山東省濱州市2023屆高三數(shù)學(xué)二?？荚嚹M試卷     2023.5一、單選題1．已知集合，，則A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．3．如圖，在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的一個(gè)三等分點(diǎn)（），若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（    ）A． B． C． D．4．已知圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺(tái)的體積為，則其母線長為（    ）A． B． C． D．5．回文數(shù)是指從左往右讀與從右往左讀都是一樣的正整數(shù)，如，等，在所有小于的三位回文數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于的概率為（    ）A． B． C． D．6．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點(diǎn)處開始運(yùn)動(dòng)， 與水平面的所成角為，且每分鐘恰好轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位；）與時(shí)間（單位： ）之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是A． B． C． D．7．設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（    ）．A． B．C． D．8．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D． 二、多選題9．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，正確的為A．B．截面C．D．異面直線與所成的角為10．已知函數(shù)，下列說法正確的有（   ）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)B．在處的切線方程為y=1C．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則D．的極大值點(diǎn)為(1，1)11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為 B．若A，F，B三點(diǎn)共線，則C．若直線與的斜率之積為，則直線過點(diǎn)F D．若，則的中點(diǎn)到x軸距離的最小值為212．已知連續(xù)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f（1）＝－2，則以下說法中正確的是（    ）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函數(shù)C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式的解集為 三、填空題13．的展開式中的系數(shù)為12，則_________．14．寫出與兩圓均相切的一條直線方程為___________.15．過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為______．16．過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)的周長最大時(shí)，的面積為__________．四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其前項(xiàng)和為，證明.18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，且的面積為，求b的值.19．如圖，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．（1）證明：平面平面；（2）若，求點(diǎn)到面的距離．20．第五屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)于2022年11月4日在上海開幕，本次進(jìn)口博覽會(huì)共有145個(gè)國家、地區(qū)和國際組織參展，企業(yè)商業(yè)展延續(xù)食品及農(nóng)產(chǎn)品、汽車、技術(shù)裝備、消費(fèi)品、醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健、服務(wù)貿(mào)易六大展區(qū)設(shè)置.進(jìn)口博覽會(huì)的舉辦向世界展示了中國擴(kuò)大開放的決心與自信、氣魄與擔(dān)當(dāng).為調(diào)查上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情況，從上海各高校抽取400名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： 男女總計(jì)了解80  不了解 160 總計(jì) 200400(1)完成上述列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情況與性別有關(guān)；(2)據(jù)調(diào)查，上海某高校學(xué)生會(huì)宣傳部6人中有3人了解進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置情況，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取4人參加進(jìn)口博覽會(huì)志愿服務(wù)，設(shè)抽取的人中了解進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置情況的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 21．在一張紙片上，畫有一個(gè)半徑為4的圓（圓心為M）和一個(gè)定點(diǎn)N，且，若在圓上任取一點(diǎn)A，將紙片折疊使得A與N重合，得到折痕BC，直線BC與直線AM交于點(diǎn)P．(1)若以MN所在直線為軸，MN的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)在（1）中點(diǎn)P的軌跡上任取一點(diǎn)D，以D點(diǎn)為切點(diǎn)作點(diǎn)P的軌跡的切線，分別交直線，于S，T兩點(diǎn)，求證：的面積為定值，并求出該定值；(3)在（1）基礎(chǔ)上，在直線，上分別取點(diǎn)G，Q，當(dāng)G，Q分別位于第一、二象限時(shí)，若，，求面積的取值范圍．22．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（1）請(qǐng)舉一個(gè)“超導(dǎo)函數(shù)” 的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個(gè)在R上單調(diào)遞增，另一個(gè)在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實(shí)根，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說明理由.
 山東省濱州市2023屆高三數(shù)學(xué)二模考試模擬試卷            2023.5一、單選題1．已知集合，，則A． B．C． D．【答案】D2．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，若（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】D3．如圖，在平行四邊形中，是邊的中點(diǎn)，是的一個(gè)三等分點(diǎn)（），若存在實(shí)數(shù)和，使得，則（    ）A． B． C． D．【答案】C4．已知圓臺(tái)的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺(tái)的體積為，則其母線長為（    ）A． B． C． D．【答案】B5．回文數(shù)是指從左往右讀與從右往左讀都是一樣的正整數(shù)，如，等，在所有小于的三位回文數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)回文數(shù)的三位數(shù)字之和均大于的概率為（    ）A． B． C． D．【答案】B6．筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)將筒車抽象為一個(gè)幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點(diǎn)處開始運(yùn)動(dòng)， 與水平面的所成角為，且每分鐘恰好轉(zhuǎn)動(dòng)1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位；）與時(shí)間（單位： ）之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是A． B．C． D．【答案】D7．設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（    ）．A． B．C． D．【答案】D8．已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（    ）A． B．C． D．【答案】A二、多選題9．如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，正確的為A．B．截面C．D．異面直線與所成的角為【答案】ABD10．已知函數(shù)，下列說法正確的有（   ）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)B．在處的切線方程為y=1C．若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則D．的極大值點(diǎn)為(1，1)【答案】BC11．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，是拋物線上兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．點(diǎn)F的坐標(biāo)為 B．若A，F，B三點(diǎn)共線，則C．若直線與的斜率之積為，則直線過點(diǎn)F D．若，則的中點(diǎn)到x軸距離的最小值為2【答案】ACD12．已知連續(xù)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f（1）＝－2，則以下說法中正確的是（    ）A．f（0）＝0B．f(x)是R上的奇函數(shù)C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6D．不等式的解集為【答案】ABC三、填空題13．的展開式中的系數(shù)為12，則_________．【答案】14．寫出與兩圓均相切的一條直線方程為___________.【答案】（答案不唯一）15．過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為______．【答案】或16．過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，當(dāng)的周長最大時(shí)，的面積為__________．【答案】四、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，其前項(xiàng)和為，證明.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可得關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，解之代入通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）可知，由裂項(xiàng)相消法可得其和．【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，依題意得，∴，∴，∴.（2）由（1）得，∴，∴，∵，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，涉及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題．18．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，且的面積為，求b的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由，利用正弦定理得到求解；（2）根據(jù)的面積為，得到，然后利用余弦定理求解.(1)解：因?yàn)?/span>，所以，即，因?yàn)?/span>，所以，所以；(2)因?yàn)?/span>的面積為，所以，解得，由余弦定理得，，所以.19．如圖，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．（1）證明：平面平面；（2）若，求點(diǎn)到面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證面面垂直只要證明其中一個(gè)面內(nèi)的一條直線垂直于另外一個(gè)平面即可；（2）利用等體積法，根據(jù)所給條件求得各已知量，代入即可得解.【詳解】（1）∵平面，平面，∴．∵是菱形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）根據(jù)題意可得，所以，，所以，，所以，易知，所以，由，，設(shè)點(diǎn)到面的距離為，根據(jù)等體積法可得代入數(shù)據(jù)可得，所以點(diǎn)到面的距離為.20．第五屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)于2022年11月4日在上海開幕，本次進(jìn)口博覽會(huì)共有145個(gè)國家、地區(qū)和國際組織參展，企業(yè)商業(yè)展延續(xù)食品及農(nóng)產(chǎn)品、汽車、技術(shù)裝備、消費(fèi)品、醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健、服務(wù)貿(mào)易六大展區(qū)設(shè)置.進(jìn)口博覽會(huì)的舉辦向世界展示了中國擴(kuò)大開放的決心與自信、氣魄與擔(dān)當(dāng).為調(diào)查上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情況，從上海各高校抽取400名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： 男女總計(jì)了解80  不了解 160 總計(jì) 200400(1)完成上述列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情況與性別有關(guān)；(2)據(jù)調(diào)查，上海某高校學(xué)生會(huì)宣傳部6人中有3人了解進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置情況，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取4人參加進(jìn)口博覽會(huì)志愿服務(wù)，設(shè)抽取的人中了解進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置情況的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望 【分析】（1）先根據(jù)已知完善列聯(lián)表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出，從而比較與值查表得出答案；（2）根據(jù)已知結(jié)合離散型隨機(jī)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望求法得出答案.【詳解】（1）根據(jù)已知完成列聯(lián)表如下， 男女總計(jì)了解8040120不了解120160280總計(jì)200200400則，則，則有99.9%的把握認(rèn)為上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情況與性別有關(guān)；（2）根據(jù)題意，的可能取值為1,2,3，，，，則的分布列為：123則.21．在一張紙片上，畫有一個(gè)半徑為4的圓（圓心為M）和一個(gè)定點(diǎn)N，且，若在圓上任取一點(diǎn)A，將紙片折疊使得A與N重合，得到折痕BC，直線BC與直線AM交于點(diǎn)P．(1)若以MN所在直線為軸，MN的垂直平分線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)在（1）中點(diǎn)P的軌跡上任取一點(diǎn)D，以D點(diǎn)為切點(diǎn)作點(diǎn)P的軌跡的切線，分別交直線，于S，T兩點(diǎn)，求證：的面積為定值，并求出該定值；(3)在（1）基礎(chǔ)上，在直線，上分別取點(diǎn)G，Q，當(dāng)G，Q分別位于第一、二象限時(shí)，若，，求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見解析，定值為2(3) 【分析】（1）結(jié)合幾何關(guān)系將所求問題轉(zhuǎn)化為求的定值問題即可求解曲線方程；（2）先由斜率為0求出，當(dāng)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程，由得，再由切割法得，求出點(diǎn)，聯(lián)立直線與漸近線方程求出，代入面積公式化簡即可；（3）設(shè)，，，由代換出點(diǎn)坐標(biāo)，將代入雙曲線方程化簡得，再結(jié)合坐標(biāo)面積公式進(jìn)一步化簡得關(guān)于的對(duì)勾函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求面積的取值范圍．【詳解】（1）過點(diǎn)N作圓M的切線，切點(diǎn)分別為E，F．由題意知，BC是線段AN的垂直平分線，因?yàn)橹本€BC與直線AM交于點(diǎn)P，所以，當(dāng)點(diǎn)A在劣弧EF上時(shí)，點(diǎn)P在射線MA上，所以；當(dāng)點(diǎn)A在優(yōu)弧EF上時(shí)，點(diǎn)P在射線AM上，所以．所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線．設(shè)該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，所以a＝2，，，所以點(diǎn)P的軌跡方程為；（2）雙曲線的漸近線為．由題意知直線l的斜率存在，設(shè)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，易知是以ST為底邊的等腰三角形，,，則，此時(shí)．當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立消去x得，．①設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)H，則，則．（直接求的面積不易求得，將進(jìn)行拆分）聯(lián)立，聯(lián)立．則（定值）．綜上所述，的面積為定值2；（3）由題可設(shè)，，，，．因?yàn)?/span>，所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程有，化簡得．故．（三角形面積公式）因?yàn)?/span>，所以由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，故．22．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則稱函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”.（1）請(qǐng)舉一個(gè)“超導(dǎo)函數(shù)” 的例子，并加以證明；（2）若函數(shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，且其中一個(gè)在R上單調(diào)遞增，另一個(gè)在R上單調(diào)遞減，求證：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”；（3）若函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”且方程無實(shí)根，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），判斷方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說明理由.【答案】(1)見解析.(2)見解析.(3)見解析.【詳解】分析：（1）根據(jù)定義舉任何常數(shù)都可以；（2）∵，∴，即證-在R上成立即可；（3）構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?/span>是“超導(dǎo)函數(shù)”， ∴對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，而方程無實(shí)根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減， 故方程等價(jià)于，即，設(shè) ，分析函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)定理即可得出結(jié)論.詳解：（1）舉例：函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”，因?yàn)?/span>，，滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，故是“超導(dǎo)函數(shù)”. 注：答案不唯一，必須有證明過程才能給分，無證明過程的不給分.（2）∵，∴，∴   因?yàn)楹瘮?shù)與都是“超導(dǎo)函數(shù)”，所以不等式與對(duì)任意實(shí)數(shù)都恒成立，故，，①     而與一個(gè)在上單調(diào)遞增，另一個(gè)在上單調(diào)遞減，故，②由①②得對(duì)任意實(shí)數(shù)都恒成立，所以函數(shù)是“超導(dǎo)函數(shù)”. （3）∵，所以方程可化為，設(shè)函數(shù)，，則原方程即為，③   因?yàn)?/span>是“超導(dǎo)函數(shù)”， ∴對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，而方程無實(shí)根，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減， 故方程③等價(jià)于，即，                  設(shè) ，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，而，，且函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷，故 在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，從而原方程有且僅有唯一實(shí)數(shù)根.點(diǎn)睛：考查函數(shù)的新定義，首先要讀懂新定義，將新定義的知識(shí)與所學(xué)導(dǎo)函數(shù)的知識(shí)相聯(lián)系是解題關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)在于能否將新定義的語言轉(zhuǎn)化為自己所熟悉的函數(shù)語言進(jìn)行等價(jià)研究問題是解題關(guān)鍵，屬于壓軸題.
 

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