6，
∴CD＝6+2＝8，
C坐標為（2，8），
∴OM＝CD＝4，即OM的最大值為4，M坐標為（4，4）．
故答案為：（4，4）．
【點評】本題考查了坐標和圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，確定OM為最大值時點C的位置是關(guān)鍵，也是難點．
五、解答題（3個小題，共36分）
26．（12分）八年級課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
將2a﹣3ab﹣4+6b因式分解．
【觀察】經(jīng)過小組合作交流，小明得到了如下的解決方法：
解法一：原式＝（2a﹣3ab）﹣（4﹣6b）
＝a（2﹣3b）﹣2（2﹣3b）
＝（2﹣3b）（a﹣2）
解法二：原式＝（2a﹣4）﹣（3ab﹣6b）
＝2（a﹣2）﹣3b（a﹣2）
＝（a﹣2）（2﹣3b）
【感悟】對項數(shù)較多的多項式無法直接進行因式分解時，我們可以將多項式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止）
【類比】（1）請用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解；
【挑戰(zhàn)】（2）請用分組分解法將ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解；
【應(yīng)用】（3）“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，我們利用它驗證了勾股定理．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形圍成的一個大正方形，中間是一個小正方形．若直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1．
根據(jù)以上信息，先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值．

【考點】因式分解的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（1）（x+a）（x﹣a+1）；
（2）（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）（a2+b2）（a﹣b）2，9．
【分析】（1）用分組分解法將x2﹣a2+x+a因式分解即可；
（2）用分組分解法將ax+a2﹣2ab﹣bx+b2因式分解即可；
（3）先將a4﹣2a3b+2a2b2﹣2ab3+b4因式分解，再求值即可．
【解答】解：（1）原式＝（x2﹣a2）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a）+（x+a）
＝（x+a）（x﹣a+1）；
（2）原式＝（ax﹣bx）+（a2﹣2ab+b2）
＝x（a﹣b）+（a﹣b）2
＝（a﹣b）（x+a﹣b）；
（3）原式＝（a4+2a2b2+b4）﹣（2ab3+2a3b）
＝（a2+b2）2﹣2ab（a2+b2）
＝（a2+b2）（a2+b2﹣2ab）
＝（a2+b2）（a﹣b）2，
∵直角三角形的兩條直角邊長分別是a和b（a＞b），斜邊長是3，小正方形的面積是1，
∴a2+b2＝32＝9，（a﹣b）2＝1，
∴原式＝9．
【點評】本題主要考查因式分解的知識，熟練掌握因式分解的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
27．（12分）如圖⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC上，∠BAC的角平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）求證：△ABD∽△DCP；
（3）若AB＝6，AC＝8，求點O到AD的距離．

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；切線的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】（1）證明見解答；
（2）證明見解答；
（3）．
【分析】（1）想辦法證明OD⊥PD即可；
（2）根據(jù)兩個角相等證明△BAD∽△CDP；
（3）解法一：證明四邊形ODGC是矩形，先根據(jù)等角的三角函數(shù)可得PG的長，最后根據(jù)線段的和可得結(jié)論．
解法二：作輔助線，證明AM＝DM＝7，可得AD的長，同解法一可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：如圖1，連接OD．

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝90°，
∵BC∥PD，
∴∠ODP＝∠BOD＝90°，
∴OD⊥PD，
∵OD是半徑，
∴PD是⊙O的切線．
（2）證明：∵BC∥PD，
∴∠PDC＝∠BCD．
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠PDC，
∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，
∴∠ABD＝∠PCD，
∴△ABD∽△DCP；
（3）解法一：如圖，過點O作OE⊥AD于E，連接OD，
∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵BD＝CD，
∴BD＝CD＝5，
由（2）知：△ABD∽△DCP，
∴＝，即＝，
∴CP＝，
∴AP＝AC+CP＝8+＝，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，
∴△BAD∽△DAP，
∴＝，即＝，
∴AD2＝6×＝98，
∴AD＝7，
∵OE⊥AD，
∴DE＝AD＝，
∴OE＝＝＝，
即點O到AD的距離是．
解法二：如圖，過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，過點O作OE⊥AD于E，連接OD，則∠M＝∠CND＝90°，

∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，
∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，
∵A，B，D，C四點共圓，
∴∠DBM＝∠DCN，
∴△DCN≌△DBM（AAS），
∴CN＝BM，
同理得：AM＝AN，
∵AB＝6，AC＝8，
∴AM＝DM＝7，
∴AD＝7，
由解法一可得：OE＝．
即點O到AD的距離是．
【點評】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
28．（12分）在同一平面直角坐標系中，拋物線C1y＝ax2﹣2x﹣3與拋物線C2：y＝x2+mx+n關(guān)于y軸對稱，C2與x軸交于A、B兩點，其中點A在點B的左側(cè)交y軸于點D．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）對于拋物線C2：y＝x2+mx+n在第三象限部分的一點P，作PF⊥x軸于F，交AD于點E，若E關(guān)于PD的對稱點E′恰好落在y軸上，求P點坐標；
（3）在拋物線C1上是否存在一點G，在拋物線C2上是否存在一點Q，使得以A、B、G、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出G、Q兩點的坐標；若不存在，請說明理由．

【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）由對稱可求得a、n的值，則可求得兩函數(shù)的對稱軸，可求得m的值，則可求得兩拋物線的函數(shù)表達式；由C2的函數(shù)表達式可求得A、B的坐標；
（2）可判定四邊形PEDE′是菱形，然后根據(jù)PE＝DE的條件，列出方程求解；
（3）由題意可知AB可能為平行四邊形的邊或?qū)蔷€，利用平行四邊形的性質(zhì)，可設(shè)出G點坐標和Q點坐標，代入C2的函數(shù)表達式可求得G、Q的坐標．
【解答】解：（1）∵C1、C2關(guān)于y軸對稱，
∴C1與C2的交點一定在y軸上，且C1與C2的形狀、大小均相同，
∴a＝1，n＝﹣3，
∴C1的對稱軸為x＝1，
∴C2的對稱軸為x＝﹣1，
∴m＝2，
∴C1的函數(shù)表示式為y＝x2﹣2x﹣3，C2的函數(shù)表達式為y＝x2+2x﹣3；
在C2的函數(shù)表達式為y＝x2+2x﹣3中，令y＝0可得x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0）；
（2）∵點E、E′關(guān)于直線PD對稱，
∴∠EPD＝∠E′PD，DE＝DE′，PE＝PE′．
∵PE平行于y軸，∴∠EPD＝∠PDE′，
∴∠E′PD＝∠PDE′，
∴PE′＝DE′，
∴PE＝DE＝PE′＝DE′，
即四邊形PEDE′是菱形．
當四邊形PEDE′是菱形存在時，由直線AD解析式y(tǒng)＝﹣x﹣3，∠ADO＝45°，
設(shè)P（a，a2+2a﹣3），E（a，﹣a﹣3），
∴DE＝﹣a，PE＝﹣a﹣3﹣a2﹣2a+3＝﹣a2﹣3a，
∴﹣，解得a1＝0（舍去），a2＝，
∴．
（3）存在．
∵AB的中點為（﹣1，0），且點G在拋物線C1上，點Q在拋物線C2上，
當AB為平行四邊形的一邊時，
∴GQ∥AB且GQ＝AB，
由（2）可知AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴GQ＝4，
設(shè)G（t，t2﹣2t﹣3），則Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），
①當Q（t+4，t2﹣2t﹣3）時，則t2﹣2t﹣3＝（t+4）2+2（t+4）﹣3，
解得t＝﹣2，
∴t2﹣2t﹣3＝4+4﹣3＝5，
∴G（﹣2，5），Q（2，5）；
②當Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）時，則t2﹣2t﹣3＝（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，
解得t＝2，
∴t2﹣2t﹣3＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），
當AB為平行四邊形的對角線時，設(shè)G（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，n2+2n﹣3），
∴，
解得m＝，n＝﹣2﹣或m＝﹣，n＝﹣2+，
∴G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．
綜上可知，存在滿足條件的點G、Q，其坐標為G（﹣2，5），Q（2，5）或G（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）或G（，﹣2），Q（﹣2﹣，2）或G（﹣，2），Q（﹣2+，﹣2）．
【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、對稱的性質(zhì)、函數(shù)圖象與坐標軸的交點、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及分類討論思想等知識．需要注意的是，用點的坐標表示線段長度的代數(shù)式要注意符號．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/5/24 19:12:44；用戶：實事求是；郵箱：18347280726；學(xué)號：37790395

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