2023屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知，，則等于（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出集合、，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】，，所以，故選：A2．某工廠的一臺(tái)流水線生產(chǎn)質(zhì)量穩(wěn)定可靠，已知在正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸(單位：)服從正態(tài)分布.甲?乙兩名同學(xué)正進(jìn)行尺寸測(cè)量練習(xí).甲?乙對(duì)各自抽取的個(gè)零件測(cè)量零件內(nèi)徑尺寸(單位：)如下，甲同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)：，，，，；乙同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)：，，，，.則可以判斷（    ）A．甲?乙兩個(gè)同學(xué)測(cè)量都正確 B．甲?乙兩個(gè)同學(xué)測(cè)量都錯(cuò)誤C．甲同學(xué)測(cè)量正確，乙同學(xué)測(cè)量錯(cuò)誤 D．甲同學(xué)測(cè)量錯(cuò)誤，乙同學(xué)測(cè)量正確【答案】C【分析】根據(jù)原則可確定，可知甲同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)正確，乙同學(xué)測(cè)量數(shù)據(jù)中發(fā)生了小概率事件，可認(rèn)為其測(cè)量數(shù)據(jù)錯(cuò)誤.【詳解】，，即；甲同學(xué)測(cè)量的數(shù)據(jù)均落在之間，測(cè)量數(shù)據(jù)正確；乙同學(xué)測(cè)量的數(shù)據(jù)中有兩個(gè)數(shù)據(jù)落在之外，即小概率事件發(fā)生，知其測(cè)量錯(cuò)誤.故選：C.3．函數(shù)在 上的大致圖像為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性作排除，再根據(jù)特殊值求解.【詳解】 ，而，且，即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)、y軸不對(duì)稱，排除C、D；而 ，排除A；故選：B.4．最早的測(cè)雨器記載見(jiàn)于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書(shū)九章》（1247年）.該書(shū)第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪” .其中“天池測(cè)雨”法是下雨時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，當(dāng)盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時(shí)，平地的降雨量是（    ）A．9寸 B．6寸 C．4寸 D．3寸【答案】D【分析】根據(jù)圓臺(tái)的計(jì)算公式求解.【詳解】如圖所示，由題意知天池盆上底面半徑是14寸，下底面半徑是6寸，高為18寸，由積水深9寸知水面半徑為 (14+6) = 10寸，則盆中水體積為  (立方寸)，所以平地降雨量為 3(寸)；故選：D.5．為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間，釆用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取初中生800 人，其每天睡眠時(shí)間均值為9小時(shí)，方差為1，抽取高中生1200人，其每天睡眠時(shí)間均值為8小時(shí)，方差為0.5，則估計(jì)該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為（    ）A．0.94 B．0.96 C．0.75 D．0.78【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的均值，再利用分層抽樣方差的計(jì)算方法求出方差作答.【詳解】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的平均數(shù)為:(小時(shí))，該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時(shí)間的方差為：.故選：A6．已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷A，根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷BCD.【詳解】，即，即.對(duì)于 A， 成立.對(duì)于 B， ，成立.對(duì)于 C， ，即.故C錯(cuò)誤；對(duì)于 D， 成立.故選：C.7．已知，則的最大值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)題目條件進(jìn)行三角恒等變化，得，將轉(zhuǎn)化為，求出最值.【詳解】因?yàn)?/span>，，所以，， 即，所以，因?yàn)?/span>，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，取得最大值.故選：B.8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再設(shè)，由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之和.【詳解】設(shè)半焦距為c，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以MO是的中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.【點(diǎn)睛】由平面幾何知識(shí)，，依據(jù)雙曲線的定義，可將轉(zhuǎn)化為用a表示，進(jìn)而的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b），其共軛復(fù)數(shù)為，則下列結(jié)果為實(shí)數(shù)的是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】逐個(gè)代入化簡(jiǎn)，檢驗(yàn)虛部是否為0，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，，不一定為實(shí)數(shù);對(duì)于 B， ;對(duì)于 C，;對(duì)于 D，.故選：BCD.10．平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B．的取值范圍是C．面積的最大值為D．的取值范圍是【答案】BC【分析】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，列出方程并化簡(jiǎn)整理，放縮解不等式判斷A；利用幾何意義并結(jié)合求函數(shù)值域判斷B；利用三角形面積公式計(jì)算判斷C；取點(diǎn)計(jì)算判斷D作答.【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，顯然，因此，B正確；對(duì)于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，當(dāng)點(diǎn)P為此點(diǎn)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：求解軌跡方程問(wèn)題，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件求列出方程，再化簡(jiǎn)整理求解，還應(yīng)特別注意：補(bǔ)上在軌跡上而坐標(biāo)不是方程解的點(diǎn)，剔出不在軌跡上而坐標(biāo)是方程解的點(diǎn).11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（    ）A．是偶函數(shù)B．是周期函數(shù)C．在區(qū)間 上，有且只有一個(gè)極值點(diǎn)D．過(guò) 作y=的切線，有無(wú)數(shù)條【答案】AC【分析】根據(jù) 的解析式，分別其對(duì)稱性，周期性，單調(diào)性以及切線方程作出分析.【詳解】顯然 ，A正確；顯然不是周期函數(shù)， B錯(cuò)誤；對(duì)于 C， ，令 ，當(dāng) 時(shí)， ，則 單調(diào)遞減，又 ，故 在 上只有一個(gè)解，C正確;對(duì)于 D，設(shè)切點(diǎn)為 ，則切線方程為，代入(0，0)，有，得t= 0或 ，若 ，則切線方程為；若 ，則切線方程為，故有且僅有3 條切線，D錯(cuò)誤；故選：AC.12．在直四棱柱中中，為中點(diǎn)，點(diǎn)滿足.下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則四面體的體積為定值.B．若平面，則的最小值為.C．若的外心為，則為定值2.D．若，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.【答案】ABD【分析】對(duì)于A，由，可得三點(diǎn)共線，可得點(diǎn)在，而由直四棱柱的性質(zhì)可得∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，而的面積為定值，從而可進(jìn)行判斷，對(duì)于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，由面面平行的判定定理可得平面∥平面，從而可得∥平面，進(jìn)而可求得的最小值，對(duì)于C，由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷，對(duì)于D，在上取點(diǎn)，使得，可得點(diǎn)的軌跡為圓弧，從而可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?/span>，，所以三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在，因?yàn)?/span>∥，平面，平面，所以∥平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，因?yàn)?/span>的面積為定值，所以四面體的體積為定值，所以A正確，對(duì)于B，取的中點(diǎn)分別為，連接，則∥，因?yàn)?/span>平面，平面，所以∥平面，因?yàn)?/span>∥，∥，所以∥，因?yàn)?/span>平面，平面，∥平面，因?yàn)?/span>，平面，所以平面∥平面，因?yàn)?/span>平面，所以平面，所以當(dāng)時(shí)，最小，因?yàn)?/span>，所以，，所以，所以重合，所以的最小值為，所以B正確，對(duì)于C，若的外心為，過(guò)作于，因?yàn)?/span>，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，過(guò)作于點(diǎn)，因?yàn)閯t可得平面，平面，所以，因?yàn)?/span>，平面，所以平面，，在上取點(diǎn)，使得，則，所以若，則在以為圓心，2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?/span>，所以，則圓弧等于，所以D正確，故選：ABD 三、填空題13．已知，若，則 t 的值為_________.【答案】-1【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則求解.【詳解】，故可得，，，即，整理得，解得；故答案為：-1.14．已知 a>0，若，且，則a=______.【答案】2【分析】依據(jù)題給條件列出關(guān)于a的方程，解之即可求得a的值.【詳解】因?yàn)?/span>， 又，展開(kāi)式通項(xiàng)為，對(duì)應(yīng)的系數(shù)，故得到，解得，其系數(shù)為或.又a>0，故實(shí)數(shù)a的值為2.故答案為：2.15．已知函數(shù) 的一條對(duì)稱軸為 ，且在 上單調(diào)，則的最大值為_________.【答案】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)稱軸的幾何意義求解.【詳解】函數(shù)一條對(duì)稱軸為 ， ，的對(duì)稱軸可以表示為 ，令 ，則 在上單調(diào)，則，使得 ，解得，由，得，當(dāng)時(shí)，取得最大值為；故答案為： . 四、雙空題16．如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，點(diǎn)為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且，則______；為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，且，軸上點(diǎn)滿足，，則的最小值為______．  【答案】     4     【分析】第一空：利用橢圓與雙曲線的定義及性質(zhì)，結(jié)合圖形建立方程，求出，在利用余弦定理建立關(guān)于離心率的齊次方程解出即可；第二空：由為的內(nèi)心，得出角平分線，利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合平面向量得出及，代入中利用基本不等式求最值即可.【詳解】①由題意得橢圓與雙曲線的焦距為，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義：，由橢圓的定義：，可得：，又，由余弦定理得：，即，整理得：，所以：；②為的內(nèi)心，所以為的角平分線，則有，同理：，所以，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，故，為的內(nèi)心，三點(diǎn)共線，即為的角平分線，則有，又，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故答案為：4，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：離心率的求解方法，（1）直接法：由題意知道利用公式求解即可；（2）一般間接法：由題意知道或利用的關(guān)系式求出，在利用公式計(jì)算即可；（3）齊次式方程法：建立關(guān)于離心率的方程求解. 五、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，C=.(1)當(dāng) 時(shí)，求的面積;(2)求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知及三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得，分類討論可求出a，b的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得出結(jié)論；（2）由余弦定理及已知條件可得，利用基本不等式可得，解得，從而可求得周長(zhǎng)的最大值.【詳解】（1）由，得 ，即，即，當(dāng) 時(shí)，，得;當(dāng)時(shí)，，由正弦定理得，由余弦定理及已知條件可得，聯(lián)立. 解得，故三角形的面積為.（2）法一：由余弦定理可得:，由得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取等號(hào).又，即.即周長(zhǎng)的取值范圍是. 法二:，中，由正弦定理有，.即周長(zhǎng)的取值范圍是.18．如圖，已知在四棱錐中，為中點(diǎn)，平面平面，，，，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】分析：（1）由勾股定理可得，可得平面，于是，由正三角形的性質(zhì)可得，可得底面，從而可得結(jié)果；（2）以為，過(guò)作的垂線為建立坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組，求出平面的一個(gè)法向量與平面的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求出二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵，，，，∴，，，，∴，∵平面平面,兩平面的交線為 ∴平面，∴，∵，為中點(diǎn)，∴，梯形中與相交 ∴底面，∴平面平面．（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，∴，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，平面的法向量為，則由可得取，得，，即，由可得取，得，，即，∴．故二面角的余弦值為．點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.19．市教育局計(jì)劃舉辦某知識(shí)競(jìng)賽，先在，，，四個(gè)賽區(qū)舉辦預(yù)賽，每位參賽選手先參加“賽區(qū)預(yù)賽”，預(yù)賽得分不低于100分就可以成功晉級(jí)決賽，每個(gè)賽區(qū)預(yù)賽中，成功晉級(jí)并且得分最高的選手獲得一次決賽中的“錯(cuò)題重答”特權(quán).賽區(qū)預(yù)賽的具體規(guī)則如下：每位選手可以在以下兩種答題方式中任意選擇一種答題.方式一：每輪必答2個(gè)問(wèn)題，共回答6輪，每輪答題只要不是2題都錯(cuò)，則該輪次中參賽選手得20分，否則得0分，各輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分；方式二：每輪必答3個(gè)問(wèn)題，共回答4輪，在每一輪答題中，若答對(duì)不少于2題，則該輪次中參賽選手得30分，如果僅答對(duì)1題，則得20分，否則得0分.各輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分.記某選手每個(gè)問(wèn)題答對(duì)的概率均為.（1）若，該選手選擇方式二答題，求他晉級(jí)的概率；（2）證明：該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）可求出選手每輪得分取0，20，30時(shí)候的概率，預(yù)賽得分大于等于100分，有三種情況，得分120分，110分，100分，分別算出這三種情況的概率，按照概率的加法公式計(jì)算晉級(jí)的概率即可.（2）分別計(jì)算兩種方式下每輪得分的分布列.求出的數(shù)學(xué)期望，由此求出每種方式預(yù)賽得分的數(shù)學(xué)期望，作出判斷.【詳解】解：（1）該選手選擇方式二答題，記每輪得分為，則可取值為0，20，30，且，，記預(yù)賽得分為，∴該選手所以選擇方式二答題晉級(jí)的概率為.（2）該選手選擇方式一答題：設(shè)每輪得分為，則可取值為0，20，且，∴，設(shè)預(yù)賽得分為，則，.該選手選擇方式二答題：設(shè)每輪得分為，則可取值為0，20，30，且，，，∴.設(shè)預(yù)賽得分為，則，因?yàn)?/span>，所以該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等.【點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的一般步驟：（1）根據(jù)題中條件確定隨機(jī)變量的可能取值；（2）求出隨機(jī)變量所有可能取值對(duì)應(yīng)的概率，即可得出分布列；（3）根據(jù)期望的概念，結(jié)合分布列，即可得出期望（在計(jì)算時(shí)，要注意隨機(jī)變量是否服從特殊的分布，如超幾何分布或二項(xiàng)分布等，可結(jié)合其對(duì)應(yīng)的概率計(jì)算公式及期望計(jì)算公式，簡(jiǎn)化計(jì)算）20．已知數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由已知等式變形可得，利用累加法可求得在時(shí)的表達(dá)式，然后檢驗(yàn)時(shí)的情形，綜合可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證所證不等式成立，當(dāng)時(shí)，由放縮法可得出，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得原不等式成立，綜合可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，在等式兩邊同除后得，所以，，上述等式累加得，即，所以，.又時(shí)，滿足該式，故.（2）解：由，所以，，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，對(duì)任意的，.21．已知拋物線過(guò)定點(diǎn)C（l，2），在拋物線上任取不同于點(diǎn)C的一點(diǎn)A，直線AC與直線y=x+3交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)B．（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；（2）求△ABC面積的最小值.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】如圖.（1）由拋物線過(guò)定點(diǎn)，得拋物線方程為.設(shè)點(diǎn).則，即，與聯(lián)立解得點(diǎn)于是，.當(dāng)時(shí)，，，過(guò)定點(diǎn)Q（3，2）.當(dāng)時(shí)，，易得，也過(guò)定點(diǎn)Q（3，2）.（2）由（1）可設(shè).與拋物線方程聯(lián)立得則，，.當(dāng)m=1時(shí)，△ABC面積的最小值為.22．已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)記的零點(diǎn)為，的極小值點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出的導(dǎo)數(shù)，得出的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極小值點(diǎn)，得到，又，故，從而證明結(jié)論.【詳解】（1）由，①若a0，則在上單調(diào)遞增;②若 a<0，令，則 ，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）有，證明：由，設(shè)則在(0，+)上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.又，存在，使在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 為的極小值點(diǎn)，故. 由，，又，由（1）知a>0時(shí)，在上單調(diào)遞增，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二小問(wèn)中，利用二階求導(dǎo)求出的單調(diào)性是關(guān)鍵，從而可得存在，使得是的極小值點(diǎn)，得從而與函數(shù)關(guān)聯(lián)起來(lái).本題是綜合題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問(wèn)題，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的概念，以及轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想，屬于較難題. 

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