湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________ 一、單選題1．已知集合，集合，則（    ）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（    ）A． B．3 C． D．43．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（    ）A． B．C． D．4．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢、蹋的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)已列入第一批國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．已知某鞠（球）的表面上有四個(gè)點(diǎn)，平面，則該鞠（球）的表面積為（    ）  A． B． C． D．5．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICME-7）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主題圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知為直角頂點(diǎn)，設(shè)這些直角三角形的周長(zhǎng)從小到大組成的數(shù)列為，令為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（    ）A．8 B．9 C．10 D．116．函數(shù)恒有，且在上單調(diào)遞增，則的值為（    ）A． B． C． D．或7．已知函數(shù)f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（　?。?/span>A． B．C． D．8．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)N是F1F2線段上一點(diǎn)，滿足．現(xiàn)將△MF1F2沿MN折成直二面角，若使折疊后點(diǎn)F1，F2距離最小，則為（    ）A． B． C． D． 二、多選題9．已知實(shí)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A． B．C． D．10．已知函數(shù)（）是奇函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，則（    ）A． B．的一個(gè)周期是4 C．是偶函數(shù) D．11．已知圓，恒過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)．下列說(shuō)法正確的是（    ）A．的最小值為 B．C．的最大值為 D．過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在某個(gè)定圓上12．隨著時(shí)代與科技的發(fā)展，信號(hào)處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域.而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù)，的圖象就可以近似的模擬某種信號(hào)的波形，則下列說(shuō)法正確的是（    ）A．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)為周期函數(shù)，且最小正周期為D．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的最大值為4 三、填空題13．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，則_____14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則函數(shù)在點(diǎn)（2，）處的切線方程為________________．15．在正四棱柱中，，E 為中點(diǎn)，為正四棱柱表面上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為_____. 四、雙空題16．意大利數(shù)學(xué)家傲波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)了數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，…，數(shù)列中的每一項(xiàng)被稱為斐波那契數(shù)，記作Fn.已知，，（，且n>2）.（1）若斐波那契數(shù)Fn除以4所得的余數(shù)按原順序構(gòu)成數(shù)列，則___________.（2）若，則___________. 五、解答題17．在數(shù)列中，（I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和18．已知向量，，且函數(shù).（1）求的最小正周期及對(duì)稱中心；（2）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，角為銳角，，若，且的面積為.求的周長(zhǎng).19．如圖，在三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，平面平面ABC．(1)證明：；(2)若E為的中點(diǎn)，直線與平面所成的角為45°，求直線與平面所成的角的正弦值．20．已知圓是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的另一條直線與相交于兩點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線的方程．21．人工智能（AI）是一門極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟.某校成立了兩個(gè)研究性小組，分別設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)不同的AI軟件用于識(shí)別音樂(lè)的類別.記兩個(gè)研究性小組的軟件每次能正確識(shí)別音樂(lè)類別的概率分別為.為測(cè)試軟件的識(shí)別能力，計(jì)劃采取兩種測(cè)試方案.方案一：將100首音樂(lè)隨機(jī)分配給兩個(gè)小組識(shí)別，每首音樂(lè)只被一個(gè)軟件識(shí)別一次，并記錄結(jié)果；方案二：對(duì)同一首歌，兩組分別識(shí)別兩次，如果識(shí)別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測(cè)試通過(guò).(1)若方案一的測(cè)試結(jié)果如下：正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，組占；在錯(cuò)誤識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，組占.（i）請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并通過(guò)獨(dú)立性檢驗(yàn)分析，是否有的把握認(rèn)為識(shí)別音樂(lè)是否正確與兩種軟件類型有關(guān)？ 正確識(shí)別錯(cuò)誤識(shí)別合計(jì)A組軟件   B組軟件   合計(jì)  100（ii）利用（i）中的數(shù)據(jù)，視頻率為概率，求方案二在一次測(cè)試中獲得通過(guò)的概率；(2)研究性小組為了驗(yàn)證軟件的有效性，需多次執(zhí)行方案二，假設(shè)，問(wèn)該測(cè)試至少要進(jìn)行多少次，才能使通過(guò)次數(shù)的期望值為16？并求此時(shí)的值.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82822．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
參考答案：1．B【分析】分別解出兩個(gè)集合的取值范圍，取交集即可.【詳解】因?yàn)?/span>，，可得，因?yàn)?/span>，，即，可得，取交集可得，故選：B.2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)虛部的概念即可得到答案.【詳解】，則，故，虛部為，故選：C．3．A【分析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.4．C【分析】取的中點(diǎn)為，連接，可證為外接球的球心，故可求半徑，從而可得球的表面積.【詳解】  取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>平面，而平面，故，故.同理，而，平面，故平面，而平面，故，故，綜上，為三棱錐外接球的球心，而，故外接球的半徑為3，故球的表面積為，故選：C5．C【分析】由題意可得的邊長(zhǎng)，進(jìn)而可得周長(zhǎng)及，進(jìn)而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，所以，所以前項(xiàng)和，所以，故選：C.6．B【分析】由題意可得時(shí)取得最大值，可得.根據(jù)單調(diào)性可得，即，根據(jù)可求的值.【詳解】因?yàn)楹阌?/span>，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，所以，得.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以,即，得.因?yàn)?/span>，所以.因?yàn)?/span>在上單調(diào)遞增，所以,得.所以，且，，解得，.故.故選：B.7．C【分析】令，化簡(jiǎn)得，構(gòu)造函數(shù)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)圖像，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【詳解】有兩個(gè)正整數(shù)解即有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，令，，故函數(shù)在區(qū)間和上遞減，在上遞增，畫(huà)出圖像如下圖所示，要使恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解等價(jià)于   解得故，選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式解集問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.8．B【分析】由已知條件及雙曲線的定義可得，，將△MF1F2沿MN折成直二面角后，過(guò)作，應(yīng)用直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理及勾股定理求最小時(shí)的大小，進(jìn)而求值.【詳解】∵，，∴，，將△MF1F2沿MN折成直二面角，過(guò)作，易知面，設(shè)，在中有，，∴在△中，，有，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立.∴F1，F2距離最小時(shí)，為角平分線，故，可得.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由雙曲線的定義求、，結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系、余弦定理、勾股定理求與的函數(shù)關(guān)系，再求最小值，最后即可求參數(shù)值.9．BCD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.【詳解】因?yàn)?/span>，所以有，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C正確；，故D正確．故選：BCD．10．BC【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性與可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得從而可判斷B項(xiàng)，根據(jù)周期性與奇偶性可判斷A項(xiàng)，根據(jù)奇偶性與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可得，從而可判斷C項(xiàng)，在中，令代入計(jì)算可判斷D項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，，所以，所以，即：，故的周期為4，所以，故的一個(gè)周期為4，故B項(xiàng)正確；，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即：，所以為偶函數(shù)，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?/span>，所以，令，可得，解得：，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11．BCD【分析】由題意可得，當(dāng)時(shí)，取得最小值即可判斷A，由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可判斷BCD.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，又滿足，所以在圓內(nèi)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值，如下圖所示，此時(shí)，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；設(shè)是的中點(diǎn)，，由于，所以，B選項(xiàng)正確；由于，所以，所以的最大值為選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)正確．故選：BCD．12．ABD【分析】由題可知，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得可判斷AC，根據(jù)奇偶性的概念可判斷B，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式及三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，定義域?yàn)?/span>R，對(duì)于A，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B， ，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于，由題知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，由題可知，故D正確.故選：.13．【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為，求出，進(jìn)而寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)得出常數(shù)項(xiàng)，列方程計(jì)算出．【詳解】由題設(shè)可得，則；展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是，令可得，由題意，即，即，故答案為：．14．【詳解】試題分析：對(duì)函數(shù)，求導(dǎo)可得，得，因而切線的斜率而，由點(diǎn)斜式可得切線方程為即15．/【分析】過(guò)做與直線垂直的平面，則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)即為平面與正四棱柱的交線長(zhǎng).【詳解】如圖，連接，，由題可知，，平面.因平面，則.又平面，平，，則平面.又平面，則；如圖，過(guò)E做平行線，交于F，則F為中點(diǎn).連接，過(guò)做垂線，交于G.由題可得，平面，又，則平面.因平面，則.又平面，平面，，則平面.因平面，則；因平面，平面，，則平面.連接，則點(diǎn)P軌跡為平面與四棱柱的交線，即.注意到，，則，故.則點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題為立體幾何中的軌跡問(wèn)題，難度較大.本題關(guān)鍵為做出軌跡，即過(guò)定點(diǎn)做空間直線的垂面，因直接做出平面難度較大，故轉(zhuǎn)化為做空間直線所在平面的垂線.16．     2697     /-1+a【分析】（1）根據(jù)帶余除法的性質(zhì)，總結(jié)數(shù)列規(guī)律，可得答案；（2）利用遞推公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消，可得答案.【詳解】（1）由題意，，則，，則，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，由，則除以4的余數(shù)為，即，故由斐波那契數(shù)除以4的余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列，是以6為最小正周期的數(shù)列，因?yàn)?/span>，所以；（2）由斐波那契數(shù)的遞推關(guān)系可知：時(shí)，且，，所以.故答案為：2697，a -117．（I）()（II）=【詳解】試題分析：解:(I)由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: ()(II)由(I)知,=而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型,易得=考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于數(shù)列的遞推關(guān)系式的運(yùn)用，根據(jù)迭代法得到通項(xiàng)公式，并結(jié)合錯(cuò)位相減法求和．18．（1）最小正周期為，對(duì)稱中心為，.（2）【分析】(1)首先將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為的形式，然后確定其最小正周期和對(duì)稱中心即可；(2)由題意首先求得a的值，然后利用正弦定理求得∠A的大小，最后結(jié)合余弦定理求得b+c的值即可求得三角形的周長(zhǎng).【詳解】（1），由，故最小正周期為.由，∴，，∴的對(duì)稱中心為，.（2）由于，故，于是，又，解得.，解得.故或（舍去）.由余弦定理，則化簡(jiǎn)得：，∴，∴，∴三角形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與性質(zhì)，正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19．(1)證明見(jiàn)解析；(2). 【分析】（1）取AC的中點(diǎn)D，連接BD，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定證明平面ABC即可推理作答.（2）由給定的線面角求出，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出線面的正弦作答.【詳解】（1）如圖，在三棱柱中，取AC的中點(diǎn)D，連接BD，因?yàn)?/span>是等邊三角形，則，又平面ABC，平面平面ABC，平面平面，則平面，而平面，于是，又，，平面ABC，因此平面ABC，又平面ABC，則，于是，所以.（2）取AB的中點(diǎn)F，連接CF．由（1）得平面ABC，又，所以是直線與平面ABC所成的角，即，，由（1）知，CF，AB兩兩互相垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CF為x軸，過(guò)點(diǎn)C且平行于AB的直線為y軸，直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，于是，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.20．(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義即可求解；（2）首先求出直線的方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，討論直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解方程組求出，根據(jù)的面積是面積的倍，化簡(jiǎn)可以得到，進(jìn)一步求出斜率，從而得出答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為線段的垂直平分線與半徑的交點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，在橢圓中，所以曲線的方程為．（2）由已知得，所以直線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，或都與已知不符；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，易知，則，，由的面積是面積的倍可得，化簡(jiǎn)得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直線的方程為．  21．(1)（i）表格見(jiàn)解析，沒(méi)有；（ii）(2)測(cè)試至少27次，. 【分析】（1）根據(jù)條件填寫(xiě)列聯(lián)表并做卡方計(jì)算，根據(jù)列聯(lián)表求出 ，對(duì)“一次測(cè)試通過(guò)”作分類討論求出其概率；（2）根據(jù)對(duì)“一次測(cè)試通過(guò)”的分類討論，求出其概率的最大值，再按照二項(xiàng)分布求解.【詳解】（1）（i）依題意得列聯(lián)表如下： 正確識(shí)別錯(cuò)誤識(shí)別合計(jì)組軟件402060組軟件202040合計(jì)6040100因?yàn)?/span>，且，所以沒(méi)有的把握認(rèn)為軟件類型和是否正確識(shí)別有關(guān)；（ii）由（i）得，故方案二在一次測(cè)試中通過(guò)的概率為 ；（2）方案二每次測(cè)試通過(guò)的概率為 ，所以當(dāng)時(shí)，取到到最大值，又，此時(shí)，因?yàn)槊看螠y(cè)試都是獨(dú)立事件，故次實(shí)驗(yàn)測(cè)試通過(guò)的次數(shù)，期望值，因?yàn)?/span>，所以所以測(cè)試至少27次，此時(shí).22．(1)(2) 【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性求最值；（2）令，問(wèn)題化為恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，討論參數(shù)a及定義域判斷符號(hào)，即可求范圍.【詳解】（1）由題意，，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)．所以．（2）由，所以，記，即恒成立，且，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，令，則，所以在單調(diào)遞增，且，，（令且，則，故在上遞增，則，所以，以上成立），故存在唯一，使得，當(dāng)時(shí)，遞減，所以，此時(shí)，不合題意．當(dāng)時(shí)，（ⅰ）若，由上知，則遞增，（令且，則，故在上遞增，則，所以，以上成立），所以恒成立，即成立，符合題意．（ⅱ），若，則單調(diào)遞增，，，所以存在唯一使，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，又，，故存在唯一，使，故時(shí)，遞增，時(shí)，遞減，又，，所以時(shí)，則遞增，故，即恒成立．綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)，注意構(gòu)造中間函數(shù)研究單調(diào)性并確定零點(diǎn)，進(jìn)而判斷的符號(hào)求參數(shù)范圍. 

相關(guān)試卷

精品解析：湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)試題：

這是一份精品解析：湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)試題，文件包含精品解析湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)試題解析版docx、精品解析湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三一模數(shù)學(xué)試題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁(yè)， 歡迎下載使用。

精品解析：湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)、河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 、浙江省杭州第二中學(xué)高三二模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題：

這是一份精品解析：湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)、河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 、浙江省杭州第二中學(xué)高三二模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題，文件包含精品解析湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校浙江省杭州第二中學(xué)高三二模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析版docx、精品解析湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校浙江省杭州第二中學(xué)高三二模聯(lián)考數(shù)學(xué)試題原卷版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共31頁(yè)， 歡迎下載使用。

2023屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三二模數(shù)學(xué)試題含解析：

這是一份2023屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)高三二模數(shù)學(xué)試題含解析，共21頁(yè)。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問(wèn)題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開(kāi)；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開(kāi)微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部