2011-2020年高考數(shù)學真題分專題訓練專題32 概率和統(tǒng)計【理】（教師版含解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

?
專題 32 概率和統(tǒng)計【理】
十年大數(shù)據(jù)*全景展示
年份
題號
考點
考查內(nèi) 容
理 2
概率
古典概型的概率計算
2011
理 19 頻數(shù)分布表
頻數(shù)分布表，頻率與概率
理 15 正態(tài)分布
正態(tài)分布的應用
2012
理 19 離散型隨機變量及其分布列
理 3 抽樣方法
頻數(shù)分布表，頻率與概率，離散型隨機變量及其分布列
隨機抽樣方法的簡單應用
卷 1
獨立重復事件發(fā)生的概率，離散型隨機變量分布列、期
望
理 19 離散型隨機變量分布列、期望
2013
理 14 概率
理 19 概率
理 5 概率
古典概型的概率計算
卷 2
卷 1
古典概型的概率計算
古典概型的概率計算
頻率分布直方圖，正態(tài)分布的 3s 原則，二項分布的期
望
理 18 頻率分布直方圖，正態(tài)分布
2014
2015
理 5 概率
條件概率的計算
卷 2
卷 1
卷 2
卷 1
理 19 變量間的相關(guān)關(guān)系
理 4 概率
線性回歸方程及其應用
獨立重復事件概率的計算，互斥事件的概率
非線性擬合；線性回歸方程
統(tǒng)計知識，柱形圖
理 19 變量間的相關(guān)關(guān)系
理 3 統(tǒng)計
理 18 莖葉圖
莖葉圖及其應用，互斥事件和獨立事件的概率計算
幾何概型概率的計算
理 4 概率
理 19 離散型隨機變量分布列、期望
理 10 概率
條形統(tǒng)計圖及其應用，離散型隨機變量分布列、期望
幾何概型概率的計算
2016 卷 2
卷 3
理 19 離散型隨機變量的分布列、期望條件概率、離散型隨機變量的分布列、期望
理 4 統(tǒng)計
平均數(shù)的計算，統(tǒng)計圖及其應用
線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應用
古典概型的概率計算
理 18 變量間的相關(guān)關(guān)系
理 2 概率
卷 1
理 19 離散性隨機變量的分布列、期望離散性隨機變量的分布列、期望，正態(tài)分布
理 13 離散性隨機變量的分布列、期望離散性隨機變量的分布列、期望，正態(tài)分布
2017 卷 2
卷 3
理 18 頻率分布直方圖，統(tǒng)計案例
理 3 統(tǒng)計
頻率分布直方圖及其應用，統(tǒng)計案例及其應用
折線圖統(tǒng)計圖的應用
理 18 離散型隨機變量的分布列、期望頻數(shù)分布表，離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望

理 3 統(tǒng)計
理 10 概率
扇形統(tǒng)計圖及其應用
幾何概型概率的計算，數(shù)學文化
卷 1
卷 2
n
k
次獨立重復試驗恰好發(fā)生次的概率及其最值問題，
理 20 離散性隨機變量的數(shù)學期望
理 8 概率
二項分布，離散性隨機變量的數(shù)學期望
2018
古典概型的概率計算
理 18 變量間的相關(guān)關(guān)系
理 8 二項分布
理 18 莖葉圖和獨立性檢驗
理 6 概率
線性回歸方程及其應用
二項分布分布列及期望
卷 3
卷 1
莖葉圖的應用，統(tǒng)計案例及其應用
古典概型的概率計算
理 15 概率
獨立重復事件的概率
理 5 統(tǒng)計
中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差
利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行概率的估計
獨立事件、互斥事件的概率計算
抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計
卷 2 理 13 概率
理 18 概率
2019
理 3 統(tǒng)計
卷 3
理 17 頻率分布直方圖
頻率分布直方圖，用樣本平均數(shù)估計總體的平均數(shù)
由散點圖選擇合適的回歸模型
獨立事件、互斥事件及獨立重復事件概率的計算
計數(shù)原理的應用，排列與組合應用題的解法
平均數(shù)的估計，相關(guān)系數(shù)的計算，抽樣方法的選取
標準差的計算
理 5 變量間的相關(guān)關(guān)系
理 19 概率
卷 1
卷 2
卷 3
理 14 排列與組合
理 18 變量間的相關(guān)關(guān)系
理 3 統(tǒng)計
2020
理 18 獨立性檢驗
統(tǒng)計案例及其應用
大數(shù)據(jù)分析*預測高考
考點
出現(xiàn)頻率
2021 年預測
23 次考 1 次
考點 107 隨機抽樣
2021 年在選擇題和填空題中仍會重
點考查各種統(tǒng)計圖表、古典概型或幾
何概型及其概率計算，在解答題中重
考點 108 用樣本估計總體
23 次考 10 次
23 次考 7 次
考點 109 變量間的相關(guān)關(guān)系
考點 110 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型
23 次考 20 次點考查頻率分布直方圖及其應用(與
概率相結(jié)合)，離散性隨機變量的分布
23 次考 14 次
考點111 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差、
列與均值，二項分布及其應用，統(tǒng)計
正態(tài)分布、二項分布
案例及其應用．
考點 112 獨立性檢驗
23 次考 4 次

十年試題分類*探求規(guī)律
考點 107 隨機抽樣
1．(2017 江蘇理)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為 200，400，300，100 件，為
檢驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取 60 件進行檢驗，則應從丙種型號的產(chǎn)品中
抽取
件．
300
【答案】18【解析】應從丙種型號的產(chǎn)品中抽取60′
=18件．
1000
2．(2014 廣東理)為了解 1000 名學生的學習情況，采用系統(tǒng)抽樣的方法，從中抽取容量為 40 的樣本，則分
段的間隔為(
A．50
)
B．40
C．25
D．20
1000
40
【答案】C【解析】由
= 25，可得分段的間隔為 25．故選 C．
3．(2014 湖南理)對一個容器為 N 的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣
三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為 p , p , p ，則(
)
1
2
3
A． p = p < p
B． p = p < p
C． p = p < p
D． p = p = p
1 2 3
1
2
3
2
3
1
1
3
2
【答案】D【解析】根據(jù)抽樣方法的概念可知，簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種抽樣方法，每個個
n
體被抽到的概率都是，故 p = p = p ，故選 D．
1
2
3
N
4．(2013 新課標 I 理理)為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況，擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行
調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差
異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是(
)
A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣 C．按學段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣
【答案】C【解析】因該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異，故最合理的抽樣方法
是按學段分層抽樣，故選 C．
5．(2014 湖北理)甲、乙兩套設備生產(chǎn)的同類型產(chǎn)品共 4800 件，采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為
80 的樣本進行質(zhì)量檢測．若樣本中有 50 件產(chǎn)品由甲設備生產(chǎn)，則乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為
件．
【答案】1800【解析】分層抽樣中各層的抽樣比相同，樣本中甲設備生產(chǎn)的有 50 件，則乙設備生產(chǎn)的有 30
件，在 4800 件產(chǎn)品中，甲、乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)比為 5：3，所以乙設備生產(chǎn)的產(chǎn)品總數(shù)為 1800 件．
6．(2014 天津理)某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該
校四個年級的本科生中抽取一個容量為 300 的樣本進行調(diào)查．已知該校一年級、二年級、三年級、四年級

的本科生人數(shù)之比為 4：5：5：6，則應從一年級本科生中抽取_______名學生．
4
【答案】60【解析】應從一年級抽取300′
=60 名．
4+5+5+6
7．(2012 江蘇理)某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為3: 3: 4 ，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中三個年
級的學生中抽取容量為 50 的樣本，則應從高二年級抽取名學生．
3
【答案】15【解析】由題意得高二年級的學生人數(shù)占該學校高中人數(shù)的
，利用分層抽樣的有關(guān)知識得應
10
3
從高二年級抽取 50×
=15 名學生．
10
8．(2012 浙江理)某個年級有男生 560 人，女生 420 人，用分層抽樣的方法從該年級全體學生中抽取一個容
量為 280 的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________．
4
【答案】160【解析】總體中男生與女生的比例為4:3
，樣本中男生人數(shù)為
280′ =160
．
7
考點 108 用樣本估計總體
9．(2020 全國Ⅲ文 3)設一組樣本數(shù)據(jù) x , x ,L, x 的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x , 10x ,L, 10x 的方差為
1
2
n
1
2
n
(
)
A．0.01
B．0.1
C．1
D．10
【答案】C
【解析】因為數(shù)據(jù)axi +b，(i =1, 2,L,n)
的方差是數(shù)據(jù)
x，(i =1, 2,L,n)
i
的方差的a2 倍，
所以所求數(shù)據(jù)方差為10
2
′0.01=1，故選：C．
4
?
10．(2020 全國Ⅲ理 3)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1, 2 , 3 , 4出現(xiàn)的頻率分別為 p , p , p , p ，且
pi =1，則
1
2
3
4
i=1
下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是
(
)
p = p =0.1 , p = p =0.4
p = p =0.4 , p = p =0.1
1 4 2 3
A．
B．
D．
1
4
2
3
C． p = p = 0.2 , p = p = 0.3
p = p = 0.3 , p = p = 0.2
1
4
2
3
1
4
2
3
【答案】B
x
1 4 0.1 2 3 0.4 = 2.5
= ( + )′ +( + )′
【解析】對于 A 選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
，方差為
A
=(1-2.5)
2
′0.1+(2-2.5)
2
′0.4+(3-2.5)
2
′0.4+(4-2.5)
′0.1=0.65；對于 B 選項，該組數(shù)據(jù)的
2
s
2
A
x
1 4 0.4 2 3 0.1= 2.5
= ( + )′ +( + )′
平均數(shù)為
，方差為
B

=(1-2.5)
2
′0.4+(2-2.5)
2
′0.1+(3-2.5)
2
′0.1+(4-2.5)
2
′0.4 =1.85；對于
s
2
B
C 選項，該組數(shù)據(jù)的
x
C
1 4 0.2 2 3 0.3 = 2.5
= ( + )′ + ( + )′
平均數(shù)為
，方差為
2
′0.2+(2-2.5)
2
′0.3+(3-2.5)
2
′0.3+(4-2.5)
2
′0.2 =1.05；對于
選項，該組數(shù)據(jù)
′0.3 =1.45，因此
B 選項這一組的標
s
2
C
=(1-2.5)
D
x
1 4 0.3 2 3 0.2 = 2.5
= ( + )′ + ( + )′
的平均數(shù)為
，方差為
D
2
′0.3+(2-2.5)
2
′0.2+(3-2.5)
2
′0.2+(4-2.5)
2
s
2
D
=(1-2.5)
準差最大，故選 B．
11．(2020 天津 4)從一批零件中抽取 80 個，測量其直徑(單位：mm )，將所得數(shù)據(jù)分為 9 組：
[5.31,5.33),[5.33,5.35),L,[5.45,5.47],[5.47,5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零
件中，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)
內(nèi)的個數(shù)為(
)
A．10
B．18
C．20
D．36
【答案】B【解析】由題意可得，直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)之間的零件頻率為：(6.25 +5.00)′0.02 = 0.225
，
則區(qū)間[5.43,5.47)內(nèi)零件的個數(shù)為：80′0.225 =18
，故選 B．
12．(2019 全國 II 理 5)演講比賽共有 9 位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從 9 個原
始評分中去掉 1 個最高分、1 個最低分，得到 7 個有效評分．7 個有效評分與 9 個原始評分相比，不變的數(shù)
字特征是
A．中位數(shù)
C．方差
B．平均數(shù)
D．極差
【答案】A【解析】根據(jù)題意，從 9 個原始評分中去掉 1 個最高分、1 個最低分，得到 7 個有效評分，7 個

有效評分與 9 個原始評分相比，最中間的一個數(shù)不變，即中位數(shù)不變．故選 A．
13．(2019 全國 II 理 13)我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有 10 個車次的
正點率為 0．97，有 20 個車次的正點率為 0．98，有 10 個車次的正點率為 0．99，則經(jīng)停該站高鐵列車所
有車次的平均正點率的估計值為__________．
【答案】0．98【解析】經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為：
10′0.97+20′0.98+10′0.99
x =
=0.98 ．
10+20+10
14．(2020 上海 8)已知有四個數(shù)1,2,a,b，這四個數(shù)的中位數(shù)為 3，平均數(shù)為 4，則ab
=
．
2 + a
1+2 +a+b
【答案】36【解析】設a ￡b，則
故答案為：36。
= 3，解得：a = 4，
= 4 ，解得：b =9，所以ab =36 ．
2
4
4 , 2a , 3-2a , 5 , 6
15．(2020 江蘇 3)已知一組數(shù)據(jù)
的平均數(shù)為，則a的值是
4
．
4 +2a+(3-a)+5+ 6
=
4，解得a = 2．
【答案】2 【解析】由題意得
5
16．(2019 江蘇 5)已知一組數(shù)據(jù) 6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是
．
5
1
x = (6 +7 +8+8+9 +10) = 8
【答案】【解析】一組數(shù)據(jù) 6，7，8，8，9，10 的平均數(shù)為
，
3
6
1
5
3
s
2
= [(6 -8)
2
+(7 -8)
2
+(8-8)
2
+(8-8)
2
+(9 -8)
2
+(10 -8) ] =
2
所以該組數(shù)據(jù)的方差為
．
6
17．(2020 新高考山東海南 9)我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產(chǎn)，下面是某地連續(xù) 11
天復工復產(chǎn)指數(shù)折線圖，下列說法正確的是
(
)
A．這 11 天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均逐日增加
B．這 11 天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量
C．第 3 天至第 11 天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過 80%

D．第 9 天至第 11 天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量
【答案】CD【解析】由圖可知，第 1 天到第 2 天復工指數(shù)減少，第 7 天到第 8 天復工指數(shù)減少，第 10 天到
第 11 復工指數(shù)減少，第 8 天到第 9 天復產(chǎn)指數(shù)減少，故 A 錯誤；由圖可知，第一天的復產(chǎn)指標與復工指標
的差大于第 11 天的復產(chǎn)指標與復工指標的差，所以這 11 天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量小于復工指數(shù)的增量，故 B
錯誤；由圖可知，第 3 天至第 11 天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過 80%，故 C 正確；由圖可知，第 9 天至第 11 天復
產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量，故 D 正確．
18．(2018 全國Ⅰ理)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番，為更好地了解
該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：
建設前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例
建設后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例
則下面結(jié)論中不正確的是
A．新農(nóng)村建設后，種植收入減少
B．新農(nóng)村建設后，其他收入增加了一倍以上
C．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D．新農(nóng)村建設后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半
【答案】A【解析】通解設建設前經(jīng)濟收入為a，則建設后經(jīng)濟收入為2a，則由餅圖可得建設前種植收入
為0.6a，其他收入為0.04a，養(yǎng)殖收入為0.3a．建設后種植收入為0.74a，其他收入為0.1a，養(yǎng)殖收入為
0.6a，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和為1.16a，所以新農(nóng)村建設后，種植收入減少是錯誤的．故選 A．
優(yōu)解因為0.6 0恒成立，
因此判別式V< 0 ，得t < 4 ，所以t ￡ 3，即e ￡10
．
32．(2012 山東理)右圖是根據(jù)部分城市某年 6 月份的平均氣溫(單位：℃)數(shù)據(jù)得到的樣本頻率分布直方圖，
其中平均氣溫的范圍是［20．5，26．5］，樣本數(shù)據(jù)的分組為[20.5,21.5) ，[21.5,22.5) ，[22.5,23.5) ，[23.5,24.5) ，
[24.5,25.5) ，[25.5,26.5] ．已知樣本中平均氣溫低于 22．5℃的城市個數(shù)為 11，則樣本中平均氣溫不低于
25．5℃的城市個數(shù)為＿＿＿＿．
【答案】9【解析】最左邊兩個矩形面積之和為 0．10×1+0．12×1＝0．22，總城市數(shù)為 11÷0．22＝50，最
右面矩形面積為 0．18×1＝0．18，50×0．18＝9．
33．(2019 全國 III 理 17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將 200 只小鼠隨機
分成 A、B 兩組，每組 100 只，其中 A 組小鼠給服甲離子溶液，B 組小鼠給服乙離子溶液，每組小鼠給服
的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時間后用某種科學方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根
據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記 C 為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于 5．5”，根據(jù)直方圖得到 P(C)的估計值為 0．70．
(1)求乙離子殘留百分比直方圖中 a，b 的值；
(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．
【解析】(1)由已知得0.70 = a+0.20+0.15 ，故a =0.35 ，b=1–0．05–0．15–0．70=0．10．
(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0．15+3×0．20+4×0．30+5×0．20+6×0．10+7×0．05=4．05．
乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0．05+4×0．10+5×0．15+6×0．35+7×0．20+8×0．15=6．00．
34．(2016 年四川理)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用
水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準 x (噸)、一位居民的月用水量不超過 x 的部分按平價收費，超
出 x 的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年 100 位居民每人的月均用水量(單
位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0，0．5)，[0．5，1)，…，[4，4．5)分成 9 組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
(I)求直方圖中 a 的值；
(II)設該市有 30 萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于 3 噸的人數(shù)，并說明理由；
(III)若該市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超過標準 x(噸)，估計 x 的值，并說明理由．
【解析】(I)由概率統(tǒng)計相關(guān)知識，各組頻率之和的值為1．
∵頻率=(頻率/組距)*組距，∴0.5′(
+
+
+
+
+
+
+ ) =
0.08 0.16 0.4 0.52 0.12 0.08 0.04 2a 1，得a 0.3
．
=
(II)由圖，不低于3噸人數(shù)所占百分比為0.5′(
+
+
)
0.12 0.08 0.04 =12% ，
∴全市月均用水量不低于3噸的人數(shù)為：30 12%=3.6 萬．
(Ⅲ)由圖可知，月均用水量小于2．5噸的居民人數(shù)所占百分比為：
0.5′(
′
( )
+
+
+
+
) =
0.08 0.16 0.3 0.4 0.52 0.73，即73%
的居民月均用水量小于．噸，
2
5
同理，88%的居民月均用水量小于3噸，故2.5 < x < 3 ，
(85% -73%)?
0.5
假設月均用水量平均分布，則 x = 2.5 + 0.5′
= 2.9 (噸)．
0.3
注：本次估計默認組間是平均分布，與實際可能會產(chǎn)生一定誤差．
35．(2015 廣東理)某工廠 36 名工人年齡數(shù)據(jù)如下表

工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡工人編號年齡
1
2
3
4
5
6
7
8
9
40
44
40
41
33
40
45
42
43
10
11
12
13
14
15
16
17
18
36
31
38
39
43
45
39
38
36
19
20
21
22
23
24
25
26
27
27
43
41
37
34
42
37
44
42
28
29
30
31
32
33
34
45
36
34
39
43
38
42
53
37
49
39
(1)用系統(tǒng)抽樣法從 36 名工人中抽取容量為 9 的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為 44，
列出樣本的年齡數(shù)據(jù)；
(2)計算(1)中樣本的均值 x 和方差
s
2 ；
(3)36 名工人中年齡在 x -s 和 x + s 之間有多少人？所占的百分比是多少(精確到0.01% )？
【解析】(1)由系統(tǒng)抽樣可知，36 人分成 9 組，每組 4 人，其中第一組的工人年齡為 44，所以其編號為 2，
故所有樣本數(shù)據(jù)的編號為4n-2 ，n =1, 2,×××,9．其數(shù)據(jù)為：44，40，36，37，44，43，37．
44 +40 +×××+37
(2) x =
= 40 ．
9
1
100
9
s
2
= [(44 -40) +(40 -40)
2
2
+×××+(37 -40)
2
] =
．
由方差公式，
9
100
9
10
2
s =
，所以 s = ?(3, 4) ．
(3)因為
3
所以 36 名工人中年齡在 x -s 和 x + s 之間的人數(shù)等于在區(qū)間[37, 43]內(nèi)的人數(shù)，即 40，40，41，×××，39，
共 23 人．
23
所以 36 名工人中年齡在 x -s 和 x + s 之間的人數(shù)所占的百分比為
? 63.89% ．
36
A
B
20
36．(2013 年新課標 I 理)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為藥，藥)的療效，隨機地選取
位患
40
位患者服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：
A
者服用藥，
20
B
位患者服用藥，這
h
)，試驗的觀測結(jié)果如下：
A
服用藥的
20
位患者日平均增加的睡眠時間：
2．7 1．5 2．8 1．8
0．6 1．2
2．2
2．3
3．2
3．5

2．5
2．6
1．2
2．7
20
位患者日平均增加的睡眠時間：
1．5
2．9
3．0
3．1
2．3
2．4
B
服用藥的
3．2
1．6
1．7
0．5
1．9
1．8
0．8
0．6
0．9
2．1
2．4
1．1
1．2
2．5
2．6
1．2
1．3
2．7
1．4
0．5
(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？
(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？
x
y
【解析】(1)設 A 藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，B 藥觀測數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，又觀測結(jié)果可得
1
x =
(0．6+1．2+1．2+1．5+1．5+1．8+2．2+2．3+2．3+2．4+2．5+2．6+2．7+2．7+2．8+3．0+3．1+3．2+3．5)=2．3，
20
1
y =
(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2
20
+1.3+1.4+1.6+1.7 +1.8+1.9+2.1
+2.4+2.5+2.6+2.7 +3.2) =1.6
x y
由以上計算結(jié)果可得 > ，因此可看出 A 藥的療效更好．
(2)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖：
A 藥
B 藥
6
0． 5 5 6 8 9
1． 1 2 2 3 4 6 7 8 9
2． 1 4 5 6 7
8 5 5 2 2
9 8 7 7 6 5 4 3 3 2
5 2 1 0
3．
2
7
從以上莖葉圖可以看出，A 藥療效的試驗結(jié)果有的葉集中在莖 2．3 上，而 B 藥療效的試驗結(jié)果有
集中在莖 0，1 上，由此可看出 A 藥的療效更好．
的葉
10
37．(2012 廣東理)某校 100 名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖 4 所示，其中成績分組區(qū)間是：
[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．

a
(1)求圖中的值；
(2)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這 100 名學生語文成績的平均分；
x
y
(3)若這 100 名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)( )與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)( )之比如下表所示，求數(shù)
學成績在[50，90)之外的人數(shù)．
分數(shù)段
[50,60) [60,70) [70,80) [80,90)
x ：y
1：1
2：1
3：4
4：5
【解析】(1) (2a+0.02 +0.03+0.04)′10 =1? a = 0.005
(2)平均分為55′0.05+65′0.4+75′0.3+85′0.2+95′0.05 =73
(3)數(shù)學成績在[50,90)
內(nèi)的人數(shù)為
1
4
5
(0.005+ ′0.04 + ′0.03+ ′0.02)′10′100 = 90
人．
2
3
4
數(shù)學成績在[50,90) 外的人數(shù)為100-90 =10
人．
答：(1) a =0.005
(2)這 100 名學生語文成績的平均分為
73
(3)數(shù)學成績在[50,90) 外的人數(shù)為10
考點 109 變量間的相關(guān)關(guān)系
人．
y
x
38．(2020 全國Ⅰ文理 5)某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度 (單位：°C )的關(guān)系，
(
)( =
)
x , y i 1, 2 ,L, 20
得到下面的散點圖：
在 20 個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)
i
i

由此散點圖，在10°C 至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率 y 和溫度 x 的回歸方程類型
的是
(
)
A． y = a +bx
【答案】D
B．
y =a+bx
2
C． y =a+be
x
D． y = a +bln x
y
【解析】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖像附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度
x
的回歸方程類型的是
y = a+bln x，故選 D．
39．(2017 山東理)為了研究某班學生的腳長 x(單位：厘米)和身高 y (單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取
10 名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出 y 與 x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設其回歸直線方程為
10
10
?
?
?
?
y? = bx+a? ．已知 xi = 225 ，
y =1600 ，b = 4 ．該班某學生的腳長為 24，據(jù)此估計其身高為
i
i=1
i=1
A．160
B．163
C．166
D．170
$
【答案】C【解析】因為 x = 22.5， y =160，所以a =160-4′22.5 = 70 ， y = 4′24 +70 =166，故選
C．
40．(2015 福建理)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū) 5 戶家庭，得到如下
統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：
收入 x(萬元)
支出 y (萬元)
8．2 8．6 10．0 11．3 11．9
6．2 7．5 8．0
8．5
9．8
?
?
?
根據(jù)上表可得回歸本線方程
元家庭年支出為
y? = bx+a? ，其中b = 0.76,a? = y -bx ，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為 15 萬
A．11．4 萬元
B．11．8 萬元
C．12．0 萬元
D．12．2 萬元
?
【答案】B【解析】∵ x =10.0 ， y = 8.0 ，b =0.76，∴
a? =8-0.76′10 =0.4 ，

∴回歸方程為
y? = 0.76x+0.4，把 x =15代入上式得， y? = 0.76′15+0.4 =11.8 (萬元)，故選 B．
41．(2014 重慶理)已知變量與正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù) ，則由該觀測
x =3， y = 3.5
x
y
數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能為
$
$
$
$
A． y =0.4x+2.3 B． y = 2x-2.4 C． y = -2x+9.5 D． y = -0.3x+4.4
【答案】A【解析】由題意可知，相應的回歸直線的斜率應為正，排除 C、D．且直線必過點(3, 3.5) ，代入
A、B 得 A 正確．
42．(2014 湖北理)根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
x
y
3
4
5
6
7
8
-0.5
-2.0
-3.0
4．0
2．5
0．5
得到的回歸方程為 y? = bx + a ，則
A．a(chǎn) > 0 ，b < 0
B．a(chǎn) > 0 ，b > 0
C．a(chǎn) < 0 ，b < 0
D．a(chǎn) < 0 ，b > 0
【答案】A【解析】畫出散點圖知b < 0,a > 0 ，故選 A．
43．(2012 新課標理)在一組樣本數(shù)據(jù)(x ，y )，(x ，y )，…，(x ，y )(n≥2，x ，x ，…，x 不全相等)的散
1
1
2
2
n
n
1
2
n
1
2
點圖中，若所有樣本點(x ，y )(i=1，2，…，n)都在直線 y
=
x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為
i
i
1
2
A．?1
B．0
C．
D．1
【答案】D【解析】因為所有的點都在直線上，這組樣本數(shù)據(jù)完全正相關(guān)，故其相關(guān)系數(shù)為 1，故故選 D．
44．(2014 江西理)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這 4 個變量之間的關(guān)系，隨機抽查
52 名中學生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表 1 至表 4，則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是

52′(6′22 -14′10)
2
52′8
2
【答案】D【解析】因為
c
2
1
=
=
，
16′36′32′20
16′36′32′20
52′(4′20 -16′12)
2
52′112
2
52′(8′24 -12′8)
2
52′96
2
c
c
2
2
=
=
=
， c3
2
=
=
，
16′36′32′20
16′36′32′20
16′36′32′20
16′36′32′20
52′(14′30 -6′2)
2
52′408
2
2
4
=
，
16′36′32′20
16′36′32′20
c
2
4
> c2
2
> c3 > c12 ，所以閱讀量與性別關(guān)聯(lián)的可能性最大，故選 D．
2
則有
45．(2012 湖南理)設某大學的女生體重 y(單位：kg)與身高 x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本
$
y
-
數(shù)據(jù)(x ，y )(i=1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為 =0．85x 85．71，則下列結(jié)論中不．正．確．的
i
i
是
A．y 與 x 具有正的線性相關(guān)關(guān)系
x y
B．回歸直線過樣本點的中心( ，
)
C．若該大學某女生身高增加 1cm，則其體重約增加 0．85kg
D．若該大學某女生身高為 170cm，則可斷定其體重必為 58．79kg
$
y
-
y x
【答案】D【解析】由回歸方程為 =0．85x 85．71 知隨的增大而增大，所以 y 與 x 具有正的線性相
關(guān)關(guān)系，由最小二乘法建立的回歸方程得過程知

y? = bx+a = bx+ y -bx(a = y -bx)
，
x y
所以回歸直線過樣本點的中心( ， )，利用回歸方程可以預測估計總體，所以 D 不正確．
46．(2011 山東理)某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表
廣告費用 x(萬元)
銷售額 y(萬元)
4
2
3
5
49
26
39
54
y? = b?x+a?
?
b
根據(jù)上表可得回歸方程
中的為 9．4，據(jù)此模型預報廣告費用為 6 萬元時銷售額為
A．63．6 萬元
B．65．5 萬元 C．67．7 萬元 D．72．0 萬元
?
【答案】B【解析】樣本中心點是(3．5，42)，則
y? = 9.4x+9.1，把 x =6代入得 y? = 65.5．
a? = y -bx = 42 -9.4′3.5 = 9.1，所以回歸方程是
47．(2018 全國Ⅱ理)下圖是某地區(qū) 2000 年至 2016 年環(huán)境基礎設施投資額 y (單位：億元)的折線圖．
為了預測該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了 y 與時間變量t的兩個線性回歸模型．根據(jù) 2000 年
至 2016 年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，… ，17)建立模型①：y? = -30.4 +13.5t ；根據(jù) 2010 年至 2016
年的數(shù)據(jù)(時間變量t的值依次為1，2，… ，7 )建立模型②：
y? = 99 +17.5t ．
(1)分別利用這兩個模型，求該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值；
(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由．
【解析】(1)利用模型①，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為
元)．
y? = -30.4 +13.5′19 = 226.1(億
利用模型②，該地區(qū) 2018 年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為
(2)利用模型②得到的預測值更可靠．
理由如下：
y? = 99 +17.5′9 = 256.5(億元)．

(ⅰ)從折線圖可以看出，2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應的點沒有隨機散布在直線 y = -30.4 +13.5t 上下．這說
明利用 2000 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010
年相對 2009 年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，
這說明從 2010 年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用 2010 年至 2016 年的數(shù)據(jù)建立
y? = 99 +17.5t 可以較好地描述 2010 年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型
的線性模型
②得到的預測值更可靠．
(ⅱ)從計算結(jié)果看，相對于 2016 年的環(huán)境基礎設施投資額 220 億元，由模型①得到的預測值 226．1 億元的
增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理．說明利用模型②得到的預測值更可靠．
以上給出了 2 種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分．
48．(2016 新課標Ⅰ理 II)下圖是我國 2008 年至 2014 年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖
(Ⅰ)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合 y 與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；
(Ⅱ)建立 y 關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到 0．01)，預測 2016 年我國生活垃圾無害化處理量．
7
7
7
?
?
yi = 9.32 ， t y = 40.17 ，
i i
?
(yi - y)
2
= 0.55， 7 ≈2．646．
附注：參考數(shù)據(jù)：
i=1
i=1
i=1
n
?
(t -t )(y - y)
i
i
參考公式：相關(guān)系數(shù)r =
i=1
，
n
n
?
?
(ti -t )
2
(yi - y)
2
i=1
i=1
n
?
(t - t )(y - y)
)
) )
i
i
) )
，a=y-bt .
回歸方程 y = a +bt 中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
【解析】(Ⅰ)由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得
b = i=1
n
?
(ti - t )
2
i=1

7
7
?
?
t = 4 ， (ti -t)
2
= 28 ，
(yi - y) = 0.55 ，
2
i=1
i=1
7
7
7
?
? ?
(t -t)(y - y) =
t y -t yi = 40.17 -4′9.32 = 2.89 ，
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
2.89
0.55′2′2.646
r ?
? 0.99．
因為 y 與t的相關(guān)系數(shù)近似為 0．99，說明 y 與t的線性相關(guān)相當高，從而可以用線性回歸模型擬合 y 與t的
關(guān)系．
7
?
(t -t)(y - y)
9.32
7
i
i
2.89
28
?
y =
?
1.331及 Ⅰ 得
) b = i=1
=
? 0.103
，
(Ⅱ)由
(
7
?
(ti -t)
2
i=1
?
a? = y -bt ?1.331-0.103′4 ? 0.92．
所以， y 關(guān)于t的回歸方程為： y 0.92 0.10t ．
? =
+
將 2016 年對應的t =9代入回歸方程得：
y? =
0.92 0.10′9 =1.82
+
．
所以預測 2016 年我國生活垃圾無害化處理量將約 1．82 億噸．
49．(2015 新課標 I 理)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費 x(單位：千元)對年
銷售量 y (單位：t)和年利潤 z (單位：千元)的影響，對近 8 年的年宣傳費 x 和年銷售量 y (i=1，2，···，8)
i
i
數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．
8
8
8
8
?
?
?
?
x
y
w
(xi - x)
2
(wi - w)
2
(x - x)(y - y)
(w - w)(y - y)
i
i
i
i
i=1
i=1
i=1
i=1
46．6 563 6．8 289．8
1．6
1469
108．8
1
8
8
?
表中 w = x ，w =
wi ．
i
i
i=1
(Ⅰ)根據(jù)散點圖判斷， y = a+bx與 y = c+d x 哪一個適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x的回歸方程類

型？(給出判斷即可，不必說明理由)
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立 y 關(guān)于 x的回歸方程；
(Ⅲ)已知這種產(chǎn)品的年利率 z 與 x、 y 的關(guān)系為 z = 0.2y - x．根據(jù)(Ⅱ)的結(jié)果回答下列問題：
(ⅰ)年宣傳費 x=49 時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？
(ⅱ)年宣傳費 x為何值時，年利率的預報值最大？
附：對于一組數(shù)據(jù)(u ,v ) ，(u ,v ) ，×××，(u ,v ) ，其回歸線v =a + bu的斜率和截距的最小二乘估計分
1
1
2
2
n
n
n
?
(u -u)(v -v)
i
i
別為 b? = i=1
，a? = v -bu ．
?
n
?
(ui -u)
2
i=1
【解析】(Ⅰ)由散點圖可以判斷， y = c+d x 適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費 x的回歸方程類型．
8
?
(w -w)(y - y)
i
i
108.8
1.6
?
(Ⅱ)令 w = x ，先建立 y 關(guān)于 w的線性回歸方程，由于d
=
i=1
=
= 68．
8
?
(wi -w)
2
i=1
?
c? = y -dw = 563-68′6.8 =100.6，
所以 y 關(guān)于 w的線性回歸方程為
y? =100.6 +68w，因此 y 關(guān)于 x的回歸方程為 y? =100.6 +68 x ．
(Ⅲ)(ⅰ)由(Ⅱ)知，當 x = 49時，年銷售量 y 的預報值
y? =100.6 +68 49 = 576.6 ，
年利潤 z 的預報值
z? =576.6′0.2-49 =66.32 ．
(ⅱ)根據(jù)(Ⅱ)得結(jié)果知，年利潤 z 的預報值
z? = 0.2(100.6 +68 x) - x = -x+13.6 x +20.12 ，所以當
13.6
x =
= 6.8，即 x = 46.24時， z? 取得最大值，故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大．
2
50．(2014 新課標 II 理)某地區(qū) 2007 年至 2013 年農(nóng)村居民家庭純收入 y(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：
年份
2007
1
2008
2
2009
3
2010
4
2011
5
2012
6
2013
7
年份代號 t
人均純收入 y
2．9
3．3
3．6
4．4
4．8
5．2
5．9
(Ⅰ)求 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程，分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該
地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入．

n
?
( - )( - )
t t y y
ù
i
i
?
附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：
b = i=1
，a? = y -bt
n
?
( - )
2
t t
i
i=1
1
1
【解析】(I) 由所給數(shù)據(jù)計算得t = (1+2+3+4+5+6+7)=4，y = (2．9+3．3+3．6+4．4+4．8+5．2+5．9)=4．3
7
7
7
?
(t1 -t)2 =9+4+1+0+1+4+9=28，
t=1
7
?
(t -t)(y - y) = (-3)′(-1.4) +(-2)′(-1) +(-1)′(-0.7) +0′0.1+1′0.5+2′0.9+3′1.6 =14 ，
1
1
t=1
7
?
(t -t)(y - y)
1
1
14
28
$
$
$
$
b = t=1
=
= 0.5，a = y-bt = 4.3-0.5′4 = 2.3，所求回歸方程為 y =0.5t +2.3．
7
?
(t1 -t)
2
t=1
51．(2020 全國Ⅱ文理 18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查
該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的 200 個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取
(
)( =
)
20 個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù) x , y i 1, 2 ,L , 20 ，其中 x 和 y 分別表示第i 個樣區(qū)的植物覆蓋
i
i
i
i
20
20
20
?
?
?( )
2
面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得
xi = 60 ，
yi =1200 ，
x - x =80 ，
i
i=1
i=1
i=1
20
20
?(
)
2
?( )(
)
y - y = 9000 ，
x - x y - y =800．
i
i i
i=1
i=1
（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均
數(shù)乘以地塊數(shù))；
(
)( =
i
)
（2）求樣本 x , y i 1, 2 ,L, 20 的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；
i
（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動
物數(shù)量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．
n
?( )(
)
x - x y - y
i
i
附：相關(guān)系數(shù)r =
i=1
， 2 ?1.414 ．
n
n
?( )
2
?(
)
2
x - x
yi - y
i
i=1
i=1

1
20
1
?
yi =
′1200 = 60 ，
【解析】(1)樣區(qū)野生動物平均數(shù)為
20
20
i=1
地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動物的估計值為200 ′60 =12000
．
20
?
i
i
(x - x)(y - y)
800
2 2
3
(2)樣本
的相關(guān)系數(shù)為r =
i=1
=
=
? 0.94
．
(x , y )
i
i
80′9000
20
20
?
?
(xi - x)
2
(yi - y)
2
i=1
i=1
(3)由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應采用分層抽樣．先將植物覆蓋面積
按優(yōu)中差分成三層，在各層內(nèi)按比例抽取樣本，在每層內(nèi)用簡單隨機抽樣法抽取樣本即可．
考點 110 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型
52．(2020 全國Ⅰ文 4)設O為正方形 ABCD的中心，在O , A, B , C , D 中任取3點，則取到的3點共線的
概率為
(
)
1
2
5
1
2
4
5
A．
B．
C．
D．
5
【答案】A
{
} {
} {
}，
【解析】如圖，從O , A, B , C , D 5
3
個點中任取個有
O, A, B , O, A, C , O, A, D
{
} {
} {
} {
} {
} {
} {
}，共10種不同取
O, B, C , O, B, D , O, C , D , A, B, C , A, B, D , A, C , D , B, C , D
{O, A, C}與{O, B, D}共 2 種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到點共線的
3
法，點共線只有
3
2
1
5
=
概率為
，故選 A．
10
53．(2020 全國Ⅱ文理 4)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務，每天能完成1200 份訂單的
配貨，由于訂單量大幅增加，導致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作．已知該
超市某日積壓500 份訂單未配貨，預計第二天的新訂單超過1600 份的概率為0.05 ，志愿者每人每天能完
成50 份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當日訂單的配貨的概率不小于0.95 ，則至少需要志愿者

(
)
A．10名
B．18 名
C．24 名
D．32 名
【答案】B
900
50
【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500 1600 1200 900 ，故需要志愿者
+
-
=
=18名，故選 B．
54．(2020 新高考山東海南 5)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96% 的學生喜歡足球或游泳，60% 的
學生喜歡足球，82% 的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例
是
(
)
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
【答案】C
【解析】記“該中學學生喜歡足球”為事件 A，“該中學學生喜歡游泳”為事件 B ，則“該中學學生喜歡足球或
游泳”為事件 A B ，“該中學學生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件
+
A×B
P(A) = 0.6， P(B) = 0.82，
，則
( + ) =
P A B 0.96，所以 P(A×B) = P(A) + P(B) - P(A+ B) =
+
-
=
0.6 0.82 0.96 0.46 ，所以該中學既喜
歡足球又喜歡游泳的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為46%
，故選：C．
55．(2019 全國 I 理 6)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的 6
個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重
卦恰有 3 個陽爻的概率是(
)
5
11
32
21
32
11
16
A．
B．
C．
D．
16
【解析】在所有重卦中隨機取一重卦，基本事件總數(shù)n = 2 = 64 ，該重卦恰有 3 個陽爻包含的基本個數(shù)
6
m
20
5
m = C
3
6
C
3
3
= 20 ，則該重卦恰有 3 個陽爻的概率 p =
=
=
，故選 A．
n
64 16
56．(2018 全國Ⅰ理)如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓
的直徑分別為直角三角形 ABC的斜邊 BC，直角邊 AB ， AC ．DABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色

部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為 p ， p ，
1
2
p3 ，則
A． p1 = p2
B． p1 = p3
C． p2 = p3
D． p = p + p
1 2 3
【答案】A【解析】通解設直角三角形 ABC的內(nèi)角 A， B ，C所對的邊分別為a，b，c，則區(qū)域 I 的
1
1
c
面積即DABC的面積，為 S = bc，區(qū)域Ⅱ的面積
S = p ′( )
2
+
1
2
2
2
2
a
p ′( )
2
1
2
b
1
1
1
1
2
p ′( )
2
-[
- bc] = p(c
2
+ b
2
- a ) + bc= bc ，所以 S = S ，由幾何概型的知識知
2
1 2
2
2
2
8
2
2
p = p ，故選 A．
1
2
優(yōu)解不妨設DABC為等腰直角三角形，AB = AC = 2 ，則 BC = 2 2 ，所以區(qū)域 I 的面積即DABC的面
1
積，為S = ′2′2 = 2，區(qū)域Ⅱ的面積
1
2
p ′( 2)
2
p ′( 2)
2
S2 =p ′1
2
-[
-2] = 2，區(qū)域Ⅲ的面積 S3 =
-2 =p -2 ．
2
2
2
p +
p - 2
p + 2
根據(jù)幾何概型的概率計算公式，得 p = p =
， p3 =
，所以 p 1 p ，
1
2
1
3
2
p 1 p ， p 1 p + p ，故選 A．
2
3
1
2
3
57．(2018 全國Ⅱ理)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每
個大于 2 的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30 =7+23．在不超過 30 的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的
數(shù)，其和等于 30 的概率是
1
1
1
1
A．
B．
C．
D．
12
14
15
18
【答案】C【解析】不超過 30 的素數(shù)有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 個，從中隨機選取兩
個不同的數(shù)有C120 種不同的取法，這 10 個數(shù)中兩個不同的數(shù)的和等于 30 的有 3 對，所以所求概率
3
1
P =
=
，故選 C．
C
2
15
10

58．(2017 新課標Ⅰ理)如圖，正方形 ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分
和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是
1
4
p
1
2
p
A．
B．
C．
D．
8
4
【答案】B【解析】設正方形的邊長為2a，由題意可知太極圖的黑色部分的面積是圓的面積的一半，根據(jù)
1
2pa2
p
幾何概型的概率計算，所求概率為
=
．故選 B．
4a
2
8
59．(2017 山東理)從分別標有1，2 ，×××，9的9張卡片中不放回地隨機抽取 2 次，每次抽取 1 張．則抽到
的 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是
5
4
9
5
9
7
9
A．
B．
C．
D．
18
【答案】C【解析】不放回的抽取 2 次有C9
1
C = 9′8 = 72，如圖
1
8
40
72
5
可知(1, 2) 與(2,1) 是不同，所以抽到的 2 張卡片上的數(shù)奇偶性不同有2C
1
5
C
14 =40，所求概率為
= ．
8
60．(2016 新課標Ⅰ理)某公司的班車在 7：30，8：00，8：30 發(fā)車，小明在 7：50 至 8：30 之間到達發(fā)車站
乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過 10 分鐘的概率是
1
3
1
2
2
3
3
4
A．
B．
C．
D．
【答案】B【解析】由題意得圖：

1
由圖得等車時間不超過 10 分鐘的概率為．
2
[
]
n
(
)
1
61．(2016 新課標Ⅰ理)從區(qū)間 0 , 1 隨機抽取 2n 個數(shù) x ，x ，…，x ，y ，y ，…，y ，構(gòu)成個數(shù)對 x , y ，
1
2
n
1
2
n
1
(
)
(
)
，其中兩數(shù)的平方和小于 1 的數(shù)對共有m
p
個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的
x2 , y2
，…，
xn , yn
近似值為
4n
2n
4m
2m
A．
B．
C．
D．
m
m
n
n
(
)( =
××× )
【答案】C【解析】由題意得： x ，y i 1，2，，n 在如圖所示方格中，而平方和小于 1 的點均在如圖
i
i
π
m
n
4m
4
1
所示的陰影中，由幾何概型概率計算公式知
=
，∴π =
，故選 C．
n
62．(2015 廣東理)袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2 個
球，所取的2 個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為
5
10
21
11
21
A．
B．
C．
D．1
21
1
C
【答案】B 【解析】基本事件總數(shù)為C125 ，恰有1個白球與 1 個紅球的基本事件為C 1 ，所求概率為
10 5
C
1
10
C
C
1
5
10
21
=
．
2
15
63．(2014 新課標 I 理)4 位同學各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學參
加公益活動的概率為
A． 1
B ．
3
8
C．
5
8
D．
7
8
8
2
4
- 2
7
【答案】D【解析】 P =
= ．
2
4
8
64．(2014 江西理)擲兩顆均勻的骰子，則點數(shù)之和為 5 的概率等于(
)
1
1
9
1
6
1
A．
B．
C．
D．
18
12

【答案】B【解析】擲兩顆均勻的骰子的所有基本事件有6′6 =36種，點數(shù)之和為 5 的有 4 中，所以所求
4
1
概率為
= ．
36
9
65．(2014 湖南理)在區(qū)間[-2,3]上隨機選取一個數(shù) X ，則 X ￡1的概率為(
)
4
5
3
5
2
5
1
5
A．
B．
C．
D．
2
【答案】B【解析】區(qū)間長度為3-(-2) = 5 ，[-2,1]的長度為1-(-2) = 3，故滿足條件的概率為 P = ．
3
66．(2014 遼寧理)若將一個質(zhì)點隨機投入如圖所示的長方形 ABCD中，其中 AB = 2 ， BC =1，則質(zhì)點落
在以 AB 為直徑的半圓內(nèi)的概率是(
)
p
p
p
p
A．
B．
C．
D．
2
4
6
8
1
2
2
p
S陰影
S長方形
p
【答案】B【解析】由幾何模型的概率計算公式，所求概率 P =
=
=
．
4
67．(2014 陜西理)從正方形四個頂點及其中心這 5 個點中，任取 2 個點，則這 2 個點的距離小于該正方形邊
長的概率為(
)
1
2
5
3
5
4
5
A．
B．
C．
D．
5
【答案】B【解析】5 個點中任取 2 個點共有 10 種方法，若 2 個點之間的距離小于邊長，則這 2 個點中必須
4
2
有 1 個為中心點，有 4 種方法，于是所求概率 P =
= ．
10
5
ìx ￡ 0
ìx+ y ￡1
確定的平面區(qū)域記為W1 ，不等式í
?
68．(2014 湖北理)由不等式íy 3 0
，確定的平面區(qū)域
x+ y 3 -
?
2
?
y - x-2 ￡ 0
?
記為W ，在W 中隨機取一點，則該點恰好在W 內(nèi)的概率為(
)
2
1
2
1
8
1
4
3
4
7
8
A．
B．
C．
D．
1
【答案】D【解析】由題意作圖，如圖所示，W 的面積為 ′2′2 = 2，圖中陰影部分的面積為
1
2

1
2
2
7
7
2 - ′
′
= ，則所求的概率 P = ，故選 D．
2
2
2
4
8
69．(2013 陜西理)如圖，在矩形區(qū)域 ABCD 的 A， C 兩點處各有一個通信基站，假設其信號覆蓋范圍分別
是扇形區(qū)域 ADE 和扇形區(qū)域 CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)．若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機
地選一地點，則該地點無．信號的概率是
p
B． p
p
D． p
A．1-
-1
C．
2 -
4
2
2
4
p
2 -
p
p
2
【答案】A【解析】由題設可知矩形 ABCD 面積為 2，曲邊形 DEBF 的面積為2
故選 A．
-
故所求概率為
=1-
，
2
2
4
70．(2013 安徽理)若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，
則甲或乙被錄用的概率為
2
3
2
5
3
5
9
A．
B．
C．
D．
10
【答案】D【解析】總的可能性有 10 種，甲被錄用乙沒被錄用的可能性 3 種，乙被錄用甲沒被錄用的可能
3+3+ 3
p =
=1．
性 3 種，甲乙都被錄用的可能性 3 種，所以最后的概率
10
71．(2013 新課標 I 理)從1, 2,3, 4
中任取個不同的數(shù)，則取出的個數(shù)之差的絕對值為的概率是(
2
2
2
)
1
2
1
3
1
4
1
6
A．
B．
C．
D．
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
【答案】B【解析】任取兩個不同的數(shù)有 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 共 6 種，2 個數(shù)之差的絕對
2
1
3
( ) ( )
值為 2 的有 1，3 ，2，4 ，故 P
= =
．
6

72．(2013 湖南理)已知事件“在矩形 ABCD 的邊 CD 上隨機取一點 P，使△APB 的最大邊是 AB”發(fā)生的概
1
AD
AB
率為，則
=
2
1
1
4
3
7
A．
B．
C．
D．
2
2
4
【答案】D【解析】由已知，點 P 的分界點恰好是邊 CD 的四等分點，
3
AD
AB
7
AD
AB
7
AB
2
= ( AB)
2
+ AD2 ，解得(
)
2
=
，即
=
，故選 D．
由勾股定理可得
4
16
4
73．(2012 遼寧理)在長為 12cm 的線段 AB 上任取一點 C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段 AC，CB 的長，
則該矩形面積小于 32 cm
2
的概率為
1
6
1
3
2
4
5
A．
B．
C．
D．
3
AC=x,CB=y
【答案】C【解析】如圖所示，令
，
(
)，矩形面積設為，則 ( ) ￡
S=xy=x 12-x 32，
x+y=12 x>0,y>0
S
則
8
2
解得0 E(x ) ， D(x ) < D(x )
D． E(x ) > E(x ) ， D(x ) > D(x )
1 2 1 2
1
2
1
2
【答案】A【解析】由題意可得
x1
x2
0
1
0
1
1- p1
p1
1- p2
p2
P
P
由兩點分布 E(x ) = p ， E(x ) = p ； D(x ) = (1- p )p ， D(x ) = (1- p )p ，
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
D(x ) - D(x ) = (1- p ) p -(1- p ) p = ( p - p ) -( p
2
2
- p1
) = ( p - p )(1- p - p ) ，
2 1 2 1
2
∵
2
1
2
2
1
1
2
1
1
∵0 < p < p < ，∴ p - p > 0，1- p - p > 0 ，∴ E(x ) < E(x ) ， D(x ) < D(x ) ，故選 A．
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
( 3
m
n
m 3,n 3
3 )，從乙
116．(2014 浙江理)已知甲盒中僅有 1 個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個籃球

盒中隨機抽取i(i =1, 2)個球放入甲盒中．
i 1,2
x ( = )
i
(a)放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為
；
i
( = )．則
i
p i 1,2
(b)放入個球后，從甲盒中取 1 個球是紅球的概率記為
i
p > p ,E x < E x
( ) ( )

(x )
p p ,E E
1 2
A．
C．
B．
D．
1
2
1
2
1
2
p > p ,E x > E x
( ) ( )
1
p p ,E

p ，
1 2
2
2
2
2
3
(x )< (x )
E
E
，故選 A．
1
2
117．(2020 浙江 16)一個盒子里有 1 個紅 1 個綠 2 個黃四個相同的球，每次拿一個，不放回，拿出紅球即停，
x
設拿出黃球的個數(shù)為，則
P(x = 0) =
E(x) =
；
．
1
【答案】；1
3
【解析】x = 0表示第一次拿到的是紅球，設為事件 A，或第一次是綠球，第二次是紅球，設為事件 B，則
1
1
1
3
(x = )= ( )+ ( )= +
=
P
0
P A P B
；
4 4′3
2′1
4′3
1
x =1表示拿出紅球時已經(jīng)拿出了一個黃球，即第一次拿到黃球，第二次拿到紅球，概率 P =
= ，或
6
2′1′1
4′3′2
1
1 1
(x = )= + =
1
3
是前兩次拿到的是一個黃球一個是綠球， P = 2′
= ，∴ P
1
；
6
6 6
2′1′1
4′3′2 12
1
x = 2，表示拿到紅球時已經(jīng)拿出了兩個黃球，即前兩次黃球，第三次紅球，P =
=
，說是第四

3′2′1
4′3′2′1
1
4
1
1
1
3
P(x = 2)= + =
次拿到紅球， P
=
=
，∴
，
12 4
1
1
3
1
3
1
(x)= ′ + ′ + ′ =
E
0
1
2
1，故答案為：；1．
3
3
118．(2017 新課標Ⅱ理)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02 ，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，
表示抽到的二等品件數(shù)，則 DX =
．
(
)
【答案】1．96【解析】由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項分布，即 X ~ B 100, 0.02 ，由二項分布
的期望公式可得 DX np 1 p 100 0.02 0.98 1.96
．
= ( - ) =
′
′
=
119．(2016 年四川理)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，
則在 2 次試驗中成功次數(shù) X 的均值是
．
3
3
4
3
3
3
2
【答案】【解析】實驗成功的概率 p
=
，故
X : B(2, )
E(X) = 2′ =
，所以
．
2
4
4
1
x
P(x = 0) =
， __．
E(x)=1，則 D(x) =
120．(2014 浙江理)隨機變量的取值為 0，1，2，若
5
2
【答案】【解析】由題意設 P(x =1) = p,x 的分布列如下
5
x
0
1
2
1
4
p
P
- p
5
5
3
2
由 E(x) =1，可得 p = ，所以 D(x) = ．
5
5
121．(2020 江蘇 25)甲口袋中裝有 2 個黑球和 1 個白球，乙口袋中裝有 3 個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任
取一個球交換放入另一口袋，重復 n 次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為 X ，恰有 2 個黑球的概率為 p ，
n
n
恰有 1 個黑球的概率為 qn．
(1)求 p ·q 和 p ·q ；
1
1
2
2
(2)求 2p +q 與 2p +q 的遞推關(guān)系式和 X 的數(shù)學期望 E(X )(用 n 表示) ．
n
n
n-1
n-1
n
n
1′3
3′3
1
2′3
3′3
2
3
1′3
3′3
1′2 1 1 2 2
3′3 3 3 3 9 27
7
p =
1
= ,q =
=
p = p ′
+q1 ′
= ′ + ′ =
【解析】(1)
，
，
1
2
1
3
2′3
3′3
1′1+2′2
2 2 2 5 16
q = p ′
+q1 ′
1′3
+0 = ′ + ′ =
．
2
1
′
3 3
1′2
3 3 3 9 27
2
1
p = p ′
+q ′
= p + q
n-1 n-1
(2)
，
n
n-1
′
n-1
3′3
3 3
2′3
3′3
3
9
1′1+2′2
3′2
1
2
3
q = p ′
+q ′
+(1- p -q )′
= - q +
，
n
n-1
n-1
3′3
n-1
n-1
′
n-1
3 3
9
2
1
2
3
1
2
1
2p +q = p + q +
2p +q = (2p +q ) + \2p +q -1= (2p +q -1)
，
n n n-1 n-1 n n n-1 n-1
因此
，從而
n
n
n-1
n-1
3
3
3
3
3

1
3n-1
1
1
2p +q -1= (2p +q -1)
\2p +q =1+
E(X ) = 2p +q =1+
，
n n n
即
．
n
n
1
1
n
n
3n
3n
2
122．(2019 天津理 16)設甲、乙兩位同學上學期間，每天 7：30 之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同
3
學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．
(Ⅰ)用 X 表示甲同學上學期間的三天中 7：30 之前到校的天數(shù)，求隨機變量 X 的分布列和數(shù)學期望；
(Ⅱ)設 M 為事件“上學期間的三天中，甲同學在 7：30 之前到校的天數(shù)比乙同學在 7：30 之前到校的天數(shù)恰
好多 2”，求事件 M 發(fā)生的概率．
2
【解析】(I)∵甲同學上學期間的三天中到校情況相互獨立，且每天 7：30 之前到校的概率均為，
3
? 2 ?
X ~ B 3,
k
3-k
? 2 ? ?1?
( = ) =
÷，從面 P X
k
3
( = )
k 0,1, 2, 3 ．
故
?
k
C ? ÷ ? ÷
è 3 ?
è 3 ? è3?
∴隨機變量 X 的分布列為：
X
0
1
2
3
1
4
9
8
2
9
P
27
27
2
E(X) = 3′ = 2
隨機變量 X 的數(shù)學期望
．
3
? 2 ?
Y ~ B 3,
(II)設乙同學上學期間的三天中 7：30 之前到校的天數(shù)為Y ，則
?
÷，
è 3 ?
且M ={X = 3,Y =1}U{X = 2,Y = 0}
．
由題意知事件{X = 3,Y =1}與
均相互獨立，從而由(I)知：
{ =
X
2,Y 0 X 3 Y 1 X 2 Y 0
= }互斥，且事件{ = }與{ = }，事件{ = }與{ = }
P(M ) P X 3,Y
= ({ =
= }U{ =
1
X
2,Y
= 0}) = P(X = 3,Y =1)+ P(X = 2,Y = 0)
8
2 4
1
20
= P(X = 3)P(Y =1) + P(X = 2)P(Y = 0) = ′ + ′
=
．
27 9 9 27 243
123．(2019 全國 I 理 21)為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行
動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲
藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥
治愈的白鼠多 4 只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪
試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分，乙藥得- 分；若施以乙藥的白鼠治
1
愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1 分，甲藥得- 分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0 分．甲、乙
1

兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為 X．
(1)求 X 的分布列；
pi (i =0,1,L,8)
(2)若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予 4 分，
表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比
i
p =0 p =1 p = ap +bp +cp (i =1, 2,L,7)，其中a = P(X = -1)
乙藥更有效”的概率，則
，
，
，
0
8
i
i-1
i
i+1
b = P(X = 0)，c = P(X =1) ．假設a = 0.5， b = 0.8 ．
{p - p} (i = 0,1, 2,L,7)
(i)證明：
為等比數(shù)列；
i+1
i
p
p
4
(ii)求，并根據(jù) 的值解釋這種試驗方案的合理性．
4
【解析】試題分析：
試題解析：(1)由題意可列分布列：
X
P
-1
0
1
1
(1-a)b
-(a +b)+2ab
a(1-b)
(2)
(ⅰ)由題意可得a p X
= ( = - )=( -a)b =0.4，b = p(X =0)=1-(a +b)+2ab =0.5，
1
1
= ( = )=a ( -b) =
c p X
1
1
0.1
此時 X 的分布列為：
X
P
-1
0
1
2
5
1
2
1
10
2
5
1
2
1
2
2
1
1
故 pi
=
pi-1
+
pi
+
i+1
( = ××× )，即 p - p = p - pi (i =1, 2,×××,7)
p i 1, 2, ,7
i i-1 i+1
10
5
5
10
10
p - p
p - p
i i-1
化簡可得： pi+1
p
4 p p
- = ( - )( =
××× )即 i+1
i 1, 2, ,7
i
= 4(i =1, 2,×××,7)，
i
i
i-1
2
1
2
1
( = ××× )
p i 1, 2, ,7
i+1
又 pi
=
pi-1
+
pi
+
5
10
{
- }( =
××× )
故數(shù)列 pi+1 p i 0, 1, ,7 為公比為 4 的等比數(shù)列。
i
( - )( -
)
p p 1 4
8
p p
- =( - )+( - )+×××+( - ) =
p p p p
p p
1
0
(ⅱ)由等比數(shù)列求和公式可得：
8
0
1
0
2
1
8 7
1- 4

( )
4 -1
8
3
即1=
p T p =
1 1
，
3
48 -1
3
( )
4 -1
4
( - )( - )
p p 1 4
4
1
8
4 -1
p p
- =( - )+×××+( - ) =
p p p p
1
0
p4 =
=
又
，即
。
4
0
1
0
4
3
1- 4
44
+1
3
此時說明，甲累計得 4 分，乙累計得 0 分，概率極小，符合甲乙兩種藥物都有效用的說法。
124．(2019 北京理 17)
改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動支付已成為主要支付方式之一．為了解某
校學生上個月 A，B 兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了 100 人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A，B 兩
種支付方式都不使用的有 5 人，樣本僅使用 A 和僅使用 B 的學生的支付金額分布情況如下：
支付金額
(0,1000
]
(1000, 2000]
大于 2000
支付方式
僅使用 A
18 人
10 人
9 人
3 人
1 人
僅使用 B
14 人
(Ⅰ)從全校學生中隨機抽取 1 人，估計該學生上個月 A，B 兩個支付方式都使用的概率；
(Ⅱ)從樣本僅使用 A 和僅使用 B 的學生中各隨機抽取 1 人，以 X 表示這 2 人中上個月支付金額大于 1000 元
的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學期望；
(Ⅲ)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用 A 的學生中，隨機抽查 3 人，發(fā)現(xiàn)他
們本月的支付金額大于 2000 元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認為樣本僅使用 A 的學生中本月支付金額大于 2000
元的人數(shù)有變化？說明理由．
【解析】(Ⅰ)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為：100-30-25-5 = 40人，則：
40
2
5
p =
=
該學生上個月 A，B 兩種支付方式都使用的概率
．
100
3
2
(Ⅱ)由題意可知，僅使用 A 支付方法的學生中，金額不大于 1000 的人數(shù)占，金額大于 1000 的人數(shù)占，
5
5
2
3
僅使用 B 支付方法的學生中，金額不大于 1000 的人數(shù)占，金額大于 1000 的人數(shù)占，且 X 可能的取值
5
5
為 0，1，2，
2
2
3 2
6
?3? ?2? 13
3 2
6
( = )= ′ =
(
)
( = )= ′ =
p X 2
，
p X
0
p X =1 =
+
=
，
? ÷ ? ÷
è5? è5 ? 25
，
5 5 25
5 5 25
X 的分布列為：

X
0
1
2
6
13
25
6
( )
p X
25
25
6
13
6
( )= ′ + ′ + ′
=1．
E X
0
1
2
其數(shù)學期望：
25
25
25
(Ⅲ)我們不認為樣本僅使用 A 的學生中本月支付金額大于 2000 元的人數(shù)有變化．理由如下：
隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率越來越穩(wěn)定于
概率．
學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，出現(xiàn)題中這
種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”．
125．(2018 北京理)電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
電影類型
電影部數(shù)
好評率
第一類
140
第二類
50
第三類
300
第四類
200
第五類
800
第六類
510
0．4
0．2
0．15
0．25
0．2
0．1
好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．
假設所有電影是否獲得好評相互獨立．
(1)從電影公司收集的電影中隨機選取 1 部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；
(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取 1 部，估計恰有 1 部獲得好評的概率；
(3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“xk =1”表示第k 類電影得到
人們喜歡，“x = 0”表示第 k 類電影沒有得到人們喜歡( k =1，2，3，4，5，6)．寫出方差 Dx ，Dx ，Dx ，
k
1
2
3
Dx ， Dx ， Dx 的大小關(guān)系．
4
5
6
【解析】(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是 140+50+300+200+800+510=2000，
50
第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是 200×0．25=50，故所求概率為
= 0.025 ．
2000
(2)設事件 A 為“從第四類電影中隨機選出的電影獲得好評”，事件 B 為“從第五類電影中隨機選出的電影獲得
好評”．
故所求概率為 P(AB + AB) = P(AB) + P(AB) = P(A)(1- P(B)) +(1- P(A))P(B)．
由題意知： P(A)估計為 0．25， P(B)估計為 0．2，故所求概率估計為 0．25×0．8+0．75×0．2=0．35．
(3) Dx > Dx > Dx = Dx > Dx > Dx ．
1
4
2
5
3
6

126．(2018 全國Ⅰ理)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200 件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢
驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取 20 件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決
定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為 p(0 < p
令 f (p) 0 ，得 p 0.1．當 p (0, 0.1)時， f (p) 0 ；
當 p?(0.1,1) 時， f (p) 0 ．
￠

400，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗．
127．(2018 天津理)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為 24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法
從中抽取 7 人，進行睡眠時間的調(diào)查．
(1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？
(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現(xiàn)從這 7 人中隨機抽取 3 人做進一步的身體檢查．
(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不．足．的員工人數(shù)，求隨機變量 X 的分布列與數(shù)學期望；
(ii)設 A 為事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件 A 發(fā)生的概率．
【解析】(1)由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為 3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7

人，因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取 3 人，2 人，2 人．
(2)(i)隨機變量 X 的所有可能取值為 0，1，2，3．
C
k
4
×C33-k
P(X = k) =
(
k =0，1，2，3)．
C
3
7
所以，隨機變量 X 的分布列為
X
P
0
1
2
3
1
12
35
18
35
4
35
35
E(X) = 0′ +1′12 +2′18 +3′
1
4
=
12
隨機變量 X 的數(shù)學期望
．
35
35
35
35
7
(ii)設事件 B 為“抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 1 人，睡眠不足的員工有 2 人”；事件C為“抽取的 3
A = BUC
人中，睡眠充足的員工有 2 人，睡眠不足的員工有 1 人”，則
B C
，且與互斥，
6
7
由(i)知， P(B) = p(X = 2) ， P(C) = P(X =1)，故
P(A) = P(BUC) = P(X = 2) + P(X =1) =
．
6
所以，事件 A發(fā)生的概率為．
7
128．(2017 新課標Ⅲ理)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶 4 元，售價每瓶 6 元，
未售出的酸奶降價處理，以每瓶 2 元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高
氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于 25，需求量為 500 瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量
為 300 瓶；如果最高氣溫低于 20，需求量為 200 瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各
天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
最高氣溫 [10，15)
天數(shù)
[15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40)
16 36 25
2
7
4
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
(1)求六月份這種酸奶一天的需求量 X (單位：瓶)的分布列；
(2)設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y (單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位：瓶)為多少
時，Y 的數(shù)學期望達到最大值？
【解析】(1)由題意知， X 所有的可能取值為 200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知
2 +16
36
90
( = 200) =
P X
=
， ( = 300) =
0.2 P X
=
0.4 ，
90
25 + 7 + 4
( = 500) =
P X
=
0.4 ．
90
因此 X 的分布列為

X
P
200
300
500
0．2
0．4
0．4
(2)由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，
因此只需考慮200 ≤ n≤500
當300≤n≤500 時，
若最高氣溫不低于25，則Y =6n-4n = 2n
；
若最高氣溫位于區(qū)間[20, 25)，則Y = 6′300 +2(n-200) -4n =1200 -2n；
若最高氣溫低于20，則Y = 6′200 +2(n-200) -4n =800 -2n
；
EY = 2n′0.4 +(1200 -2n)′0.4 +(800 -2n)′0.2 = 640 -0.4n
因此
．
當200≤n < 300時，
若最高氣溫不低于20，則Y =6n-4n = 2n
；
若最高氣溫低于20，則Y = 6′200 +2(n-200) -4n =800 -2n
；
EY = 2n′(0.4 +0.4) +(800 -2n)′0.2 =160 +1.2n
因此
．
所以n =300
時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元．
Y
129．(2017 江蘇理)已知一個口袋有m個白球，n個黑球( m，n?N* ，n≥2)，這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)
將口袋中的球隨機的逐個取出，并放入如圖所示的編號為 1，2，3，…，m+ n的抽屜內(nèi)，其中第k 次取球
放入編號為k 的抽屜( k =1，2，3，…，m+ n)．
m+ n
1
2
3
…
(1)試求編號為 2 的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率 p ；
(2)隨機變量 X 表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù)， E(X) 是 X 的數(shù)學期望，證明
n
E(X)
2
2
1
3
2
45
3
5
45
1．8
2．9
將頻率視為概率，解答下列問題：
(I)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求其首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；
(II)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為 X ，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為 X ，
1
2
分別求 X ， X 的分布列；
1
2
(III)該廠預計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車，若從經(jīng)濟效益
的角度考慮，你認為應該生產(chǎn)哪種品牌的轎車？說明理由．
2 + 3
1
【解析】(I)設“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件 A，則 P(A) =
(II)依題意 X ， X 的分布列分別如下：
=
．
50 10
1
2
1
2
3
1．8 2．9
X1
P
X
P
2
1
3
9
1
9
25
50
10
10
10
1
3
9
1
9
(III)由(II)得 E(X1) =1′ +2′ +3′ = 2.86 (萬元 )， E(X2 ) =1.8′ +2.9′ = 2.79 (萬元 )，
25 50 10 10 10
∵ E(X ) > E(X ) ，∴應生產(chǎn)甲品牌轎車．
1
2
147．(2011 北京理)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學的植樹棵樹．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無
法確認，在圖中以 X 表示．

(Ⅰ)如果 X=8，求乙組同學植樹棵樹的平均數(shù)和方差；
(Ⅱ)如果 X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵樹 Y 的分布列和數(shù)學期
1 é
n
ù
( )
2
(
)
2
(
)
2
s
2
=
x - x + x - x +K+ x - x
，其中 x為 x ， x ，…… x 的平均數(shù))
1 2 n
望．(注：方差
ê
ú
?
?
1
2
n
【解析】(Ⅰ)當 X=8 時，由莖葉圖可知，乙組同學的植樹棵數(shù)是：8，8，9，10，
8+8+9 +10 35
所以平均數(shù)為 x =
=
;
4
4
方差為
1
35
4
35
35
4
35
4
11
16
s
2
= [(8 -
)
2
+ (8 -
)
2
+ (9 -
)
2
+ (10 -
)
2
] =
.
4
4
(Ⅱ)當 X=9 時，由莖葉圖可知，甲組同學的植樹棵樹是：9，9，11，11；乙組同學的植樹棵數(shù)是：9，8，9，
10．分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，共有 4×4=16 種可能的結(jié)果，這兩名同學植樹總棵數(shù) Y 的可能
取值為 17，18，19，20，21 事件“Y=17”等價于“甲組選出的同學植樹 9 棵，乙組選出的同學植樹 8 棵”所以
2
1
該事件有 2 種可能的結(jié)果，因此 P(Y=17)=
= .
16
8
1
1
1
1
同理可得 P(Y =18) = ; P(Y =19) = ; P(Y = 20) = ;P(Y = 21) = .
4
4
4
8
所以隨機變量 Y 的分布列為：
Y
P
17
18
19
20
21
1
8
1
4
1
4
1
4
1
8
1
1
1
1
1
8
EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17× +18× +19× +20× +21×
=
8
4
4
4
19．
148．(2011 江西理)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進行一項測試，以使確定工資級別，公司準備了兩
種不同的飲料共 8 杯，其顏色完全相同，并且其中 4 杯為 A 飲料，另外 4 杯為 B 飲料，公司要求此員工一
一品嘗后，從 8 杯飲料中選出 4 杯 A 飲料，若 4 杯都選對，則月工資定為 3500 元，若 4 杯選對 3 杯，則月
工資定為 2800 元，否則月工資定為 2100 元，令 X 表示此人選對 A 飲料的杯數(shù)，假設此人對 A 和 B 兩種飲
料沒有鑒別能力．
(1)求 X 的分布列；

(2)求此員工月工資的期望．
C
1
4
C5
C44-i
4
【解析】(1)X 的所有可能取值為：0，1，2，3，4，
P(X = i) =
(i = 0,1, 2, 3, 4)
即
X
P
0
1
2
3
4
1
16
70
36
70
16
70
1
70
70
(2)令 Y 表示新錄用員工的月工資，則 Y 的所有可能取值為 2100，2800，3500，則
1
8
P(Y =3500) = P(X = 4) =
P(Y = 2100) = P(X ￡ 2) =
, P(Y = 2800) = P(X =3) =
,
70
53
70
35
1
16
, EY =3500′ +2800′ +2100′ = 2280 .
70 70 70
53
所以新錄用員工月工資的期望為 2280 元．
X : N(m1, s1
2
)，Y : N(m2 , s
) ，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論
2
2
149．(2015 湖北理)設
中正確的是
A． P(Y ≥m )≥P(Y ≥m )
B． P(X ≤s )≤P(X ≤s )
2 1
2
1
C．對任意正數(shù)t ， P(X ≤t)≥P(Y ≤t)
D．對任意正數(shù)t ， P(X ≥t)≥P(Y ≥t)
X : N(m1,s1
2
) ，Y : N(m2 ,s
) 的密度曲線分別關(guān)
2
2
【答案】C【解析】由正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)可知，
于直線 x = m ，x = m 對稱，因此結(jié)合題中所給圖象可得，m < m ，所以 P(Y ≥m ) < P(Y ≥m ) ，故 A
1
2
1
2
2
1
X : N(m1,s1
2
)得密度曲線較Y : N(m2 ,s
2
) 的密度曲線“瘦高”，所以s P(X ≤s ) ，B 錯誤．對任意正數(shù)t，P(X ≤t)≥P(Y ≤t) ，P(X ≥t)≥P(Y ≥t) ，C 正確，
2
1
D 錯誤．
150．(2015 山東理)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布
度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(
N(0, 3 ) ，從中隨機取一件，其長
2
)

(附：若隨機變量x 服從正態(tài)分布
N(m,s ) ，則 P(m -s

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多