2023屆湖北省星云聯(lián)盟高三下學(xué)期統(tǒng)一模擬考試Ⅱ數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．設(shè)全集，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式得到集合，然后根據(jù)補(bǔ)集和交集的定義計(jì)算.【詳解】由可得，即，于是.又，故.故選：C2．（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及三角恒等變換化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】已知可化為：.故選：A3．設(shè)，為單位向量，在方向上的投影向量為，則（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)投影向量公式求的值，再代入向量模的公式求解.【詳解】，在方向上的投影向量為，所以，所以.故選：D4．現(xiàn)代建筑物的設(shè)計(jì)中通常會(huì)運(yùn)用各種曲線、曲面，將美感發(fā)揮到極致.如圖所示是位于深圳的田園觀光塔，它的主體呈螺旋形，高15.6m，結(jié)合旋轉(zhuǎn)樓梯的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了建筑中的數(shù)學(xué)之美.某游客從樓梯底端出發(fā)一直走到頂部.現(xiàn)把該游客的運(yùn)動(dòng)軌跡投影到塔的軸截面，得到曲線方程為（x，y的單位：m）.該游客根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相位的變化量為，則約為（    ）A．0.55 B．0.65 C．0.75 D．0.85【答案】A【分析】根據(jù)建筑物的高，游客的初始位置和最后位置，表達(dá)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程的位移變化量，即可計(jì)算出的值.【詳解】由旋轉(zhuǎn)樓梯高為知，投影到軸截面上后，對(duì)應(yīng)曲線中，游客移動(dòng)的水平距離是15.6，∵初始時(shí)游客在最底端，∴當(dāng)時(shí)，初相為，∵整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，相位的變化量為，且最后游客在最高點(diǎn)，∴最后的位置，∴，解得：，故選：A.5．過(guò)三點(diǎn)，，的圓與直線交于，兩點(diǎn)，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出圓的方程，再利用弦長(zhǎng)公式求解作答.【詳解】依題意，設(shè)圓的方程為：，，于是，解得，則圓的方程為，即，其圓心為，半徑，點(diǎn)到直線的距離為，所以.故選：B6．若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則（    ）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及切線過(guò)原點(diǎn)先寫(xiě)出切線方程，由切線過(guò)切點(diǎn)可列方程計(jì)算.【詳解】由題意，，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故切線的斜率.由于切線過(guò)原點(diǎn)，故切線方程為.又切線經(jīng)過(guò)切點(diǎn)，即.整理可得：，即.即，故或.故選：C7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為右支上一點(diǎn)，與的左支交于點(diǎn).若，則的離心率的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由雙曲線的定義可得，結(jié)合余弦定理及雙曲線性質(zhì)可得，化簡(jiǎn)求范圍即可.【詳解】由題意易得：，所以設(shè)，，由余弦定理可得，則設(shè)點(diǎn)，則，即所以，故.故選：C8．從集合的非空子集中隨機(jī)取出兩個(gè)不同的集合A，，則在的條件下，恰有個(gè)元素的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照要求分類(lèi)討論計(jì)算即可.【詳解】由題意可分以下四種情況討論：①若A中有一個(gè)元素，則B中至少有三個(gè)元素，此時(shí)滿足的情況有種，而滿足恰有個(gè)元素的有種；②若A中有兩個(gè)元素，則B中至少有兩個(gè)元素，此時(shí)滿足的情況有種，而滿足恰有個(gè)元素的有種；③若A中有三個(gè)元素，則B中至少有一個(gè)元素，此時(shí)滿足的情況有種，而滿足恰有個(gè)元素的有種；④若A中有四個(gè)元素，則B中至少有一個(gè)元素，此時(shí)滿足的情況有種，而滿足恰有個(gè)元素的有種；故滿足題意的概率為：，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查集合與古典概型，較為新穎，屬于較難題.關(guān)鍵在于分類(lèi)討論要不重復(fù)不遺漏，需要較高的邏輯思維. 二、多選題9．人口問(wèn)題始終是戰(zhàn)略性、全局性的問(wèn)題.2022年末我國(guó)人口比上年末減少85萬(wàn)人，為61年來(lái)的首次人口負(fù)增長(zhǎng)，其中生育率持續(xù)降低受到了人們的廣泛關(guān)注.為促進(jìn)人口長(zhǎng)期均衡發(fā)展，國(guó)家制定了一系列優(yōu)化生育政策：2016年正式全面開(kāi)放二胎；2022年實(shí)施三孩生育政策，并配套生育支持措施.為了了解中國(guó)人均GDP （單位：萬(wàn)元）和總和生育率y以及女性平均受教育年限z（單位：年）的關(guān)系，采用2012~2022近十年來(lái)的數(shù)據(jù)繪制了散點(diǎn)圖，并得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程，，對(duì)應(yīng)的決定系數(shù)分別為，，則（    ）A．人均GDP和女性平均受教育年限正相關(guān) B．女性平均受教育年限和總和生育率負(fù)相關(guān)C． D．未來(lái)三年總和生育率將繼續(xù)降低【答案】AB【分析】根據(jù)回歸方程判斷選項(xiàng)A，寫(xiě)出女性平均受教育年限和總和生育率的關(guān)系式，從而判斷選項(xiàng)B，根據(jù)散點(diǎn)圖的擬合效果判斷選項(xiàng)C，由回歸方程可預(yù)測(cè)未來(lái)趨勢(shì)，但實(shí)際值不一定會(huì)繼續(xù)降低，從而判斷選項(xiàng)D.【詳解】由回歸方程可知，人均和女性平均受教育年限正相關(guān)，A正確；因?yàn)?/span>，，可得女性平均受教育年限和總和生育率的關(guān)系式為，所以女性平均受教育年限和總和生育率負(fù)相關(guān)，B正確.由散點(diǎn)圖可知，回歸方程相對(duì)擬合效果更好，所以，C錯(cuò)誤；根據(jù)回歸方程預(yù)測(cè)，未來(lái)總和生育率預(yù)測(cè)值有可能降低，但實(shí)際值不一定會(huì)降低，D錯(cuò)誤.故選：AB10．在正方體中，，則（    ）A．B．與平面所成角為C．當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積為定值【答案】AC【分析】依題意點(diǎn)在四邊形內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)（不含）.對(duì)于A，通過(guò)證明線面垂直證得線線垂直得出結(jié)果；對(duì)于B，與平面所成角，即為與平面所成角，根據(jù)線面角的定義及余弦定理進(jìn)行求解；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，即點(diǎn)在線段上，即可直接判斷結(jié)果；對(duì)于D，通過(guò)分析四邊形的面積為定值，點(diǎn)到平面的距離不是定值得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谡襟w中，，所以，所以點(diǎn)在四邊形內(nèi)及邊界運(yùn)動(dòng)（不含）.對(duì)于A，因?yàn)?/span>底面，底面，所以.又，，平面，所以平面，平面，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?/span>平面，設(shè)，所以為與平面所成角，即為與平面所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，，，，由余弦定理可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)在平面內(nèi)時(shí)，即點(diǎn)在線段上，所以正確，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗倪呅?/span>的面積為定值，，所以點(diǎn)到平面的距離不是定值，所以四棱錐的體積不是定值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．已知數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，為公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列.記，，，，則（    ）參考公式：A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及求和公式一一計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題意易得：當(dāng)時(shí)，，，顯然時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由題意易得：，即，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得：，所以若為偶數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；若為奇數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)；故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，由已知得：，故，故裂項(xiàng)可得：，所以，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考察數(shù)列的綜合，需要較高的計(jì)算能力與邏輯思維能力，屬于壓軸題.C項(xiàng)的關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)得，再將用基本不等式分類(lèi)討論求最值；D項(xiàng)的關(guān)鍵在于利用條件化簡(jiǎn)得，再用裂項(xiàng)相消求和判定不等式.12．在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱(chēng)為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.那么（    ）A．存在旋轉(zhuǎn)函數(shù)B．旋轉(zhuǎn)函數(shù)一定是旋轉(zhuǎn)函數(shù)C．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則D．若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則【答案】ACD【分析】對(duì)A，舉例說(shuō)明即可；對(duì)B，舉反例判斷即可；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的定義逐個(gè)判斷即可；對(duì)CD，將旋轉(zhuǎn)函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與任意斜率為1的函數(shù)最多一個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立函數(shù)與直線的方程，分析零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷即可.【詳解】對(duì)A，如滿足條件，故A正確；對(duì)B，如傾斜角為的直線是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，不是旋轉(zhuǎn)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若為旋轉(zhuǎn)函數(shù)，則根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，不存在與軸垂直的直線，使得直線與函數(shù)有1個(gè)以上的交點(diǎn).故不存在傾斜角為的直線與的函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).即與至多1個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立可得.當(dāng)時(shí)，最多1個(gè)解，滿足題意；當(dāng)時(shí)，的判別式，對(duì)任意的，都存在使得判別式大于0，不滿足題意，故.故C正確；對(duì)D，同C，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)小于等于1，即對(duì)任意的，至多1個(gè)解，故為單調(diào)函數(shù)，即為非正或非負(fù)函數(shù).又，故，即恒成立.即圖象在上方，故，即.當(dāng)與相切時(shí)，可設(shè)切點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)有，故，解得，此時(shí)，故.故D正確.故選：ACD 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則__________.【答案】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的定義可得，再根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】依題意，，解得，故.故答案為：14．已知為拋物線的焦點(diǎn)，直線與交于，，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的另一個(gè)交點(diǎn)為.若與的面積之比為，則__________.【答案】【分析】由題意可判斷得，寫(xiě)出點(diǎn)，的坐標(biāo)，從而得，表示出直線的方程，與拋物線聯(lián)立方程組，從而求解出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程計(jì)算，即可得，從而根據(jù)三角形面積公式表示與的面積，再根據(jù)面積比列式計(jì)算可得的值.【詳解】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為，可知，由題意，得，即所以直線的方程為，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)?/span>，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程可得，，所以，，，又，所以.故答案為：15．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，滿足，.若，且在單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是__________.【答案】【分析】由題意可知，是周期為的周期函數(shù)，的最小正周期為8，結(jié)合與的單調(diào)性，易知在一個(gè)周期內(nèi)，由，可得，再結(jié)合周期求出范圍即可.【詳解】因?yàn)?/span>，可得，所以， 關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 由，可得，關(guān)于對(duì)稱(chēng)， 因?yàn)?/span>，，，所以，則，因?yàn)?/span>，所以，，所以關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以，因?yàn)?/span>，所以，則，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù).因?yàn)?/span>是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，令中，則，則，又因?yàn)?/span>關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，綜上可得在，上單調(diào)遞增，，上單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>的最小正周期為，結(jié)合圖象可知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令中，則，則，當(dāng)，又，所以，當(dāng)，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，，解得.又因?yàn)?/span>與均為周期函數(shù)，且8均為其周期，所以的x的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是求出與的周期性，由，，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和周期性求解即可. 四、雙空題16．三棱錐的各頂點(diǎn)都在半徑為的球的球面上，，在平面內(nèi)，，則球的球面與平面的交線長(zhǎng)為____；當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，與平面所成角的正切值為____.【答案】     /     /0.5【分析】先求得平面截球所得截面圓半徑即可求得球的球面與平面的交線長(zhǎng)；先求得三棱錐的體積表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求得其最大值點(diǎn)，即可求得三棱錐的體積取得最大值時(shí)，與平面所成角的正切值.【詳解】設(shè)球的球面與平面的截面圓心為S，令由，又，可得，整理得，解之得，①則球的球面與平面的交線長(zhǎng)為.②設(shè)所在截面圓圓心為，則為與平面所成角，令，則的邊長(zhǎng)為，如下圖，設(shè)直線確定平面與球截面交點(diǎn)為P，過(guò)S作于T，則，又則點(diǎn)P到平面的最大距離為，則一定時(shí)，三棱錐的最大體積令，則則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得最大值，即三棱錐的體積取得最大值.則當(dāng)三棱錐的體積取得最大值時(shí)，與平面所成角的正切值為.故答案為：， 五、解答題17．在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，.(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由利用已知表達(dá)出，利用余弦定理求出的余弦值，推出的正弦值，即可求出三角形的面積.（2）求出的取值范圍，即可求出的最大值【詳解】（1）由題意，在中，為邊的中點(diǎn)，∴，,∴整理可得，即，若，則，因?yàn)?/span>，∴，（2）由題意及（1）得，在中，，∴，∴的最大值為.18．如圖，在四棱錐中，，，，為中點(diǎn).(1)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由；(2)若平面，，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)存在，理由見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用線面平行的判定證明∥平面；（2）取的中點(diǎn)為，證明，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，利用向量法證明即可.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，則∥，又∥，，所以四邊形為平行四邊形，∥. 因?yàn)?/span>平面，平面，∥，所以∥平面.（2）取的中點(diǎn)為，連接，，.若平面，，因?yàn)?/span>平面，則，，且，又，，平面，所以平面，所以，又∥，所以，又，的中點(diǎn)為，所以，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，平面的法向量為.設(shè)平面的法向量為，，令，則設(shè)平面與平面所成角為所以平面與平面所成角的余弦值為.19．記為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)積，求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）通過(guò)條件，利用和間的關(guān)系，得出，再利用累積法即可求出結(jié)果；（2）利用（1）中結(jié)果，得到，從而得到，通過(guò)計(jì)算和利用二項(xiàng)式定理得出數(shù)列前5項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，從第6項(xiàng)起均為正數(shù)，從而求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>時(shí)，，所以，兩式相減得到，化簡(jiǎn)整理得，所以，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)，，又，解得.所以，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，不滿足，綜上所述，.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，得到，又當(dāng)時(shí)，，滿足，所以，令，所以，又，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，取得最大值.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，證明：存在唯一的極小值點(diǎn)，且.【答案】(1)在單調(diào)遞增(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）求導(dǎo)可得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)遞增，代入可得，即可求證；（2）由零點(diǎn)存在定理可得存在唯一，使得，通過(guò)導(dǎo)數(shù)易得存在唯一的極小值點(diǎn)，由可設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)即可證明【詳解】（1）由可得，設(shè)，，因?yàn)?/span>，故單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，于是恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，，，則存在唯一，使得，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故在處取得極小值. 因?yàn)?/span>，即，又，則，，設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，則單調(diào)遞增，又，，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：證明不等式，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.21．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線交于A，兩點(diǎn)，且在線段上.(1)求直線，的斜率之和；(2)設(shè)與交于點(diǎn)，證明：為定值.【答案】(1)0(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理計(jì)算斜率之和即可；（2）取A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由（1）的結(jié)論可設(shè)直線，直線，聯(lián)立兩直線求得P點(diǎn)軌跡，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知得，，設(shè)，，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，易得；當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，即，由韋達(dá)定理可知:，     ①故，代入①式可得，，所以；綜上，.（2）設(shè)，取A關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，由（1）可知，三點(diǎn)共線，設(shè)直線，直線，聯(lián)立直線，解得，所以，即，又，則，因?yàn)?/span>，所以，整理可得，所以的軌跡是焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的雙曲線右支的一部分，所以．22．某區(qū)域中的物種擁有兩個(gè)亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某生物研究小組計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉個(gè)物種，統(tǒng)計(jì)其中種的數(shù)目后，將捕獲的生物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為，每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.(1)求的分布列；(2)記隨機(jī)變量.已知，；（ⅰ）證明：，；（ⅱ）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計(jì)值.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）， 【分析】（1）根據(jù)條件，判斷服從超幾何分布，再利用超幾何分布的分布列即可求出結(jié)果；（2）（ⅰ）直接利用均值和方差的性質(zhì)即可證明結(jié)果；（ⅱ）先利用第（ⅰ）中的結(jié)論，求出，，再結(jié)合條件建立方程組，從而求出結(jié)果.【詳解】（1）依題意，均服從完全相同的超幾何分布，故的分布列為.（2）（ⅰ）由題可知，，故，（ⅱ）由（ⅰ）可知的均值先計(jì)算的方差所以依題意有解得，．所以可以估計(jì)，．【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于利用超幾何分布的分布列、均值和期望. 

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