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2017-2018學年河南省安陽六十三中八年級（上）期中數(shù)學試卷
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．如下圖是用紙折疊成的圖案，其中是軸對稱圖形的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
　
2．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（　?。?br /> A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．4cm，5cm，10cm D．3cm，4cm，5cm
　
3．下面四個圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（　?。?br /> A． B． C． D．
　
4．在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
　
5．如圖，AC=AD，BC=BD，則有（　?。?br />
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
　
6．如圖，要用“SAS”證△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，則還需條件（　?。?br />
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
　
7．如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，DA=DB=5，△ABD的面積為10，則CD長是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
　
8．如圖所示，∠1=∠2，AC=DF，欲證△ABC≌△DEF，則還須補充的一個條件是（　?。?br />
A．BC=CE B．∠ACE=∠DFB C．AB=DE D．∠A=∠D
　
9．某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事方法是（　?。?br />
A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去
　
10．如圖，在下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（　?。?br />
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
　
　
二、填空題（每題3分，共27分）
11．等腰三角形的一個內(nèi)角是100°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為　　　　　?。?br /> 　
12．已知點A（m﹣1，3）與點B（2，n+1）關(guān)于x軸對稱，則m+n=　　　　　?。?br /> 　
13．已知一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形為　　　　　　邊形．
　
14．如圖，已知△ABC，BC=10，BC邊的垂直平分線交AB，BC于點E、D．若△ACE的周長為12，則△ABC的周長為　　　　　?。?br />
　
15．如圖，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分別是角平分線，且MN∥BA，分別交AC于N、BC于M，則△CMN的周長為　　　　　?。?br />
　
16．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　　　　　?。?br />
　
17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，則點D到AB的距離為　　　　　　cm．

　
18．如圖，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分線，且∠BAD：∠BAC=1：3，則∠C的度數(shù)是　　　　　　度．

　
19．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的結(jié)論有　　　　　?。ò涯阏J為正確的序號都填上）

　
　
三、解答題（本題共9個小題，滿分63分）
20．如圖，
（1）畫出△ABC關(guān)于Y軸的對稱圖形△A1B1C1；
（2）請計算△ABC的面積；
（3）直接寫出△ABC關(guān)于X軸對稱的三角形△A2B2C2的各點坐標．

　
21．如圖：點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥DF．求證：AB=DE，AC=DF．

　
22．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于點D，垂足為E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度數(shù)；
（2）求BD的長．

　
23．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F．
（1）求證：AD=CE；
（2）求∠DFC的度數(shù)．

　
24．如圖，E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF=EF，BD=CE，求證：△ABC是等腰三角形．

　
25．如圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若AB=AC．
求證：AD平分∠BAC．

　
26．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

　
　

2017-2018學年河南省安陽六十三中八年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．如下圖是用紙折疊成的圖案，其中是軸對稱圖形的有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】軸對稱圖形．
【分析】根據(jù)軸對稱的定義，結(jié)合所給圖形的特點進行判斷即可．
【解答】解：信封是軸對稱圖形；
飛機是軸對稱圖形；
褲子是軸對稱圖形；
褂子不是軸對稱圖形；
綜上可得軸對稱圖形共3個．
故選C．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
　
2．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（　?。?br /> A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．4cm，5cm，10cm D．3cm，4cm，5cm
【考點】三角形三邊關(guān)系．
【分析】根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”對各選項進行進行逐一分析即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能組成三角形，故此選項錯誤；
B、2+5＜8，不能組成三角形，故此選項錯誤；
C、4+5＜10，不能組成三角形，故此選項錯誤；
D、3+4＞5，能組成三角形，故此選項正確．
故選：D．
【點評】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，判斷能否組成三角形的簡便方法是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．
　
3．下面四個圖形中，線段BE是△ABC的高的圖是（　?。?br /> A． B． C． D．
【考點】三角形的角平分線、中線和高．
【分析】根據(jù)高的畫法知，過點B作AC邊上的高，垂足為E，其中線段BE是△ABC的高．
【解答】解：線段BE是△ABC的高的圖是D．
故選D．
【點評】三角形的高是指從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，連接頂點與垂足之間的線段．
　
4．在下列條件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【考點】三角形內(nèi)角和定理．
【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法對各個選項進行分析，從而得到答案．
【解答】解：①因為∠A+∠B=∠C，則2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因為∠A：∠B：∠C=1：2：3，設(shè)∠A=x，則x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；
③因為∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，則∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④因為∠A=∠B﹣∠C，所以∠C+∠A=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，2∠B=180°，解得∠B=90°，△ABC是直角三角形；
能確定△ABC是直角三角形的有①②③④共4個．
故選：D．
【點評】解答此題要用到三角形的內(nèi)角和為180°，以及三角形的形狀判定：若有一個內(nèi)角為90°，則△ABC是直角三角形．
　
5．如圖，AC=AD，BC=BD，則有（　?。?br />
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB與CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．
【專題】壓軸題．
【分析】由已知條件AC=AD，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)的逆用可得點A在CD的垂直平分線上，同理，點B也在CD的垂直平分線上，于是A是符合題意的，是正確的，答案可得．
【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴點A，B在線段CD的垂直平分線上．
∴AB垂直平分CD．
故選A．
【點評】本題考查的知識點為：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；兩點確定一條直線．分別應(yīng)用垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理是解答本題的關(guān)鍵．
　
6．如圖，要用“SAS”證△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，則還需條件（　?。?br />
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
【考點】全等三角形的判定．
【分析】根據(jù)題目中給出的條件AB=AD，AC=AE，要用“SAS”還缺少條件是夾角：∠BAC=∠DAE，篩選答案可選出C．
【解答】解：還需條件∠1=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中：
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故選：C．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是要熟記判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA．
　
7．如圖，直角三角形ABC中，∠C=90°，D為AC上一點，DA=DB=5，△ABD的面積為10，則CD長是（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點】勾股定理．
【分析】根據(jù)Rt△ABC中，∠C=90°，可證BC是△DAB的高，然后利用三角形面積公式求出BC的長，再利用勾股定理即可求出DC的長．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面積為10，DA=5，
∴DA?BC=10，
∴BC=4，
∴CD==3．
故選A．
【點評】此題主要考查學生對勾股定理和三角形面積的理解和掌握，此題的突破點是利用三角形面積公式求出BC的長．
　
8．如圖所示，∠1=∠2，AC=DF，欲證△ABC≌△DEF，則還須補充的一個條件是（　?。?br />
A．BC=CE B．∠ACE=∠DFB C．AB=DE D．∠A=∠D
【考點】全等三角形的判定．
【分析】可再補充一對對應(yīng)角角相等，或再補∠1和∠2的另一邊相等，可得出答案．
【解答】解：A、BC=CE，不是對應(yīng)邊，所以A不可以；
B、∠ACE=∠DBF和∠1=∠2是等價的條件，所以B也不可以；
C、AB=DE，AC=DF，∠1=∠2，滿足SSA，所以C也不能判定全等；
D、當∠A=∠D時，
在△ABC和△DEF中

∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故選D．
【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解題的關(guān)鍵．
　
9．某同學把一塊三角形的玻璃打碎成了3塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事方法是（　　）

A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．①②③都帶去
【考點】全等三角形的應(yīng)用．
【分析】本題就是已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一塊和第二塊只保留了原三角形的一個角和部分邊，根據(jù)這兩塊中的任一塊均不能配一塊與原來完全一樣的；
第三塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據(jù)ASA來配一塊一樣的玻璃．應(yīng)帶③去．
故選：C．
【點評】此題主要考查了全等三角形的判定方法的開放性的題，要求學生將所學的知識運用于實際生活中，要認真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法．
　
10．如圖，在下列條件中，不能證明△ABD≌△ACD的是（　　）

A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
【考點】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），故本選項錯誤；
B、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SAS），故本選項錯誤；
C、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（AAS），故本選項錯誤；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本選項正確；
故選D．
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
　
二、填空題（每題3分，共27分）
11．等腰三角形的一個內(nèi)角是100°，那么另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為　40°，40°?。?br /> 【考點】等腰三角形的性質(zhì)．
【專題】應(yīng)用題．
【分析】因為等腰三角形中必有兩個角相等和三角形內(nèi)角和為180°，由其等腰三角形的另一個底角不能為100°，所以剩下兩個角為底角為40°，40°．
【解答】解：∵三角形內(nèi)角和為180°，
∴100°只能為頂角，
∴剩下兩個角為底角，且他們之和為80°，
∴另外兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為40°，40°．
故答案為：40°，40°．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和知識；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
　
12．已知點A（m﹣1，3）與點B（2，n+1）關(guān)于x軸對稱，則m+n=　﹣1?。?br /> 【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標．
【分析】利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)得出m，n的值，進而求出即可．
【解答】解：∵點A（m﹣1，3）與點B（2，n+1）關(guān)于x軸對稱，
∴m﹣1=2，n+1=﹣3，
解得：m=3，n=﹣4，
則m+n=﹣1．
故答案為：﹣1．
【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)，利用橫縱坐標關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．
　
13．已知一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，則這個多邊形為　八　邊形．
【考點】多邊形內(nèi)角與外角．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，多邊形的內(nèi)角和等于（n﹣2）?180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，
（n﹣2）?180°=3×360°，
解得n=8，
∴這個多邊形為八邊形．
故答案為：八．
【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵，要注意“八”不能用阿拉伯數(shù)字寫．
　
14．如圖，已知△ABC，BC=10，BC邊的垂直平分線交AB，BC于點E、D．若△ACE的周長為12，則△ABC的周長為　22?。?br />
【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．
【分析】由BC邊的垂直平分線交AB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BE=CE，又由△ACE的周長為12，即可得AB+AC=12，繼而求得答案．
【解答】解：∵BC邊的垂直平分線交AB，
∴BE=CE，
∵△ACE的周長為12，
∴AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=12，
∵BC=10，
∴△ABC的周長為：AB+AC+BC=22．
故答案為：22．
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
　
15．如圖，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分別是角平分線，且MN∥BA，分別交AC于N、BC于M，則△CMN的周長為　24?。?br />
【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．
【專題】計算題．
【分析】根據(jù)AO、BO分別是角平分線和MN∥BA，求證△AON和△BOM為等腰三角形，再根據(jù)AC+BC=24，利用等量代換即可求出△CMN的周長
【解答】解：AO、BO分別是角平分線，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM為等腰三角形，
∵MN=MO+ON，AC+BC=24，
∴△CMN的周長=MN+MC+NC=AC+BC=24．
故答案為：24．
【點評】此題主要考查學生對等腰三角形的判定與性質(zhì)平行線段性質(zhì)的理解和掌握，此題關(guān)鍵是求證△AON和△BOM為等腰三角形，難度不大，是一道基礎(chǔ)題．
　
16．如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　360°?。?br />
【考點】三角形內(nèi)角和定理．
【分析】結(jié)合圖形根據(jù)三角形的外角和定理進行計算，要求的角的和顯然是一個三角形的三個外角的和．
【解答】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案為：360°

【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F轉(zhuǎn)化為一個三角形的三個外角的和是解題的關(guān)鍵．
　
17．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，則點D到AB的距離為　3　cm．

【考點】角平分線的性質(zhì)．
【專題】計算題．
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)“角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等”，可得點D到AB的距離=點D到AC的距離=CD=3．
【解答】解：∵BC=10，BD=7，
∴CD=3．
由角平分線的性質(zhì)，得點D到AB的距離等于CD=3．
故答案為：3．
【點評】本題主要考查平分線的性質(zhì)，由已知能夠注意到D到AB的距離即為CD長是解決的關(guān)鍵．
　
18．如圖，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分線，且∠BAD：∠BAC=1：3，則∠C的度數(shù)是　44　度．

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)．
【分析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因為∠B=70°?∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BAD，由此可求得角度數(shù)．
【解答】解：設(shè)∠BAD為x，則∠BAC=3x，
∵DE是AC的垂直平分線，
∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，
根據(jù)題意得：180°﹣（x+70°）=2x+2x，
解得x=22°，
∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．
故填44°．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等），難度一般．考生需要注意的是角的比例關(guān)系的設(shè)法，應(yīng)用列方程求解是正確解答本題的關(guān)鍵．
　
19．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作正△ABC和正△CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的結(jié)論有?、佗冖邰荨。ò涯阏J為正確的序號都填上）

【考點】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】動點型．
【分析】由已知條件運用等邊三角形的性質(zhì)得到三角形全等，進而得到更多結(jié)論，然后運用排除法，對各個結(jié)論進行驗證從而確定最后的答案．
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正確）；

②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正確）；

③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD﹣DP=BE﹣QE，
∴AP=BQ，（故③正確）；

④∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故④錯誤）；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正確）．
∴正確的有：①②③⑤．
故答案為：①②③⑤．

【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定等知識點；得到三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵．
　
三、解答題（本題共9個小題，滿分63分）
20．如圖，
（1）畫出△ABC關(guān)于Y軸的對稱圖形△A1B1C1；
（2）請計算△ABC的面積；
（3）直接寫出△ABC關(guān)于X軸對稱的三角形△A2B2C2的各點坐標．

【考點】作圖-軸對稱變換．
【分析】（1）從三角形的各點向?qū)ΨQ軸引垂線并延長相同單位得到各點的對應(yīng)點，順次連接即可；
（2）先求出三角形各邊的長，得出這是一個直角三角形，再根據(jù)面積公式計算；
（3）利用軸對稱圖形的性質(zhì)可得．
【解答】解：（1）如圖

（2）根據(jù)勾股定理得AC==，
BC=，AB=，
再根據(jù)勾股定理可知此三角形為直角三角形，
則s△ABC=；

（3）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)得：A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．

【點評】做軸對稱圖形的關(guān)鍵是找出各點的對應(yīng)點，然后順次連接．
　
21．如圖：點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥DF．求證：AB=DE，AC=DF．

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】證明題．
【分析】結(jié)合已知條件可由ASA得出△ABC≌△DEF，進而可得出結(jié)論．
【解答】證明：∵FB=EC，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥DF，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△ABC與△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，AC=DF．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問題，應(yīng)熟練掌握．
　
22．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交AC于點D，垂足為E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度數(shù)；
（2）求BD的長．

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）由于AB的垂直平分線交AC于點D，根據(jù)線段的垂直平方的性質(zhì)得到DA=DB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠DBE=∠A，然后利用已知條件即可求出∠BDC的度數(shù)；
（2）利用已知條件和30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出BD的長．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=60°；

（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
【點評】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)和30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)等幾何知識．
　
23．如圖，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AB上，且BD=AE，AD與CE交于點F．
（1）求證：AD=CE；
（2）求∠DFC的度數(shù)．

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
【專題】作圖題．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根據(jù)三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE；

（2）解：
∵（1）△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【點評】本題利用了等邊三角形的性質(zhì)和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解．
　
24．如圖，E在△ABC的AC邊的延長線上，D點在AB邊上，DE交BC于點F，DF=EF，BD=CE，求證：△ABC是等腰三角形．

【考點】等腰三角形的判定．
【專題】證明題．
【分析】利用平行線的性質(zhì)得出∠GDF=∠CEF進而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】證明：過點D作DG∥AE于點G，
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），
在△GDF和△CEF中
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的判定，比較簡單，判定兩三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟練掌握．
　
25．如圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若AB=AC．
求證：AD平分∠BAC．

【考點】角平分線的性質(zhì)．
【專題】證明題．
【分析】連接BC，先證明△BCF≌△CBE，則BF=CE，則Rt△BFD≌Rt△CED（AAS），所以DF=DE，由角平分線的逆定理可得AD平分∠BAC．
【解答】解：方法一：連接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF=CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先證△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）證△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．

【點評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，難度中等，作輔助線很關(guān)鍵．
　
26．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）求證：△COD是等邊三角形；
（2）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
【專題】幾何綜合題．
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出OC=OD，結(jié)合題意即可證得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可作出判斷；
（3）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答．
【解答】（1）證明：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形．

（2）解：當α=150°時，△AOD是直角三角形．
理由是：∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等邊三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．

（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，
∠OAD==120°﹣，
∴190°﹣α=120°﹣，
解得α=140°．
綜上所述：當α的度數(shù)為125°或110°或140°時，△AOD是等腰三角形．
【點評】本題以“空間與圖形”中的核心知識（如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等）為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進．試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊含著豐富的思想方法（如運動變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等），能較好地考查學生的推理、探究及解決問題的能力．
　


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