2023屆內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市高三二模數(shù)學(xué)（理）試題 一、單選題1．若，則（    ）A．5 B． C． D．3【答案】B【分析】由題意求，進而可求其模長.【詳解】∵，則，則.故選：B.2．設(shè)集合，且，則（    ）A． B． C．8 D．6【答案】C【分析】化簡集合A、B，根據(jù)交集的結(jié)果求參數(shù)即可.【詳解】由，可得或，即或，而，∵，∴，可得.故選：C3．已知為拋物線上第一象限的一點，以點B為圓心且半徑為12的圓經(jīng)過C的焦點F，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的方程結(jié)合拋物線的定義列式求解.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點坐標，準線，則，解得.故選：D.4．正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為（    ）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】設(shè)正方體的棱長為，由條件結(jié)合錐體體積公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)正方體棱長為，可得正八面體是由兩個四棱錐構(gòu)成，四棱錐的底面為邊長為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5．某射手每次射擊擊中目標的概率均為，且各次射擊的結(jié)果互不影響．設(shè)隨機變量X為該射手在n次射擊中擊中目標的次數(shù)，若，則P的值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項分布的期望和方差公式運算求解.【詳解】由題意可得：，則，解得.故選：C.6．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出、的值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得所求切線的方程.【詳解】因為，則，所以，，，因此，函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即.故選：A.7．若函數(shù)在的大致圖象如下圖，則（    ）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)圖象結(jié)合最小正周期和零點求，進而可求結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.8．的展開式中的系數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得解.【詳解】的展開式通項為，因為，在中，令可得，在中，令可得，因此，展開式中的系數(shù)為.故選：D.9．已知，且，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合倍角公式求，再根據(jù)同角三角關(guān)系“知一求二”.【詳解】由題意可得：，即，解得或，∵，則，故，可得，所以.故選：B.10．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長的棱的長度為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三視圖還原幾何體，注意線面垂直關(guān)系，進而求其它各棱長，即可得答案.【詳解】由三視圖，幾何體如下圖示，且面，而面，故，所以，顯然為最長棱.故選：C11．雙曲線的兩個焦點為，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的漸近線交于點H，若的面積為，則C的離心率為（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)幾何關(guān)系表示出切線的方程為，進而可求點的坐標，表示出三角形的面積，利用齊次化法求離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)切線的傾斜角為銳角，過的直線與圓相切于點，則,且所以，所以，即切線的斜率等于，所以切線的方程為，聯(lián)立，解得，所以，所以，即，解得或（舍），所以，則，即，所以離心率為，故選:D.12．若是奇函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運算求解.【詳解】若是奇函數(shù)，可得，則，可得，解得，所以.故選：A. 二、填空題13．若，滿足約束條件則的最大值為______.【答案】3【分析】根據(jù)約束條件畫出可行域，然后作出目標函數(shù)的一條等值線，利用等值線在可行域中進行平移找到取得最大值的最優(yōu)解，可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件可作圖如圖，由目標函數(shù)，令，得到目標函數(shù)的一條等值線，，故點，當直線移到點時，目標函數(shù)有最大值，則.故答案為：3.14．已知，，與的夾角為，且，則_________．【答案】/【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律展開，代入已知條件，即可得出答案.【詳解】由已知，可得，即.又，，所以，所以，，所以.故答案為：.15．已知圓C經(jīng)過點和點，且圓心在直線上，則圓C的標準方程為__________．【答案】【分析】求出線段AB的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心坐標，根據(jù)兩點間距離公式求出半徑，可得圓的方程．【詳解】因為，，所以直線的斜率為，線段中點為，所以中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標為.根據(jù)兩點間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故答案為：.16．已知A，B，C為球的球面上的三個點，為的外接圓，若的面積為，，則當的面積最大時，球的表面積為__________．【答案】【分析】求得的半徑，根據(jù)正弦定理得出，，然后代入整理得出的面積.設(shè)，，求導(dǎo)得出函數(shù)的最大值點，進而得出.根據(jù)勾股定理求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】設(shè)的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，.因為，所以，所以.設(shè)，，則.因為，由可得，.由可得，.因為，所以，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當時，取得唯一極大值，也是最大值.此時，為等邊三角形，且，所以，.由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故答案為：. 三、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，，，．(1)若，且等比數(shù)列的公比大于0，求和的通項公式；(2)若，求．【答案】(1)，(2)或 【分析】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，根據(jù)已知寫出的表達式.然后列出方程組，求解即可得出的值，代入即可得出答案；（2）檢驗可得不滿足題意.根據(jù)等比數(shù)列前項和公式可得，解得，或.分別求出的值，得出，然后根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因為，解得，                 所以，.（2）設(shè)的公差為d，的公比為q.當時，，不滿足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.           當時，，由，得，所以，故 ；當時，，由，得，所以，故 .18．甲、乙、丙三個學(xué)校進行籃球比賽，各出一個代表隊，簡稱甲隊、乙隊、丙隊．約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個隊，另一隊輪空；每場比賽的勝隊與輪空隊進行下一場比賽，負隊下一場輪空，直至有一隊被淘汰；當一隊被淘汰后，剩余的兩隊繼續(xù)比賽，直至其中一隊被淘汰，另一隊最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊首先比賽，丙隊輪空．設(shè)甲隊與乙隊每場比賽，甲隊獲勝概率為0.5，甲隊與丙隊每場比賽，甲隊獲勝概率為0.6，乙隊與丙隊每場比賽，乙隊獲勝概率為0.4．記事件A為甲隊輸，事件B為乙隊輸，事件C為丙隊輸，(1)寫出用A，B，C表示“乙隊連勝四場”的事件，并求其概率；(2)寫出用A，B，C表示“比賽四場結(jié)束”的事件，并求其概率；(3)求“需要進行第五場比賽”的概率．【答案】(1)事件為ACAC，概率為；(2)事件分別為BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率為；(3). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，寫出所求事件，再利用相互獨立事件的概率公式計算作答.（2）比賽四場結(jié)束的事件是三個互斥事件的和，寫出該事件，再利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式求解作答.（3）由（2），利用對立事件求出概率作答.【詳解】（1）依題意，， “乙隊連勝四場”的事件為ACAC，所以.（2）“比賽四場結(jié)束”共有三種情況，分別是：“甲隊連勝四場”為事件BCBC； “乙隊連勝四場”為事件ACAC；“丙隊上場后連勝三場”為事件ABAB和事件BABA，所以，“比賽四場結(jié)束”的概率為．（3）根據(jù)賽制，至少需要進行四場比賽，至多需要進行五場比賽，所以，需要進行第五場比賽的概率為.19．如圖，四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，，，，，E，F分別是SC和AB的中點，．(1)證明：平面SAD；(2)點P在棱SA上，當與底面所成角為時，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）設(shè)M為SD的中點，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）設(shè)N是DC的中點，由面面垂直判定定理證明平面，再證明，以點為原點，建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，由向量夾角公式求點的坐標，再求平面和平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)M為SD的中點，連接ME，MA，因為ME是的中位線，所以，又因為，且，所以底面ABCD為平行四邊形．所以，又，且，故，且，所以四邊形是平行四邊形，                     所以，又平面，平面，所以平面．         （2）因為，又，所以，故．設(shè)N是DC的中點，連接SN，因為，所以，又平面平面，平面SDC，平面底面，所以平面．                                          連接，在中，，所以是正三角形，在中，，所以，所以，即．                          因為兩兩互相垂直，故以為坐標原點，以向量為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系．               在中，由余弦定理得．過點P作，，因為平面，所以底面，因為，所以與相似，因為，所以．設(shè)P的坐標為，則，，故，設(shè)底面ABCD的法向量為，當PF與底面ABCD所成角為時，與所成角為．故，即，解得．              所以．設(shè)平面的法向量為，則，即取，可得，所以為平面的一個法向量，設(shè)平面PAF的法向量為，則，即，取，可得，所以為平面的一個法向量，故．所以二面角的正弦值為．20．已知定點，及動點，點R是直線MQ上的動點，且．(1)求點R的軌跡C的方程；(2)過點的直線與曲線C交于點A，B，試探究：的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，最大值為 【分析】（1）設(shè)點的坐標為，由條件列關(guān)系式求軌跡方程；（2）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合設(shè)而不求法求的面積，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】（1）設(shè)點的坐標為，由已知，，，因為點R是直線MQ上，所以，因為，所以，即， 所以化簡得，．因為，所以，故點R的軌跡C的方程為．（2）過點的斜率為的直線與曲線沒交點，不滿足要求，故設(shè)直線AB的方程為，由，消去x并整理，得，方程的判別式，設(shè)，則，                  所以，的面積，  設(shè)，則，設(shè)，則，在是增函數(shù)，              故，即，有，因此，當，即時，S存在最大值為．【點睛】思路點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．設(shè)函數(shù)．(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個極值點，①求a的取值范圍；②證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)①②證明見解析 【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系求解；（2）①根據(jù)方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性最值即可數(shù)形結(jié)合求解；②根據(jù)可得，再將要證不等式雙變量轉(zhuǎn)化為單變量問題證明求解.【詳解】（1）當時，，故，  所以，當時，；當時，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）①，依據(jù)題意可知有兩個不等實數(shù)根，即有兩個不等實數(shù)根．                由，得，所以有兩個不等實數(shù)根可轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象有兩個不同的交點，令，則，由，解得；由，解得；所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以．又當時，，當時，，因為與的圖象有兩個不同的交點，所以．          ②由①可知有兩個不等實數(shù)根，聯(lián)立可得，所以不等式等價于．令，則，且等價于．所以只要不等式在時成立即可．                設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，故在單調(diào)遞增，得，所以在單調(diào)遞減，得．綜上，原不等式成立．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的第二問的第②小問解決的關(guān)鍵在于將雙變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，從可得，代入即可得，令，進而證明單變量不等式即可.22．在直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．(1)寫出C的普通方程；(2)若A，B是C上異于坐標原點O的兩動點，且，，并與線段AB相交于點P，求點P軌跡的極坐標方程．【答案】(1)(2) 【分析】（1）消參求普通方程；（2）設(shè)，根據(jù)得，再根據(jù)得 ，進而可得，再由A，P，B三點共線，可得，整理可得，進而可求解.【詳解】（1）由C的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得C的普通方程為．（2）根據(jù)（1），設(shè)，（，且），則，因為，所以，得，       又，因為，所以，即，      因為A，P，B三點共線，所以，即，整理得，把和，代入上式，得，故點P軌跡的極坐標方程為．23．已知函數(shù)．(1)畫出和的圖象；(2)若，求a的值．【答案】(1)圖象見解析(2)6 【分析】（1）利用分段函數(shù)的性質(zhì)作圖；（2）利用絕對值不等式的解法結(jié)合函數(shù)圖象求解.【詳解】（1）由已知得，，  和的圖象如圖所示．（2）的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移a（）個單位長度，或向右平移（）個單位長度得到的，根據(jù)圖象，可知把函數(shù)的圖象向右平移不符合題意，只能向左平移．              當向左平移使的圖象的右支經(jīng)過的圖象上的點時為臨界狀態(tài)，如圖所示，此時的圖象的右支對應(yīng)的函數(shù)解析式為，的圖象的左支與的圖象的一部分重合，代入點的坐標，則，解得．因為，所以，故a的值為6． 

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