?
專題 26 橢
十年大數(shù)據(jù)*全景展示
考 點(diǎn) 考 查 內(nèi) 容
圓
年 份
題 號(hào)
理 14
橢圓方程
橢圓的幾何性質(zhì)
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
2011
2012
文 4
文理 4
理 10
橢圓離心率的計(jì)算
橢圓離心率的計(jì)算
橢圓的幾何性質(zhì)
橢圓方程
直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法
卷1
橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程
及其幾何性質(zhì)
文理 20
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系
2013
理 20
文 5
直線與橢圓位置關(guān)系 橢圓的方程求法，直線與橢圓位置關(guān)系，橢圓最值問(wèn)題的解法
橢圓定義、幾何性質(zhì) 橢圓的定義，橢圓離心率的求法
卷2
卷1
卷2
卷1
理 20
理 20
理 14
理 20
文 20
理 20
理 20
文 21
理 20
文 12
橢圓方程及幾何性質(zhì) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系
橢圓方程及幾何性質(zhì) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與橢圓位置關(guān)系
2014
2015
圓與橢圓
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，過(guò)三點(diǎn)圓的方程的求法
直線和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的存在型問(wèn)題的解法
橢圓方程求法，直線和橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定值問(wèn)題的解法
橢圓定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與圓、橢圓的位置關(guān)系
橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系
直線與橢圓
直線與橢圓
圓、直線與橢圓
直線與橢圓
直線與橢圓
直線與橢圓
直線與橢圓
直線與圓，橢圓的幾
何性質(zhì)
卷2
卷1
卷2
2016
2017
橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系
橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的定點(diǎn)問(wèn)題
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
卷1
卷3 文11 理 10
直線與圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)
理 19
直線與橢圓
橢圓
橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系
橢圓的幾何性質(zhì)
2018 卷1
文 4
卷1 理10文12 橢圓
理 8 文 9 橢圓與拋物線
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法
拋物線與橢圓的幾何性質(zhì)
卷2
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的
最值問(wèn)題的解法
2019
2020
理 21
橢圓
文 20
橢圓
橢圓
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
卷3
文理 15
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)
卷1 理20文21 橢圓
卷2 理 19 橢圓、拋物線
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，橢圓定點(diǎn)問(wèn)題
橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義


文 19
橢圓、拋物線
橢圓、拋物線方程的求法，橢圓離心率的求法，拋物線的定義
橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓方程的求法
卷3 理20文21 橢圓
大數(shù)據(jù)分析*預(yù)測(cè)高考
出現(xiàn)頻率
考點(diǎn)
2021 年預(yù)測(cè)
考點(diǎn) 89 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 37 次考 7 次
考點(diǎn) 90 橢圓的幾何性質(zhì)
命題角度：(1)橢圓的定義及應(yīng)用；(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
37 次考 32 次 (3)橢圓的幾何性質(zhì)；(4)直線與橢圓的位置關(guān)系．
考點(diǎn) 91 直線與橢圓的位置關(guān)系 37 次考 35 次 核心素養(yǎng)：直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
十年試題分類*探求規(guī)律
考點(diǎn) 89 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
F(-1, 0)，F(xiàn)(1, 0)
1．(2019 全國(guó)Ⅰ文 12)已知橢圓 C 的焦點(diǎn)為
，過(guò) F2 的直線與 C 交于 A，B 兩點(diǎn)．若
1
2
| AF |= 2| F B| | AB|=| BF |
，
，則 C 的方程為
1
2
2
x
2
x
2
y
2
+ y
2
2
=1
+
=1
=1
A．
C．
B．
D．
2
3
2
x
2
y
x
2
y
2
+
=1
+
4
3
5
4
【答案】B
【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)
F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
，則
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由橢圓的定義有
．
1
2
1
2
4n
2
+9n
2
-9n
2
1
3
在△AF1B 中，由余弦定理推論得cosDF1AB =
=
．
2 2n 3n
× ×
1
3
在△AFF 中，由余弦定理得
4n
2
+4n
2
-2×2n×2n× = 4
，解得n
=
．
1
2
3
2
x
2
y
2
\2a = 4n = 2 3 ,\a = 3 ,\b
2
= a
2
-c
2
= 3-1= 2,\所求橢圓方程為
+
=1，故選 B．
3
2


F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
法二：由已知可設(shè)
，則
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由橢圓的定義有
．
1
2
1
2
ì
2
+4-2×2n×2×cos AF F 4n
D
=
2
4n
在△AFF 和
△BF1F
中，由余弦定理得
í
2
1
，
1
2
2
n +4-2×n×2×cos BF F 9n
2
D
=
2
?
2 1
DAF F ,DBF F
\cosDAF F +cosDBF F = 0
cosDAF F ,cosDBF F
，兩式消去 ，得
2 1 2 1
又
互補(bǔ)，
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3n
2
+6 =11n2 ，解得n =
． 2a 4n 2 3 ,\a = 3 ,\b = - = - = \
\
=
=
2
a
2
c
2
3 1 2, 所求橢圓方程為
2
x
2
y
2
+
=1，故選 B．
3
2
x2 y2
2．(2018 高考上海 13)設(shè) P 是橢圓
+
=1 上的動(dòng)點(diǎn)，則 P 到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為(
)
5
3
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．4 2
【答案】C
【解析】由橢圓的定義可知橢圓上任意點(diǎn) P 到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為2a = 2 5 ，故選 C．
【考點(diǎn)分析】橢圓的定義，考查考生的識(shí)記及基本運(yùn)算能力．
1
F(1, 0)
3．(2013 廣東文)已知中心在原點(diǎn)的橢圓 C 的右焦點(diǎn)為
，離心率等于 ，則 C 的方程是
2
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
A．
+
=1
B．
+
=1
C．
+
=1
D．
+
=1
3
4
4
3
4
2
4
3
【答案】D【解析】∵c =1,a = 2,b = 3
，故選 D．
x
2
y
2
4．(2015 新課標(biāo) 1 理)一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓
為_(kāi)________．
+
=1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在 x的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
16 4


3
25
4
(x- )
2
+ y
2
=
【解析】 由題意圓過(guò)(4, 0), (0, 2), (0,-2)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓心為(a,0)，其中a >0，
【答案】
2
3
2
3
25
4
由4-a = a
2
+4 ，解得a
，所以圓的方程為(x- )
2
+ y
2
=
．
=
2
x
2
y
2
2
5．【2019 年高考江蘇卷】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 C： +
=1(a > b > 0) 的焦點(diǎn)為 F1(–1、
a
2
b
(x-1)
2
+ y = 4a2 交于點(diǎn) A，與橢圓 C 交
2
0)，F(xiàn) (1，0)．過(guò) F 作 x 軸的垂線 l，在 x 軸的上方，l 與圓 F ：
2
2
2
于點(diǎn) D．連結(jié) AF 并延長(zhǎng)交圓 F 于點(diǎn) B，連結(jié) BF 交橢圓 C 于點(diǎn) E，連結(jié) DF ．
1
2
2
1
5
已知 DF = ．
1
2
(1)求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求點(diǎn) E 的坐標(biāo)．
x
2
y
2
3
+
=1；(2) E(-1,- )
．
【答案】(1)
4
3
2
【解析】(1)設(shè)橢圓 C 的焦距為 2c．
因?yàn)?F (?1，0)，F(xiàn) (1，0)，所以 F F =2，c=1．
1
2
1 2
5
5
3
1
2
2
DF
2
1
-F1F
2
2
= ( )
2
-2 = ，
2
又因?yàn)?DF = ，AF ⊥x 軸，所以 DF =
2
2
2
因此 2a=DF +DF =4，從而 a=2．
1
2
由 b2=a2?c2，得 b2=3．
x
2
y
2
+
=1．
因此，橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為
4
3
x
2
y
2
+
=1，a=2，
(2)解法一：由(1)知，橢圓 C：
4
3
因?yàn)?AF2⊥x 軸，所以點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 1．


將 x=1 代入圓 F2 的方程(x?1)2+y2=16，解得 y=±4．
因?yàn)辄c(diǎn) A 在 x 軸上方，所以 A(1，4)．
又 F (?1，0)，所以直線 AF ：y=2x+2．
1
1
ìy = 2x+ 2
11
5
由
將
x =1或 x = -
，解得
．
í
，得5x
2
+6x-11= 0
?(x-1)
2
+ y =16
2
11
5
12
x = -
y 2x 2
=
+
y = -
代入
，得
，
5
11 12
B(- ,- )
因此
．
5
5
3
y = (x-1)
又 F (1，0)，所以直線 BF ：
．
2
2
4
ì
3
y = (x-1)
?
?
4
13
í
，得7x
2
-6x-13= 0
由
x = -1或 x =
，解得
．
x
2
y
2
7
?
+
=1
?
? 4
3
又因?yàn)?E 是線段 BF2 與橢圓的交點(diǎn)，所以
x = -1．
3
4
3
2
x = -1代入
y
=
(x-1)
，得
y = -
．
將
3
E(-1,- )
因此
．
2
x
2
y
2
+
=1．
解法二：由(1)知，橢圓 C：
如圖，連結(jié) EF1．
4
3
因?yàn)?BF =2a，EF +EF =2a，所以 EF =EB，
2
1
2
1
從而∠BF1E=∠B．
因?yàn)?F A=F B，所以∠A=∠B，
2
2
所以∠A=∠BF E，從而 EF ∥F A．
1
1
2


因?yàn)?AF ⊥x 軸，所以 EF ⊥x 軸．
2
1
ìx = -1
?
3
2
y = ±
因?yàn)?F (?1，0)，由 x
í
2
y
2
，得
．
1
+
=1
?
? 4
3
3
2
y = -
又因?yàn)?E 是線段 BF2 與橢圓的交點(diǎn)，所以
．
3
E(-1,- )
因此
．
2
【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置
關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、分析問(wèn)題能力和運(yùn)算求解能力．
考點(diǎn) 90 橢圓的幾何性質(zhì)
6．【2019 年高考全國(guó)Ⅰ理】已知橢圓 C 的焦點(diǎn)為 F(-1, 0)，F(xiàn)(1, 0)，過(guò) F 的直線與 C 交于 A，B 兩點(diǎn)．若
2
1
2
| AF |= 2| F B|，| AB|=| BF |，則 C 的方程為
2
2
1
x
2
x
2
2
y
2
+ y
2
2
=1
B．
D．
+
+
=1
=1
A．
C．
2
3
2
x
2
y
x
y
2
+
=1
4
3
5
4
【答案】B
【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)
F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
，則
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由橢圓的定義有
．
1
2
1
2
4n
2
+9n
2
-9n
2
1
3
在△AF1B 中，由余弦定理推論得cosDF1AB =
=
．
2 2n 3n
× ×
1
3
在△AFF 中，由余弦定理得
4n
2
+4n -2×2n×2n× = 4，解得n =
2
．
1
2
3
2


x
2
y
2
\2a = 4n = 2 3 ,\a = 3 ,\b
2
= a
2
-c
2
= 3-1= 2,\所求橢圓方程為
+
=1，故選 B．
3
2
F2B = n
AF = 2n, BF = AB =3n
，
2 1
法二：由已知可設(shè)
，則
2a = BF + BF =4n,\ AF =2a- AF =2n
由橢圓的定義有
．
1
2
1
2
ì
2
+4-2×2n×2×cos AF F 4n
D
=
2
4n
在△AFF 和
△BF1F
中，由余弦定理得
í
2
1
，
1
2
2
n +4-2×n×2×cos BF F 9n
2
D
=
2
?
2 1
DAF F ,DBF F
\cosDAF F +cosDBF F = 0
cosDAF F ,cosDBF F
，兩式消去 ，得
2 1 2 1
又
互補(bǔ)，
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3n
2
+6 =11n2 ，解得n =
． 2a 4n 2 3 ,\a =
\
=
=
3 ,\b = - = 3-1= 2,\所求橢圓方程為
2
a
2
c
2
2
x
2
y
2
+
=1，故選 B．
3
2
x
2
2
y
2
2
1
+
=1(a＞b＞0)的離心率為 ，則
7．【2019 年高考北京理】已知橢圓
a
b
2
A．a(chǎn)2=2b2
C．a(chǎn)=2b
B．3a2=4b2
D．3a=4b
【答案】B
c 1
e = = ,c
2
= a
2
-b
2
= 4b
【解析】橢圓的離心率
，化簡(jiǎn)得3a
2
2
，
a 2
故選 B．
x
2
2
y
2
8．【2018·全國(guó)Ⅰ文】已知橢圓C：
+
=1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2，0)
C
，則 的離心率為
a
4
1
1
A．
B．
3
2


2
2 2
3
C．
D．
2
【答案】C
c = 2
= 4
= b
+ c
= 8
a = 2 2
C
，所以橢圓 的離心率
【解析】由題可得
，因?yàn)?br /> b
2
，所以
a
2
2
2
，即
2
2
e =
=
，故選 C．
2 2
2
F F
C
P C
PF1 ^ PF
DPF F = 60°
，且 ，
2 1
9．【2018·全國(guó)Ⅱ文】已知 ， 是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)， 是 上的一點(diǎn)，若
1
2
2
C
則 的離心率為
3
A．1-
B．2- 3
D． 3 -1
2
3 -1
C．
2
【答案】D
【解析】在△F1PF
中，
DFPF = 90
o
,DPF F = 60°
，設(shè)
PF2 = m，則2c = FF = 2m, PF = 3m
，
2
1
2
2
1
1
2
1
c 2c
= =
2m
2a = PF + PF = ( 3 +1)m ，則e
=
=
3 -1
，故選 D．
又由橢圓定義可知
1
2
a 2a
( 3 +1)m
x
2
y
2
10．(2018 上海理)設(shè) P 是橢圓
+
=1上的動(dòng)點(diǎn)，則 P 到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為( )
5
3
A．2 2
B．2 3
C．2 5
D．4 2
【答案】C【解析】由題意a
2
= 5，a = 5 ．由橢圓的定義可知， P 到該橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為
2a = 2 5 ，故選 C．
x
2
y
2
+
=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若 C 上存在點(diǎn) M 滿足∠AMB=120°，
11．【2017·全國(guó)Ⅰ文】設(shè) A，B 是橢圓 C：
3
m
則 m 的取值范圍是
A．(0,1]U[9,+￥)
B．(0, 3]U[9,+￥)
D．(0, 3]U[4,+￥)
C．(0,1]U[4,+￥)


【答案】A
a
b
【解析】當(dāng)0< m< 3
x
時(shí)，焦點(diǎn)在 軸上，要使 上存在點(diǎn)
C
M
滿足DAMB =120
，則
3
tan 60o = 3
，
o
3
3
3 ，得0< m￡1；
即
m
a
m
當(dāng)m > 3
y
時(shí)，焦點(diǎn)在 軸上，要使 上存在點(diǎn)
C
M
滿足DAMB =120
，則
3
tan 60o
=
3
，即
3 3
，
o
b
3
得m39，故m
的取值范圍為
(0,1]U[9,+￥)
，故選 A．
x
2
y
2
+
=1的離心率是(
12．【2017·浙江卷】橢圓
)
9
4
13
5
A．
C．
B．
D．
3
3
2
3
5
9
【答案】B
x
2
y
2
9-4
5
+
=1的離心率e
=
=
【解析】橢圓
，故選 B．
9
4
3
3
1
13．(2015 新課標(biāo) 1 文)已知橢圓 E 的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為 ， E 的右焦點(diǎn)與拋物線C：
2
y =8x的
2
焦點(diǎn)重合， A、B 是C的準(zhǔn)線與 E 的兩個(gè)交點(diǎn)，則 AB =
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B【解析】∵拋物線C：
y
2
=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線l的方程為 x = -2 ①，設(shè)橢圓 E 的方
x
2
2
y
2
2
1
程為
+
=1(a > b > 0) ，所以橢圓 E 的半焦距c = 2，又橢圓的離心率為 ，所以a = 4,b = 2 3 ，橢
a
b
2
x
2
y
2
圓 E 的方程為
+
=1②，聯(lián)立①②，
16 12
解得 A(-2,3),B(-2,-3)或 A(-2,-3),B(-2,3)，所以| AB|= 6 ，故選 B．
x
2
y
2
14．(2015 廣東文)已知橢圓
+
=1(m >0)的左焦點(diǎn)為 F (-4, 0)，則m
2
1
=
25 m
A．2
B．3
C．4
D．9


【答案】B【解析】由題意得：m
2
= 25-4 = 9，因?yàn)閙 >0，所以m =3，故選 C．
2
x
2
15．(2014 福建文理)設(shè) P,Q 分別為
x
2
(
+ y -
2
= 和橢圓
6) 2
+ y =1上的點(diǎn)，則 P,Q 兩點(diǎn)間的最大距離
2
10
是
A．5 2
B． 46 + 2
C．7+ 2
D．6 2
【答案】D【解析】由題意可設(shè)Q( 10 cosa,sina) ，圓的圓心坐標(biāo)為C(0, 6) ，圓心到Q的距離為
2
2
|CQ|= ( 10 cosa)
2
+(sina -6)
2
= 50-9(sina + ) ≤ 50 = 5 2 ，當(dāng)且僅當(dāng)sina = - 時(shí)取等
2
3
3
號(hào)，所以| PQ| ≤|CQ| +r =5 2 + 2 =6 2 ，所以 P,Q 兩點(diǎn)間的最大距離是6 2 ．
max
max
x
2
y
2
3a
16．(2012 新課標(biāo)文理)設(shè) F 、F 是橢圓 E ：
+
=1(a > b > 0) 的左、右焦點(diǎn)，P 為直線 x =
上一
1
2
a2 b2
2
點(diǎn)，DF PF 是底角為
30o 的等腰三角形，則 E 的離心率為
2
1
1
2
2
3
3
4
4
5
A．
B．
C．
D．
3
c 3
T PF = F F = 2( a-c) = 2c ? e = =
，
【答案】C【解析】D F PF 是底角為
30
o
的等腰三角形
2
1
2
2 1
2
a 4
故選 C．
x
2
y
2
F，F(xiàn)
+
=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M 為 C 上一點(diǎn)且在第一象限．若△MF1F2
17．【2019·全國(guó)Ⅲ文】設(shè)
為橢圓 C：
2
1
36 20
為等腰三角形，則 M 的坐標(biāo)為_(kāi)__________．
( )
3, 15
【答案】
【解析】由已知可得a
2
= 36,b
2
= 20 ,\c
2
= a
2
-b
2
=16 ,\c = 4 ，
\ MF = FF = 2c =8
MF2 = 4
，∴
．
1
1 2
1
設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(
x , y x >0, y >0)，則 S
)(
= × FF × y = 4y
，
0
0
0
0
△MF1F2
1
2
0
0
2
1
又S
= ′4′ 8
2
-2
2
= 4 15 ,\4y0 = 4 15
，解得
y = 15
0
，
△MF1F2
2
2
( )
15
x
2
0
36
=
3( x0 = -3舍去)，\ M
( )
3, 15
的坐標(biāo)為 ．
x
0
= 1，解得
\
+
20


x
2
y
2
+
=1的左焦點(diǎn)為
F
，點(diǎn) 在橢圓上且在 軸的上方，若線段 PF 的
P
x
18．【2019·浙江卷】已知橢圓
9
5
O
中點(diǎn)在以原點(diǎn) 為圓心，
OF
為半徑的圓上，則直線 PF 的斜率是___________
．
【答案】 15
【解析】方法 1：如圖，設(shè) F1 為橢圓右焦點(diǎn)．由題意可知|OF|=|OM |=c=2，
PF1 = 2|OM |= 4
P(x, y) ，可得(x-2)
+ y =16
2
2
由中位線定理可得
，設(shè)
，
x
2
y
2
3
21
+
=1聯(lián)立，可解得 x = - ,x =
與方程
(舍)，
9
5
2
2
15
?
?
3 15
2
1
x
P?- ,
÷
=
= 15 ．
又點(diǎn) P 在橢圓上且在 軸的上方，求得
，所以kPF
?
÷
2 2
è
?
2
PF1 = 2|OM |= 4
，由中位線定理可得 ，即
方法 2：(焦半徑公式應(yīng)用)由題意可知|OF |=|OM |=c=2
15
2
?
?
3 15
3
2
a-ex = 4T x = - ，從而可求得 P?
-
,
=
= 15 ．
÷，所以k
?
÷
p
p
2 2
PF
1
è
?
2
x
2
2
y
2
2
19．(2012 江西文理)橢圓
+
=1(a > b > 0) 的左、右頂點(diǎn)分別是 A,B，左、右焦點(diǎn)分別是 F ,F ．若
1 2
a
b
| AF |,| FF |,| FB|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為_(kāi)________．
1
1
2
1
5
【答案】 【解析】由橢圓的性質(zhì)可知： AF = a-c，F(xiàn)F = 2c， FB = a+c．又已知 AF ， FF ，
1
1
2
1
1
1 2
5


F1B 成等比數(shù)列，故(a-c)(a+c) = (2c)2 ，即a
2
-c
2
= 4c2 ，
c
5
5
則a
2
= 5c2 ．故e = =
．即橢圓的離心率為
．
a
5
5
x
2
20．(2011 浙江文理)設(shè) F ,F 分別為橢圓
+ y
2
=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A,B在橢圓上，若 F A=5F B；則
1
2
1
2
3
點(diǎn) A的坐標(biāo)是
．
【答案】(0,±1)【解析】設(shè)點(diǎn) A的坐標(biāo)為(m,n)， B 點(diǎn)的坐標(biāo)為(c,d)．
F(- 2,0),F ( 2,0)，可得 F A=(m+ 2,n)， F B =(c- 2,d)，
1
2
1
2
(
m+6 2)
2
m+6 2
n
m
2
n
2
5
5
∵ F A=5F B，∴c
=
=
，又點(diǎn)
A,B
在橢圓上，∴
+ n
2
=1，
+( ) =1，
,d
1
2
5
5
3
3
解得m = 0,n = ±1，∴點(diǎn) A的坐標(biāo)是(0,±1)．
x
2
2
y
2
2
F ,F
+
=1(a >b > 0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)，P 為 C 上一點(diǎn)，O
21．【2019 年高考全國(guó)Ⅱ文】已知
是橢圓C :
2
1
a
b
為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若△POF
為等邊三角形，求 C 的離心率；
PF1 ^ PF2 ，且△F1PF
2
(2)如果存在點(diǎn) P，使得
的面積等于 16，求 b 的值和 a 的取值范圍．
2
【答案】(1) 3 1；(2)
-
b = 4，a 的取值范圍為[4 2,+￥)．
PF ，由△POF 為等邊三角形可知在△F1PF
DFPF = 90° PF =c PF = 3c
【解析】(1)連結(jié)
中，
，
，
，
1
2
2
1
2
2
1
c
2a = PF + PF = ( 3 +1)c
e = = 3 -1
，故 的離心率是 ．
C
于是
1
2
a
1
2
y
y
x
2
y
2
2
P(x, y)
| y |×2c =16，
×
= -1，
+
=1，
(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)
存在．當(dāng)且僅當(dāng)
x+c x-c
a
2
b
即c|y| =16，①
x
2
+ y
2
= c2 ，②
=1，③
x
2
2
y
2
+
a
b
2


b
c
4
2
16
2
2
2
= +
b
2
c
2 得
y
2
=
，又由①知
y
2
=
，故b = 4
．
由②③及a
c
2
a
c
2
2
(c2
-b2 ，所以c
)
= + 3
2b = 32, 故a 3 4 2．
由②③得
x
=
2
3 b2 ，從而a
2
b
2
c
2
2
當(dāng)b = 4
3 2 時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P，所以b = 4 a
，a 4
， 的取值范圍為
[4 2,+￥)．
x
2
2
y
2
2
22．(2015 安徽理)設(shè)橢圓 E 的方程為
+
1 a b 0
= ( > > )，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(a，0)，點(diǎn)
a
b
5
( )
=
B 的坐標(biāo)為 0，b ，點(diǎn) M 在線段 AB 上，滿足 BM 2 MA ，直線OM 的斜率為
．
10
(Ⅰ)求 E 的離心率e；
7
( - )
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 0， b ， N 為線段 AC 的中點(diǎn)，點(diǎn) N 關(guān)于直線 AB 的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，求 E 的
2
方程．
2 1
5
b
5
【解析】(1)由題設(shè)條件知，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為( a, b)，又k =
，從而
=
，進(jìn)而得
OM
3 3
10
2a 10
c 2 5
= 2b ，故e = =
．
a = 5b,c = a
2
-b
2
a
5
x
y
5
1
(2)由題設(shè)條件和(I)的計(jì)算結(jié)果可得，直線 AB 的方程為
+ =1，點(diǎn) N 的坐標(biāo)為(
5b b
b,- b)，設(shè)點(diǎn)
N
2
2
7
5
x1
2
1
7
關(guān)于直線 AB 的對(duì)稱點(diǎn) S 的坐標(biāo)為(x , )，則線段 NS的中點(diǎn)T 的坐標(biāo)為
(
b+ ,- b+ )．又點(diǎn)T 在
1
2
4
4
4
ì
5
x1
2
1
7
4
b +
5b
- b +
?
4
4
?
+
=1
?
b
?
直線 AB 上，且k ×k = -1，從而有í
，解得b =3，所以b = 3 5，
7 1
NS
AB
+
b
?
2 2
?
= 5
?
5b
x1 -
?
?
2
x
2
y
2
故橢圓 E 的方程為
+
=1．
45 9


x
2
y
2
23．(2013 安徽文理)如圖， F ,F 分別是橢圓C：
+
=1(a >b >0)的左、右焦點(diǎn)， A是橢圓C的頂
1
2
a2
b2
點(diǎn)， B 是直線 AF 與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)，DF A F =60°．
2
1
2
(Ⅰ)求橢圓C的離心率；
(Ⅱ)已知△ A F1B的面積為 40 3 ，求 a， b 的值．
c 1
【解析】(Ⅰ) F AF 60 ? a = 2c ? e = =
D
=
o
1
2
a 2
(Ⅱ)設(shè) BF = m；則 BF = 2a-m，在DBFF 中， BF
2
=
2
2
′ ′
+ F1F2 -2 BF2 FF cos120
1 2
o
BF2
2
1
1
2
1
3
? (2a-m)
2
= m
2
+a +am ? m = a，
2
5
1
1
3
3
DAFB 面積 S = ′ F F ′ AB ′sin 60
o
? ′a′(a+ a)′
= 40 3 ? a =10,c = 5,b = 5 3．
1
2 1
2
2
5
2
考點(diǎn) 91 直線與橢圓的位置關(guān)系
x
2
y
2
=1(a > b> 0)的左、右焦點(diǎn)，A是C 的左頂點(diǎn)，
24． 【2018 高考全國(guó) 2 理 12】已知F , F 是橢圓C :
+
1
2
a2
b2
3
點(diǎn) P在過(guò) A且斜率為
的直線上，△PFF 等腰三角形，DFF P =120
o
，則C 的離心率為
(
)
1
2
1
2
6
2
1
2
1
3
1
A．
B．
C．
D．
3
4
【答案】D
PF2 = 2c，再利用正弦定理得a , c
【解析】試題分析：先根據(jù)條件得
關(guān)系，即得離心率．
試題解析：因?yàn)椤鱌F1F
為等腰三角形，
DFF P =120° , PF = FF = 2c
，
2
1
2
2
1 2
3
3
1
12
13
由 AP 斜 率 為
得 ， tanDPAF2 =
,\sinDPAF2 =
,\cosDPAF2 =
， 由 正 弦 定 理 得
6
6
13


1
1
PF2 sinDPAF2
AF2 sinDAPF2
2c
a+c
2
1
4
13
13
=
,\
=
=
= ,\a = 4c ,\e =
，故選 D．
? p
è 3
?
?
3
12 1 1
5
sin? -DPAF2 ÷
×
- ×
2
13 2 13
=1(a > b > 0) 的左、右頂點(diǎn)分別為 A ，A ，且以線段 A A
2
25．(2017 新課標(biāo)Ⅲ文理)已知橢圓C：x
2
2
+
y
2
1
2
1
a
b
2
為直徑的圓與直線bx-ay +2ab = 0相切，則C的離心率為(
)
6
3
2
1
3
A．
B．
C．
D．
3
3
3
【答案】A【解析】以線段 A A 為直徑的圓是
x
2
+ y = a2 ，直線bx-ay +2ab = 0與圓相切，所以圓心到
2
1
2
2ab
c
2
2
2
3
(
)
T 2a
直線的距離d =
= a，整理為a
2
= 3b2 ，即a
2
= 3 a
2
-c
2
2
= 3c2 ，即
=
，
+b
2
a
a
2
c
6
e = =
，故選 A．
a
3
1
4
26．【2016·新課標(biāo) 1 文數(shù)】直線 l 經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到 l 的距離為其短軸長(zhǎng)的 ，
則該橢圓的離心率為(
)
(A)1
(B)1
(C)
2
3
(D)
3
4
3
2
【答案】B
1
1
【解析】如圖，在橢圓中，OF = c,OB = b,OD = ′2b = b，
4
2
在Rt△OFB中，|OF |′|OB|=| BF |′|OD|，且a
2
= b
2
+c2 ，代入解得
1
a
2
= 4c2 ，所以橢圓的離心率為e = ，故選 B．
2


x
2
2
y
2
2
27．(2016 年全國(guó) III 文理)已知 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) 是橢圓 C：
+
=1(a > b > 0) 的左焦點(diǎn)，A，B 分別
a
b
為 C 的左，右頂點(diǎn)．P 為 C 上一點(diǎn)，且 PF⊥x 軸．過(guò)點(diǎn) A 的直線 l 與線段 PF 交于點(diǎn) M，與 y 軸交于點(diǎn) E．若
直線 BM 經(jīng)過(guò) OE 的中點(diǎn)，則 C 的離心率為
1
3
1
2
2
3
3
4
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由題意設(shè)直線l的方程為 y = k(x+a)，分別令 x = -c與 x =0得| FM |=|k|(a-c)，|OE |=|k|a ，
1
|OE |
|OB|
| k | a
2| k |(a -c) a +c
a
c 1
2
設(shè) OE 的中點(diǎn)為 H，由△OBH∽△FBM ，得
=
，即
=
，整理得
=
，
| FM | | BF |
a 3
1
所以橢圓離心率為e = ，故選 A．
3
x
2
y
2
b
28．(2016 江蘇理)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，F(xiàn) 是橢圓
+
= ( > > )的右焦點(diǎn)，直線 = 與
1 a b 0
y
a
2
b
2
2
橢圓交于 B,C 兩點(diǎn)，且DBFC = 90°，則該橢圓的離心率是
．
?
?
?
?
6
b
3a b
3a b
( )
=
與橢圓方程聯(lián)立可得 B?-
【答案】
【解析】由題意得 F c,0 ，直線 y
, ÷，C? , ÷ ，由
?
÷
?
÷
3
2
2 2
2
2
è
?
è
?
uuur ?
?
uuur ?
?
b
3a
b
3a
3
1
2
4
DBFC = 90°可得 BF ×CF = 0 ， BF = ?c +
,- ÷，CF = ?c -
,- ÷，則c
2
- a
2
+ b
= 0 ，由
?
÷
?
÷
2
2
2
2
4
è
?
è
?
3
1
2
2
b
2
= a
2
- c
2
可得 c
2
= a
，
4
c
2
3
6
則e = =
=
．
a
3
x
2
2
y
2
2
29．(2015 福建文)已知橢圓 E :
+
=1(a >b > 0) 的右焦點(diǎn)為 ．短軸的一個(gè)端點(diǎn)為
F
M
，直線
a
b
4
l :3x-4y = 0
E A,B
交橢圓 于
AF + BF = 4，點(diǎn)M
l
到直線 的距離不小于 ，則橢圓 的
E
兩點(diǎn)．若
5


離心率的取值范圍是
A．(0, 3]
(0, ]
3
C．[ ,1)
3
[ ,1)
D．
3
B．
2
4
2
4
【答案】A【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為 F ，半焦距為c，連結(jié) AF ，BF ，則四邊形 AF BF 為平行四邊形，
1
1
1
1
所以| AF | +| BF |=| AF | +| BF |= 4 ，根據(jù)橢圓定義，
1
1
有| AF | +| AF | +| BF | +| BF |= 4a ，所以8= 4a，解得a = 2．因?yàn)辄c(diǎn) M 到直線l：3x+4y = 0 的距離
1
1
4
4b
4
≥ ,b≥1，所以
2
b ≥1，
不小于 ，即
5
5
5
c
3
3]．
，所以橢圓的離心率的取值范圍為(0,
所以a
2
-c
2
≥1,4-c
2
≥1，解得0 < c≤ 3 ，所以0 < ≤
a
2
2
x
2
2
y
2
2
30．(2013 新課標(biāo) 1 文理)已知橢圓
+
=1(a > b > 0) 的右焦點(diǎn)為 F(3，0)，過(guò)點(diǎn) F 的直線交橢圓于 A．B
a
b
兩點(diǎn)．若 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則 E 的方程為
x2 y2 x2 y2 x2 y2
x2 y2
D． ＋ ＝1
18 9
A． ＋ ＝1 B． ＋ ＝1 C． ＋ ＝1
45 36 36 27 27 18
【答案】D【解析】設(shè) A(x , y ),B(x , y ) ，則 x + x =2， y + y =－2，
1
1
2
2
1
2
1
2
x
2
2
y
2
2
x
2
2
2
y
2
2
2
1
+
1
=1
+
=1
①
②
a
b
a
b
(x + x )(x - x ) (y + y )(y - y )
y1 - y2
AB x1 - x2
2
2
(x + x ) b
2
2
b
a
1
2
1
2
+
1
2
1
2
= 0 ，∴k
=-
1
2
①－②得
=
=
，又
a
2
b
2
(y + y ) a
1 2
0+1 1
AB 3-1 2
2
1
2
2
b
x
y
k =
= ，∴
= ，又 9=
c
2
=a
2
-b
2
，解得b
2
=9，a
=18，∴橢圓方程為
2
+
=1，故選 D．
a2
2
18 9
x
2
y
2
31．【2020 年高考上海卷 10】已知橢圓C :
+
=1，直線l 經(jīng)過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F ，交橢圓C 于
P,Q
兩
4
3
點(diǎn)(點(diǎn) P在第二象限)，若Q關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)為Q'，且滿足 PQ ^ FQ'，則直線l 的方程為
【答案】 y = -x+1
．
￠
o
【解析】由條件可知 VFQQ 是等腰直角三角形，所以直線 l 的傾斜角是135 ，所以直線 l 的斜率是
= -1，且過(guò)點(diǎn) F 1,0 ，得到直線l的方程為 y
( )
= -( - )
x 1 ，即 y
= -x+1．故答案為：y = -x+1．
tan135
o


x
2
32．(2018 浙江理)已知點(diǎn) P(0,1)，橢圓
+ y = m(m>1)上兩點(diǎn) A， B 滿足 AP = 2PB，則當(dāng)m=___
2
4
時(shí)，點(diǎn) B 橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．
【答案】5
A(x , y ) B(x , y )
=
-x1 = 2x 1- y = 2(y -1)
-y = 2y -3
，所以 ，
1 2
【解析】設(shè)
，
，由 AP 2PB得
，
1
1
2
2
2
1
2
+(2y2 -3)
1
x1
2
x2
2
4x2
4
2
因?yàn)?A， B 在橢圓上，所以
+ y1
2
= m ，
+ y2
2
= m，所以
2
= m ，
4
4
+
x2
2
3
m
x2
4
2
3 m
+ (y - )
2
=
+ y2
= m
y =
2
x
，
2
2
= - (m
2
-10m+9) ￡ 4，
2
所以
，與
對(duì)應(yīng)相減得
2
4
2
4
4
4
當(dāng)且僅當(dāng)m =5時(shí)取最大值．
x
2
33．(2018 浙江文)已知點(diǎn) P(0,1)，橢圓
時(shí)，點(diǎn) B 橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大．
+ y = m( m>1)上兩點(diǎn) A， B 滿足 AP = 2PB ，則當(dāng)m=___
2
4
ì-x1 = 2x2
【答案】5【解析】設(shè) A(x , y )， B(x , y )，由 AP = 2PB，得í
，
1
1
2
2
- =
-
2
1 y 2(y 1)
?
1
ì
?
2
4x2
4
+(3- x2)
2
= m
?
1
3
即 x = -2x ， y = 3-2y ．因?yàn)辄c(diǎn) A， B 在橢圓上，所以í
，得 y = m+ ，所
2
1
2
1
2
x
2
2
4
4
4
?
+ y2
= m
2
?
?
1
5
9
1
x
2
2
= m-(3-2y2)
2
= - m
2
+ m- = - (m-5)
2
+4≤4 ，
以
4
2
4
4
所以當(dāng)m =5時(shí)，點(diǎn) B 橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，最大值為 2．
x
2
2
y
2
2
b
( )
=
34．(2015 浙江文)橢圓
+
=1(a >b >0)的右焦點(diǎn) F c,0 關(guān)于直線 y
x的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上，則
a
b
c
橢圓的離心率是
．
2
b
=
x的對(duì)稱點(diǎn) 在橢圓上，得
|OQ|=|OF |，又
Q
【答案】
【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為 F1 ，由 F 關(guān)于直線 y
2
c
|OF |=|OF | ，所以 FQ ^ QF ，不妨設(shè)|QF |= ck ，則|QF |= bk ，| FF |= ak ，因此2c = ak ，又
1
1
1
1
2c
2a
b+ c
c
a
2
2a =ck +bk，由以上二式可得
= k =
，即 =
，即a
2
= c
2
+bc ，所以b =c，e =
．
a
a b+c
2


1
x
2
2
y
2
2
35．(2014 江西文理)過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為- 的直線與橢圓C：
+
=1(a > b > 0) 相交于 A,B兩點(diǎn)，
2
a
b
若 M 是線段 AB 的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于
．
2
【答案】
【解析】設(shè) A(x , y )， B(x , y )，分別代入橢圓方程相減得
1 1 2 2
2
(x - x )(x + x ) (y - y )(y + y )
1
2
1
2
+
1
2
1
2
= 0，根據(jù)題意有 x + x = 2,y + y = 2
，
2
b
2
1
2
1
2
a
y1 - y
x1 - x2
1
2
2
1
2
= -
+
′(- ) = 0
a
2
= 2b
2
，整理a
2
= 2c ，所以e =
2
且
2
，所以
，得
．
2
a
2
b
2
2
2
x
2
y
2
36．(2014 遼寧文)已知橢圓C：
+
=1，點(diǎn) M 與C的焦點(diǎn)不重合，若M 關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別
9
4
為 A， B ，線段MN 的中點(diǎn)在C上，則| AN |+| BN |=
．
【答案】12【解析】設(shè) MN 交橢圓于點(diǎn) P ，連接 FP和 F P ，利用中位線定理可得 AN + BN =
1
2
2 FP +2 F P = 2′2a = 4a =12．
1
2
x
2
2
y
2
2
37．(2014 江西文)設(shè)橢圓C :
+
=1(a > b > 0)的左右焦點(diǎn)為 F，F(xiàn) ，作 F 作 x軸的垂線與C交于
1 2 2
a
b
A，B兩點(diǎn)， FB與 y 軸相交于點(diǎn) D，若 AD FB
^
，則橢圓C的離心率等于________．
1
1
3
b
2
b
2
【答案】
【解析】由題意可得 A(c, )， B(c,- ) ，由題意可知點(diǎn) D為 FB的中點(diǎn)，所以點(diǎn) D的坐
1
3
a
a
b
2
3
標(biāo)為(0,- ) ，由 AD^ FB，所以k ×k = -1，整理得
3b
2
= 2ac，解得e =
．
1
AD
F B
1
2a
3
y
2
2
F,F
E : x
2
+
=1(0 < b b > 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為
F1,F
，焦距為
2c
．若直線
2
a
b
y
3 x c
= ( + ) 與 橢 圓 G 的 一 個(gè) 交 點(diǎn) M 滿 足 DMFF = 2DMF F ， 則 該 橢 圓 的 離 心 率 等
1
2
2 1
于
．
【答案】 3 -1【解析】由題意可知，DMF1F
中，
DMFF =60°,DMF F =30°,DFMF =90°
，
2
1
2
2
1
1
2
ì
MF MF22 = F1F22 = (2c)2
2 +
?
1
c
e = = 3 -1
3 -1．
所以有 MF + MF = 2a
，整理得
，故答案為
í
1
2
a
?
?
MF2 = 3MF
1
x
2
y
2
15
4
40．【2020 年高考全國(guó)Ⅲ文 21 理數(shù) 20】已知橢圓C :
+
= ( < < )的離心率為
1 0 m 5
2
， A, B 分
25 m
別為C的左、右頂點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)若點(diǎn) P 在C上，點(diǎn)Q在直線 x =6上，且 BP = BQ , BP ^ BQ，求△ APQ的面積．
c
b
a
2
2
15
16
m
2
25
16
x
2
+16y2 =1．
【解析】解法一：(1)由e
=
，得e2
=1-
，即
=1-
，∴m
=
2
，故C 的方程為
a
25
25 25
5
(2)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(s,t) ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(6,n) ，根據(jù)對(duì)稱性，只需考慮n > 0的情形，此時(shí)-5 < s < 5，0 < t? ．
4
∵| BP|=| BQ|，∴有(s -5)
2
+t
2
= n +1 ①．
2
又∵ BP ^ BQ ，∴ s - 5 + nt = 0 ②．
s
2
+16t2 =1 ③．
又
25 25
ìs = 3
ìs = -3
?
?
聯(lián)立①、②、③，可得，ít =1 或ít =1 ．
?
?
n = 2
n = 8
?
?


ìs = 3
uuur uuur
uuur uuur
?
1
2
1
5
2
2
當(dāng)ít =1 時(shí)， AP = (8,1)， AQ = (11, 2) ，∴ S
=
AP × AQ -(AP× AQ)
2
= |8′2-11′1|= ．
△APQ
2
2
?
n = 2
?
ìs = -3
?
5
5
同理可得，當(dāng)ít =1 時(shí)， S
= ．綜上所述，可得△APQ 的面積為 ．
△APQ
2
2
?
n = 8
?
x2 y2
25 m2
解法二：(1)Q
根據(jù)離心率e
+
=

0) 的一個(gè)頂點(diǎn)為 F ，且
a
b
|OA|=|OF |
O
，其中 為原點(diǎn)．


(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)已知點(diǎn)C滿足3OC =OF ，點(diǎn) B 在橢圓上( B 異于橢圓的頂點(diǎn))，直線 AB 與以C為圓心的圓相切于點(diǎn) P ，
且 P 為線段 AB 的中點(diǎn)．求直線 AB 的方程．
x
2
2
y
2
2
( - )
=1(a > b> 0)的一個(gè)頂點(diǎn)為 A 0, 3 ，\ b =3，
Q
+
【解析】(Ⅰ) 橢圓
a
b
x
2
y
2
OA = OF
c =b =3，又由a
，得
= +
= + =
+
=1．
由
2
b
2
c
2
，得a
2
3
2
3
2
18，所以橢圓的方程為
18 9
Q
AB
C
CP ^ AB，
(Ⅱ) 直線
與以 為圓心的圓相切于點(diǎn) P ，所以
根據(jù)題意可知，直線 AB 和直線CP
的斜率均存在，
k
AB
y +3= kx
y = kx-3
設(shè)直線 AB 的斜率為 ，則直線
的方程為
，即
，
ì y = kx-3
?
12k
(
)
y
，消去 ，可得
2
+
2
-
=
x =0 x
，解得 或
=
í
2
2
2k 1 x 12kx 0
x
y
．
+
=1
2k +1
2
?
?18 9
?
2
2
- ?
+1?
12k
12k
6k
2k
2
2
-3
+1
12k 6k
3
將 x =
代入
y = kx-3
，得 y = k ×
-3 =
，所以點(diǎn) B 的坐標(biāo)為?
,
÷ ，
2
+1
2
+1
è 2k
2
+
1 2k
2k
2k
? 6k
-3 ?
÷，
( - )
因?yàn)?P 為線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) A的坐標(biāo)為
0, 3
，所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為?
+1,2k
è 2k
-3
2k
+1-0
2
2
+1?
3
2
( )
1,0 ，所以直線CP的斜率為k
由3OC OF ，得點(diǎn) 的坐標(biāo)為
CP
=
=
=
C
，
6k
2k2 -6k +1
2k
2
+1-1
3
1
又因?yàn)镃P ^ AB，所以k ×
= - ，整理得
1
，解得k = 或 = ．
k 1
2k
2
-3k +1= 0
2k
2
-6k +1
2
1
y = x-3 y = x -3
或 ．
所以，直線 AB 的方程為
2
x
2
y
2
2
42．【2019 年高考天津理】設(shè)橢圓
+
=1(a > b > 0) 的左焦點(diǎn)為 F ，上頂點(diǎn)為 B ．已知橢圓的短軸長(zhǎng)
a
2
b
5
為 4，離心率為
．
5
(1)求橢圓的方程；
(2)設(shè)點(diǎn) P 在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn) M 為直線 PB 與 x軸的交點(diǎn)，點(diǎn) N 在 y 軸的負(fù)半軸上．若


|ON |=|OF |(O為原點(diǎn))，且OP ^ MN ，求直線 PB 的斜率．
c
5
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，2b = 4, =
，又a
2
= b +c2 ，可得a = 5 ，b = 2, c =1．
2
a
5
x
2
y
2
所以，橢圓的方程為
+
=1．
5
4
(
)
)( 1 ) ( ( 1 )
0 ,M x ,0 ．設(shè)直線 PB 的斜率為k k 0 ，
M
(2)由題意，設(shè) P x ，y
x
P
P
p
( )
又 B 0,2 ，則直線 PB的方程為 y = kx+2，
ìy = kx+2,
?
與橢圓方程聯(lián)立íx
2
2
整理得(4+5k2 )x2
+20kx = 0，
y
+
=1,
?
? 5
4
20k
4+5k
8-10k
4+5k
2
可得 xP = -
，代入 y = kx+2得 yP =
2
，
2
yP 4-5k
2
進(jìn)而直線OP的斜率
=
．
xp
-10k
2
在 y = kx+2中，令 y = 0，得 xM
= -
．
k
k
( - )
由題意得 N 0, 1 ，所以直線 MN 的斜率為
-
．
2
4-5k
2
? k ?
24
2 30
5
由OP ^ MN ，得
×?- ÷ = -1，化簡(jiǎn)得
k
2
=
，從而k = ±
．
-10k è 2 ?
5
2 30
2 30
5
所以，直線 PB的斜率為
或-
．
5
x
2
2
y
2
+
=
1(a > b > 0) 的左焦點(diǎn)為 F，左頂點(diǎn)為 A，上頂點(diǎn)為 B．已知
43．【2019 年高考天津文】設(shè)橢圓
3 |OA|= 2|OB|(O 為原點(diǎn))．
a
b
2
(1)求橢圓的離心率；
3
(2)設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 且斜率為 的直線 l 與橢圓在 x 軸上方的交點(diǎn)為 P，圓 C 同時(shí)與 x 軸和直線 l 相切，圓心 C
4
在直線 x=4 上，且OC∥AP，求橢圓的方程．


2
?
?
3
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為 c，由已知有 3a 2b ，又由
=
a
2
= b
2
+c
2
b a
，消去 得
2
= ?
a÷ +c
2
，
?
÷
2
è
?
c 1
1
=
解得
，所以橢圓的離心率為 ．
a 2
2
x
2
y
2
(2)由(1)知，a 2c,b
=
=
3c ，故橢圓方程為
+
=1．
4c
2
3c
2
3
F(-c, 0)
y = (x+c)
，
l
，則直線 的方程為
由題意，
4
ì
?
2
2
x
y
+
=1,
?
2
3c
2
13c
4c
y
消去 并化簡(jiǎn)，得到
=
= -
點(diǎn) P 的坐標(biāo)滿足í
7x
2
+6cx-13c
2
= 0
，解得
x c,x
．
1
2
3
7
?
y = (x+c),
?
?
4
3
9
l
代入到 的方程，解得
y
1
=
c, y2
= -
c
．
2
14
? 3 ?
è 2 ?
x
P c, c
因?yàn)辄c(diǎn) P 在 軸上方，所以 ?
÷ ．
C
由圓心 在直線
x = 4上，可設(shè)C(4, t)．
3
2
c
(1) A( 2 c, 0)
-
，故
t
t = 2
，解得 ．
因?yàn)镺C∥AP
，且由 知
=
4 c+2c
3
4
(4+c)-2
= 2
，可得c=2．
C x
因?yàn)閳A 與 軸相切，所以圓的半徑長(zhǎng)為 ，又由圓 與 相切，得
C l
2
2
? 3?
1+
? ÷
è 4?
x
2
y
2
+
=1．
所以，橢圓的方程為
16 12
44．【2018 高考全國(guó) III 文 20】(12 分)
x2
y2
已知斜率為k 的直線l 與橢圓C :
+
=1交于 A, B 兩點(diǎn)，線段 AB 的中點(diǎn)為M (1, m)(m > 0)．
4
3
1
(1)證明：k < - ；
2
(2)設(shè) F 為C的右焦點(diǎn)， P 為C上一點(diǎn)，且FP FA FB
+
+
= 0．證明：2 FP
=
．
FA + FB
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．
【解析】試題分析：(1)設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明；(2)解出m
，進(jìn)而求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，得到
FP
，再


FA , FB
，得到直 l 的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
由兩點(diǎn)間距離公式表示出
x
2
1
4
y
2
1
3
x
2
2
4
y
2
2
3
試題解析：(1)設(shè) A(x ，y ) ， B(x ，y )，則
+
=1，
+
=1．
1
1
2
2
y1 - y
x1 - x2
2
x1 + x
2
y1 + y
2
兩式相減，并由
=k 得
+
×k = 0 ．
4
3
x1 + x
2
y1 + y
2
3
3
1
由題設(shè)知
=1，
= m ，于是k = -
．由題設(shè)得0 < m < ，故k < - ．
2
2
4m
2
2
(2)由題意得 F(1，0)．設(shè) P(x ，y ) ，則(x -1，y ) + (x -1，y ) + (x -1，y ) = (0，0) ．
3
3
3
3
1
1
2
2
由(1)及題設(shè)得 x = 3-(x + x ) =1， y = -(y + y ) = -2m < 0．
3
1
2
3
1
2
uur
3
3
3
又點(diǎn) P 在 C 上，所以m = ，從而 P(1，- )，|FP|= ．
4
2
2
uur
于是|FA|= (x -1)
uur
x
2
1
4
x1
2
x2
2
2
+ y1
2
= (x1 -1)
2
+3(1-
) = 2 - ．同理|FB|=2-
．
1
uur uur
1
所以 FA+ FB = 4- (x + x ) = 3，故2 FP = FA + FB ．
1
2
2
45．【2018 高考天津文 19】(本小題滿分 14 分)
x
2
2
y
2
2
5
設(shè)橢圓
+
=1(a > b > 0) 的右頂點(diǎn)為 A，上頂點(diǎn)為 B ．已知橢圓的離心率為
， AB = 13 ．
a
b
3
(I)求橢圓的方程；
(II)設(shè)直線l: y kx k 0
= ( < )與橢圓交于 P,Q 兩點(diǎn)，l與直線 AB 交于點(diǎn)M ，且點(diǎn) P , M 均在第四象限．若
△BPM 的面積是△BPQ面積的 2 倍，求k 的值．
x
2
y
2
【解析】試題分析：(I)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得a = 3,b = 2．則橢圓的方程為
+
=1．
9
4
(
)
(
)
(I I)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x , y ，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 x , y
2
，由題意可得 x2 = 5x1 ．
1
1
2
ì
2
2
x
y
ì2x+3y = 6,
易知直線 AB 的方程為2x+3y = 6，由方程組í
? +
=1,
6
可得 x2 =
．由方程組í 9
4
?y = kx ,
3k + 2
?
?y = kx ,
6
8
1
1
可得 x1 =
．結(jié)合 x = 5x ，可得k = - ，或k = - ．經(jīng)檢驗(yàn)的值為- ．
2 1
9k + 4
2
9
2
2
c
2
2
5
9
試 題 解 析 ： (I) 設(shè) 橢 圓 的 焦 距 為 2c ， 由 已 知 得
=
， 又 由
a
2
= b +c2 ， 可 得 2a =3b ． 由
2
a


x
2
y
2
AB = a
2
+b
2
= 13，從而a = 3,b = 2．所以，橢圓的方程為
+
=1．
9
4
(
)
(
)
> >
1
(II)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x , y ，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 x , y
，由題意， x2 x 0，
1
1
2
2
(- - )
=
點(diǎn)的坐標(biāo)為 x , y ．由△BPM 的面積是△BPQ面積的 2 倍，可得 PM 2 PQ ，
1
1
- = é -(- )ù ，即 x = 5x ．
從而 x x 2?x
x ?
1
2
1
1
2
1
ì2x+3y = 6,
易知直線 AB 的方程為 2x+3y = 6 ，由方程組 í
6
消去 y ，可得 x2 =
．由方程組
?y = kx ,
3k + 2
ì
2
2
x
y
? +
=1,
6
消去 y ，可得 x1
=
．由 x = 5x ，可得 9k
2
+4 = 5(3k +2)，兩邊平方，整理
í 9
4
2
1
9k
2
+ 4
?
?y = kx ,
8
1
得18k
2
+25k +8 = 0，解得k = - ，或k = - ．
9
2
8
9
1
2
12
當(dāng)k
= -
時(shí)，
x = -9< 0 ，不合題意，舍去；當(dāng)k = -
2
x =12, x =
時(shí)，
2 1
，符合題意．
5
1
2
所以，k 的值為-
．
46．【2018 高考江蘇 18】如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓C過(guò)點(diǎn)?
1 ?
÷，焦點(diǎn)F
，
) (
3 , 0 , F2 3 , 0
)
3 ,
(-
?
1
è
2 ?
圓O的直徑為 FF ．
1
2
(1)求橢圓C及圓O的方程；
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn) P ．
①若直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)；
2 6
②直線l與橢圓C交于 A, B 兩點(diǎn)．若 △OAB 的面積為
，求直線l的方程．
7


【解析】試題分析：(1)根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，解方程組可得a , b
，
即得橢圓方程；(2)第一問(wèn)先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可
得切點(diǎn)坐標(biāo)．第二問(wèn)先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長(zhǎng)，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點(diǎn)間
距離公式，列方程，解得切點(diǎn)坐標(biāo)，即得直線方程．
試題解析：(1)因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為 F (- 3,0),F ( 3,0) ，
1
2
x
2
2
y
2
2
可設(shè)橢圓C的方程為
+
=1(a >b >0)．
a
b
ì 3
1
+
=1,
ìa
?
2
2
= 4,
=1,
1
?
又點(diǎn)( 3, )在橢圓 C 上，\ía
2
4b
2
，解得í
?b
2
?
?
?a
因此，橢圓C的方程為 + y
2
-b = 3,
2
x
2
2
=1．因?yàn)閳AO的直徑為 F F ，所以其方程為 x
2
+ y =3．
2
1
2
4
(2)①設(shè)直線l與圓O相切于 P(x , y )(x > 0, y > 0) ，則 x
0
2
+ y0
．
2
=3，
0
0
0
0
x0
x0
3
所以直線l的方程為 y = - (x - x )+ y ，即 y = - x +
0
0
y0
y0
y0
ì
2
x
+ y =1,
2
?
? 4
由í
，消去 y，得(4x0
2
+ y0
2
)x
2
-24x0 x+36-4y0
2
=0 ．(*)
x0
3
?
y = - x +
,
?
?
y0
y0
Q直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
\D = (-24x0)
2
-4(4x0
2
+ y0
2
)(36-4y0
2
) = 48y0
2
(x0
-2) =0．
2
Q x , y > 0 ,\x = 2 , y =1．因此，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 2 ,1)．
0
0
0
0
2 6
7
1
2 6
7
4 2
7
②Q△OAB的面積為
，所以 AB×OP =
，從而 AB =
．
2
24x0 ± 48y0
2
(x0
2
-2)
設(shè) A(x , y ),B(x , y )，由(*)得 x =
，
1
1
2
2
1,2
2(4x02 y )
+
2
0
x
2
48y0
2
(x0
-2)
2
\AB
2
=(x -x )
2
+(y - y )
2
= (1+
)×
．
0
1
2
1
2
y02 (4x02 y )
+
2 2
0
16(x0
(x02
2
-2) 32
Qx0
2
+ y0
2
=3，\AB
2
=
=
，即2x0
4
-45x0
2
+100 =0，
+1)
2
49
5
1
10
,
2)．
解得 x0
2
= (x
2
= 20 舍去)，則 y0
2
= ，因此 P 的坐標(biāo)為(
0
2
2
2
2
綜上，直線l的方程為 y = - 5x + 3 2 ．


47．【2018 高考全國(guó) 1 理 19】(本小題滿分 12 分)
x
2
設(shè)橢圓C : + y =1的右焦點(diǎn)為 F ，過(guò) F 的直線l與C 交于 A, B 兩點(diǎn)，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(2,0)．
2
2
(1)當(dāng)l與 x軸垂直時(shí)，求直線 AM 的方程；
= DOMB ．
(2)設(shè)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明： OMA
D
( )
F 1,0
l
x
=
【解析】試題分析：(1)首先根據(jù)l 與 軸垂直，且過(guò)點(diǎn)
x 1
，求得直線 的方程為 ，代入橢圓方程
?
? ?
?
2
2
?1,
÷ ?1,
-
÷
x
AM 的方程；(2)分直線l 與 軸重合、l與
求得點(diǎn) A的坐標(biāo)為?
或
，利用兩點(diǎn)式求得直線
÷ ?
÷
2
2
è
? è
?
x
x
軸垂直、l與 軸不重合也不垂直三種情況證明，特殊情況比較簡(jiǎn)單，也比較直觀，對(duì)于一般情況將角相
等通過(guò)直線的斜率的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)，從而證得結(jié)果．
?
? ?
?
2
2
( ) l
-
F 1,0
x =1．由已知可得，點(diǎn) A的坐標(biāo)為?1,
÷ ?1,
÷
．所
試題解析：(1)由已知得
， 的方程為
或
?
÷ ?
÷
2
2
è
? è
?
2
2
以 AM 的方程為 y
= -
x+ 2 或
y =
x- 2
．
2
2
x
D
=DOMB =0°．
(2)當(dāng)l與 軸重合時(shí)， OMA
x
OM 為 AB 的垂直平分線，\DOMA=DOMB．
當(dāng)l與 軸垂直時(shí)，
x
y = k(x-1)(k 1 0) A(x , y ),B(x , y )
當(dāng)l與 軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為
，
，
2
1
1
2
y1
y2
k +k =
MA,MB的斜率之和為
MA
+
x < 2,x < 2
則
由
將
，直線
．
MB
-
-
1
2
x 2 x 2
1
2
2kx x -3k(x + x )+4k
y = kx -k, y = kx - k k +kMB
=
1
2
1
2
得
．
1
1
2
2
MA
(x -2)(x -2)
1 2
x
2
y = k(x-1)
+1)x
-4k
x+2k -2 = 0
+
y2
=1得(2k
2
2
2
2
代入
．
2


4k
2
2k
2
-2
+
4k
3
-4k -12k
3
+8k +4k
3
\x + x =
, x x =
,\2kx x -3k(x + x )+4k =
= 0．
1
2
2
+
1
2
2
1
2
1
2
2k +1
2
2k 1
2k 1
k +k = 0
，故
MA,MB的傾斜 角互補(bǔ)，\DOMA=DOMB．
從而
MA
MB
綜上，DOMA=DOMB
．
48．【2018 高考全國(guó) 3 理 20】(12 分)
x2
y2
已知斜率為k 的直線l 與橢圓C :
+
=1交于 A, B 兩點(diǎn)，線段 AB 的中點(diǎn)為M (1, m)(m > 0)．
4
3
1
(1)證明：k < - ；
2
(2)設(shè) F 為C 的右焦點(diǎn)， P 為C 上一點(diǎn)，且 FP+ FA+ FB = 0．證明：
成等差數(shù)列，并求該數(shù)
FA , FP , FB
列的公差．
【解析】試題分析：(1)設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明；(2)解出m
，進(jìn)而求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，得到
FP
，再
FA , FB
，得到直 l 的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
由兩點(diǎn)間距離公式表示出
x1
2
y
2
1
3
x2
2
y
2
2
(
) (
)
A x , y , B x , y
+
=1,
+
=1．
試題解析：(1)設(shè)
，則
1
1
2
2
4
4
3
y1 - y
x1 - x2
2
x x
+
y y
+
2
= k
1
2
+
1
×k = 0
．
兩式相減，并由
得
4
3
x1 + x2
y1 + y2
3
=1,
= m ，于是k = -
由題設(shè)知
．①
2
2
4m
3
1
由題設(shè)得0 < m
0)的左焦點(diǎn)為 F，上頂點(diǎn)為 B． 已知橢圓的離心率為
，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(b,0)，
a
b
3
且 FB × AB = 6 2 ．
(I)求橢圓的方程；
(II)設(shè)直線 l： y = kx(k >0)與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為 P，且 l 與直線 AB 交于點(diǎn) Q．
AQ 5 2
若
=
sinDAOQ(O 為原點(diǎn))，求 k 的值．
PQ
4
x
2
y
2
【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a = 3,b = 2．則橢圓的方程為
+
=1．
9
4
y = kx，
(
)
(
)
=
1
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x , y ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 x , y ．由題意可得5y 9y ．由方程組{ x
可
2
y
2
1
1
2
2
2
+
=1，
9
4
y = kx，
6k
2k
k +1
得 y1 =
．由方程組{
可得 y2 =
．據(jù)此得到關(guān)于k 的方程，解方程可得k 的值
x+ y -2 = 0，
9k
2
+4
1
11
28
為 或
．
2
c
2
2
5
試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有
= ，
a
9
又由a
2
= b
2
+c2 ，可得2a =3b．由已知可得， FB = a， AB = 2b ，
x
2
y
2
由 FB × AB = 6 2 ，可得ab =6，從而a = 3,b = 2，\橢圓的方程為
+
=1．
9
4
(
)
(
)
2
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 x , y ，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 x , y ．
1
1
2


由已知有 y > y > 0，故 PQ sinDAOQ = y - y ．
1
2
1
2
y2
sinDOAB
π
又Q AQ
=
，而∠OAB= ，故 AQ = 2y ．
2
4
ìy = kx ,
?
6k
AQ 5 2
=
消去 ，可得 y1
=
x
由
=
sinDAOQ
，可得5y 9y ．由方程組í
．
1
2
x2
y2
PQ
4
?
+
=1
9k2 + 4
? 9
4
y = kx，
2k
k +1
易知直線 AB 的方程為 x+ y -2 = 0，由方程組{
消去 x，可得 y2
=
．
x+ y -2 = 0，
由5y =9y ，可得5 k 1 3 9k 4，兩邊平方，整理得
( + ) =
2
+
56k -50k +11= 0，
2
1
2
1
11
28
1
11
28
解得k = ，或k =
，\k 的值為 或
．
2
2
x
2
2
y
2
2
50．(2017 天津文)已知橢圓
+
=1(a > b > 0) 的左焦點(diǎn)為 F(-c,0)，右頂點(diǎn)為 A，點(diǎn) E 的坐標(biāo)為(0,c) ，
a
b
b
2
△EFA的面積為
．
2
(Ⅰ)求橢圓的離心率；
3
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) Q 在線段 AE 上，| FQ|= c ，延長(zhǎng)線段 FQ 與橢圓交于點(diǎn) P ，點(diǎn) M ， N 在 x 軸上，
2
PM ∥QN ，且直線 PM 與直線QN 間的距離為c，四邊形 PQNM 的面積為3c．
(i)求直線 FP的斜率；
(ii)求橢圓的方程．
1
b
2
【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的離心率為 e．由已知，可得 (c+a)c =
．
2
2
又由b
2
= a
2
-c2 ，可得2c
2
+ac- a
2
= 0，即2e +e-1= 0．
2
1
又因?yàn)? ，得 = ，所以橢圓的方程為
c 0 c 2
+
=1．
32
32
16 12
x
2
2
y
2
2
1
51．(2017 天津理)設(shè)橢圓
+
=1(a > b > 0) 的左焦點(diǎn)為 F ，右頂點(diǎn)為 A，離心率為 ．已知 A是拋物
a
b
2
1
y = 2px(p > 0)的焦點(diǎn)， F 到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為 ．
2
線
2
(Ⅰ)求橢圓的方程和拋物線的方程；
(Ⅱ)設(shè)l上兩點(diǎn) P ，Q關(guān)于 x軸對(duì)稱，直線 AP 與橢圓相交于點(diǎn) B ( B 異于點(diǎn) A)，直線 BQ與 x軸相交于點(diǎn)
6
D．若△APD的面積為
，求直線 AP 的方程．
c 1
2
p
1
1
【解析】(Ⅰ)設(shè) F 的坐標(biāo)為(-c,0)．依題意， = ， = a ，a-c = ，解得a =1，c = ， p = 2 ，
a 2
2
2
2
3
于是b
2
= a
2
-c = ．
2
4


4y
2
所以，橢圓的方程為
x
2
+
=1，拋物線的方程為 y = 4x．
2
3
2
(Ⅱ)設(shè)直線 AP 的方程為 x = my +1(m 1 0)，與直線l的方程 x = -1聯(lián)立，可得點(diǎn) P(-1,- )，故
m
2
4y
2
Q(-1, )．將 x = my +1與 x
2
+
=1聯(lián)立，消去 x，
m
3
-6m
整理得(3m
2
+4)y
2
+6my = 0，解得 y = 0，或 y =
．
3m + 4
2
-3m +4 -6m
2
由點(diǎn) B 異于點(diǎn) A，可得點(diǎn) B(
,
+4) ．
3m
2
+4 3m
2
-6m
- 2)(x+1)-(
-3m
2
+ 4
2
2
由Q(-1, )，可得直線 BQ的方程為(
+1)(y- ) =0 ，令 y = 0，解得
m
3m
2
+4 m
3m
2
+4
m
2-3m
2
x =
，
3m
2
+2
2-3m
2
2-3m
2
6m
2
故 D(
+2,0) ．所以| AD|=1- 3m
+2 = 3m
．
3m
2
2
2
+2
6
1
6m
2
2
6
2
又因?yàn)椤鰽PD 的面積為
，故 ′
′
=
，
2
2 3m
2
+2 | m|
6
6
整理得3m
2
-2 6 | m| +2 = 0，解得| m|=
，所以m = ±
．
3
3
所以，直線 AP 的方程為3x+ 6y -3= 0或3x- 6y -3= 0．
52．(2017 江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，橢圓 E ：x
2
2
+
y
2
2
=1(a > b > 0) 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1 ，
a
b
1
F2 ，離心率為 ，兩準(zhǔn)線之間的距離為 8．點(diǎn) P 在橢圓 E 上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn) F 作直線 PF 的
1
1
2
垂線l ，過(guò)點(diǎn) F 作直線 PF 的垂線l ．
1
2
2
2
(1)求橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l ，l 的交點(diǎn)Q在橢圓 E 上，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)．
1
2


c
【解析】(1)設(shè)橢圓的半焦距為 ．
1
c 1 2a
2
=
=8，
因?yàn)闄E圓 E 的離心率為 ，兩準(zhǔn)線之間的距離為 8，所以
，
2
a 2
c
解得a = 2,c =1，于是b = a
-c = 3，
2
2
x
2
y
2
因此橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程是
+
=1．
4
3
F (-1, 0) F (1, 0)
．
(2)由(1)知，
，
1
2
P(x , y )
，因?yàn)辄c(diǎn) 為第一象限的點(diǎn)，故
P
x > 0, y > 0
設(shè)
當(dāng)
．
0
0
0
0
x =1
l
2
l
1
F
1
時(shí)， 與 相交于 ，與題設(shè)不符．
0
y0
x0 +1
y0
x0 -1
x 11
0
PF
PF
當(dāng)
時(shí)，直線
的斜率為
，直線
的斜率為
．
1
2
-x0 +1
x -1
0
-
l⊥PF l ⊥PF
l
l
因?yàn)?br /> ，
，所以直線 的斜率為
，直線 的斜率為
，
1
1
2
2
1
y0
2
y0
x +1
= -
0
(x+1)， ①
l
y
從而直線 的方程：
1
y0
x -1
l
y
= -
0
(x-1)
． ②
直線 的方程：
2
y0
1- x0
y0
2
1- x0
y0
2
x = -x0, y =
，所以Q(-x0,
)
由①②，解得
．
1- x0
y0
2
Q
因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓上，由對(duì)稱性，得
= ±y
x
2
0
- y0
2
=1 x
2
0
+ y0
=1．
2
，即
或
0


ì -
2
0
2
0
=1
ì
2
0
+
2
0
=1
x
y
x
y
2
0
4
y
2
0
3
?
?
x
4 7
7
3 7
7
又 P 在橢圓 E 上，故
+
=
1，由 x
í
2
0
2
0
=1，解得 x0
=
, y0
=
； x
í
2
0
2
0
，無(wú)解．
y
y
+
+
=1
?
?
? 4
3
? 4
3
4 7 3 7
因此點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(
,
)．
7
7
53．(2016 年全國(guó) II 卷文)已知 A是橢圓 E ：x
2
+
y
2
=1的左頂點(diǎn)，斜率為k(k＞0)的直線交 E 與 A，M
4
3
兩點(diǎn)，點(diǎn) N 在 E 上， MA^ NA．
(Ⅰ)當(dāng) AM = AN 時(shí)，求 AMN 的面積；
(Ⅱ)當(dāng) AM = AN 時(shí)，證明： 3 < k < 2．
【解析】(Ⅰ)設(shè) M(x , y )，則由題意知 y > 0．
D
1
1
1
由已知及橢圓的對(duì)稱性知，直線 AM 的傾斜角為p
，
4
又 A(-2,0)，因此直線 AM 的方程為 y = x+2 ．
x
2
y
2
將 x = y -2代入
+
=1得7y
2
-12y = 0 ，
4
3
12
7
12
解得 y = 0或 y
=
，所以
y =
1
．
7
1 12 12 144
因此DAMN 的面積 SDAMN
= ′ ′ ′
=
．
2
2 7 7
49
x
2
y
2
(Ⅱ)將直線 AM 的方程 y = k(x+2)(k > 0)代入
+
=1得
4
3
(3+4k
2
)x
2
+16k
16k
2
x+16k
2
-12 = 0 ．
2(3-4k )
2
-12
3+4k
2
由 x1 ×(-2) =
得 x1 =
，
2
3+4k
2
12 1+k
3+4k2
2
故| AM |= 1+k
2
| x1 +2|=
．
1
由題設(shè)，直線 AN 的方程為 y = - (x+2)，
k
12k 1+k
2
故同理可得| AN |=
．
4+3k
2


2
k
由2| AM |=| AN |得
=
，即4k
3
-6k +3k -8 = 0．
2
3+4k
2
4+3k
2
f (t) = 4t
3
-6t
2
+3t -8 ，則k 是 f (t)的零點(diǎn)，
設(shè)
f '(t) =12t2 -12t +3= 3(2t -1)2 3 0，
所以 f (t)在(0,+￥)單調(diào)遞增，又 f ( 3) =15 3 -26 < 0, f (2) = 6 > 0，
因此 f (t)在(0,+￥)有唯一的零點(diǎn)，且零點(diǎn)k 在( 3, 2) 內(nèi)，所以 3 < k < 2．
x
2
2
y
2
1
1
3e
54．(2016 年天津文)設(shè)橢圓
+
=1(a > 3
F A
)的右焦點(diǎn)為 ，右頂點(diǎn)為 ，已知
+
=
，
，
a
3
|OF | |OA| | FA |
其中O為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn) A的直線l與橢圓交于點(diǎn) B( B不在 x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn) M ，與 軸交于點(diǎn)
y
H
若 BF ^ HF，且DMOA= DMAO，求直線的l斜率．
1
1
3c
1 1
，即 + =
c a a(a -c)
3c
【解析】(Ⅰ)設(shè) F(c,0) ，由
+
=
，
|OF | |OA| | FA|
可得a
2
-c
2
= 3c2 ，又a
2
-c = b = 3，所以c
2
2
2
=1，因此a = 4，
2
x
2
y
2
所以橢圓的方程為
+
=1．
4
3
(Ⅱ)設(shè)直線的斜率為k(k 1 0)，則直線l的方程為 y = k(x-2)，
ì
2
2
x
y
? +
=1,
設(shè) B(x , y )，由方程組í 4
消去 y ，
3
B
B
?
?y = k(x-2),
8k
4k
2
2
-6
+3
整理得(4k
2
+3)x
8k
2
-16k
-6
2
x+16k
2
-12 = 0 ，解得 x = 2或 x =
，
2
2
-12k
由題意得 xB =
，從而 yB =
，
4k
+3
4k +3
2
uuur
由(Ⅰ)知 F(1,0)，設(shè) H(0, y )，有 FH =(-1, y )， BF = (
9-4k
2
12k
4k 3 4k
+3) ，
+
,
H
H
2
2


4k
4k
2
2
-9 12ky
由 BF ^ HF ，得 BF×HF =0，所以
+
= 0，
H
+3 4k
2
+3
9-4k
12k
2
1
9-4k
12k
2
解得 yH =
，因此直線 MH 的方程為 y = - x +
，
k
ì
9-4k
2
1
?y = - x +
,
20k +9
2
設(shè)M(x , y ) ，由方程組í
12k 消去 y ，得 xM =
，
k
M
M
2
+
12(k 1)
?
?y = k(x-2),
在DMAO中，DMOA=DMAO ? | MA|=| MO|，
20k +9
2
即(xM -2)
解得k = -
2
+ y
2
M
= x
2
M
+ yM2 ，化簡(jiǎn)得 xM =1，即
=1，
12(k 1)
2
+
6
6
6
6
或k =
，所以直線l的斜率為k = -
或k =
．
4
4
4
4
x
2
2
y
2
2
5
55．(2015 天津文)已知橢圓
+
=1(a > b> 0) 的上頂點(diǎn)為 B ，左焦點(diǎn)為 F ，離心率為
．
a
b
5
(Ⅰ)求直線 BF 的斜率；
(Ⅱ)設(shè)直線 BF 與橢圓交于點(diǎn) P ( P 異于點(diǎn) B )，故點(diǎn) B 且垂直于 BP 的直線與橢圓交于點(diǎn)Q(Q異于點(diǎn)
B )直線 PQ與 y 軸交于點(diǎn) M ，|PM|=l|MQ|．
(i)求l 的值；
7 5
(ii)若|PM|sinDBQP=
，求橢圓的方程．
9
c
5
(- )
=
= +c2 ，又因?yàn)?B(0,b) ，故直線 BF 的斜率
【解析】(Ⅰ)設(shè) F c,0 ，由已知離心率
及a
2
b
2
a
5
b-0
-(-c)
b
k =
= = 2 ．
0
c
(
) (
) (
)，(i)由(Ⅰ)可得橢圓方程為
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) P x , y ,Q x , y ,M x , y
P
P
Q
Q
M
M
x
2
y
2
+
=1，直線 BF 的方程為 y = 2x+2c，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，
5c
5c
2
4c
2
消去 y，得3x
2
+5cx = 0，解得 xP = -
．因?yàn)?BQ ^ BP，所以直線 BQ 方程為
3


1
y = - x+2c ，與橢圓方程聯(lián)立，消去 y ，整得21x
2
-40cx = 0，
2
xM - xP
xQ - xM
xP
xQ
40c
PM
MQ
7
8
解得 xQ =
．又因?yàn)閘 =
，及
x = 0，可得l =
M
=
=
．
21
PM
MQ
7
PM
7
7
15
(ii)由(i)有
= ，所以
=
=
，即 PQ =
PM ，又因?yàn)?br /> 8
PM + MQ 7+8 15
7
7 5
9
15
5 5
|PM|sinDBQP=
，所以 BP =|PQ|sinDBQP= |PM|sinDBQP =
．
7
3
2
2
4
?
è
5c ? ?
4c ?
3 ?
5 5
3
5 5
3
5 5
3
又因?yàn)?y = 2x +2c = - c ，所以 BP = ?0+ ÷ +?2c+ ÷ =
c ，因此
c =
，c =1，
P
P
3
3 ? è
x
2
y
2
所以橢圓方程為
+
=1．
5
4
y
b
2
2
x
a
2
2
56．(2014 新課標(biāo) 2 文理)設(shè) F ，F(xiàn) 分別是橢圓C：
+
=1(a >b >0)的左，右焦點(diǎn)，M 是C上一點(diǎn)
1
2
且MF 與 x軸垂直，直線 MF 與C的另一個(gè)交點(diǎn)為 N ．
2
1
3
4
(Ⅰ)若直線 MN 的斜率為 ，求C的離心率；
(Ⅱ)若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2，且 MN =5 F1N ，求 a,b．
b
2
【解析】(Ⅰ)根據(jù)c = a
2
-b2 及題設(shè)知 M(c, ), 2b =3ac，
2
a
c 1 c
= 3ac，解得 = , = -2(舍去)，故 C 的離心率為 ．
a 2 a
1
將b
2
= a
2
-c2 代入2b
2
2
(Ⅱ)由題意，原點(diǎn)O為 FF 的中點(diǎn)， MF ∥ y 軸，所以直線 MF 與 y 軸的交點(diǎn) D(0, 2) 是線段 MF 的中
1
2
2
1
1
b
2
點(diǎn)，故
= 4 ，即b
2
= 4a
①
a
由 MN =5 FN 得 DF = 2 FN ．
1
1
1
ì
3
ì2(-c- x1) = c
x = - c,
?
9c2
1
設(shè) N(x , y )，由題意知 y < 0，則í
，即í
1
+
=1．②
2 代入 C 的方程，得
y1 = -1
1
1
1
-
=
4a2
b2
2y 2
?
1
?
?
-b2 代入②得 9(a
2
-4a) 1
+
=1，解得a = 7,b = 4a = 28 ，故a = 7,b = 2 7 ．
將①及c = a
2
2
4a
2
4a


2
y
2
x
57．(2014 安徽文理)設(shè) F ， F 分別是橢圓 E ：
+
=1(a > b > 0) 的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) F1 的直線交
1
2
a2
b2
橢圓 E 于 A,B兩點(diǎn)，| AF |=3| BF |
1
1
(Ⅰ)若| AB|= 4,DABF 的周長(zhǎng)為 16，求| AF |；
2
2
3
(Ⅱ)若cosDAF B = ，求橢圓 E 的離心率．
2
5
【解析】：(Ⅰ)由| AF |=3| FB|, | AB|= 4 得| AF |=3, | FB|=1．
1
1
1
1
因?yàn)镈ABF 的周長(zhǎng)為 16，所以由橢圓定義可得4a =16, | AF | +| AF |= 2a =8
2
1
2
故| AF |= 2a-| AF |=8-3 =5 ．
2
1
(Ⅱ)設(shè)| FB|= k ，則k >0且| AF |=3k, | AB|= 4k ，由橢圓定義可得
1
1
| AF |= 2a -3k, | BF |= 2a -k
2
2
在DABF2 中，由余弦定理可得
| AB|
2
=| AF2 |
2
+| BF2 |
2
-2| AF |×| BF |×cosDAF B
2
2
2
6
即(4k)
2
= (2a-3k)
2
+(2a-k) - (2a-3k)×(2a-k)
2
5
化簡(jiǎn)可得(a+k)×(a-3k) = 0，而a+k >0，故a =3k
于是有| AF |=3k =| AF |, | BF |=5k ，
2
1
2
因此| BF2 |
2
=| AF2 |
2
+| AB|2 ，可得 AF1 ^ AF2
2
c
2
故DAFF 為等腰直角三角形．從而c =
a ，所以橢圓的離心率e = =
．
1
2
2
a
2
x
2
2
y
2
2
3
+
=1(a >b >0)的左焦點(diǎn)為 F， 離心率為
58．(2013 天津文理)設(shè)橢圓
， 過(guò)點(diǎn) F 且與 x 軸垂直的直
a
b
3
4 3
3
線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為
．
(Ⅰ) 求橢圓的方程；
(Ⅱ) 設(shè) A，B 分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn) F 且斜率為 k 的直線與橢圓交于 C，D 兩點(diǎn)．若
AC·DB + AD·CB =8 ， 求 k 的值．


c
3
【解析】(Ⅰ)設(shè) F(－c，0)，由 =
，知a = 3c．過(guò)點(diǎn) F 且與 x 軸垂直的直線為 x＝－c，代入橢圓方
a
3
(-c)
2
y
2
2
程有
+
=1，
a
2
b
6b
2 6b 4 3
解得 y = ±
，于是
=
，解得b = 2 ，
3
3
3
又 A2－c2＝B2，從而 A＝ 3 ，c＝1，
x
2
y
2
所以橢圓的方程為
+
=1．
3
2
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) C(x ，y )，D(x ，y )，由 F(－1，0)得直線 CD 的方程為 y＝k(x＋1)，
1
1
2
2
ìy = k(x+1),
?
由方程組íx
2
2
消去 y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0．
y
+
=1
?
? 3
2
6k
2
3k -6
2
求解可得 x ＋x ＝-
，x x ＝
．
1
2
1 2
2+3k
2
2+3k
2
因?yàn)?A(- 3 ，0)，B( 3 ，0)，
所以 AC · DB＋ AD·CB＝(x ＋ 3 ，y )·( 3 －x ，－y )＋(x ＋ 3 ，y )·( 3 －x ，－y )
1
1
2
2
2
2
1
1
2k
2
+12
＝6－2x x －2y y ＝6－2x x －2k2(x ＋1)(x ＋1)＝6－(2＋2k2)x x －2k2(x ＋x )－2k2＝6+
．
1 2
1 2
1 2
1
2
1 2
1
2
2+3k
2
2k
2
+12
由已知得6+
＝8，解得 k＝± 2 ．
2
2+3k
x
2
2
y
2
2
2
59．(2012 北京文理)已知橢圓 C ：
+
=1(a > b > 0) 的一個(gè)頂點(diǎn)為 A(2,0)，離心率為
．直線
a
b
2
y = k(x-1）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn) M，N．
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
10
(Ⅱ)當(dāng)△AMN 得面積為
時(shí)，求k 的值．
3
ì a = 2
?
? c
2
x
2
y
2
=
解得b = 2
+
=1．
【解析】(Ⅰ)由題意得í
．所以橢圓 C 的方程為
a
2
+c
4
2
?
?a
2
= b
2
2
?


ìy = k(x-1)
?
得(1+2k
2
)x
2
-4k
2
x+2k -4 = 0 ．
2
(Ⅱ)由í
x2
y2
+
=1
?
? 4
2
設(shè)點(diǎn) M，N 的坐標(biāo)分別為(x , y ) ，(x , y )，則 y = k(x -1)， y = k(x -1) ，
1
1
2
2
1
1
2
2
4k
2
2k
2
-4
x + x =
， x x =
．
1
2
1+2k
2
1
2
1+2k
2
所以|MN|=
(x - x )
2
+(y - y )2 = (1+k
2
)[(x + x )
2
-4x x ]
2
1
2
1
1
2
1 2
2 (1+ k
2
)(4+6k )
2
=
．
1+2k
2
|k |
由因?yàn)辄c(diǎn) A(2，0)到直線 y = k(x-1）的距離d =
，
1+2k
2
1
|k | 4+6k
2
|k | 4+6k
2
10
3
所以△AMN 的面積為 S = | MN |×d =
． 由
=
，解得k = ±1．
2
1+2k
2
1+2k
2
x
2
2
y
2
2
3
60．(2011 陜西理)設(shè)橢圓 C：
+
1 a b 0
= ( > > )過(guò)點(diǎn)(0，4)，離心率為
a
b
5
(Ⅰ)求 C 的方程；
4
(Ⅱ)求過(guò)點(diǎn)(3，0)且斜率為 的直線被 C 所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)．
5
-b
2
9
16
c 3
=1，∴b=4，又e = =
a 5
a
2
【解析】(Ⅰ)將(0，4)代入 C 的方程得
得
=
，
b
2
a
2
25
16
9
x
2
y
2
即1-
=
，∴A=5， ∴C 的方程為
+
=1．
a
2
25
25 16
4
4
( )
x 3 ，
= ( - )
( Ⅱ)過(guò)點(diǎn) 3,0 且斜率為 的直線方程為 y
5
5
( - )
2
4
x
2
x 3
(
) (
)
= ( - )
+
=1，
設(shè)直線與 C 的交點(diǎn)為 A x , y ，B x , y ，將直線方程 y
x 3 代入 C 的方程，得
1
1
2
2
5
25
25
3- 41
3+ 41 \
，
x1 + x
3
x
2
-3x-8 = 0，解得 x1 =
， x2 =
AB 的中點(diǎn)坐標(biāo) x =
2
= ，
即
2
2
2
2
y1 + y
2
5
6
? 3 6 ?
è 2 5 ?
y
=
2
= ( + - )= - ，即中點(diǎn)為 ,-
x x 6
．
?
÷
1 2
2
5

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