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2022學(xué)年北京六十三中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
　
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
1．二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為（　?。?br /> 　 A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1
　
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（　　）
　 A． B． C． D．
　
3．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> 　 A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）
　
4．把拋物線y=﹣x2向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（　?。?br /> 　 A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3
　
5．下列三個(gè)命題：①圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等．其中真命題的是（　?。?br /> 　 A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③
　
6．如圖：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=1，AC=，則AD等于（　?。?br />
　 A． 1 B． C． 2 D． 3
　
7．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長(zhǎng)為（　　）

　 A． 2 B． 4 C． 8 D．
　
8．函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（　?。?br /> 　 A． B． C． D．
　
　
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．二次函數(shù)y=ax2+4x+a的最大值是3，則a的值是　　　　　?。?br /> 　
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，則cosA=　　　　　　．
　
11．過⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦為10 cm，最短弦長(zhǎng)為8 cm，那么OM的長(zhǎng)為　　　　　　cm．
　
12．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，根據(jù)圖形判斷①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正確的是（填寫序號(hào)）　　　　　?。?br />
　
　
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計(jì)算：cos45°﹣tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．
　
14．在△ABC中，∠A=30，tanB=，BC=．求AB的長(zhǎng)．

　
15．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．

　
16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于（2，0）、（4，0），頂點(diǎn)到x軸的距離為3，求函數(shù)的解析式．
　
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足為E．
（1）求OE的長(zhǎng)；
（2）求劣弧AC的長(zhǎng)．

　
18．如圖，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）求tanA的值．

　
　
四、解答題（本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題4分，第22題6分）
19．已知二次函數(shù)y=x2+4x+3．
（1）用配方法將y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
（3）寫出當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0．

　
20．已知：拋物線y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且開口向上．
（1）確定m的值；
（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，y隨x的增大而增大？
（4）當(dāng)x取什么值時(shí)，y＜0？
　
21．如圖，海上有一個(gè)小島P，它的周圍12海里有暗礁，漁船由西向東航行，在點(diǎn)A測(cè)得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東行駛，有沒有觸礁的危險(xiǎn)，通過計(jì)算說明．

　
22．某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8臺(tái)，為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出4臺(tái)．
（1）假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的數(shù)量是y臺(tái)，請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)是z元，請(qǐng)寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（3）商場(chǎng)要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元？
　
　
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，求拋物線C3的解析式．

　
24．如圖，拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB的寬為20m．漲水時(shí)水面上升了3m，達(dá)到了警戒水位，這時(shí)水面寬CD=10m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)水位繼續(xù)以每小時(shí)0.2m的速度上升時(shí)，再經(jīng)過幾小時(shí)就到達(dá)拱頂？

　
25．下圖是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，﹣4）．
（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

　
　

2022學(xué)年北京六十三中九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
1．二次函數(shù)y=x2﹣2x+3的對(duì)稱軸為（　?。?br /> 　 A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=﹣1

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式直接解答即可．
解答： 解：y=x2﹣2x+3中，
a=1，b=﹣2，c=3，
x=﹣=﹣=1．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟悉二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式是解題的關(guān)鍵．
　
2．在△ABC中，∠C=90°，cosA=，那么sinA的值等于（　?。?br /> 　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 同角三角函數(shù)的關(guān)系．
分析： 根據(jù)公式cos2A+sin2A=1解答．
解答： 解：∵cos2A+sin2A=1，cosA=，
∴sin2A=1﹣=，
∴sinA=．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查公式cos2A+sin2A=1的利用．
　
3．二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
　 A． （﹣1，3） B． （1，3） C． （﹣1，﹣3） D． （1，﹣3）

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式一般形式的特點(diǎn)，可直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
解答： 解：二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+3為頂點(diǎn)式，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）．
故選B．
點(diǎn)評(píng)： 主要考查了求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法．
　
4．把拋物線y=﹣x2向左平移1個(gè)單位，然后向上平移3個(gè)單位，則平移后拋物線的解析式為（　?。?br /> 　 A． y=﹣（x﹣1）2﹣3 B． y=﹣（x+1）2﹣3 C． y=﹣（x﹣1）2+3 D． y=﹣（x+1）2+3

考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 利用二次函數(shù)平移的性質(zhì)．
解答： 解：當(dāng)y=﹣x2向左平移1個(gè)單位時(shí)，頂點(diǎn)由原來的（0，0）變?yōu)椋ī?，0），
當(dāng)向上平移3個(gè)單位時(shí)，頂點(diǎn)變?yōu)椋ī?，3），
則平移后拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+3．
故選：D．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查二次函數(shù)y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的關(guān)系問題．
　
5．下列三個(gè)命題：①圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形；②垂直于弦的直徑平分弦；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等．其中真命題的是（　?。?br /> 　 A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①②③

考點(diǎn)： 命題與定理．
分析： 判斷命題是否為假命題，就要判斷由題設(shè)能否推出結(jié)論，能推出，則該命題為真命題；不能推出，則該命題為假命題．
解答： 解：①由于圓沿著每條直徑所在直線對(duì)折后能夠完全重合，所以圓是軸對(duì)稱圖形；由于圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)180°后能與本身重合，所以圓是中心對(duì)稱圖形；所以此命題為真命題，故本選項(xiàng)正確；
②垂直于弦的直徑平分弦，符合垂徑定理，是真命題，故本選項(xiàng)正確；
③相等的圓心角所對(duì)的弧相等，說法不確切，應(yīng)為“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等”，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選A．
點(diǎn)評(píng)： 考查了命題與定理，不僅要熟悉命題的概念，還要熟悉圓的定義及相關(guān)知識(shí)，難度不大．
　
6．如圖：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=1，AC=，則AD等于（　　）

　 A． 1 B． C． 2 D． 3

考點(diǎn)： 相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析： 根據(jù)∠BAC=90°，AD⊥BC，得到∠BAC=∠ADC=90°，由于∠C=∠C，證得△ABC∽△ADC，得到比例式，求得CD，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
解答： 解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△ADC，
∴，
∴AC2=BC?CD，
即（2）2=（1+CD）?CD，
解得：CD=4（負(fù)值舍去），
∴AD===2．
故選C．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
　
7．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為P．若PA=2，PB=8，則CD的長(zhǎng)為（　?。?br />
　 A． 2 B． 4 C． 8 D．

考點(diǎn)： 垂徑定理；勾股定理．
分析： 連接OC，根據(jù)PA=2，PB=8可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根據(jù)垂徑定理可得CD=2CP=8．
解答： 解：連接OC，
∵PA=2，PB=8，
∴AB=10，
∴CO=5，OP=5﹣2=3，
在Rt△POC中：CP==4，
∵直徑AB垂直于弦CD，
∴CD=2CP=8，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了勾股定理和垂徑定理，關(guān)鍵是掌握平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?br /> 　
8．函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（　?。?br /> 　 A． B． C． D．

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象．
分析： 根據(jù)a、b的符號(hào)，針對(duì)二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，開口方向，分類討論，逐一排除．
解答： 解：當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)的圖象開口向上，
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三或一、二、三或一、三、四象限，
故A、D不正確；
由B、C中二次函數(shù)的圖象可知，對(duì)稱軸x=﹣＞0，且a＞0，則b＜0，
但B中，一次函數(shù)a＞0，b＞0，排除B．
故選：C．
點(diǎn)評(píng)： 應(yīng)該識(shí)記一次函數(shù)y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等．
　
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9．二次函數(shù)y=ax2+4x+a的最大值是3，則a的值是　﹣1?。?br />
考點(diǎn)： 二次函數(shù)的最值．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的最大值公式列出方程計(jì)算即可得解．
解答： 解：由題意得，=3，
整理得，a2﹣3a﹣4=0，
解得a1=4，a2=﹣1，
∵二次函數(shù)有最大值，
∴a＜0，
∴a=﹣1．
故答案為：﹣1．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的最值，易錯(cuò)點(diǎn)在于要考慮a的正負(fù)情況．
　
10．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，則cosA=　?。?br />
考點(diǎn)： 銳角三角函數(shù)的定義．
分析： 首先求得c的長(zhǎng)度，然后由余弦函數(shù)的定義求解即可．
解答： 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：c===．
cosA==．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義，掌握余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
　
11．過⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦為10 cm，最短弦長(zhǎng)為8 cm，那么OM的長(zhǎng)為　3　cm．

考點(diǎn)： 垂徑定理；勾股定理．
分析： 根據(jù)垂徑定理及勾股定理即可求出．
解答： 解：由已知可知，最長(zhǎng)的弦是過M的直徑AB
最短的是垂直平分直徑的弦CD
已知AB=10cm，CD=8cm
則OD=5cm，MD=4cm
由勾股定理得OM=3cm．

點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查學(xué)生對(duì)垂徑定理及勾股定理的運(yùn)用．
　
12．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐標(biāo)系中的圖象，根據(jù)圖形判斷①c＞0；②a+b+c＜0；③2a﹣b＜0；④b2+8a＞4ac中正確的是（填寫序號(hào)）?、冖堋。?br />

考點(diǎn)： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專題： 壓軸題．
分析： 首先根據(jù)圖象中拋物線的開口方向、對(duì)稱軸的位置、與y軸交點(diǎn)的位置來判斷出a、b、c的位置，進(jìn)而判斷各結(jié)論是否正確．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的圖象知：
拋物線開口向上，則a＞0；（⊙）
拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則x=﹣＞0，即b＜0；（△）
拋物線交y軸于負(fù)半軸，則c＜0；（□）
①由（□）知：c＜0，故①錯(cuò)誤；
②由圖知：當(dāng)x=1時(shí)，y＜0；即a+b+c＜0，故②正確；
③由（⊙）（△）可知：2a＞0，﹣b＞0；所以2a﹣b＞0，故③錯(cuò)誤；
④由于拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則△=b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
由（⊙）知：a＞0，則8a＞0；所以b2+8a＞4ac，故④正確；
所以正確的結(jié)論為②④．
點(diǎn)評(píng)： 由圖象找出有關(guān)a，b，c的相關(guān)信息以及拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=a﹣b+c，然后根據(jù)圖象判斷其值．
　
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計(jì)算：cos45°﹣tan60°﹣（﹣2010）0+2﹣1．

考點(diǎn)： 實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；特殊角的三角函數(shù)值．
專題： 計(jì)算題．
分析： 原式第一、二項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第三項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算，最后一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果．
解答： 解：原式=×﹣×﹣1+
=﹣1．
點(diǎn)評(píng)： 此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
　
14．在△ABC中，∠A=30，tanB=，BC=．求AB的長(zhǎng)．


考點(diǎn)： 解直角三角形．
分析： 作CD⊥AB于D，先解Rt△BCD，求出CD、BD；然后在Rt△ACD中利用∠A的正切求出AD的長(zhǎng)；那么根據(jù)AB=AD+BD即可求解．
解答： 解：作CD⊥AB于D．
設(shè)CD=x，根據(jù)題意得BD=3x．
在Rt△BCD中，由勾股定理得x2+（3x）2=（）2，
解得x=1．
所以CD=1，BD=3．
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，tanA=，
∴AD==．
∴AB=AD+BD=+3．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了解直角三角形，作輔助線把三角形分解成兩個(gè)直角三角形，再利用三角函數(shù)求解．
　
15．已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，求tanC的值．


考點(diǎn)： 解直角三角形．
分析： 首先根據(jù)所給比例求得AD與DC的比值，從而可求得答案．
解答： 解：∵AD：BD=2：3，BD：DC=4：5，
∴AD：BD：DC=8：12：15．
∴AD：DC=8：15．
∵AD⊥BC，
∴tanC=．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查的是銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)已知條件求得AD：BD：DC=8：12：15是解題的關(guān)鍵．
　
16．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于（2，0）、（4，0），頂點(diǎn)到x軸的距離為3，求函數(shù)的解析式．

考點(diǎn)： 拋物線與x軸的交點(diǎn)．
分析： 根據(jù)已知條件易求頂點(diǎn)為（3，3）或（3，﹣3）．所以設(shè)該二次函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
解答： 解：由題意知，頂點(diǎn)為（3，3）或（3，﹣3）．設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x﹣3）2±3（a≠0）．
①當(dāng)頂點(diǎn)為（3，3）時(shí)，
∵拋物線過（2，0），
∴a（2﹣3）2+3=0，
∴a=﹣3．
∴拋物線解析式為y=﹣3（x﹣3）2+3，即y=﹣3x2+18x﹣24；
②當(dāng)頂點(diǎn)為（3，﹣3）時(shí)，∵拋物線過（2，0），
∴a（2﹣3）2﹣3=0，
∴a=3．
∴拋物線解析式為y=3（x﹣3）2﹣3，即y=3x2﹣18x+24．
點(diǎn)評(píng)： 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解題時(shí)，要分類討論，以防漏解．
　
17．如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足為E．
（1）求OE的長(zhǎng)；
（2）求劣弧AC的長(zhǎng)．


考點(diǎn)： 垂徑定理；三角形中位線定理；圓周角定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算．
分析： （1）由垂徑定理知，由E是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，則OB是△ABC的BC邊對(duì)的中位線，所以O(shè)E=BC；
（2）由圓周角定理得∠A=∠BOC=30°，根據(jù)平角的意義求得∠AOC的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式求得弧AC的長(zhǎng)．
解答： 解：（1）∵OE⊥AC，垂足為E，AE=EC，
∵AO=B0，
∴OE=BC=4；

（2）∵∠A與∠BOC是同弧所對(duì)的圓周角與圓心角，
∴∠A=∠BOC=30°，
在Rt△AOE中，sinA=，即OA===8，
∵∠AOC=180°﹣60°=120°，
∴弧AC的長(zhǎng)==π．

點(diǎn)評(píng)： 本題利用了垂徑定理，三角形中位線的性質(zhì)，圓周角定理，正弦的概念，弧長(zhǎng)公式求解．
　
18．如圖，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，∠A=15°．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）求tanA的值．


考點(diǎn)： 解直角三角形．
分析： （1）根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，只需求得AD的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得BD的長(zhǎng)即可．
解答： 解：（1）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∴；

（2）在Rt△BDC中，∠D=90°，BC=10，∠CBD=30°，
∵，
∴．
∵∠CBD=30°，∠A=15°，
∴∠A=∠ACB，
．∴AB=BC=10．
∴在Rt△CAD中，．
點(diǎn)評(píng)： 此題綜合運(yùn)用了30°的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的概念．
　
四、解答題（本題共20分，第19題5分，第20題5分，第21題4分，第22題6分）
19．已知二次函數(shù)y=x2+4x+3．
（1）用配方法將y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；
（3）寫出當(dāng)x為何值時(shí)，y＞0．


考點(diǎn)： 二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的圖象．
專題： 應(yīng)用題．
分析： （1）根據(jù)配方法先提出二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式．
（2）畫圖象的步驟：列表、描點(diǎn)、連線；
（3）當(dāng)y＞0時(shí)，即圖象在x軸上方的部分，再寫出x的取值范圍．
解答： 解：（1）y=x2+4x+3，
y=x2+4x+4﹣4+3，
y=x2+4x+4﹣1，
y=（x+2）2﹣1；

（2）列表：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 3 0 ﹣1 0 3 …
圖象見圖．

（3）由圖象可知，當(dāng)x＜﹣3或x＞﹣1時(shí)，y＞0．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的解析式的形式及拋物線的畫法，注意：二次函數(shù)的解析式的三種形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；
（2）頂點(diǎn)式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交點(diǎn)式（與x軸）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．
　
20．已知：拋物線y=（m﹣1）x2+mx+m2﹣4的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且開口向上．
（1）確定m的值；
（2）求此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x取什么值時(shí)，y隨x的增大而增大？
（4）當(dāng)x取什么值時(shí)，y＜0？

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）圖象經(jīng)過原點(diǎn)，即x=0時(shí)，y=0，列方程求解，同時(shí)要注意開口向上，即m﹣1＞0；
（2）把得出拋物線的一般式用配方法轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）畫拋物線時(shí)，要明確表示拋物線與x軸，y軸的交點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向等；
（4）觀察圖象，可直接得出y＜0時(shí)，x的取值范圍．
解答： 解：（1）由題意得，
解得m=2；

（2）∵拋物線解析式為y=x2+2x=（x+1）2﹣1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣1）；

（3）拋物線如圖如圖所示；由圖可知，x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大；

（4）由圖可知，當(dāng)﹣2＜x＜0時(shí)，y＜0．

點(diǎn)評(píng)： 考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線的頂點(diǎn)式適合與確定拋物線的開口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸，最大（?。┲?，增減性等；拋物線的交點(diǎn)式適合于確定函數(shù)值y＞0，y=0，y＜0．
　
21．如圖，海上有一個(gè)小島P，它的周圍12海里有暗礁，漁船由西向東航行，在點(diǎn)A測(cè)得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)B點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島P在北偏東45°方向上．如果漁船不改變航線繼續(xù)向東行駛，有沒有觸礁的危險(xiǎn)，通過計(jì)算說明．


考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．
分析： 過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根據(jù)三角函數(shù)AD，BD就可以PD表示出來，根據(jù)AB=12海里，就得到一個(gè)關(guān)于PD的方程，求得PD．從而可以判斷如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險(xiǎn)．
解答： 解：沒有觸礁危險(xiǎn)．
理由：過點(diǎn)P作PD⊥AC，交AB延長(zhǎng)線于D．
設(shè)PD為x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°﹣45°=45°．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°﹣60°=30°
∴AD==x，
∵AD=AB+BD，
∴x=12+x
∴x==6（+1），
∵6（+1）＞12，
∴漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，沒有觸礁危險(xiǎn)．

點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的前提和關(guān)鍵．
　
22．某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為2000元的冰箱以2400元出售，平均每天能售出8臺(tái)，為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施．調(diào)查表明：這種冰箱的售價(jià)每降低50元，平均每天就能多售出4臺(tái)．
（1）假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的數(shù)量是y臺(tái)，請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（2）假設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元，商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)是z元，請(qǐng)寫出z與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫自變量的取值范圍）
（3）商場(chǎng)要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元？

考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用；一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 銷售問題．
分析： （1）用x占50的分?jǐn)?shù)乘以4，再加上8臺(tái)，整理即可得解；
（2）用每一臺(tái)冰箱的利潤(rùn)乘以一天銷售臺(tái)數(shù)，整理即可得解；
（3）根據(jù)利潤(rùn)的函數(shù)解析式，令z=4800，解關(guān)于x的一元二次方程，再根據(jù)使百姓得到實(shí)惠解答．
解答： 解：（1）根據(jù)題意得：y=8+4×=x+8；

（2）根據(jù)題意得：z=（400﹣x）?（x+8）=﹣x2+24x+3200；

（3）根據(jù)題意得：﹣x2+24x+3200=4800，
整理，x2﹣300x+20000=0，
（x﹣100）（x﹣200）=0，
解得，x1=200，x2=100，
∵要使這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠，
∴x=200．
答：要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時(shí)又要使百姓得到實(shí)惠每臺(tái)應(yīng)降200元．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)x所占50的分?jǐn)?shù)列出銷售臺(tái)數(shù)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意使百姓得到實(shí)惠的條件限制．
　
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．如圖，已知拋物線C1：y=a（x+2）2﹣5的頂點(diǎn)為P，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1；
（1）求a的值；
（2）如圖，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對(duì)稱，將拋物線C2向右平移，平移后的拋物線記為C3，拋物線C3的頂點(diǎn)為M，當(dāng)點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，求拋物線C3的解析式．


考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 綜合題．
分析： （1）將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線C1的解析式中，即可求得待定系數(shù)a的值．
（2）在拋物線平移過程中，拋物線的開口大小沒有發(fā)現(xiàn)變化，變化的只是拋物線的位置和開口方向，所以C3的二次項(xiàng)系數(shù)與C1的互為相反數(shù)，而C3的頂點(diǎn)M與C1的頂點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，P點(diǎn)坐標(biāo)易求得，即可得到M點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出拋物線C3的解析式．
解答： 解：（1）∵點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，橫坐標(biāo)是1，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），
∴當(dāng)x=1時(shí)，0=a（1+2）2﹣5，
∴．

（2）設(shè)拋物線C3解析式為y=a′（x﹣h）2+k，
∵拋物線C2與C1關(guān)于x軸對(duì)稱，且C3為C2向右平移得到，
∴，
∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2，﹣5），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，5），
∴拋物線C3的解析式為y=﹣（x﹣2）2+5=﹣x2+x+．
點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查的是二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)圖象的幾何變化以及系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，需要熟練掌握．
　
24．如圖，拋物線形的拱橋在正常水位時(shí)，水面AB的寬為20m．漲水時(shí)水面上升了3m，達(dá)到了警戒水位，這時(shí)水面寬CD=10m．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)水位繼續(xù)以每小時(shí)0.2m的速度上升時(shí)，再經(jīng)過幾小時(shí)就到達(dá)拱頂？


考點(diǎn)： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： （1）先設(shè)拋物線的解析式為y=ax2，再找出幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式后可求解；
（2）由（1）可知拋物線的解析式，把b=﹣1代入即可求出CD的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出時(shí)間．
解答： 解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y=ax2．
設(shè)D（5，b），則B（10，b﹣3），
把D、B的坐標(biāo)分別代入y=ax2得：，
解得，
∴y=﹣x2；
（2）∵b=﹣1，
∴拱橋頂O到CD的距離為1，=5小時(shí)．
所以再持續(xù)5小時(shí)到達(dá)拱橋頂．
點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題
　
25．下圖是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，﹣4）．
（1）求出圖象與x軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使S△PAB=S△MAB？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．


考點(diǎn)： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： （1）由頂點(diǎn)坐標(biāo)確定m、k的值，再令y=0求得圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)存在這樣的P點(diǎn)，由于底邊相同，求出△PAB的高|y|，將y求出代入二次函數(shù)表達(dá)式求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）畫出翻轉(zhuǎn)后新的函數(shù)圖象，由直線y=x+b，b＜1確定出直線移動(dòng)的范圍，求出b的取值范圍．
解答： 解：（1）因?yàn)镸（1，﹣4）是二次函數(shù)y=（x+m）2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
所以y=（x﹣1）2﹣4=x2﹣2x﹣3，
令x2﹣2x﹣3=0，
解之得x1=﹣1，x2=3．
∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），B（3，0）；（4分）

（2）在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P，使，
設(shè)P（x，y），
則，
又∵，
∴．
∵二次函數(shù)的最小值為﹣4，
∴y=5．
當(dāng)y=5時(shí)，x=﹣2或x=4．
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，5）或（4，5）；

（3）如圖，當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A（﹣1，0）時(shí)﹣1+b=0，可得b=1，又因?yàn)閎＜1，
故可知y=x+b在y=x+1的下方，
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）時(shí)，3+b=0，則b=﹣3，
由圖可知符合題意的b的取值范圍為﹣3＜b＜1時(shí)，直線y=x+b（b＜1）與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)： 本題考查了由函數(shù)圖象確定坐標(biāo)，以及給出面積關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo)和直線與圖象的交點(diǎn)問題，綜合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．


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