第八章　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析8.3　列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)素養(yǎng)目標(biāo)?定方向必備知識(shí)?探新知 基礎(chǔ)知識(shí)分類變量用來(lái)區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的隨機(jī)變量，其取值可以用實(shí)數(shù)表示．知識(shí)點(diǎn)1知識(shí)點(diǎn)22×2列聯(lián)表及隨機(jī)事件的概率(1)2×2列聯(lián)表：如果隨機(jī)事件X與Y的樣本數(shù)據(jù)如下表格形式在這個(gè)表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱為2×2列聯(lián)表．(2)2×2列聯(lián)表中隨機(jī)事件的概率：如上表，記n＝a＋b＋c＋d，則事件{Y＝0}發(fā)生的概率可估計(jì)為______________；事件{X＝1}發(fā)生的概率可估計(jì)為______________；事件{X＝1，Y＝0}發(fā)生的概率可估計(jì)為____________________.事件{X＝1|Y＝0}發(fā)生的概率可估計(jì)為____________________.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對(duì)分類變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對(duì)立事件，故要判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關(guān)聯(lián)，需要判斷假定關(guān)系__________ _____________________是否成立．通常稱H0為零假設(shè)．(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用隨機(jī)變量χ2來(lái)判斷“兩個(gè)分類量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．知識(shí)點(diǎn)3H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)(4)對(duì)照表及檢驗(yàn)規(guī)則：當(dāng)χ2≥xα?xí)r就推斷“X與Y不獨(dú)立”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，可以認(rèn)為“X與Y獨(dú)立”．關(guān)鍵能力?攻重難題型探究某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張．性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高堆積條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類別是否有關(guān)系．典例1[解析]　作列聯(lián)表如下：相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)所占的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類型有關(guān)．(2022·山東青島一中高二期中)為了了解某高校學(xué)生喜歡使用手機(jī)支付是否與性別有關(guān)，抽取了部分學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)后作出如圖所示的等高堆積條形圖，則下列說(shuō)法正確的是 (　　)A．喜歡使用手機(jī)支付與性別無(wú)關(guān)B．樣本中男生喜歡使用手機(jī)支付的約60%典例2DC．樣本中女生喜歡使用手機(jī)支付的人數(shù)比男生多D．女生比男生喜歡使用手機(jī)支付的可能性大些[解析]　A錯(cuò)誤，根據(jù)等高堆積條形圖，喜歡和不喜歡使用手機(jī)支付的比例因性別差距很明顯，所以喜歡使用手機(jī)支付與性別有關(guān)；B錯(cuò)誤，樣本中男生喜歡使用手機(jī)支付的約為40%；女生比男生喜歡使用手機(jī)支付的可能性大些，由于不知道男女生人數(shù)，所以不能認(rèn)定女生喜歡使用手機(jī)支付的人數(shù)是否比男生多，所以C錯(cuò)誤，D正確．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】? 為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液做尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下表．問(wèn)：鉛中毒病人組和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別？[解析]　由上述列聯(lián)表可知，在鉛中毒病人組中尿棕色素為陽(yáng)性的占80.56%，而鉛中毒對(duì)照組僅占24.32%.說(shuō)明它們之間有較大差別．畫出等高堆積條形圖如圖所示．由列聯(lián)表及等高堆積條形圖可知，鉛中毒病人組與對(duì)照組相比較，尿棕色素為陽(yáng)性數(shù)差別明顯，因此鉛中毒病人組和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有明顯差別．(2019·全國(guó)Ⅰ卷)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：典例3(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？[分析]　(1)根據(jù)列聯(lián)表，用頻率代替概率，可分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)求出χ2的值，與臨界值表對(duì)比可得結(jié)論．[規(guī)律方法]　解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的基本步驟【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】? 2022年春季，某出租汽車公司決定更換一批小汽車以代替原來(lái)報(bào)廢的出租車，現(xiàn)有A，B兩款車型的使用壽命(單位：年)頻數(shù)表如下：(1)填寫下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為出租車的使用壽命與汽車車型有關(guān)；(2)司機(jī)師傅小李準(zhǔn)備在一輛開了4年的A型車和一輛開了4年的B型車中選擇，為了盡最大可能實(shí)現(xiàn)3年內(nèi)(含3年)不換車，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他應(yīng)如何選擇．[解析]　(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：某校鼓勵(lì)即將畢業(yè)的大學(xué)生到西部偏遠(yuǎn)地區(qū)去支教，校學(xué)生就業(yè)部針對(duì)即將畢業(yè)的男、女生是否愿意到西部支教進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到的情況如下表所示：?典例4(1)完成上述2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析愿意去西部支教是否與性別有關(guān)？(3)若在接受調(diào)查的所有男生中按照“是否愿意去支教”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取10人，再在10人中抽取3人進(jìn)行面談，記面談的男生中，不愿意去支教的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及數(shù)學(xué)期望．[分析]　(2)根據(jù)列聯(lián)表求出χ2和相應(yīng)的頻率，從而分析是否與性別有關(guān)；(3)由超幾何分布公式求出相應(yīng)的分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．[解析]　(1)2×2列聯(lián)表如下：[規(guī)律方法]　解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟：【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】? 某地為了調(diào)查市民對(duì)“一帶一路”倡議的了解程度，隨機(jī)選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并通過(guò)問(wèn)卷的分?jǐn)?shù)把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類，數(shù)據(jù)如表所示.(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)“一帶一路”倡議的了解有差異；(結(jié)果精確到0.001)(2)以頻率估計(jì)概率，若在該地選出4名市民(年齡在20歲至60歲)，記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附：[分析]　(1)由表格讀取信息，年齡低于40歲的共60人，年齡不低于40歲的共40人，填寫2×2列聯(lián)表，再把數(shù)據(jù)代入χ2公式計(jì)算；(2)在總體未知的市民中選取4人，由頻率估計(jì)概率得出選出的每位市民是了解“一帶一路”倡議的概率，可知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布．[解析]　(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表：易錯(cuò)警示沒(méi)有準(zhǔn)確掌握公式中參數(shù)的含義致誤有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行一門考試，按照學(xué)生考試成績(jī)優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)后，得到如下的列聯(lián)表班級(jí)與成績(jī)列聯(lián)表典例5試問(wèn)能有多大把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”？[辨析]　由于對(duì)2×2列聯(lián)表中a、b、c、d的位置不清楚，在代入公式時(shí)代錯(cuò)了數(shù)值導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的錯(cuò)誤．[點(diǎn)評(píng)]　獨(dú)立性檢驗(yàn)中，參數(shù)χ2公式復(fù)雜計(jì)算量大，要弄清公式特點(diǎn)熟記公式，小心計(jì)算避免粗心致誤．課堂檢測(cè)?固雙基1．判斷兩個(gè)分類變量是彼此相關(guān)還是相互獨(dú)立的常用的方法中，最為精確的是 (　　)A．殘差 B．獨(dú)立性檢驗(yàn)C．等高堆積條形圖 D．回歸分析[解析]　用獨(dú)立性檢驗(yàn)考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系時(shí)，算出隨機(jī)變量χ2的值越大，說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大．B2．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的敘述：①常用等高堆積條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率原理；③獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果是完全正確的；④對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，χ2越小，X與Y有關(guān)系的把握程度就越大．其中敘述正確的個(gè)數(shù)為 (　　)A．1 B．2C．3 D．4B[解析]　因?yàn)楠?dú)立性檢驗(yàn)常用等高堆積條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，故①正確；獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率原理，故②正確；獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果不是完全正確的，故③不正確；對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，χ2越大，X與Y有關(guān)系的把握程度才越大，故④不正確．所以正確的個(gè)數(shù)為2，故選B．3．(2022·河北省石家莊市期末)一個(gè)2×2列聯(lián)表如下：則表中m，n的值分別是 (　　)A．10，38 B．17，45C．10，45 D．17，38[解析]　由a＋35＝45，得a＝10.由a＋7＝m，得m＝17.由m＋73＝s，得s＝90.由45＋n＝s，得n＝45.B4．下列關(guān)于χ2的說(shuō)法中正確的是 (　　)A．χ2越大，“事件A，B有關(guān)”的可信度越小B．χ2越大，“事件A，B無(wú)關(guān)”的可信度越大C．χ2越小，“事件A，B有關(guān)”的可信度越小D．χ2越小，“事件A，B無(wú)關(guān)”的可信度越小[解析]　χ2越大，“事件A，B有關(guān)”的可信度越大，“事件A，B無(wú)關(guān)”的可信度越?。沪?越小，“事件A，B有關(guān)”的可信度越小，“事件A，B無(wú)關(guān)”的可信度越大．C5．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：則正確的結(jié)論是 (　　)A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”C．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)”[解析]　根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法，正確選項(xiàng)為C．C

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