?2022-2023學年廣東省廣州市天河區(qū)八年級（下）期末數學試卷
一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1. 二次根 x+3在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是(????)
A. x≤?3 B. x≥?3 C. x>?3 D. x0)與x相交于點A，與y軸相交于點B，直線y=?1kx與直線l互相垂直于點C．
(1)當k=1時，求點C的坐標；
(2)當OA=3OC時，求直線l的解析式；
(3)以點O，C，A為頂點構造四邊形OCAD，當四邊形OCAD為正方形時，畫出草圖并直接寫出k的值．

24. (本小題12.0分)
如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點P為AD邊上任意一點(不包括端點)，連結AC，過點P作PQ//AC邊CD點Q，點R線段AC上的一點．

(1)若點R為菱形ABCD對角線的交點，PQ為△ACD的中位線，求PR+OR的值；
(2)當PR+QR的值最小時，請確定點R的位置，并求出PR+QR的最小值；
(3)當PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小時，在備用圖中作出此時點P，Q的位置，寫作法并寫出PR+QR+PQ的最小值．
答案和解析

1.【答案】B?
【解析】解：若二次根式 x+3在實數范圍內有意義，
則x+3≥0，
解得：x≥?3．
故選：B．
根據二次根式的概念，形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，進而得出答案．
此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式的定義是解題關鍵．

2.【答案】C?
【解析】解：A、 13的被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、 8的被開方數中含有能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
C、 14是最簡二次根式，故本選項符合題意；
D、 0.2的被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：C．
根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．
本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，注意：滿足下列兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：①被開方數中的因數是整數，因式是整式，②被開方數中不含有能開得盡方的因式或因數．

3.【答案】B?
【解析】解：從小到大排列此數據為：2、2、3、4、5，中位數是第三個數3，
故選：B．
先把數據按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(或兩個數的平均數)為中位數．
本題考查了確定一組數據的中位數，掌握中位數的概念是解題的關鍵，注意找中位數的時候一定要先排好順序，然后再根據奇數和偶數個來確定中位數，如果數據有奇數個，則正中間的數字即為所求，如果是偶數個則找中間兩位數的平均數．

4.【答案】C?
【解析】解：將x=5代入y=2x?3中，
y=2×5?3=7，
故選：C．
將x=5代入y=2x?3中，計算即可．
此題主要考查了一次函數的性質，一次函數圖象上點的坐標特征，熟記一次函數圖象上的坐標特征，一次函數圖象的性質是解題的關鍵．

5.【答案】B?
【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=100°，
∴∠A=50°．
故選：B．
由?ABCD中，∠A+∠C=100°，根據平行四邊形的性質，可知∠A與∠C對角相等，進而可求得∠A的度數．
此題考查了平行四邊形的性質．關鍵是根據平行四邊形的對角相等性質解題．

6.【答案】A?
【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD交于點O，
∴OA=OC=OB=OD=12AC，
∵AC=14，
∴OB=7，
故選：A．
利用矩形的性質即可得出結論．
本題考查矩形的性質，關鍵是對矩形性質的掌握和運用．

7.【答案】D?
【解析】解：∵正比例函數y=kx(k≠0)的圖象在第二、四象限，
∴k0，?k>0，
∴一次函數y=x?k的圖象經過第一、二、三象限．
故選：D．
由正比例函數圖象在第二、四象限可得出k0，?k>0，利用一次函數圖象與系數的關系，即可找出一次函數y=x?k的圖象經過的象限，此題得解．
本題考查了正比例函數的性質以及一次函數圖象與系數的關系，牢記“k>0，b>0?y=kx+b的圖象在一、二、三象限”是解題的關鍵．

8.【答案】C?
【解析】解：在△ABC中，∠B=90°，
由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=12+22=5，
∵四邊形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC=AC2=5，
故選：C．
在△ABC中，通過勾股定理得AC2=5，從而解決問題．
本題主要考查了勾股定理，熟記勾股定理內容：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是解題的關鍵．

9.【答案】BCD?
【解析】解：A、∵三角形三條邊的比為2：3：4，
∴設三角形三條邊分別為2k，3k，4k，
∵(2k)2+(3k)2=13k2，(4k)2=16k2，
∴(2k)2+(3k)2≠(4k)2，
∴△ABC不是直角三角形，
故A不符合題意；
B、∵三角形三條邊滿足關系式AB2=BC2?AC2，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
故B符合題意；
C、∵三角形三條邊的比為1：1： 2，
∴設三角形三條邊分別為k，k， 2k，
∵k2+k2=2k2，( 2k)2=2k2，
∴k2+k2=( 2k)2，
∴△ABC是直角三角形，
故C符合題意；
D、∵∠B+∠C=∠A，∠B+∠C+∠A=180°，
∴2∠A=180°，
∴∠A=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故D符合題意；
故選：BCD．
根據勾股定理的逆定理，三角形內角和定理進行計算，逐一判斷即可解答．
本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內角和定理是解題的關鍵．

10.【答案】AC?
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∴∠CBF+∠ABO=90°，
∵x軸⊥y軸，
∴∠AOB=90°，
∴∠BAE+∠ABO=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBFAB=BC∠ABE=∠C，
∴△ABE≌△BCF(ASA)，
∴BF=AE，
故①正確；
∵△ABE≌△BCF，
∴∠AEB=∠BFC，
∵∠BFC=∠DFG，
∴∠AEB=∠DFG，
∵DG⊥y軸，
∴∠DGF=90°，
∴∠CDG+∠DFG=90°，
∴∠AEB+∠CDG=90°，
故③正確；
∵點E是BC的中點，
∴BE=CE，
設BE=CE=a，
則BC=AB=2a，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE= AB2+BE2= (2a)2+a2= 5a，
∵AB⊥BE，OB⊥AE，
∴S△ABE=12AB?BE=12AE?OB，
∴12?2a?a=12? 5a?OB，
解得OB=2 55a，
∵A(?4,0)，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，由勾股定理得AO2+OB2=AB2，
∴42+(2 55a)2=(2a)2，
解得a= 5，
∴AB=2a=2 5，
故④錯誤；
∵四邊形ABCD是正方形
∴AD=AB=2 5，
∵OA=4，
∴AD≠OA，
∴△ADO不是等邊三角形，
故②錯誤；
綜上，正確的有①③，
故選：AC．
根據正方形的性質，利用ASA可證得△ABE和△BCF全等，從而①正確；由三角形全等的性質得出∠AEB=∠BFC，再根據對頂角相等得出∠BFC=∠DFG，再證∠CDG+∠DFG=90°，問題即可得證，從而③正確；設BE=CE=a，則BC=AB=2a，根據勾股定理求出AE，再根據直角三角形的面積求出OB，最后在Rt△AOB中利用勾股定理求出a的值，從而求出AB的長，故④錯誤；再比較AD與OA的長，即可知△ADO不是等邊三角形，從而②錯誤．
本題考查了圖形與坐標，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識，熟練掌握這些性質是解題的關鍵．

11.【答案】4?
【解析】解： 8× 2= 8×2= 16=4．
故答案為：4．
根據二次根式的乘法運算進行計算即可得解，
本題主要考查了二次根式的乘法運算．二次根式的運算法則：乘法法則 a? b= ab．

12.【答案】?2?
【解析】解：∵函數y=kx的圖象經過點(3,?6)，
∴?6=3k，解得k=?2．
故答案為：?2．
直接把點(3,?6)代入函數y=kx，求出k的值即可．
本題考查的是一次函數圖象上點的坐標特點，熟知一次函數圖象上各點的坐標一定適合此函數的解析式是解答此題的關鍵．

13.【答案】8?
【解析】解：∵菱形的一邊長為2cm，
∴這個菱形的周長為2×4=8(cm)，
故答案為：8．
根據菱形的周長公式即可得到結論．
本題考查了菱形的性質，熟練掌握菱形的周長公式是解題的關鍵．

14.【答案】90?
【解析】
【分析】
此題考查了眾數有關知識，根據眾數的定義和給出的數據可直接得出答案．
【解答】
解：根據折線統(tǒng)計圖可得：
90分的人數有5個，人數最多，則眾數是90；
故答案為90．??
15.【答案】4?
【解析】解：∵AB=6，AB的長是平行四邊形ABCD周長的310，
∴平行四邊形ABCD周長=6÷310=20，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD=6，AD=BC，
∴BC+CD=12×20=10，
∴BC=10?CD=4，
故答案為：4．
根據已知可得平行四邊形ABCD周長=32，然后利用平行四邊形的性質可得AB=CD=6，AD=BC，從而可得BC+CD=16，進行計算即可解答．
本題考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．

16.【答案】247?
【解析】解：作CD⊥AB于點D，CE為△ACB的中線，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∵AC?BC2=AB?CD2，
∴4×32=5?CD2，
解得CD=125，
∴BD= BC2?CD2= 32?(125)2=95，
∵CE為Rt△ACB斜邊AB上的中線，AB=5，
∴BE=52，
∴ED=BE?BD=52?95=710，
即點E到CD的距離為710，
∴△ABC中AB邊的“中偏度值”為：125710=247，
故答案為：247．
根據題意和題目中的數據，可以計算出△ABC中AB邊上的高和該邊上的中點到CD的距離，再求它們的比值即可．
本題考查勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，求出AB邊上的高和該邊上的中點到高的距離．

17.【答案】解：(1)原式=2 2+4 2
=6 2；
(2)原式=( 5)2?4
=5?4
=1．?
【解析】(1)直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運算法則計算得出答案；
(2)直接利用平方差公式計算得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．

18.【答案】解：∵∠ABC=90°，O是AC的中點，
∴OB=12AC，OA=OC，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠C=25°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=50°．?
【解析】由直角三角形斜邊中線的性質得到OB=OC，推出∠OBC=∠C=25°，由三角形外角的性質得到∠AOB=∠C+∠OBC=50°．
本題考查直角三角形斜邊的中線，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，關鍵是由直角三角形斜邊中線的性質得到OB=OC．

19.【答案】解：(1)“小有壓力”的人數為50?8?18?8?3=13(人)，
補全統(tǒng)計圖如下：

1850×900=324(人)，
答：估計八年級全體同學對初三學習第一印象是“憂喜交加”的人數約為324人；
(2)根據統(tǒng)計數據發(fā)現：八年級全體同學對初三學習第一印象是“滿懷期待”的人數所占百分比為16%，不到16，需要對同學們積極引導，消除負面情緒，減輕壓力，讓更多的同學對初三學習滿懷期待(答案不唯一)．?
【解析】(1)用50分別減去其它組人數即可得出“小有壓力”的人數，進而補全統(tǒng)計圖；利用樣本估計總體的方法，即可求得八年級全體同學對初三學習第一印象是“憂喜交加”的人數；
(2)根據調查的統(tǒng)計圖即可得出結論．
本題考查形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．

20.【答案】證明：∵OA=OC，OB=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB/?/CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠ACD=∠DAC，
∴AD=CD，
∴四邊形ABCD是菱形．?
【解析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再證得AD=AB，即可得出結論．
本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、平行線的性質等知識；熟練掌握菱形的判定是解題的關鍵．

21.【答案】解：(1)設這個一次函數解析式為y=kx+b，
把(0,3)，(2,?1)分別代入得b=32k+b=?1，
解得k=?2b=3，
所以這個一次函數解析式為y=?2x+3；
(2)把(n,m)代入y=?2x+3得m=?2n+3，
∴m+2n=3，
∴n+12m=32．?
【解析】(1)利用待定系數法求一次函數解析式；
(2))把(n,m)代入(1)中的解析式可得到n+12m的值．
本題考查了待定系數法求一次函數解析式：求一次函數y=kx+b，則需要兩組x，y的值．也考查了一次函數的性質．

22.【答案】解：(1)甲商場：y=0.8x(x≥0)，
乙商場：y=x(0≤x≤200)，
y=0.7(x?200)+200=0.7x+60，
即y=0.7x+60(x>200)；
答：甲商場：y=0.8x(x≥0)，乙商場：y=x(0≤x≤200)0.7x+60(x>200)；
(2)0.8x=0.7x+60，解得x=600，
∴當購物金額按原價等于600元時，在兩商場購物花錢一樣多；
0.8x600，
∴當購物金額按原價大于600元時，在乙商場購物省錢．?
【解析】(1)根據兩家商場的讓利方式分別列式整理即可；
(2)將(1)中兩個函數分段討論比較大小即可．
本題是一次函數的實際應用問題，考查了一次函數以及一元一次方程、不等式的相關性質，解答時注意根據題意分類討論．

23.【答案】解：(1)當k=1時，則直線l的解析式為y=x?4，直線y=?1kx的解析式為y=?x，
聯立解析式，解得x=2y=?2，
∴C(2,?2)；
(2)在y=kx?4中，當y=x?4=0時，x=4k，當x=0時，y=?4，
∴A(4k,0)，B(0,?4)，
∴OA=4k，OB=4，
∴AB= 16+16k2，
∵OA=3OC，
∴OC=13OA=43k，
直線y=?1kx與直線y=kx?4垂直，即OC⊥AB，
∴S△AOB=12OB?OA=12AB?OC，
即4k?4=43k? 16+16k2，
∴1+1k2=9，解得k= 24或? 24(舍去)，
直線的解析式為y= 24x?4；
(3)∵四邊形OCAD是正方形，
∴∠OAC=45°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB=4，
由(2)可得OA=4k，
∴4k=4，
∴k=1．
?
【解析】(1)聯立兩直線解析式求出x、y的值即可得到答案；
(2)求出A(4k,0)，B(0,?4)，得到OA=4k，OB=4，則由勾股定理得到AB= 16+16k2，由OA=3OC，得到OC=43k，再由等面積法得到4k?4=43k? 16+16k2，解得k= 24.則直線l的解析式為y= 24x?4；
(3)根據正方形的性質得到∠OAC=45°，則△AOB是等腰直角三角形，則4k=4，即可得到k=1．
本題主要考查了求兩直線的交點坐標，一次函數與幾何綜合，正方形的性質，等腰直角三角形的性質與判定等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．

24.【答案】解：(1)∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=4，
∴∠ABC=∠D=60°，AB=BC=CD=AD=4，
則△ABC，△ACD均為等邊三角形，
∴AD=AC=CD=4，
∵點R為菱形ABCD對角線的交點，
∴點R為AC的中點，

連接PR，QR，
∵PQ為△ACD的中位線，
∴PR，QR也為△ACD的中位線，
則PR=12CD=2，QR=12AD=2，
∴PR+QR=4；
(2)由(1)可知△ABC，△ACD均為等邊三角形，
則∠BAC=∠ACD=∠CAD=60°，AB=BC=CD=AD=AC=4，
∵PQ/?/AC，
∴∠DPQ=∠CAD=60°，
∴△PDQ為等邊三角形，
∴PD=QD，
∴AP=CQ，
由菱形性質可知，AB與AD關于AC對稱，在AB上，取點P的對應點P′，連接P′R，則P′R=PR，AP=AP′，連接P′Q，交AC于點O，過點O作垂直于AB的直線交AB于P0，交CD于Q0，

∵AP=CQ，
∴AP=AP′=CO，
又∵∠AOP′=∠COQ，
∴△AOP′≌△COQ(AAS)，
∴OA=OC=12AC=2，
∴點O為AC中點，
∵∠BAC=∠ACD=60°，∠AP0O=∠CQ0O=90°，
∴∠AOP0=∠COQ0=30°，
∴AP0=12OA=1,CQ0=12OC=1，
由勾股定理得，OP0= 3，OQ0= 3，
∴P0Q0=2 3，
∵P′R=PR，
∴PR+QR=P′R+RQ≤P′Q≤P0Q0=2 3，
當P，R，Q三點在同一直線上，且P′與P0重合時取等號，
即當點R與點O重合(點R為AC中點)，P′與P0重合時取等號，
綜上，當點R為AC中點，點P關于AC對稱的點P′與點R坐在直線垂直于AB時，PR+QR有最小值2 3．
(3)同(2)，AB與AD關于AC對稱，在AB上，取點P對應點P′，連接P′R，則P′R=PR，連接P′Q交AC于點O，由(2)可得點O為AC中點，
作AD關于CD對稱的線段A′D，取點P的對應點P″，連接QP″，則QP=QP″，
∵△PDQ為等邊三角形，
∴∠PQD=60°，
由對稱可知：∠P″OD=∠POD=60°，

則PR+QR+PQ=P′R+QR+QP″≥PP″，當P′，R，Q，P″在同一條直線上時取等號，此時點R為AC中點，

∵∠P″QD=∠PQD=60°=∠ADC，則QP″//AD，
∴P′P″過點O(點R)，且P′P″//AD，
可知△CRQ，△ARP為等邊三角形，
∴CQ=RC=QR=2，QD=PD=PQ=2，AP=AR=PR=2，
即P，R，Q分別為AD，AC，CD的中點，
∴此時PR+QR+PQ=6，
作圖，如下：

作法：取AD的中點為P，作PQ//AC交CD于Q；
綜上，PR+QR+PQ的最小值為6．?
【解析】(1)由菱形的性質可得△ABC，△ACD均為等邊三角形，點R為AC的中點，連接PR，QR，利用三角形中位線定理即可求解．
(2)由題可知△ABC，△ACD，△PDQ為等邊三角形，由菱形性質可知，AB與AD關于AC對稱，在AB上，取點P的對應點P′，連接P′R，則P′R=PR，AP=AP′，連接P′Q，交AC于點O，過點O垂直于AB的直線交AB于P0，交CD于Q0，可得△AOP′≌△COQ(AAS)，可得OA=OC=12AC=2，則點O為AC中點，利用含30°的直角三角形可得OP0= 3，OQ0= 3，由三角形三邊關系及垂線段最短可知PR+QR=P′R+QR≤P′Q≤P0Q0=2 3，當P，R，Q三點在同一直線上，且P′與P0重合時取等號，即當點R為AC中點，點P關于AC對稱的點P′與點R坐在直線垂直于AB時，PR+QR有最小值2 3．
(3)同(2)，AB與AD關于AC對稱，在AB上，取點P的對應點P′，連接P′R，則P′R=PR，連接P′Q，交AC于點O，由(2)可得點O為AC中點，作AD關于CD對稱的線段A′D，取點P的對應點P″，連接QP″，則QP=QP″，由對稱可知：∠P″OD=∠PQD=60°，則PR+QR+PQ=PR+QR+QP″，當P，R，Q，P′在同一條直線上時取等號，此時點R為AC中點，可知△CRQ，△ARP為等邊三角形，進而即可求解．
本題考查了四邊形的綜合應用，菱形的性質，等邊三角形的判定及性質，含30°的直角三角形，軸對稱等知識，利用軸對稱構造輔助線，將線段和問題轉化為三角形三邊關系，兩點之間距離問題等是解決問題的關鍵．

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