?2023年高考數(shù)學(xué)仿真模擬卷03
注意事項(xiàng)：
1． 本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘?？忌痤}全部答在答題卡上，答在本試卷上無效。
2． 請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考教師在答題卡上所粘貼條形碼的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)是否與本人相符合，再將自己的姓名、考試證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上。
3． 答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，在其他位置答題一律無效。
4． 作圖必須用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑加粗，描寫清楚。

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．集合，，則A，B間的關(guān)系是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先分別解出集合A,B，再通過集合的關(guān)系和集合的運(yùn)算得到答案.
【詳解】由題意，，，
，A錯(cuò)誤；
，B錯(cuò)誤；
，則C錯(cuò)誤，D正確.
故選：D.
2．關(guān)于復(fù)數(shù)下列說法正確的是
A．在復(fù)平面內(nèi)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 B．的共軛復(fù)數(shù)是
C．若為純虛數(shù)，則 D．的模為2
【答案】C
【分析】運(yùn)用復(fù)數(shù)運(yùn)算，先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，再對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故A錯(cuò)誤.
的共軛復(fù)數(shù)是，故B錯(cuò)誤.
若為純虛數(shù)，則，故C正確.
的模為，故D錯(cuò)誤.
故選:C.
3．下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（????）
①兩個(gè)實(shí)數(shù)，之間，有且只有，，三種關(guān)系中的一種；
②若，則；
③一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變；
④一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越??；
⑤，；
⑥若，則．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次討論即可得答案.
【詳解】解：對(duì)于①，任意兩個(gè)實(shí)數(shù)顯然成立；
對(duì)于②，若，則，故且或且，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，不等式的兩邊乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，故錯(cuò)誤；
對(duì)于④，例如，，故錯(cuò)誤；
對(duì)于⑤，，進(jìn)而由可得，故正確；
對(duì)于⑥，由得同號(hào)，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故若，則正確；
綜上正確的是：①⑤⑥
故選：B.
4．為了慶祝學(xué)校的元旦晚會(huì)，甲、乙、丙、丁計(jì)劃報(bào)名參加晚會(huì)的相聲、小品、歌唱、舞蹈這個(gè)節(jié)目，每個(gè)同學(xué)限報(bào)個(gè)節(jié)目，在乙、丙、丁三個(gè)同學(xué)報(bào)的節(jié)目與甲不同的條件下，每個(gè)同學(xué)報(bào)的節(jié)目都不相同的概率為（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】基本事件總數(shù)為，名同學(xué)所報(bào)節(jié)目各不相同的基本事件個(gè)數(shù)為，由此求出每個(gè)同學(xué)報(bào)的節(jié)目都不相同的概率.
【詳解】由乙、丙、丁三個(gè)同學(xué)報(bào)的節(jié)目與甲不同，故有（種）報(bào)名方法，
名同學(xué)所報(bào)節(jié)目各不相同，有（種）報(bào)名方法，
所以每個(gè)同學(xué)報(bào)的節(jié)目都不相同的概率：．
故選：D
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，考查古典概型，排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，理解乙、丙、丁三個(gè)同學(xué)報(bào)的節(jié)目與甲不同，需先讓甲選完，其他3個(gè)同學(xué)每人有種情況是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于一般題.
5．若，，且，是方程的兩個(gè)根，則（????）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系，結(jié)合兩角和差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．
【詳解】解：、是方程的兩個(gè)根，
，，
，，即、,，
則，
則，
故選：B．
6．在底面是正方形的四棱錐中，底面，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，平面與交于點(diǎn)，且，，則四棱錐的外接球的表面積為(???)
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如圖所示,延長(zhǎng),交于,連接,與交于,則,過做,與交于,則,可得出長(zhǎng)度,即可求出的外接球的表面積.
【詳解】為了便于理解圖形，我們選擇去掉四棱錐兩條棱，如圖所示，

延長(zhǎng)BA,CF交于G，連接EG，與PA交于K，根據(jù)則,
即,，
過A作，與交于H，根據(jù)及為中點(diǎn)可得
，而,故
故，而，故，
將四棱錐想象補(bǔ)成長(zhǎng)寬高分別為3,3, 的長(zhǎng)方體，故四棱錐的外接圓即為長(zhǎng)方體的外接圓，，，所以球的表面積為，
故選：D.
7．已知是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是上不同于的任意一點(diǎn)，若的離心率為,則直線的斜率之積為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得關(guān)于點(diǎn)M的方程，然后根據(jù)直線的斜率公式，表示出直線的斜率及它們的積，再根據(jù)離心率和橢圓中a，b，c的關(guān)系，求解即可.
【詳解】設(shè)橢圓上點(diǎn)M坐標(biāo)為 ，則，即
已知A(-a，0),B(a，0)，則
則
已知橢圓的離心率為，則 ，則
再根據(jù)橢圓 ，可得
故
故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，涉及了橢圓的離心率和橢圓方程a，b，c的關(guān)系，涉及了點(diǎn)在橢圓上的應(yīng)用，涉及了直線的斜率公式；通常情況下，可根據(jù)離心率公式和橢圓中a，b，c的關(guān)系，列出關(guān)于a，b，c的方程組，再結(jié)合其他條件求解.
8．已知三次函數(shù)，且，，，則（????）
A．2023 B．2027 C．2031 D．2035
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)可以知道，進(jìn)而代值得到答案.
【詳解】設(shè)，則，所以，所以，所以.
故選：D.
二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）
9．某高中有學(xué)生人，其中男生人，女生人，希望獲得全體學(xué)生的身高信息，按照分層抽樣的原則抽取了容量為的樣本．經(jīng)計(jì)算得到男生身高樣本均值為，方差為；女生身高樣本均值為，方差為．下列說法中正確的是（????）
A．男生樣本量為 B．每個(gè)女生入樣的概率均為
C．所有樣本的均值為 D．所有樣本的方差為
【答案】AC
【分析】由分層抽樣可判斷A；計(jì)算女生入樣的概率可判斷B；計(jì)算總體的均值可判斷C；計(jì)算總體的方差可判斷D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A：抽樣比為，所以樣本中男生有人，故選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：每個(gè)女生入樣的概率等于抽樣比，故選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于C：由分層抽樣知，樣本中男生有人，男生有人，所有的樣本均值為：，故選項(xiàng)C正確；
對(duì)于D：設(shè)男生分別為，，，，平均數(shù)，，女生分別為，，，，平均數(shù)，，總體的平均數(shù)為，方差為，
因?yàn)?br /> ，
而，
所以，
同理可得，
所以，
故選項(xiàng)D不正確；
故選：AC
10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（　?。?br />
A．
B．的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是
C．的圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
D．，若恒成立，則的最大值為
【答案】ACD
【分析】A．根據(jù)函數(shù)圖象先確定出周期，由此求解出的值，再根據(jù)最高點(diǎn)坐標(biāo)求解出的值，由此求解出的解析式；
B．采用整體代入的方法判斷是否是一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間；
C．根據(jù)圖象平移先求解出的解析式，然后根據(jù)的值是否為零進(jìn)行判斷；
D．將問題轉(zhuǎn)化為“，很成立”，先求解出的最小值，即可求解出的取值范圍.
【詳解】A．由圖象可知，所以，所以，所以，
又因?yàn)椋?，所以?br /> 所以且，所以，所以，故正確；
B．當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以不是的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，故錯(cuò)誤；
C．由題意可知，
又因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故正確；
D．因?yàn)?，所以?br /> 即“，很成立”，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，所以，即，
所以的最大值為，故正確.
故選：ACD.
11．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，EF與BD的交點(diǎn)為G，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使得A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則（????）

A．PD⊥EF
B．三棱錐P?DEF的體積為
C．PG與DF所成角的余弦值為
D．三棱錐P?DEF的外接球的表面積為
【答案】ABC
【分析】A選項(xiàng)，由線線垂直得到線面垂直，進(jìn)而證明線線垂直；C選項(xiàng)，作出輔助線，找到PG與DF所成角，求出各邊長(zhǎng)，用余弦定理求出所成角的余弦值；BD選項(xiàng)，由等體積法求出，求出外接球半徑，進(jìn)而求出外接球表面積.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)平面平面，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)：取的中點(diǎn)，則，從而為與所成角，

，
所以，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)和：由兩兩垂直，
故，
且其外接球?yàn)橐詾檫叺拈L(zhǎng)方體的外接球，
故外接球的半徑，其外接球的表面積為，
故選項(xiàng)B正確，錯(cuò)誤.
故選：.
12．已知函數(shù)，下列說法正確的是（????）
A．在處的切線方程為 B．單調(diào)遞增區(qū)間為
C．的極大值為 D．方程有兩個(gè)不同的解
【答案】AC
【分析】先求得（），然后分別求得曲線在處的切線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，方程即解的個(gè)數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，據(jù)此可以作出判斷.
【詳解】（），
因?yàn)?，?所以在處的切線方程為，故A正確；
令，即，解之得，又因?yàn)椋?
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；
再令，即，解之得， 所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在處取得極大值，極大值為，故C正確；
方程即，也即，函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，所以方程有一個(gè)解，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程的關(guān)系，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于常考題.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）
13．已知，，則_____.
【答案】
【分析】根據(jù)兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】，
, 得：
，
故答案為：
14．若的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為,則該展開式中的系數(shù)為__________．
【答案】
【詳解】令，得，，展開式中通項(xiàng)公式為，令，得，所以的系數(shù)為．
15．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，，若對(duì)任意n，都有≤成立，則正整數(shù)k的值為_______．
【答案】10
【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，結(jié)合已知條件得d＝－3和＝29，進(jìn)而得，對(duì)任意n，都有≤成立，求最大值時(shí)n的值即可得k的值.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，，兩式相減，
得：3d＝－9，所以，d＝－3，
由等差中項(xiàng)得，即，解得：＝29，
所以，＝，
當(dāng)n＝時(shí)，取得最大值，但n是正整數(shù)，所以，當(dāng)n＝10時(shí)，取得最大值，
對(duì)任意n，都有≤成立，顯然k＝10.
故答案為10
【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，前n項(xiàng)和的最大項(xiàng)，數(shù)列與函數(shù)的結(jié)合，屬于中檔題.
16．若對(duì)任意，恒有，則實(shí)數(shù)a的最小值為________．
【答案】
【分析】由題， ，即符合積型同構(gòu)，令，用導(dǎo)數(shù)法證在單調(diào)遞增，則可得，最后令，用導(dǎo)數(shù)法證的單調(diào)性，求得最大值，即可得出結(jié)果
【詳解】由，
令，則，
由得，由得，
所以在上遞減，在上遞增，所以，所以在單調(diào)遞增．
則，
令，，由，得，由，得，
所以在上遞增，在上遞減，故，故，
故答案為：
四、解答題（本大題共6小題，共70分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．如圖所示，已知四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABP，AP=PB=BC=2，M為CP上的點(diǎn)，且BM⊥平面ACP，AC與BD交于N點(diǎn).

（1）證明：平面BMD⊥平面BCP；
（2）求二面角D—PC—A的余弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由得MN⊥平面BCP，進(jìn)一步可得平面BMD⊥平面BCP；
（2）∵AP=BP，取AB中點(diǎn)O，連接OP，易證PO平面ABCD，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面的法向量可求得結(jié)果.
【詳解】（1）證明：連接MN，∵BM⊥平面ACP，MN平面ACP，PC平面ACP，
∴BM⊥MN，BM⊥PC，

又∵BP=BC，∴M為PC中點(diǎn)，又N為AC中點(diǎn)，∴MN//AP，
又BC⊥平面ABP，AP平面ABP，∴BC⊥AP，∴BC⊥MN，
又BMBC=B，∴MN⊥平面BCP，
又MN平面BMD，∴平面BMD⊥平面BCP.
（2）∵AP=BP，取AB中點(diǎn)O，連接OP，易證PO平面ABCD
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，，2)，P(，0，0)，
A(0，，0)，C(0，，2)，
則(，，-2)，(-，，2)，(-，-，0)，

設(shè)平面DPC和平面APC的法向量分別為
(，，)，(，，).
由得，取，則，所以(，0，1)，
由得，取，得，，則
(1，-1，)，
∴
故二面角D-PC-A的余弦值為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求二面角的方法：①定義法：根據(jù)二面角的平面角的定義作出平面角，證明平面角，再計(jì)算平面角，②向量法：建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出半平面的法向量，再利用空間向量的夾角計(jì)算可得.
18．武漢又稱江城，是湖北省省會(huì)城市，被譽(yù)為中部地區(qū)中心城市，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，每年來武漢參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù)，其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片為合理配置旅游資源，現(xiàn)對(duì)已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否游覽東湖景點(diǎn)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.
（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）（i）若從游客中隨機(jī)抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項(xiàng)和；
（ⅱ）在對(duì)所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中，記已調(diào)查過的累計(jì)得分恰為分的概率為，探討與之間的關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）見解析（2）（i）（ⅱ），
【分析】（1）判斷出可能取值為3，4，5，6，分別求出概率，進(jìn)而求出其數(shù)學(xué)期望．
（2）（i）由題可得首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，并求其前10項(xiàng)和．（ⅱ）根據(jù)與之間的關(guān)系，用待定系數(shù)法得，進(jìn)一步就可求出的通項(xiàng)公式．
【詳解】解：（1）可能取值為3，4，5，6.
，，，.
∴的分布列為

3
4
5
6






∴
（2）（i）總分恰為分的概率為，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
前10項(xiàng)和.
（ⅱ）已調(diào)查過的累計(jì)得分恰為分的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得2
分，概率為，.
所以，即
∴.
∴，
∴.
【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列與概率的綜合問題，對(duì)于遞推式，可通過待定系數(shù)法求的通項(xiàng)公式，是一道中等難度的題目．
19．2021年東京奧運(yùn)會(huì)，中國(guó)舉重代表隊(duì)共10人，其中主教練、教練各1人，參賽選手8人，賽后結(jié)果7金1銀，在全世界面前展現(xiàn)了真正的中國(guó)力量；舉重比賽根據(jù)體重進(jìn)行分級(jí)，某次舉重比賽中，男子舉重按運(yùn)動(dòng)員體重分為下列十級(jí)：
級(jí)別
54公斤級(jí)
59公斤級(jí)
64公斤級(jí)
70公斤級(jí)
76公斤級(jí)
體重





級(jí)別
83公斤級(jí)
91公斤級(jí)
99公斤級(jí)
108公斤級(jí)
108公斤級(jí)以上
體重






每個(gè)級(jí)別的比賽分為抓舉與挺舉兩個(gè)部分，最后綜合兩部分的成績(jī)得出總成績(jī)，所舉重量最大者獲勝，在該次舉重比賽中，獲得金牌的運(yùn)動(dòng)員的體重以及舉重成績(jī)?nèi)缦卤?br /> 體重
54
59
64
70
76
83
91
99
106
舉重成績(jī)
291
304
337
353
363
389
406
421
430

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出運(yùn)動(dòng)員舉重成績(jī)與運(yùn)動(dòng)員的體重的回歸直線方程（保留1位小數(shù)）；
(2)某金牌運(yùn)動(dòng)員抓舉成績(jī)?yōu)?80公斤，挺舉成績(jī)?yōu)?18公斤，則該運(yùn)動(dòng)員最有可能是參加的哪個(gè)級(jí)別的舉重？
(3)凱旋回國(guó)后，中央一臺(tái)記者從團(tuán)隊(duì)的10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行訪談，用表示抽取到的是金牌得主的人數(shù)，求的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：；
參考公式：．
【答案】(1)
(2)參加的應(yīng)該是91公斤級(jí)舉重
(3)分布列見解析；期望為

【分析】（1）依題意，計(jì)算出，由公式求得，由此求得回歸方程．
（2）根據(jù)回歸方程得：，解之可判斷.
（3）隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3，求出對(duì)應(yīng)概率，列出分布列，利用期望公式即可得解.
(1)
依題意，，
，
，則，
故回歸方程為：；
(2)
該運(yùn)動(dòng)員的抓舉和挺舉的總成績(jī)?yōu)?98公斤，
根據(jù)回歸方程可知：，解得，
即該運(yùn)動(dòng)員的體重應(yīng)該在90公斤左右，即參加的應(yīng)該是91公斤級(jí)舉重；
(3)
隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3．則
，，
，，
所以隨機(jī)變量的概率分布列為：

0
1
2
3






所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為．
20．已知函數(shù)．
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；
(3)證明：對(duì)任意的，有．
【答案】(1)
(2)在上單調(diào)遞增.
(3)證明見解析
【分析】（1）先求出切點(diǎn)坐標(biāo)，在由導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，即得切線方程；
（2）在求一次導(dǎo)數(shù)無法判斷的情況下，構(gòu)造新的函數(shù)，再求一次導(dǎo)數(shù)，問題即得解；
（3）令，，即證，由第二問結(jié)論可知在[0,+∞）上單調(diào)遞增，即得證.
【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕?br /> 即切點(diǎn)坐標(biāo)為，
又，
∴切線斜率
∴切線方程為：
（2）解：因?yàn)椋????
所以，
令，
則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上單調(diào)遞增.
（3）解：原不等式等價(jià)于，
令，，
即證，
∵，
，
由（2）知在上單調(diào)遞增，
∴，
∴
∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?br /> ∴，所以命題得證.
21．已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)在上.

(1)求橢圓的方程；
(2)過橢圓左焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，線段的中垂線為，若直線與直線、直線分別交于點(diǎn)、，求的最小值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，解之即可求得橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得到，從而利用弦長(zhǎng)公式與中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得與，進(jìn)而得到關(guān)于的表達(dá)式，由此利用基本不等式即可得解.
【詳解】（1）由題意可知，所以，所以①，
又，所以②，
由①②可得，
所以橢圓的方程為.
（2）由題意易知直線斜率不為，故設(shè)直線，，
聯(lián)立，消去，得，
則，，
所以，
又，
所以，
于是，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
22．已知函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（Ⅰ）求的極值；
（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，對(duì)于，求證：.
【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析
【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)，對(duì)進(jìn)行分類討論，研究單調(diào)性，求極值.
（Ⅱ）先求得，分離變量，即，構(gòu)造新函數(shù)，求其最大值，即可求出的取值范圍.
（Ⅲ）令，即,求導(dǎo)研究單調(diào)性，求最小值大于0即可證得原不等式成立.
【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，沒有極值；
當(dāng)時(shí)，令
∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
∴有極大值，無極小值.
（Ⅱ），∴
∵，∴
∴
∵，使得不等式成立
即
令，
當(dāng)時(shí)，，
∴，即.
∴在單調(diào)遞減，∴
∴.
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，，令，
即
∴，則在上為增函數(shù)
∵，
∴.∵在上為增函數(shù)
∴時(shí)，，時(shí)，.
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增
∴
∵∴
∵∴單調(diào)遞減，
∴
∴即.
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解決不等式的有解問題，恒成立問題，分離變量是通法，考查了學(xué)生的推理能力，屬于難題.



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