?
專題 18 等差數(shù)列與等比數(shù)列
十年大數(shù)據(jù)*全景展示
年 份
題 號
文 17
理 5
考
點(diǎn)
考 查 內(nèi) 容
等差數(shù)列與等比數(shù) 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，
2011
列綜合問題
邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力
等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)
等比數(shù)列問題
2012
文 14
文 17
理 3
等比數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等比數(shù)列問題
等比數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等比數(shù)列n項(xiàng)和公式
卷 2
等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)，方程思想
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及方程思想
等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式
2013 卷 2
卷 1
文 6
卷 2
文 5
等比中項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式
等比數(shù)列概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及數(shù)列不等式證明，放縮
思想
2014
卷 2
理 17
文 5
等比數(shù)列問題
等比數(shù)列問題
卷 2
等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想
卷 2
卷 2
文 5
等差數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等比數(shù)列問題
等差通項(xiàng)公式、性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式
數(shù)列前
n項(xiàng)和 S 與a 關(guān)系、等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式
理 16
n
n
2015
卷 2
理 4
等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想
等比數(shù)列問題
卷 1
文 13
等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式
卷 1
卷 2
文 7
等差數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等差數(shù)列與等比數(shù)
列綜合問題
等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方 程思想
文 17
等差數(shù)列通項(xiàng)公式及對新概念的理解與應(yīng)用，運(yùn)算求解能力
卷 1
文 17
理 3
等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列定義、前n項(xiàng)和公式，運(yùn)算求解能力
等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)
2016
卷 1
等差數(shù)列問題
等差數(shù)列與等比數(shù) 等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及二次函數(shù)最值問題，
卷 1
理 15
列綜合問題
函數(shù)與方程思想
等比數(shù)列問題
卷 3
理 14
等比數(shù)列通項(xiàng)公式及方程思想
2017
卷 3
卷 2
理 9
等差數(shù)列問題
等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列概念，方程思想
文 17
等差數(shù)列與等比數(shù) 等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和


列的綜合問題
等比數(shù)列問題
等差數(shù)列與等比數(shù)
列的綜合問題
等差數(shù)列問題
公式，方程思想
卷 2
卷 1
卷 1
理 3
文 17
理 4
等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式及傳統(tǒng)文化
等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等差數(shù)列定義，方程思想
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)，方程思想
卷 3 理文 17 等比數(shù)列問題
卷 2 理文 17 等差數(shù)列問 題
等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方程思想與運(yùn)算求解能力
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式及前n項(xiàng)和的最值，方程思想
等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式，運(yùn)算求解能力
2018
卷 1
卷 1
文 17
理 4
等比數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想
卷 3
卷 3
卷 2
文 14
理 5
等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想
等比數(shù)列問題
等差數(shù)列與等比數(shù)
列綜合問題
等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想
文 18
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式，方程思想
等差數(shù)列與等比數(shù) 等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式、等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式，運(yùn)算求解
2019 卷
2
理 19
文 14
文 18
列的綜合問題
等比數(shù)問題
能力
卷 1
卷 1
等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想
等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式及數(shù)列數(shù)列不等式問題，方程思
想
等差數(shù)列問題
卷 1
卷 1
理 14
理 9
理
等比數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想
等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想
卷 1
文 10
理 4
理 6
文 6
等比數(shù)列問題
等差數(shù)列問題
等比數(shù)列問題
等比數(shù)列問題
等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列基本量的計(jì)算，方程思想
等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方程思想，數(shù)學(xué)文化
等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，方程思想
2020
卷 2
等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，方程思想
大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測高考
出現(xiàn)頻率 2021 年預(yù)測
考 點(diǎn)
考點(diǎn) 58 等差數(shù)列問題
15/37
2021 年高考仍將考查等差數(shù)列與等比數(shù)列定義、性質(zhì)、


考點(diǎn) 59 等比數(shù)列問題
考點(diǎn)60等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題 9/37
13/37
前n項(xiàng)和公式，題型為選擇填空題或解答題的第 1 小
題，難度為基礎(chǔ)題或中檔題．
十年試題分類*探求規(guī)律
考點(diǎn) 58 等差數(shù)列問題
1．(2020 全國Ⅱ理 4)北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱
為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層
的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇
面形石板(不含天心石)
A．3699塊
(
)
B．3474塊
C．3402塊
D．3339塊
【答案】C
【思路導(dǎo)引】第 n 環(huán)天石心塊數(shù)為a
，第一層共有n環(huán)，則
{a }
是以 9 為首項(xiàng)，9 為公差的等差數(shù)列，
n
n
S
{a }
S -S = S -S + 729
S
，解方程即可得到 n，進(jìn)一步得到 ．
3n
設(shè)
為
的前n項(xiàng)和，由題意可得
n
n
3n
2n
2n
n
【解析】設(shè)第 n 環(huán)天石心塊數(shù)為a
，第一層共有n環(huán)，則
{a }
是以 9 為首項(xiàng)，9 為公差的等差數(shù)列，
n
n
an = 9+(n -1)′9 = 9n
S
{a }
為 的前n項(xiàng)和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為
n
，設(shè)
n
S ,S -S ,S -S
S -S = S -S + 729
，因?yàn)橄聦颖戎袑佣?729 塊，所以
，即
n
2n
n
3n
2n
3n
2n
2n
n
3n(9+27n) 2n(9+18n) 2n(9+18n) n(9+9n)
-
=
-
+729
=729，解得n = 9 ，所以
，即9n
2
2
2
2
2
27(9 +9′27)
S = S =
= 3402，故選 C．
3n
27
2
a1
d
2．(2020浙江7)已知等差數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和
*
a
n
n
S
，公差d 1 0, ￡1．記b = S ,b = S -S , n?N
，
n
1
2
n+1
n+2
2n
下列等式不可能成立的是
(
)
2a = a + a
2b = b +b
B．
2
= a2a8
2
= b b
2 8
C．a(chǎn)4
D．b4
A．
4
2
6
4
2
6
【答案】B
【解析】A．由等差數(shù)列的性質(zhì)可知2a = a +a ，成立；
4
2
6
B．b = S -S = -a ，b = S -S = a ，b S S
a a a
= - = -( + + )= -
3a9
，
4
5
6
6
2
3
2
3
6
7
10
8
9
10
若2b = b +b ，則 2a = a -3a
-
2 a a
? ( - )= - ，
a a
4
2
6
6
3
9
9
6
3
9
即6d = -6d ? d =0，這與已知矛盾，故 B 不成立；


= a a ? (a +3d) = (a +d)(a +7d) ，整理為：a = d ，故 C 成立；
2
C．a(chǎn)4
2
2
8
1
1 1 1
D． b S S
= - = -( + + + + )= -
a
a
a12
a
a
5a12
，當(dāng)
2 8
b42 = b b
時，即 a6
= a ×(-5a )，整理為
3 12
2
8
9
14
10
11
13
14
( + )
2
5 a 2d a 11d ，即 2a
= - ( + )( +
)
2
1
+
25a d +45d
1
2
=
D > 0，方程有解，故 D 成立．綜上
0，
a 5d
1
1
1
可知，等式不可能成立的是 B，故選 B．
3．(2019?新課標(biāo)Ⅰ，理 9)記 S 為等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和．已知S = 0 ，a = 5，則(
)
n
n
4
5
1
A．a(chǎn)n = 2n -5
【答案】A
B．a(chǎn)n = 3n -10
C． Sn = 2n
2
-8n
D． S = n - 2n
2
n
2
ì4a1 +6d = 0
?a1 + 4d = 5
ìa1 = -3
?d = 2
【解析】設(shè)等差數(shù)列{a }的公差為d ，由 S = 0 ，a = 5，得í
，\ í
，
n
4
5
\a = 2n -5， S = n
2
-4n，故選 A ．
n
n
4．(2018?新課標(biāo)Ⅰ，理 4)記 S 為等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和．若3S = S + S ，a = 2，則a = (
)
n
n
3
2
4
1
5
A．-12
B．-10
C．10
D．12
【答案】B
3′ 2
4′3
【解析】QS 為等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和，3S = S + S ，a = 2，\ 3′(3a +
d) = a + a + d + 4a +
d ，
n
n
3
2
4
1
1
1
1
1
2
2
把a(bǔ) = 2，代入得d = -3，\a = 2+ 4′(-3) = -10，故選 B ．
1
5
5．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，理 4)記 S 為等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和．若a + a = 24 ，S = 48 ，則{a }的公差為(
)
n
n
4
5
6
n
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】C
ìa +3d + a + 4d = 24
?
1
1
【解析】由題知，\ í
，解得a1 = -2 ，d = 4，故選C ．
6 5
′
6a1 +
d = 48
?
?
2
6．(2017?新課標(biāo)Ⅲ，理 9)等差數(shù)列{a }的首項(xiàng)為 1，公差不為 0．若 a ， a ，a 成等比數(shù)列，則{a }前 6
n
2
3
6
n
項(xiàng)的和為(
A．-24
)
B．-3
C．3
D．8
【答案】A
【解析】Q等差數(shù)列{a }的首項(xiàng)為 1，公差不為 0．a(chǎn) ，a ，a 成等比數(shù)列，\ a
2
= a ga ，
n
2
3
6
3
2
6
\(a1 +2d)
2
=(a +d)(a +5d) ， 且
=1 ， d 1 0 ， 解 得 d = -2 ， \{an} 前 6 項(xiàng) 的 和 為
1
1
a1


6′5
6′5
S = 6a +
d = 6′1+
′(-2) = -24 ，故選 A ．
6
1
2
2
7．(2016?新課標(biāo)Ⅰ，理 3)已知等差數(shù)列{a }前 9 項(xiàng)的和為 27，a =8，則a = (
)
n
10
100
A．100
B．99
C．98
D．97
【答案】C
9(a + a ) 9′2a
【解析】由題知， S9 =
1
9
=
5
= 9a = 27 ，∴ a = 3，又Qa =8=a +5d = 3+5d ，\d =1，
5 5 10 5
2
2
\a = a +95d = 98，故選C
100
5
8．(2015 新課標(biāo)Ⅰ，文 7)已知{a }是公差為 1 的等差數(shù)列，S 為{a }的前n 項(xiàng)和，若 S = 4S ，則a = ( )
n
n
n
8
4
10
17
2
19
2
(A)
(B)
(C)10
(D)12
【答案】B
1
1
1
2
【 解 析 】 ∵ 公 差 d =1 ， S = 4S ， ∴ 8a + ′8′7 = 4(4a + ′4′3) ， 解 得 a =
， ∴
8
4
1
1
1
2
2
1
19
2
a = a +9d = +9 =
，故選 B．
10
1
2
9．(2015 新課標(biāo)Ⅱ，文 5) 設(shè) S 是等差數(shù)列{a }的前 項(xiàng)和，若
n
a +a +a = 3
S =
，則 (
5
)
n
n
1
3
5
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
( + )
5 a a
【解析】a +a +a = 3a = 3T a =1，
S =
5
1
5
= 5a3 = 5 ．故選 A．
1
3
5
3
3
2
10．(2014 新課標(biāo)Ⅱ，文 5)等差數(shù)列{a }
n 的公差是 2，若
成等比數(shù) 列，則{a }
n 的前 項(xiàng)和
n
S =
n
(
)
a ,a ,a
2
4
8
n(n+1)
n(n-1)
A． n(n+1)
【答案】A
B．
n(n-1)
C．
D．
2
2
a ,a ,a
a
2
4
= a2a8 ，即(a1 +6)
2
= (a +2)(a +14)
a
S = n
n
2
+ n
【解析】∵
成等比數(shù)列，∴
，解得 =2，∴
，
2
4
8
1
1
1
故選 A．
{ }
>
11．(2017 浙江)已知等差數(shù)列 a 的公差為d ，前n項(xiàng)和為S ，則“d 0”是
n
n
“S +S > 2S ”的( )
4
6
5
A． 充分不必要條件
C． 充分必要條件
B． 必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件


【答案】C
【解析】∵(S -S )-(S -S ) = a -a = d ，當(dāng)d > 0，可得S +S > 2S ；當(dāng) S +S > 2S ，可得d > 0．所
6
5
5
4
6
5
4
6
5
4
6
5
以“d > 0”是“ S +S > 2S ” 充分必要條件，選 C．
4
6
5
{ }
=
2
=
12．(2015 重慶)在等差數(shù)列 a 中，若a 4,a4 2 ，則a6 ＝( )
n
A．－1
B．0
C．1
D．6
【答案】B
【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得a = 2a -a = 2′2-4 = 0 ，選 Ba = 2 ．
6
4
2
4
13．(2015 浙江)已知{a }是等差數(shù)列，公差 d 不為零，前n項(xiàng)和是 S ．若a ,a ,a 成等比數(shù)列，則( )
n
n
3
4
8
A．a(chǎn) d > 0, dS > 0
B．a(chǎn) d < 0, dS < 0
1 4
1
4
C．a(chǎn) d > 0, dS < 0
D．a(chǎn) d < 0, dS > 0
1
4
1
4
【答案】B
5
【解析】由a ,a ,a 成等比數(shù)列可得：
(a1 +3d)
2
= (a +2d)×(a +7d) ，即3a +5d = 0，所以a = - d ，
3
4
8
1
1
1
1
3
(a +a )′4
2
所以a1d < 0，又
dS4 =
1
4
d = 2(2a +3d)d = - d
1
2
< 0．
2
3
14．(2014 遼寧)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d ，若數(shù)列{2
a a
1 n
}為遞減數(shù)列，則(
)
A．d < 0 B．d > 0 C．a(chǎn)1d < 0 D．a(chǎn)1d > 0
【答案】C
【解析】∵數(shù)列{2
函數(shù)，∴a1d < 0．
a a
1
}為遞減數(shù)列，
，等式右邊為關(guān)于 的一次
a a = a [a +(n-1)d]= a dn+a (a -d) n
n
1
n
1
1
1
1
1
15．(2014 福建)等差數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和 S ，若a = 2,S =12，則a =( )
n
n
1
3
6
A．8
B．10
C．12
D．14
【答案】C
【解析】 設(shè)等差數(shù)列{a }的公差為d ，則 S = 3a +3d ，所以12=3′2+3d ，解得d = 2，所以a =12．
n
3
1
6
16．(2014 重慶)在等差數(shù)列{a }中，a = 2,a +a =10 ，則a =( )
n
1
3
5
7
A．5
B．8
C．10
D．14
【答案】B


【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得a +a = a +a ，因?yàn)閍 = 2，a +a =10，所以a = 8，選 B．
1
7
3
5
1
3
5
7
17．(2013 遼寧)下面是關(guān)于 公差d > 0
的等差數(shù)列
{a }
的四個命題：
{ }
na 是遞增數(shù)列；
n
n
{ }
p :數(shù)列 a 是遞增數(shù)列；
p :
數(shù)列
1
n
2
ìa ü
? n t
p4 :數(shù)列{an +3nd}是遞增數(shù)列；
p3 :數(shù)列í
n
y是遞增數(shù)列；
其中的真命題為
A． p1, p2
B． p3, p4
C． p2, p3
D． p1, p4
【答案】D
【解析】設(shè)a = a + (n -1)d = dn + m ，所以 p 正確；如果a = 3n -12 則滿足已知，但
nan = 3n
-12n
2
n
1
1
n
an
n
1
并非遞增所以 p 錯；如果若a = n +1，則滿足已知，但
=1+
p
，是遞減數(shù)列，所以 錯；
2
n
n
3
a +3nd = 4dn + m ，所以是遞增數(shù)列， p 正確．
n
4
{ }
+ =
=
{ }
n
18．(2012 福建)等差數(shù)列 a 中，a a 10，a
7 ，則數(shù)列 a 的公差為( )
n
1
5
4
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由題意有a +a = 2a =10 ，a = 5，又∵a = 7 ，∴a -a = 2，∴d = 2．
1
5
3
3
4
4
3
19．(2012 遼寧)在等差數(shù)列{ }中，已知
a +a =16
，則該數(shù)列前 11 項(xiàng)和 S = ( )
11
a
n
4
8
A．58
B．88
C．143
D．176
【答案】B
(
)
11 a +a
【解析】a +a =2a =16\a =8 ，而
S =
11
1
11 =11a6 =88 ，故選 B．
4
8
6
6
2
20．(2011 江西)設(shè){a }為等差數(shù)列，公差d = -2，S 為其前n項(xiàng)和，若 S = S ，
n
n
10
11
則a1 = ( )
A．18
B．20
C．22
D．24
【答案】B
【解析】由S = S ，得a = S -S = 0，a = a + (1-11)d = 0+ (-10)′(-2) = 20 ．
10
11
11
11
10
1
11


{ }
{ }
n
21．(2011 天津)已知 a 為等差數(shù)列，其公差為-2，且a 是a 與a 的等比中項(xiàng)，S 為 a 的前n項(xiàng)和，
n
n?N* ，則 S10 的值為
A．－110
7
3
9
n
B．－90
C．90
D．110
【答案】D
{ }
-
【 解 析 】 因 為 a 是 a 與 a 的 等 比 中 項(xiàng) ， 所 以
a
2
7
= a a ， 又 數(shù) 列 a 的 公 差 為 2 ， 所 以
7
3
9
3
9
n
(a1 -12)
2
= (a -4)(a -16) ， 解 得 a = 20 ， 故 a = 20+(n-1)′(-2) = 22-2n ， 所 以
1 1 1 n
10(a +a )
S =
10
1
10 = 5′(20+2) =110．
2
22．(2020 北京 8)在等差數(shù)列{a }中， a = -9，a = -1，記T = a a ?a (n =1, 2,?)，則數(shù)列{T }
n
1
5
n
1
2
n
n
(
)
A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)
B．有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
D．無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)
C．無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)
【答案】A
【解析】設(shè)公差為 d，a -a =4d，即 d=2，a =2n-11，1≤n≤5 使，a ＜0，n≥6 時，a ＞0，所以 n=4 時，T
n
5
1
n
n
n
＞0，并且取最大值；n=5 時，T ＜0；n≥6 時，T ＜0，并且當(dāng) n 越來越大時，T 越來越小，所以 T 無最小
n
n
n
n
項(xiàng)．故選 A．
a +a +?+a
23．(2020 上海 7)已知等差數(shù)列{a }的首項(xiàng)a 1 0，且滿足a +a = a ，則
1
2
9
=
．
n
1
1
10
9
a10
27
8
【答案】
a +a +...+a
9a5 9(a1 +4d) 27d 27
【解 析】由條件可知2a +9d = a +8d T a = -d ，
1
2
9
=
=
=
=
．
1
1
1
+
a10
a10
a 9d
8d
8
1
27
8
故答案為：
．
S10
S5
24．(2019?新課標(biāo)Ⅲ，理 14)記 S 為等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和，若a 1 0，a = 3a ，則
=
．
n
n
1
2
1
【答案】4
S10
S5
10(a + a )
1 10
5(a1 + a5 )
【解析】設(shè)等差數(shù)列{a }的公差為d ，則由a 1 0，a = 3a 可得，d = 2a ，\
=
n
1
2
1
1
2(2a1 +9d)
2a1 + 4d
2(2a +18a )
2a1 +8a1
1
1
=
=
= 4 ．
25．(2015?新課標(biāo)Ⅱ，理 16)設(shè)數(shù)列{a }的前 n 項(xiàng)和為 S ，且a = -1，a = S S ，則 S =
．
n
n
1
n+1
n+1
n
n


1
【答案】-
n
1
1
1
【 解析】Qan+1 = S S ，\S - S = S S ，\
-
=1，又Qa1 = -1，即 = -1，
S1
n+1
n
n+1
n
n+1 n
Sn Sn+1
1
1
1
\數(shù)列{ }是以首項(xiàng)是-1、公差為-1的等差數(shù)列，\
= -n ，\S = - ．
n
S
Sn
n
n
1
26．(2015 安徽)已知數(shù)列{a }中，a =1，
a = a + (n≥2)，則數(shù)列{a }的前 9 項(xiàng)和等于______．
n
1
n
n-1
n
2
【答案】27
1
1
【解析】∵a =1，a = a + (n≥2) ，所以數(shù)列{a }是首項(xiàng)為 1，公差為 的等差數(shù)列，所以前 9 項(xiàng)
1
n
n-1
n
2
2
9′8 1
和S9 = 9+
′ = 27 ．
2
2
27．(2019 江蘇 8)已知數(shù)列{an}(n?N
*
)
是等差數(shù)列，S
是其前 n 項(xiàng)和．若
a a +a = 0,S = 27
，則
S
的
n
2
5
8
9
8
值是
．
【答案】16
ì(a +d)(a +4d)+a +7d = 0
ì = -
a
5
?
1
1
1
【解析】設(shè)等差數(shù)列{a }的首項(xiàng)為a ，公差為 ，則
d
í
9′8
，解得
í
1
，
n
1
9a1 +
d = 27
d = 2
?
?
?
2
8′7d
S =8a +
= 6′(-5)+15′2 =16
．
所以
8
1
2
28．(2019 北京理 10)設(shè)等差數(shù)列{ }的前 n 項(xiàng)和為 ，若
S
a = -3，S = -10
，則
a =
5
________ ．
S
n
a
n
n
2
5
的最小值為_______．
【答案】0，-10
ìa = a + d = -3
ìa1 = -4
?d =1
2
1
a = a + 4d = 0
【解析】由題意得，í
，解得í
，所以
．
S = a ×5+10d = -10
5
1
?
5
1
4′3
{ }
=
=
4 4
= (- )′ +
′1= -10 ．
因?yàn)?a 是一個遞增數(shù)列，且a 0，所以 S 的最小值為 S 或 S ，S
S5
n
5
n
4
5
4
2
29．(2018 北京)設(shè){a }是等差數(shù)列，且a = 3，a +a = 36，則{a }的通項(xiàng)公式為___．
n
1
2
5
n
【答案】14
ìa1 +2d = 0
【解析】解法一 設(shè){a }的公差為d ，首項(xiàng)為a ，則í
，
n
1
a +5d +a +6d =14
1 1
?
ìa1 = -4
?d = 2
′
7 6
解得í
，所以
S = 7′(-4)+
7
′2 =14．
2


解法二 2a +7d =14，所以d = 2．故a = a +d = 2，故 S = 7a = 7′2 =14．
3
4
3
7
4
30．(2018 上海)記等差數(shù)列{a }的前幾項(xiàng)和為 S ，若a = 0，a +a =14 ，則 S =
．
n
n
3
6
7
7
【答案】an = 6n-3
【 解 析 】 設(shè) 等 差 數(shù) 列 的 公 差 為 d ， a +a = a +d +a + 4d = 6+ 5d = 36 ， ∴ d = 6 ， ∴
2
5
1
1
an = 3+(n-1)×6 = 6n-3 ．
{ }
+ + + + = 25，則a +a =
4 5 6 7
31．(2015 廣東)在等差數(shù)列 a 中，若a a a a a
．
n
3
2
8
【答案】10
【解析】 由a +a +a +a +a = 25得5a = 25，所以a = 5，故a +a = 2a =10．
3
4
5
6
7
5
5
2
8
5
32．(2014 北京)若等差數(shù)列 a 滿足a a a 0，a +a

0，則當(dāng)n =__時
n
7
8
9
7
10
{ }
a 的前n項(xiàng)和最大．
n
【答案】8
{ }
+ + = >
>
+
= a +a < 0，∴a9 0．當(dāng)

0，解得-1< d < - ．
n
8
8
?
a9 < 0
?
{ }
a
a +a =10
+
7
3a a
=
_____．
n
34．(2013 廣東)在等差數(shù)列
【答案】20
中，已知
3
8
，則
5
+ = ( + )+ +
3a a 3 a 4d a 6d 4a 18d 20
=
+
=
【解析】 依題意2a1 +9d =10
，所以
．
5
7
1
1
1
1
35．(2012 北京)已知{a }為等差數(shù)列， S 為其前n項(xiàng)和．若a = ， S = a ，
n
n
1
2
3
2
則a2 =
； Sn =
．


n(n+1)
【答案】1，
4
1
2
1
2
1
4
【解析】設(shè)公差為 d，則2a +d = a +2d ，把a(bǔ)
=
代入得d =
，∴
a =1 S
=
n
，
n(n+1)
1
1
1
2
36．(2012 江西)設(shè)數(shù)列{a },{b }都是等差數(shù)列，若a +b = 7，a +b = 21，則a +b = ___________．
n
n
1
1
3
3
5
5
【答案】35
【解析】因?yàn)閿?shù)列{a },{b }都是等差數(shù)列，所以數(shù)列 a b 也是等差數(shù)列．故由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，得
{ + }
n
n
n
n
( + )+( + )= ( + )
( + )+7 = 2′21，解得a +b = 35．
5 5
a b
a b
2 a b ，即 a b
5
5
1
1
3
3
5
5
37．(2012 廣東)已知遞增的等差數(shù)列{a }滿足a =1，
a = a
3
2
2
-4，則 an =____．
n
1
【答案】an = 2n-1
a =1,a = a
2
2
-4 ?1+2d = (1+d) -4 ? d = 2 ? an = 2n-1
2
【解析】
1
3
38．(2011 廣東)等差數(shù)列{a }前 9 項(xiàng)的和等于前 4 項(xiàng)的和．若a =1，a +a = 0，
n
1
k
4
則k =_________．
【答案】10
9′8
4′3
1
【解析】設(shè){a }的公差為 d ，由 S = S 及 a =1，得9′1+
d = 4′1+
d ，所以 d = - ．又
n
9
4
1
2
2
6
1
1
a +a = 0，所以[1+(k -1)′(- )]+[1+(4-1)′(- )]= 0，即k =10．
k
4
6
6
39．(2019?新課標(biāo)Ⅰ，文 18)記 S 為等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和，已知 S = -a ．
n
n
9
5
(1)若a = 4 ，求{a }的通項(xiàng)公式；
3
n
(2)若a1 > 0，求使得 Sn 3 an 的n 的 取值范圍．
【解析】(1)根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，設(shè)其公差為d ，
(a + a )′9
若S = -a ，則 S =
1
9
= 9a = -a ，變形可得a = 0 ，即 a + 4d = 0 ，
5 5 5 1
9
5
9
2
a5 - a
3
若a3 = 4 ，則d =
= -2，
2
則a = a + (n -3)d = -2n +10，
n
3
n(n-1)
(2)若 Sn 3 an ，則na1 +
d 3 a1 +(n-1)d
，
2
當(dāng)n =1時，不等式成立，


nd
3 d -a1
(n-2)d 3 -2a1，
當(dāng)n3 2時，有
，變形可得
2
a1
4
(n-2)(- ) 3 -2a1
(a + a )′9
又由 S = -a ，即 S =
1
9
= 9a = -a ，則有a = 0 ，即a + 4d = 0 ，則有
，
9
5
9
5
5
5
1
2
又由a1 > 0，則有n ￡10，
則有2￡ n ￡10
，
綜合可得：2￡ n ￡10，n?N ．
40．(2018?新課標(biāo)Ⅱ，理(文)17)記S 為等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和，已知a = -7 ，S = -15．
n
n
1
3
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求 S ，并求 S 的最小值．
n
n
【解析】(1)Q等差數(shù)列{a }中，a = -7 ，S = -15，
n
1
3
\a = -7，3a +3d = -15 ，解得a = -7 ，d = 2，
1
1
1
\an = -7 + 2(n -1) = 2n -9 ；
(2)Qa = -7，d = 2，a = 2n -9 ，
1
n
n
1
\S = (a + a ) = (2n
2
-16n) = n
2
-8n = (n - 4) -16，
2
n
1
n
2
2
\當(dāng)n = 4時，前n 項(xiàng)的和 Sn 取得最小值為-16 ．
41．(2016?新課標(biāo)Ⅱ，文 17)等差數(shù)列{a }中，a + a = 4，a + a = 6．
n
3
4
5
7
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)設(shè)b =[a ]，求數(shù)列{b }的前 10 項(xiàng)和，其中[x]表示不超過 x 的最大整數(shù)，如[0.9] = 0 ，[2.6] = 2 ．
n
n
n
【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d ，
Qa + a = 4 ，a + a = 6．
3
4
5
7
ì2a1 +5d = 4
?2a1 +10d = 6
\ í
，
ìa =1
?
1
解得：í
2 ，
d =
?
?
5
2
3
\a = n + ；
n
5
5
(Ⅱ)Qb =[a ]，
n
n


\b = b = b =1，
1
2
3
b = b = 2，
4
5
b = b = b = 3，
6
7
8
b = b = 4．
9
10
故數(shù)列{b }的前 10 項(xiàng)和 S = 3′1+ 2′2+3′3+ 2′4 = 24．
n
10
42．(2013 新課標(biāo)Ⅱ，文 17)已知等差數(shù)列{a }的公差不為零，a = 25，且a ,a ,a 成等比數(shù)列．
n
1
1
11 13
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)求a +a +a +×××+a
3n-2
；
1
4
7
【解析】(Ⅰ)設(shè){an }的公差為d ，
由題意，a2 =a a ，
11
1 13
即(a1 +10d)
2
= a (a +12d)，
1
1
∵a1 = 25，
∴d =0(舍去)或d =-2，
∴an -2n+27；
(Ⅱ)令 S =a +a +a +L+ a
3n-2
n
1
4
7
由(Ⅰ)知，a3n-2 =-6n+31，
∴{a3n-2 }是首項(xiàng)為 25，公差為-6 的等差數(shù)列，
n
n
∴S = (a +a )= (-6n+56)=
-3n +28n．
2
n
1
3n-2
2
2
43．(2014 浙江)已知等差數(shù)列{a }的公差d > 0 ，設(shè){a }的前 n 項(xiàng)和為 S ，a =1，
n
n
n
1
S ×S =36 ．
2
3
(Ⅰ)求d 及 Sn ；
(Ⅱ)求m,k (m,k?N* )的值，使得am + am+1 + am+2 +L+ am+k = 65．
【解析】(Ⅰ)由題意，(2a +d)(3a +3d) =36，
1
1
將a1 =1代入上式得d = 2或d = -5，
因?yàn)閐 > 0，所以d = 2，從而an = 2n-1，
S = n2 (
n
n?N* )．
(Ⅱ)由(1)知，a +a +×××+a = (2m+k -1)(k +1)，
n
n+1
n+k


所以(2m+k -1)(k +1) = 65，
由m,k ?N* 知，(2m+k -1)(k +1) >1，
ì2m+k -1=13
?k +1= 5
ìm = 5
?k = 4
所以í
，所以í
．
44．(2013 福建)已知等差數(shù)列{an}的公差d =1
n
，前 項(xiàng)和為 ．
S
n
(Ⅰ)若1,a ,a 成等比數(shù)列，求a ；
1
3
1
(Ⅱ)若 S > a a ，求a 的取值范圍．
5
1
9
1
【解析】(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d =1，且
1,a1,a
成等比數(shù)列，
3
所以a
2
=1′(a1 +2)
，
1
即a
2
1
-a1 -2 = 0
，解得 或 ．
a = -1 a = 2
1 1
(Ⅱ)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d =1，且
S > a a
5 1 9
，
所以5a1 +10 > a1 +8a
2
；
1
即a1 +3a1 -10 < 0，解得-5< a1 < 2
2
45．(2011 福建)已知等差數(shù)列{ }中， =1，
a
a = -3
3
．
a
n
1
(Ⅰ)求數(shù)列{ }的通項(xiàng)公式；
a
n
(Ⅱ)若數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和
k
S = -35
k
k
，求 的值．
a
n
【解析】(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列{a }的公差為d ，則a = a +(n-1)d.
n
n
1
由a =1,a = -3可得1+2d = -3.
1
2
解得d =－2．
從而，an =1+(n-1)′(-2) = 3-2n.
(Ⅱ)由(I)可知an = 3-2n ，
n[1+(3-2n)]
S =
= 2n-n .
2
所以
n
2
S = -35可得2k -k = -35,
2
進(jìn)而由
1


即k
2
-2k -35 = 0，解得k = 7或k = -5.
,故k = 7為所求．
又k ? N
*
{ }
( 1 )
46．(2013 江蘇)設(shè) a 是首項(xiàng)為a ，公差為d 的等差數(shù)列 d 0 ，S 是其前n 項(xiàng)和．
n
n
nSn
記
b =
n
，n ? N* ，其中c為實(shí)數(shù)．
n2
+ c
S = n
nk
2
Sk (k,n?N*)
(Ⅰ) 若c 0 ，且 ，
=
b b ，b
成等比數(shù)列，證明：
；
1
2
4
{ }
=
(Ⅱ) 若 b 是等差數(shù)列，證明：c 0 ．
n
【證明】(Ⅰ)若
，則
，
，
，又由題
，
，
是等差數(shù)列，首項(xiàng)為 ，公差為
，
，又
成等比數(shù)列，
，
，
，
，
，
，
，
(
)．
(Ⅱ)由題
，
，
，若
是等差數(shù)列，
則可設(shè)
，
是常數(shù)，
關(guān)于
恒成立．
整理得：
關(guān)于
，
恒成立．
，
，
．
考點(diǎn) 59 等比數(shù)列問題
{ }
+ + =
7 8
1．(2020 全國Ⅰ文 10)設(shè) a 是等比數(shù)列，且a + a + a =1, a + a +a = 2 ，則a a a
(
)
n
1
2
3
2
3
4
6
A．12
B．24
C．30
D．32
【答案】D
q
【思路導(dǎo)引】根據(jù)已知條件求得 的值，再由
+
a7 + a8
a a
= ( + + )
a
q
5
a
可求得結(jié)果．
6
1
2
3


+ + = ( + +
【解析】設(shè)等比數(shù)列{ }的公比為 ，則
q
2
)=1，
a
a a a a 1 q q
n
1
2
3
1
(
)
= q = 2
a +a +a = a q+a q
2
+a1q
3
= a q 1+q+q
2
，
2
3
4
1
1
1
)
\a +a +a = a q
5
+a1q
6
+a1q
7
= a1q
5
(1+q+q2
= q
5
= 32，故選 D．
6
7
8
1
S
{a }
n
a - a =12,a - a = 24,
n =
則
2．(2020 全國Ⅱ文 6)記 Sn 為等比數(shù)列
的前n 項(xiàng)和．若
5
3
6
4
an
(
)
A．2n -
B．2 - 21-n
C．2 - 2n-1
D．21-n -
1
1
【答案】B
【思路導(dǎo)引】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以得到方程組，解方程組求出首項(xiàng)和公比，最后利用等比數(shù)列
n
的通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可．
ì
4
-
2
=12 ìq=2
?aq
aq
q
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，由
a -a =12,a -a =24
1
1
T
í
í
可得：
，
5
3
6
4
=
1
5
-a1q =24 ?a 1
3
?aq
?
1
a (1-q
n
) 1-2
n
Sn
an
2 -1
n
a a qn 1
=
-
=
2
n-1,Sn
=
=
= - ，因此
n
=
= 2-21-n ，故選 B．
n-1
1
2
1
∴
n
1
1-q
1-2
2
3．(2020 全國Ⅱ理 6)數(shù)列{a }中，a = 2 ， a
= a a ，若
a
+ ak+2 +L+ ak+10
=
215 - 25 ，則k = (
)
n
1
m+n
m
n
k+1
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
{ }
{ }
a
的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列求和公式
n
【思路導(dǎo)引】取m=1，可得出數(shù)列
a
是等比數(shù)列，求得數(shù)列
n
k
可得出關(guān)于 的等式，由
k ?N
*
k
可求得 的值．
\a
= 2
，
【解析】在等式a
= aman 中，令m=1，可得a = a a = 2a
，
n 1
an
+
m+n
n+1
n
1
n
{ }
-
a
a = 2′2n 1 = 2
，
n
所以，數(shù)列
是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則
n
n
(
)
+
(
)
a × 1-210
2
k 1 × 1-210
k+1
( - )= ( - )，
210 1 2 2 1
\ak+1
\2
+
=
ak+2
+L+
ak+10
=
=
=
2
k+1
5
10
1-2
1-2
+ =
k = 4．故選：C．
k 1
+
2
5
，則k 1 5，解得
4．(2019?新課標(biāo)Ⅲ，理 5)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a }的前 4 項(xiàng)和為 15，且a = 3a + 4a ，則a =(
)
n
5
3
1
3
A．16
B．8
C．4
D．2


【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列{a }的公比為q(q > 0) ，則由前 4 項(xiàng)和為 15，且a = 3a + 4a ，有
n
5
3
1
ì +
+
2
+
3
=15，\ ìía1 =1
?a a q a q
a1q
í
1
1
1
2
，\ a3
=
2
2 = 4，故選C ．
?a q
?
4
=3a1q
+4a1
?q = 2
1
5．(2017?新課標(biāo)Ⅱ，理 3)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加
增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座 7 層塔共掛了 381 盞燈，且相鄰兩層中的下一
層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2 倍，則塔的頂層共有燈(
)
A．1 盞
B．3 盞
C．5 盞
D．9 盞
【答案】B
a1(1-2 )
1- 2
7
【解析】設(shè)塔頂?shù)腶 盞燈，由題意{a }是公比為 2 的等比數(shù)列，\S =
= 381，
1
n
7
解得a1 = 3，故選 B ．
6．(2015?新課標(biāo)Ⅱ，理 4)已知等比數(shù)列{a }滿足 a = 3，a + a + a = 21，則a + a + a = (
)
n
1
1
3
5
3
5
7
A．21
B．42
C．63
D．84
+1=7 ，\q
【解析】Qa = 3，a + a + a = 21，\ a (1+ q
2
+ q
4
) = 21，\q
4
+ q
2
4
+ q
2
-6=0，
1
1
3
5
1
\q
2
= 2，\a +a +a = a (q
2
+ q
4
+ q
6
) =3′(2+4+8) = 42，故選 B ．
3
5
7
1
1
= ( - )
a =
1
7．(2015 新課標(biāo)Ⅱ，文 9)已知等比數(shù)列{an}滿足
，
a a 4 a 1 ，則a
=
(
)
3
5
4
2
4
C.1
D.1
A.2
B.1
2
8
【答案】 C
【解析】由題意可得
C．
a4
a1
q
3
=
=8T q = 2
a a a
=
2
= ( - )T =
4 a 1 a 2
，所以
4
1
2
，故
a = a q =
，選
3
5
4
4
2
1
2
8．(2013 新課標(biāo)Ⅰ，文 6)設(shè)首項(xiàng)為 1，公比為 的等比數(shù)列{a }的前 n 項(xiàng)和為S ，則
n
n
3
A．S =2a -1 B ．S =3a - 2
C．Sn =4-3an
D．Sn =3-2an
n
n
n
n
【答案】D
2
1- a
n
3
【解析】 Sn =
=3-2an ，故選 D
2
3
1-


9．(2013 新課標(biāo)Ⅱ，理 3) 等比數(shù)列{a }的前 n 項(xiàng)和為S ，已知S = a +10a ，a =9，，則a =
n
n
3
2
1
5
1
1
3
B．-1
3
1
9
D．- 1
9
A．
C．
【答案】C．
1
【解析】由題知a +a +a =a +10a ，即
a q
1
2
2
5 1 1
= 9a1 ，即q = 9，又 9=a =a q4 ，∴a = ，故選 C．
1
2
3
2
1
9
10．(2012 新課標(biāo)，理 5)已知數(shù)列{a }為等比數(shù)列，a + a =2，a a =－8，則a +a =
n
4
7
5
6
1
10
A．7
B ．5
C．－5
D．－7
【答案】D．
【解析】∵a a =a a =－8，a + a =2，∴a =4，a =－2，或a =－2，a =4，
4
7
5
6
4
7
4
7
4
7
1
a4
q3
當(dāng)a =4，a =－2 時，
q
3 =－ ，a +a =
+a4q6 =-7，
4
7
1
10
2
a4
q3
當(dāng)a =－2，a =4 時，
q
3 =－2，a +a = +a4q6 =－7，故選 D．
4
7
1
10
4
3
11．(2013 大綱)已知數(shù)列{ }滿足
3a +a = 0,a = -
，則
{ }的前 10 項(xiàng)和等于
a
n
a
n
n+1
n
2
1
A．
-6(1-3-10)
B． (1-310) C．3(1-3-10) D．3(1+3-10
)
9
【答案】C
?
10
?
? 1?
4?1- -
÷
÷
?
?
÷
è 3?
1
【解析】∵a = - a ，∴{ }是等比數(shù)列，又
4
3
è
?
= 3(1-3-10 )
，
a
n
a = -
2
a = 4
1
，∴
S =
10
，∴
n+1
n
1
3
3
1+
故選 C．
12．(2018 北京) “十 二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個理
論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二
個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12 2 ．若第一個單音的頻率為 f，則
第八個單音的頻率為
A． 3 2 f
【答案】D
【解析】從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于12 ，第一個單音的頻率
B． 3
2
C．12
5
D．12
7
2
f
2
f
2
f
2
為 f ，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個單音的頻率構(gòu)成一個首項(xiàng)為 f ，公比為12 的等比數(shù)列，記為
2
{a }
，
n


則第八個單音頻率為a8 f (12 2)8 1 12
= ×
-
=
2
7
f ，故選 D．
13．(2018 浙江)已知a ，a ，a ，a 成等比數(shù)列，且a +a +a +a = ln(a +a +a ) ．若a >1，則
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
1
A．a(chǎn) < a ，a < a
B．a(chǎn) > a ，a < a
4
1
3
2
4
4
1
3
2
C．a(chǎn) < a ，a > a
D．a(chǎn) > a ，a > a
1 3 2 4
1
3
2
【答案】B
【解析】 因?yàn)閘nx≤x-1( x >0)，所以a +a +a +a = ln(a +a +a )
1
2
3
4
1
2
3
≤a +a +a -1，所以a ≤-1，又a >1，所以等比數(shù)列的公比q < 0．
1
2
3
4
1
若q≤-1，則
a +a +a +a = a (1+q)(1+ q
2
）≤0，
1
2
3
4
1
而a +a +a ≥a >1，所以ln(a +a +a ) > 0 ，
1
2
3
1
1
2
3
與ln(a +a +a ) = a +a +a +a ≤0 矛盾，
1
2
3
1
2
3
4
所以-1< q < 0，所以
a -a = a (1-q
2
) > 0 ，a -a = a q(1-q ) < 0，
2
1
3
1
2
4
1
所以a > a ，a < a ，故選 B．
1
3
2
4
14．(2014 重慶)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是
A．a(chǎn) ,a ,a 成等比數(shù)列 B．a(chǎn) ,a ,a 成等比數(shù)列
1
3
9
2
3
6
C．a(chǎn) ,a ,a 成等比數(shù)列
D．a(chǎn) ,a ,a 成等比數(shù)列
2 6 9
2
4
8
【答案】D
a ×a = a 1 0，因此a ,a ,a 一定成等比數(shù)列．
2
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，
3
9
6 2 6 9
15．(2012 北京) 已知{an}為等比數(shù)列．下面結(jié)論中正確的是
A．a(chǎn) +a ? 2a
B．a(chǎn) +a3
1
2
2
?2a2
2
1
3
2
C．若a = a ，則a = a
D．若a > a ，則a > a
3 1 4 2
1
3
1
2
【答案】B
【解析】取特殊值可排除 A、C、D，由均值不等式可得a1
2
+a3
? 2a ×a = 2a2 ．
1 3 2
2
16．(2011 遼寧)若等比數(shù)列 {an}滿足
a a =
16n ，則公比為
n
n+1


A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】B
a a
16n+1
16
a a = n ，得an+1an+2
=16 + ，兩式相除得 n+1 n+2
n 1
=
=16，
【解析】由
n
n+1
16n
anan+1
∴q =16，∵a a =16n ，可知公比q為正數(shù)，∴q = 4．
2
n n+1
1
17．(2019?新課標(biāo)Ⅰ，理 14)記 S 為等比數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和．若a = ， a
2
4
= a ，則 S =
．
n
n
1
6
5
3
121
3
【答案】
1
3(1-35
)
121
3
【解析】在等比數(shù)列中，由a4
2
= a6 ，得q
6
a
2
1
= q
5
a >0，即q > 0，q = 3，則 S =
=
．
1
5
1-3
3
18．(2019?新課標(biāo)Ⅰ，文 14)記 S 為等比數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和，若a =1， S = ，則 S =
．
n
n
1
3
4
4
5
8
【答案】
3
1- q
-
3
3
1
【解析】Q等比數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和，a =1，S = ，\q 11，
= ，整理可得，q
2
+ q + = 0，解
n
1
3
4
1 q
4
4
1
1-
1+
1
1- q
-
4
5
16
1
可得，q = - ，則 S =
=
= ．
4
2
1 q
8
2
{ }
=
=
{ }
=126 ，則
19．(2015 新課標(biāo)Ⅰ ，文 13)數(shù)列 a 中 a 2,a
2a ,S 為 a 的前 n 項(xiàng)和，若 S
n
1
n+1
n
n
n
n
n =
．
【答案】6
2(1-2 )
1-2
n
【解析】∵a = 2,a = 2a ，∴數(shù)列 a 是首項(xiàng)為 2，公比為 2 的等比數(shù)列，∴ S
{ }
=
=126 ，
1
n+1
n
n
n
∴2n 64，∴n=6．．
=
20．(2017?新課標(biāo)Ⅲ，理 14)設(shè)等比數(shù)列{a }滿足 a + a = -1，a - a = -3，則a =
．
n
1
2
1
3
4
【答案】-8
【解析】設(shè)等比數(shù)列{a }的公比為q，Qa + a = -1，a - a = -3，\a (1+ q) = -1，a (1- q
2
) = -3，解得a1 =1，
n
1
2
1
3
1
1
q = -2，則a4 =(-2)
= -8．
3
21．(2012 新課標(biāo)，文 14)等比數(shù)列{a }的前 n 項(xiàng)和為 S ，若 S +3S =0，則公比q=_______
n
3
2
n


【答案】-2
【解析】當(dāng)q=1 時，S =3a ，S =2a ，由 S +3S =0得，9a =0，∴a =0 與{a }是等比數(shù)列矛盾，故q ≠
3
2
3
1
2
1
1
1
n
a1(1-q
1-q
3
) 3a (1-q )
1
2
1，由 S +3S =0得，
+
= 0
，解得q=－2．
3
2
1-q
7
63
4
22．(2017 江蘇)等比數(shù)列{a }的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)的和為 S ，已知 S = ，S =
，則a8 =
．
n
n
3
6
4
【答案】32
S6 1-q
6
3
a (1-q
3
) 7
【解析】設(shè){an}的公比為q，由題意q 11，由
=
=1+ q = 9，所以q = 2，由 S3 =
3
1
= ，
S3 1 q
-
1-q
4
1
1
得a = ，所以
a = a q
7
= ′2
7
= 2 = 32．
5
1
8
1
4
4
23．(2017 北京)若等差數(shù)列{ }和等比數(shù)列
{ }
a =b = -
= =
a
n
b
1 a b 8
滿足
，
，
n
1
1
4
4
a2
b2
則
=_____．
【答案】1
{ }
d { }
q
的公比為 ，由題意
a
b
-1+3d = -q = 8
3
【解析】設(shè)
的公差為 ，
，
n
n
a2
-1+3
b2 -(-2)
所以d =3，q = -2，所以
=
=1．
24．(2016 年浙江)設(shè)數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為S ．若 S = 4，a = 2S +1，
n?N* ，則
n
n
2
n+1
n
a = ， S = ．
1
5
【答案】 ．1 121
ìa + a = 4
1
1
1
2
a =1
1
a = S -S = 2S +1
+ =
3(Sn
+
【解析】由于 í
，解得
，由
，所以Sn+1
2)，所以
a = 2a +1
n+1
n+1
n
n
?
2
1
2
1
3
{S + }是以 為首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列，
n
2
2
1 3
3
+ = ′ n-1，所以 S5 =121．
所以
S
n
2 2
25．(2015 安徽)已知數(shù)列{a }
n 是遞增的等比數(shù)列，
a +a = 9,a a = 8 ，則數(shù)列{a }
n 的前 n 項(xiàng)和等
1 4 2 3
于
．
【答案】2n -1


ìa +a = 9
1
4
=
=
=
=
，而數(shù)列
4
【解析】由題意，í
，解得
a 1,a 8 a 8,a 1
或
{a }
是遞增的等比數(shù)列，
n
a ×a = a ×a = 8
1
4
1
?
2
3
1
4
a4
a1
a (1 q
-
n
) 1 2
-
n
所以a =1,a =8，即
q
3
=
= 8
，所以
q = 2
，因而數(shù)列
n S =
{a }
的前 項(xiàng)和
n
1
=
= 2 -1．
n
1
4
n
1-q
1-2
26．(2014 廣東)等比數(shù)列{ }的各項(xiàng)均為正數(shù)，且
a a = 4
，則
1 5
a
n
log a + log a + log a + log a + log a = ________．
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
【答案】5
【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知
a a = a a = a2 ，于是，由a a = 4 得a = 2，
1
5
2
4
3
1
5
3
故a a a a a = 32，則log a + log a + log a + log a + log a =
1
2
3
4
5
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
log (a a a a a ) =log 32 =5 ．
2
1
2
3
4
5
2
27．(2014 廣東)若等比數(shù)列{an }的各項(xiàng)均為正數(shù)，且
a a + a a = 2e
，則
5
10 11
9 12
lna +lna +L+lna =
．
1
2
20
【答案】50
【解析】因{a }是等比數(shù)列，∴a a = a a = a a ，由
a a + a a = 2e
得
5
n
1
20
10 11
9
12
10 11
9 12
a a = e5 ，∴l(xiāng)na +lna +L+lna = ln(a a ×××a ) = ln(a a )10 =50．
∴
1
20
1
2
20
1
2
20
1 20
28．(2014 江蘇)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，
a = a = a + 2a ，則a 的值
1,
2
8
6
4
6
是
．
【答案】4
【解析】 設(shè)等比數(shù)列{a }的公比為q，q > 0．則a = a + 2a ，即為
a q
4
4
= a4q
2
+2a4 ，解得q = 2(負(fù)
2
n
8
6
4
值舍去)，又a2 =1，所以
a = a q 4．
4
6
2
29．(2013 廣東)設(shè)數(shù)列{a }是首項(xiàng)為 ，公比為
1
-2
的等比數(shù)列，則
n
a +|a |+a +|a |=
．
1
2
3
4
【答案】15
【解析】a =1,a = -2,a = 4,a = -8 ，∴ a +|a |+a +|a |= 15．
1
2
3
4
1
2
3
4
{ }
+
+
3 5
30．(2013北京)若等比數(shù)列 a 滿足a a =20，a a =40，則公比q=
；前n項(xiàng)和 Sn =
．
n
2
4


【答案】2, 2n+1 -2
(
)
2 1-2
n
【解析】由a +a =q a a 得q 2；
( + )
= ( + )= ( + )
a a
a q q3 =20，得a 2；∴ S
=
=
= 2n 1 - 2 ．
+
3
5
2
4
2
4
1
1
n
1-2
1
31．(2013 江蘇)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，
a =
5
，
a +a = 3
．則滿足
2
6
7
a +a +a +...+a > a a a ...a 的最大正整數(shù)n 的值為
．
1
2
3
n
1
2
3
n
【答案】12
ì
1
2
?
=
1
a1q
4
【解析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{a }首項(xiàng)為 a ，公比為 q，則： í
，得： a1 ＝
，q＝2，
n
1
32
?
+
=
a q (1 q) 3
?
1
5
(n-1)n
2n -1
(n-1)n
2
n
-1
an
=
2
6 n
- ．記T = a + a +L+ a =
n
1
2
n
，? = a a La = 2
2
．T > ? ，則
n
n
> 2
2
，
，
n
1
2
n
5
25
2
1
2
11
n2 - n+5
1
11
- n +5 時，n =
13+ 121
化簡得：2n -1> 2
，當(dāng)
n > n
2
?12
．當(dāng) n＝12 時，
T > ?
12
2
12
2
2
2
當(dāng) n＝13 時，T < ? ，故n =12．
13
13
max
{ }
=
?
32．(2012 江西)等比數(shù)列 a 的前 n 項(xiàng)和為 S ，公比不為 1．若 a 1，且對任意的 n N 都有
n
n
1
+
a +a -2a = 0 ，則 S =_________________．
n+2
n+1
n
5
【答案】11
【解析】由a +a -2a = 0 ，可得
a q
n
2
+a q-2a = 0，由a =1可知a 1 0,q 11，求得公比q = -2 ，
n+2
n+1
n
n
n
1
n
可得 S5 =11．
a > 0
1
2(a + a ) = 5a
n n+2 n+1
，則數(shù)列{an}的公比
33．(2012 遼寧)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，若
q =
．
，且
【答案】2
1
2
【解析】Q2(a +a ) =5a ,\2a (1+ q
2
) =5anq,\2(1+ q
) =5q,解得q = 2或q =
2
n
n+2
n+1
n
因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且a1 > 0,所以q >1,\q = 2 ．
34．(2012 浙江)設(shè)公比為q(q > 0)的等比數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和為 S ．若 S = 3a +2，
n
n
2
2


S = 3a +2，則q =
．
4
4
3
2
【答案】
ì
-
2
4
a (1 q
)
1
= 3a1q+ 2
?
-
ì2a q
?
2
-3a q +a +2q -2 = 0
? 1 q
T
1
1
1
【解析】依題意可得，í
í
a (1-q
)
?2a q
?
4
-3a1q
3
+a1 +2q -2 = 0
?
1
= 3a1q
3
+ 2
1
?
? 1 q
-
兩式相減可得2a1q
4
-2a1q
2
-3a1q
3
+3a1q = 0，即2q
4
-2q
2
-3q +3q = 0 ，
3
3
3
解得q = ±1(舍)或q = 0或q = ．因?yàn)閝 > 0，所以q = ．
2
2
1
35．(2011 北京)在等比數(shù)列{a }中，a = ，a = -4，則公比q =_____
_________；
n
1
4
2
a + a +...+ a =____________．
1
2
n
1
2
n-1
-
【答案】2
2
1
2
(1-2 )
n
1
1
a = a q3 得4 = q3 ，解得q = 2，a +a +×××+ =
a
=
2
n-1
-
．
【解析】
4
1
1
2
n
1-2
2
2
36．(2017?新課標(biāo)Ⅱ，文 17)已知等差數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和為 S ，等比數(shù)列{b }的前n 項(xiàng)和為T ，a = -1，
n
n
n
n
1
b =1，a +b = 2 ．
1
2
2
(1)若a + b = 5 ，求{b }的通項(xiàng)公式；
3
3
n
(2)若T = 21，求 S ．
3
3
【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{a }的公差為d ，等比數(shù)列{b }的公比為q，
n
n
a = -1，b =1，a +b = 2 ，a + b = 5 ，
1
1
2
2
3
2
3
可得-1+ d + q = 2 ，-1+2d + q
=5，
解得d =1，q = 2或d = 3，q = 0(舍去)，
則{bn}的通項(xiàng)公式為bn
(2)b =1，T = 21，
=
2
n-1
，n?N *；
1
3
可得1+q+ q
解得q = 4或-5 ，
當(dāng)q = 4時，b = 4，a = 2- 4 = -2 ，
2
= 21，
2
2


d = -2- (-1) = -1， S3 = -1- 2-3= -6；
當(dāng)q = -5時，b = -5，a = 2-(-5) = 7 ，
2
2
d = 7-(-1) = 8， S3 = -1+ 7 +15 = 21．
an
n
37．(2018?新課標(biāo)Ⅰ，文 17)已知數(shù)列{a }滿足a =1，na = 2(n +1)a ，設(shè)b =
．
n
1
n+1
n
n
(1)求b ，b ，b ；
1
2
3
(2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明文由；
(3)求{an}的通項(xiàng)公式．
【解析】(1)數(shù)列{a }滿足a =1，na = 2(n +1)an ，
n
1
n+1
an+1
n +1
an
則：
= 2 (常數(shù))，
n
an
n
由于bn =
，
bn+1
bn
故：
= 2，
數(shù)列{b }是以b 為首項(xiàng)，2 為公比的等比數(shù)列．
n
1
整文得：bn =b g2n 1
-
=
2
n-1
，
1
所以：b =1，b = 2，b = 4．
1
2
3
(2)數(shù)列{bn}是為等比數(shù)列，
bn+1
bn
由于
= 2(常數(shù))；
(3)由(1)得：bn
=
2
n-1
，
an
n
根據(jù)bn =
，
所以：an = ng2n 1
．
-
38．(2018?新課標(biāo)Ⅲ，理文 17)等比數(shù)列{a }中， a =1，a = 4a ．
n
1
5
3
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記 S 為{a }的前n 項(xiàng)和．若 S = 63，求m ．
n
n
m
【解析】(1)Q等比數(shù)列{a }中，a =1，a = 4a ．
n
1
5
3
\1′q
4
= 4′(1′q ) ，
2


解得q = ±2，
當(dāng)q = 2時， an
=
2
n-1
，
當(dāng)q = -2時， an =(-2)n 1
，
-
\{a }的通項(xiàng)公式為，a = 2n-1 ，或an =(-2)n-1
．
n
n
(2)記 S 為{a }的前n 項(xiàng)和．
n
n
a1(1- q
1- q
n
) 1-(-2)
n
1-(-2)
n
當(dāng)a =1，q = -2時， S =
=
=
，
1
n
1-(-2)
3
1-(-2)
m
由S = 63，得 S =
= 63，m?N ，無解；
m
m
3
a1(1- q
1- q
n
) 1- 2
n
當(dāng)a =1，q = 2時， S =
=
= 2 -1，
n
1
n
1- 2
由S = 63，得 S = 2
m
-1=63，m?N ，
m
m
解得m = 6．
{ }
=
+
39．(2014 新課標(biāo)Ⅱ，理 17)已知數(shù)列 a 滿足a =1，a
3a 1．
n
1
n+1
n
{
n
1}
2
(Ⅰ)證明 a +
是等比數(shù)列，并求 a 的通項(xiàng)公式；
{ }
n
1
1
1
3
(Ⅱ)證明：
+
+…+ < ．
a1 a2
an
2
1
2
a +
1
1
n+1
【解析】(Ⅰ)∵a = 3a +1，∴a + = 3(a + )，即：
= 3
n+1
n
n+1
n
1
2
2
(a + )
n
2
1 3
1
3
又a + = ，∴{a + }是以 為首項(xiàng)，3 為公比的等比數(shù)列．
1
n
2 2
2
2
3
n
-1
1 3
+ = ×
n-1
3
，即an =
∴an
2 2
2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知an = -1，∴
3
n
1
2
1
n-1
=
￡
(n?N*)
2
n
-
an 3 1 3
1
1-( )
n
1
1
1
1 1
∴ + +×××+ ￡1+ + +×××+
a a an
3 3
1
3
1
3
2
3
=
= [1- ( ) ]
0得D = 4a
2
= (1+ a)(3+ aq
2
2
2
+4a > 0，故方程(*)有兩個不同的實(shí)根
1
由{an}唯一，知方程(*)必有一根為 0，代入(*)得a
=
.
3
42．(2013 湖北)已知 S 是等比數(shù)列{a }的前n 項(xiàng)和，S ，S ，S 成等差數(shù)列，
n
n
4
2
3
且a2 a3 a4 = -18 ．
+
+
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)是否存在正整數(shù)n ，使得Sn 2013？若存在，求出符合條件的所有n 的集合；
3
若不存在，說明理由．
【解析】(Ⅰ)設(shè)數(shù)列{a }的公比為q，則a 1 0，q 1 0． 由題意得
n
1
ì S - S = S - S ,
ì? -a q
2
-a1q
?a q(1+q+ q
?
1
3
= a1q
2
,
ìa1 = 3,
解得í
2
4
3
2
í
1
í
即
a + a + a = -18,
2
) = -18,
?q = -2.
?
2
3
4
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an =3(-2)n 1
．
-
3×[1-(-2) ]
1-(-2)
n
(Ⅱ)由(Ⅰ)有 Sn =
=1-(-2)
3 2013，即(-2)
>0， 上式不成立；
= -2 ￡ -2012，即2 3 2012 ，則n 311．
n
．
若存在n ，使得 Sn 3 2013，則1-(-2)
n
n
￡ -2012.
當(dāng)n 為偶數(shù)時，(-2)
當(dāng)n 為奇數(shù)時，(-2)
n
n
n
n
綜上，存在符合條件的正整數(shù)n ，且所有這樣的 n 的集合為{nn = 2k +1, k?N, k 35}．
考點(diǎn) 60 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題
q
{a +b }
是公比為 的等比數(shù)列，已知 的前 項(xiàng)和
n n
n
{a }
d
是公差為 的等差數(shù)列，
{b }
1．(2020 江蘇 11)設(shè)
n
n


Sn = n
2
-n + 2
n
-1(n?N
*
)，則d +q的值是________．
【答案】3
【解析】∵
{a +b }
n
的前 項(xiàng)和
S = n
n
2
-n + 2
n
-1(n?N
)，
*
n
n
當(dāng)n =1時，a +b =1
；
1
1
當(dāng)n 32時，a +b =
Sn
-
Sn-1 2n 2 2n 1
=
- +
-
，∴
a +b = 4
，從而有
d +q = (a +b )-(a +b ) = 3
．
n
n
2
2
2
2
1
1
2．(2016 課標(biāo)卷 1，理15)設(shè)等比數(shù)列滿足 a +a =10，a +a =5，則 a a …a 的最大值為
．
1
3
2
4
1 2
n
【答案】64
1
1
2
2
【解析】由 5=a +a = q(a +a ) =10q，解得q= ，所以
a + a
( ) =10
，解得a =8，所以數(shù)列{a }
2
4
1
3
1
1
1
n
2
n(n-1)
n2 -n
7n-n2
1
是遞減數(shù)列，因?yàn)?br /> a = a q
= ，所以a a ?a = a
1
n
1
gq1+2+3+?+(n-1) = 8
n
g( )
2
= 23n-
2
= 2
2
，當(dāng)n = 3或 4
3
4
1
1
2
n
2
12
2
時，表達(dá)式取得最大值：2
= 2 = 64．
6
3．(2013 重慶)已知{ }是等差數(shù)列，
a =1
1
，公差d 1 0 ，S 為其前 項(xiàng)和，若
a ,a ,a
1 2 5
成等比數(shù)列，則
a
n
n
n
S8 = _____ ．
【答案】64
8′7
【解析】由a =1且a ,a ,a 成等比數(shù)列，得
a (a +4d) = (a +d)2 ，解得d = 2，故S =8a +
d = 64．
1
1
2
5
1
1
1
8
1
2
4．(2011 江蘇)設(shè)1￡ a ￡ a ￡L￡ a ，其中 a ,a ,a ,a 成公比為 q 的等比數(shù)列， a ,a ,a 成公差為 1
1
2
7
1
3
5
7
2
4
6
的等差數(shù)列，則q的最小值是________．
3
3
【答案】
【解析】設(shè)a2 =t ，則1≤t ≤q≤t +1≤q
2
≤t +2 ≤q3 ，由于t≥1，所以q≥max{t, t +1, t +2}，
3
故q的最小值是
3
3
．
5．(2017?新課標(biāo)Ⅰ，文 17)記 S 為等比數(shù)列{a }的前 n 項(xiàng)和．已知 S = 2 ， S = -6．
n
n
2
3
(1 )求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)求 S ，并判斷 S ， S ， S 是否成等差數(shù)列．
n
n+1
n
n+2
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{a }首項(xiàng)為a ，公比為q，
n
1
a3
q2
-8
a3
q
-8
則a = S - S = -6- 2 = -8，則a =
=
，a2 =
=
，
3
3
2
1
q2
q


-8 -8
由a + a = 2 ，
+
= 2 ，整理得：q
2
+4q+4=0，解得：q = -2，
1
2
q2
q
則a1 = -2 ，an =(-2)(-2)n 1 ( 2)
，
-
= -
n
\{a }的通項(xiàng)公 式a =(-2)
n
；
n
n
a (1- q
1- q
n
) -2[1-(-2)
n
]
[2 ( 2)n 1]，
= -1 + -
(2)由(1)可知： Sn
=
1
=
+
1-(-2)
3
= -1 + - n+2 ， Sn+2 = - [2+ (-2)n+3]，
[2 ( 2)
]
1
則Sn+1
3
3
= -1 + -
[2 ( 2)n+
]- [2 ( 2)n+
1
+ -
]，
由Sn+1 + Sn+2
2
3
3
3
1
= - [4+ (-2)′(-2)n+1 + (-2)
2
′(-2)n+1]，
3
1
1
= - [4+ 2(-2)n+1]= 2′[- (2+ (-2)n+1)]，
3
3
= 2Sn ，
即Sn+1 + Sn+2 = 2Sn ，
\S ，S ， S 成等差數(shù)列．
n+1
n
n+2
6．(2019?新課標(biāo)Ⅱ，理 19)已知數(shù)列{a }和{b }滿足a =1，b = 0，4a = 3a -b + 4 ，4b = 3b - a - 4 ．
n
n
1
1
n+1
n
n
n+1
n
n
(1)證明：{a +b }是等比數(shù)列，{a -b }是等差數(shù)列；
n
n
n
n
(2)求{a }和{b }的通項(xiàng)公式．
n
n
【解析】(1)證明：Q4an+1 = 3a -b + 4，4b = 3b - a - 4 ；
n
n
n+1
n
n
\4(an+1 +b ) = 2(a +b )，4(a -b ) = 4(a -b ) +8；
n+1
n
n
n+1
n+1
n
n
1
即an+1 +bn+1 = (a +b ) ，a -bn+1 = a -b + 2 ；
n
n
n+1
n
n
2
又a + b =1，a -b =1，
1
1
1
1
1
\{a +b }是首項(xiàng)為 1，公比為 的等比數(shù)列，
n
n
2
{a -b }是首項(xiàng)為 1，公差為 2 的等差數(shù)列；
n
n
1
(2)由(1)可得：a +b = ( )n-1
，
n
n
2
a -b =1+ 2(n -1) = 2n -1；
n
n
1
1
1
2
1
\a = ( )
n
+ n - ，b = ( )
n
- n + ．
n
n
2
2
2
7．(2019?新課標(biāo)Ⅱ，文 18)已知{a }的各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a = 2，a = 2a +16 ．
n
1
3
2


(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)b = log a ，求數(shù)列{b }的前n 項(xiàng)和．
n
2
n
n
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
由a = 2，a = 2a +16 ，得2q = 4q+16，
2
1
3
2
即q
2
-2q-8=0，解得q = -2(舍)或q = 4．
\ a = a qn-1 = 2′4n-1 = 22n-1
；
n
1
(2)bn log2 an =log2 22n 1 2n-1，
=
-
=
Qb =1，b -b = 2(n +1) -1- 2n +1= 2，
1
n+1
n
\數(shù)列{bn}是以 1 為首項(xiàng)，以 2 為公差的等差數(shù)列，
n(n -1)′2
則數(shù)列{b }的前n 項(xiàng)和T = n′1+
= n ．
2
n
n
2
1
8．(2016?新課標(biāo)Ⅰ，文 17)已知{a }是公差為 3 的等差數(shù)列，數(shù)列{b }滿足b =1，b = ，a b +b = nbn ．
n
n
1
2
n
n+1
n+1
3
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)求{bn}的前n 項(xiàng)和．
【解析】(Ⅰ)Qa b +b = nbn ．
n
n+1
n+1
當(dāng)n =1時，a b +b = b ．
1
2
2
1
1
Qb =1，b = ，
1
2
3
\a1 = 2 ，
又Q{an}是公差為 3 的等差數(shù)列，
\an = 3n -1，
(Ⅱ)由(I)知：(3n -1)bn+1 +bn+1 = nbn ．
即3bn+1 = bn ．
1
即數(shù)列{b }是以 1 為首項(xiàng)，以 為公比的等比數(shù)列，
n
3
1
1-( )
n
\{b }的前 n 項(xiàng)和 S =
= (1-3-n ) = 3 -
3
1
．
3
n
n
1
2
2 2g3n-1
1-
3
1
1
9．(2011 課標(biāo)，文 17)已知等比數(shù)列{a }中，a = ，公比q= ．
n
1
3
3


1-a
(Ⅰ) S 為{a }的前n項(xiàng)和，證明： S =
n ；
n
n
n
2
(Ⅱ)設(shè)b =log a +log a +L+log a ，求數(shù)列{b }的通項(xiàng)公式．
n
3
1
3
2
3
n
n
1 1
a = ′
1
n-1
=
【解析】(Ⅰ)因?yàn)?br /> ( )
3 3
.
n
n
3
1
1
1
(1- ) 1-
n
1-an
3
3
n
3
Sn =
=
=
1
2
2
1-
3
n(n +1)
(Ⅱ)b = log a + log a +L+ log a = -(1+ 2+L+ n)
= -
n
3
1
3
2
3
n
2
n(n +1)
所以{bn}的通項(xiàng)公式為
b = -
n
.
2
{a }
n
S
?
*
{b } n
是等比數(shù)列，公比大于 0，其前 項(xiàng)
n
10．(2018 天津)設(shè)
是等差數(shù)列，其前 項(xiàng)和為 (n N )；
n
n
和為T
?
*
b =1 b = b +2 b = a +a
(n N )．已知
， ， ，
1 3 2 4 3 5
n
b = a + 2a
．
；
5
4
6
S
和T
n
(1)求
n
S +(T +T +×××+T ) = a +4b
n
n
，求正整數(shù) 的值．
(2)若
n
1
2
n
n
【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列{b }的公比為q，由b =1，b = b +2，可得
2
q -q -2 = 0．
n
1
3
2
1-2
-
n
因?yàn)閝 > 0，可得q = 2，故bn
=
2
n 1
- ．所以Tn =
= 2 -1．
n
1 2
設(shè)等差數(shù)列{a }的公差為d ．由b = a +a ，可得a +3d = 4．
n
4
3
5
1
由b = a + 2a ，可得3a +13d =16, 從而a =1,d =1，
5
4
6
1
1
n(n+1)
故a = n ，所以 S =
．
n
n
2
T +T +L+ =
T
(2
1
+ +L+
2
3
2
n
)-n = 2n 1 n 2.
+
- -
(2)由(1)，知
1
2
n
n(n+1)
由S +(T +T +L+T ) = a +4b 可得
+
2
+
n 1 -n-2 = n+2n+1 ，
n
1
2
n
n
n
2
整理得n
-3n-4 = 0，解得n = -1(舍)，或n = 4．所以n的值為 4．
2
11．(2015 四川)設(shè)數(shù)列{a }的前n項(xiàng)和 S = 2a -a ，且a ,a +1,a 成等差數(shù)列
n
n
n
1
1
2
3


(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
1
1
(2)記數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和T ，求得|T -1|
0 ．所以
n
n
? a
2
+b
2
< (a +b )
2
，
n
n
n
n
2
n
n
an +b
n
從而1
< a =
?
2
(*)
n+1
a
2
+b
2
n
n


設(shè)等比數(shù)列{a }的公比為q，由a > 0,知q > 0,下證q =1．
n
n
a2
q
2
若q >1，則
a =
< a2 ? 2 ．故當(dāng)n > logq
，a = a q
n
> 2 ，與(*)矛盾；
1．故當(dāng)n > logq ，a = a q
n
n+1
1
a1
綜上：q =1故a = a ，所以1< a ? 2 ．
n
1
1
bn
an
2
2
又
則
b =
2
×
=
×b ，所以{b }是以公比為
的等比數(shù)列，若a1 1 2，
n+1
n
n
a1
a1
a1 ± a
2
1
2-a
2
2
a1 +b
>1，于是b

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