2023屆內(nèi)蒙古呼和浩特市高三二模數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知全集，集合，則（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】計(jì)算，再計(jì)算補(bǔ)集得到答案.【詳解】，則.故選：B2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（    ）A． B． C． D．2【答案】C【分析】計(jì)算，確定虛部得到答案.【詳解】，故虛部為.故選：C3．如圖是近十年來全國城鎮(zhèn)人口、鄉(xiāng)村人口的折線圖（數(shù)據(jù)來自國家統(tǒng)計(jì)局）．根據(jù)該折線圖，下列說法錯(cuò)誤的是（    ）A．城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān) B．鄉(xiāng)村人口與年份的相關(guān)系數(shù)接近C．城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同 D．可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢【答案】B【分析】根據(jù)折線圖判斷鄉(xiāng)村人口與年份、城鎮(zhèn)人口與年份的相關(guān)關(guān)系以及線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，由折線圖可知，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)，A對；對于B選項(xiàng)，因?yàn)猷l(xiāng)村人口與年份呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，且線性相關(guān)性很強(qiáng)，所以接近，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，城鎮(zhèn)人口與年份呈現(xiàn)正相關(guān)，且線性相關(guān)性很強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)接近，故城鎮(zhèn)人口逐年增長率大致相同，C對；對于D選項(xiàng)，由折線圖可知，鄉(xiāng)村人口與年份呈負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，可預(yù)測鄉(xiāng)村人口仍呈現(xiàn)下降趨勢，D對.故選：B.4．函數(shù)在上的圖象大致為（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，結(jié)合特殊值，即可排除選項(xiàng).【詳解】首先，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除D，，故排除B，當(dāng)時(shí)，，故排除A，只有C滿足條件.故選：C5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入k的值為1，則輸出n的值為（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】按照程序框圖運(yùn)行，當(dāng)時(shí)，結(jié)束循環(huán)，輸出.【詳解】輸入，第一次循環(huán)：，，；第二次循環(huán)：，，；第三次循環(huán)：，，；第四次循環(huán)：，結(jié)束循環(huán)，此時(shí)，.所以輸出.故選：B.6．若雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線：的焦點(diǎn)重合，則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C．3 D．-3【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合知焦點(diǎn)在軸上，對雙曲線表達(dá)式進(jìn)行變形，求出，再令即可求解.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，所以雙曲線方程化為：，再轉(zhuǎn)化為：，所以， ，所以，所以，所以平方得故選：D.7．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（1170-1250），以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，在實(shí)際生活中，很多花朵（如梅花，飛燕草，萬壽簡等）的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理及化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛得應(yīng)用．已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則（    ）A．2025 B．2026 C．2028 D．2024【答案】D【分析】根據(jù)得到原式等于，得到答案.【詳解】，則，故.故選：D8．已知向量，，若，且，則實(shí)數(shù)（    ）A．3 B． C．5 D．【答案】B【分析】計(jì)算，根據(jù)垂直得到，解得答案.【詳解】，，則，解得.故選：B9．已知角，且點(diǎn)在直線上，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)在線上，以及的范圍，求出的值，然后用正切和公式求出的值【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，代入可得：，，即，解得，，，，．故選：．10．已知三棱錐中，，，，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】計(jì)算得到，根據(jù)面面垂直得到平面，設(shè)外接球半徑為，的外接圓半徑為，計(jì)算，得到表面積.【詳解】，，則，，故，平面平面，面平面，平面，則平面， 設(shè)外接球半徑為，的外接圓半徑為， 則，解得，外接球表面積為.故選：D11．用五種不同顏色給三棱柱的六個(gè)頂點(diǎn)涂色，要求每個(gè)頂點(diǎn)涂一種顏色，且每條棱的兩個(gè)頂點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂法有（    ）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】D【分析】對所選顏色的種數(shù)進(jìn)行分類討論，先涂、、三點(diǎn)，再確定、、三點(diǎn)顏色的選擇方法種數(shù)，結(jié)合分步乘法和分類加法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下幾種情況討論：①若種顏色全用上，先涂、、三點(diǎn)，有種，然后在、、三點(diǎn)中選擇兩點(diǎn)涂另外兩種顏色，有種，最后一個(gè)點(diǎn)有種選擇，此時(shí)共有種；②若用種顏色染色，由種選擇方法，先涂、、三點(diǎn)，有種，然后在、、三點(diǎn)中需選擇一點(diǎn)涂最后一種顏色，有種，不妨設(shè)涂最后一種顏色的為點(diǎn)，若點(diǎn)與點(diǎn)同色，則點(diǎn)只有一種顏色可選，若點(diǎn)與點(diǎn)同色，則點(diǎn)有兩種顏色可選，此時(shí)共有種；③若用種顏色染色，則有種選擇方法，先涂、、三點(diǎn)，有種，點(diǎn)有種顏色可選，則、的顏色只有一種選擇，此時(shí)共有.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有種涂色方法.故選：D.12．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)畫出圖象，由方程，解得 或 ，根據(jù)題意，由有兩個(gè)解求解.【詳解】解：因?yàn)?/span>，所以，令，得，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，圖象如圖所示：方程，即為，解得 或 ，由函數(shù)的圖象知： 只有一個(gè)解，所以有兩個(gè)解，所以 ，解得，故選：A 二、填空題13．在的展開式中，的系數(shù)為，則______．【答案】/【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求得正確答案.【詳解】的展開式中，含的項(xiàng)為，所以.故答案為：14．已知和均為等差數(shù)列，，，，則數(shù)列的前60項(xiàng)的和為________．【答案】7260【分析】確定是等差數(shù)列，計(jì)算首項(xiàng)和公差，求和得到答案.【詳解】和均為等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，故前60項(xiàng)的和為.故答案為：15．一組數(shù)的分位數(shù)指的是滿足下列條件的一個(gè)數(shù)值：至少有的數(shù)據(jù)不大于該值，且至少有的數(shù)據(jù)不小于該值．直觀來說，一組數(shù)的分位數(shù)指的是，將這組數(shù)按照從小到大的順序排列后，處于位置的數(shù)．例如：中位數(shù)就是一個(gè)50%分位數(shù).2023年3月，呼和浩特市為創(chuàng)建文明城市，隨機(jī)從某小區(qū)抽取10位居民調(diào)查他們對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度，該指標(biāo)數(shù)越接近10表示滿意程度越高．他們的滿意度指標(biāo)數(shù)分別是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是________．【答案】6【分析】首先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)百分位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】依題意這個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排列為、、、、、、、、、，又，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是第個(gè)數(shù).故答案為：16．2021年3月30日，小米正式開始啟用具備“超橢圓”數(shù)學(xué)之美的新logo（如圖所示），設(shè)計(jì)師的靈感來源于曲線：．當(dāng)，，時(shí)，下列關(guān)于曲線的判斷正確的有________．①曲線關(guān)于軸和軸對稱②曲線所圍成的封閉圖形的面積小于8③曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為④設(shè)，直線交曲線于、兩點(diǎn)，則的周長小于8【答案】①②③【分析】確定，在曲線上，①正確，曲線在一個(gè)長為，寬為的矩形內(nèi)部，②正確，利用三角換元計(jì)算得到③正確，確定橢圓在曲線內(nèi)，④錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】曲線：，對①：取曲線上點(diǎn)，則，在曲線上，故曲線關(guān)于軸和軸對稱，正確；對②：取，，取，，故曲線在一個(gè)長為，寬為的矩形內(nèi)部，故其面積小于，正確；對③：設(shè)曲線上一點(diǎn)為，則，設(shè)，到原點(diǎn)的距離的平方為，，，當(dāng)時(shí)，距離平方有最大值為，故距離的最大值為，正確.對④：對于曲線和橢圓，設(shè)點(diǎn) 在上， 點(diǎn)在上，，故， 所以，設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，，所以，即，故橢圓在曲線內(nèi)(除四個(gè)交點(diǎn)外)， 如圖：設(shè)直線交橢圓 于兩點(diǎn)，交軸于，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓的定義可知：，，所以的周長為8，由圖可知，的周長不小于8，錯(cuò)誤；故答案為：①②③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了超橢圓的概念，對稱性，最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中確定橢圓在曲線內(nèi)，再利用橢圓的知識求解是解題的關(guān)鍵. 三、解答題17．如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2) 【分析】（1）確定，得到平面，得到，再根據(jù)得到線面垂直.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，確定平面和平面的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1），，，則，所以，平面，且平面，則，平面，故平面，又平面，所以，由于四邊形為正方形，所以，，平面，故平面.（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：可知，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，令，可得；設(shè)為平面的法向量，令，可得，所以，又因?yàn)槎娼?/span>為銳角，故二面角的余弦值為.18．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知外接圓的半徑為1，且．(1)求角；(2)若，是的內(nèi)角平分線，求的長度．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理得到，整理得到，得到答案.（2）根據(jù)正弦定理得到，，計(jì)算角度得到，得到答案.【詳解】（1），則，即，則由余弦定理可得，所以．又，，所以，即，又，所以．（2）由正弦定理可得：，解得，，，故為銳角，，在中，，是的內(nèi)角平分線，故，，故．19．文化月活動(dòng)中，某班級在宣傳欄貼出標(biāo)語“學(xué)好數(shù)學(xué)好”，可以不同斷句產(chǎn)生不同意思，“學(xué)/好數(shù)學(xué)/好”指要學(xué)好的數(shù)學(xué)，“學(xué)好/數(shù)學(xué)/好”強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，假設(shè)一段時(shí)間后，隨機(jī)有個(gè)字脫落．(1)若，用隨機(jī)變量表示脫落的字中“學(xué)”的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及期望；(2)若，假設(shè)某同學(xué)檢起后隨機(jī)貼回，求標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率．【答案】(1)分布列見解析，(2)0.6 【分析】(1)利用超幾何概率分布模型求解即可；(2)根據(jù)掉落的兩個(gè)字的不同情況進(jìn)行分類討論求解.【詳解】（1）方法一：隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2， ，，，隨機(jī)變量X的分布列如下表：X012P隨機(jī)變量X的期望為法二：隨機(jī)變量X服從超幾何分布，所以.（2）設(shè)脫落一個(gè)“學(xué)”為事件，脫落一個(gè)“好”為事件，脫落一個(gè)“數(shù)”為事件，事件為脫落兩個(gè)字，，，，，，所以某同學(xué)撿起后隨機(jī)貼回，標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為，法二：掉下的兩個(gè)字不同的概率為，所以標(biāo)語恢復(fù)原樣的概率為．20．已知函數(shù)，．(1)若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值，并證明：．【答案】(1)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)(2)；證明見解析 【分析】（1）求導(dǎo)得到，確定，取得，得到單調(diào)區(qū)間；（2）確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間，計(jì)算，，得到最小值，確定，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到證明.【詳解】（1），即，因?yàn)?/span>，所以在上成立．令得，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，，．在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，故函數(shù)的最小值為，，即，即．即．要證，只需證，只需證在上恒成立令，則，所以單調(diào)遞減，所以，故恒成立，所以，原不等式得證．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，通過函數(shù)的構(gòu)造將不等式的證明轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.21．已知拋物線：和橢圓：，過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，線段的中垂線交橢圓于，兩點(diǎn)．(1)若恰是橢圓的焦點(diǎn)，求的值；(2)若，且恰好被平分，求的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）計(jì)算焦點(diǎn)得到，解得答案.（2）設(shè)直線：，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)的中點(diǎn)，代入計(jì)算得到，由點(diǎn)在橢圓內(nèi)，得到，確定，再計(jì)算面積得到答案.【詳解】（1）在橢圓中，，所以，由，得．（2）設(shè)直線：，，，代入拋物線方程得．，則，設(shè)的中點(diǎn)，則，，設(shè)，，則直線的斜率為，，，相減得到，即.即，解得，由點(diǎn)在橢圓內(nèi)，得，解得，因?yàn)?/span>，所以值是1，面積．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和拋物線方程，面積問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用點(diǎn)差法得到是解題的關(guān)鍵，弦中點(diǎn)問題我們一般使用點(diǎn)差法，需要熟練掌握.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線：（為參數(shù)）與曲線，的交點(diǎn)從上到下依次為，，，，求的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根據(jù)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程分別代入曲線、的普通方程，根據(jù)直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義計(jì)算可得.【詳解】（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），又，所以曲線的普通方程為．曲線的極坐標(biāo)方程為，有，由得曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）將直線：（為參數(shù)）代入曲線的方程得，即．解得兩根為，，由的幾何意義得，，同理將直線：（為參數(shù)）代入曲線的方程得，解得兩根為，，所以由的幾何意義得，，，，對應(yīng)的值為，，，，故．23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)設(shè)的最小值為M，若正實(shí)數(shù)a，b滿足，證明：．【答案】(1)(2)證明過程見詳解 【分析】（1）對進(jìn)行分類討論，再結(jié)合圖象求解絕對值不等式即可；（2）由（1）可知，可得，再利用基本不等式證明即可．【詳解】（1）由題意知，令，得或，結(jié)合圖象可知的解集為．（2）由題意可知，，，，則令，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立． 

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