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2020年湛江市高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）
一、選擇題（共12小題）
1. 設(shè)集合，，若，則（　　 ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可知，是關(guān)于的方程的根，可求得的值，再解方程，進(jìn)而可解出集合.
詳解】，則，，解得，.
故選：A.
【點睛】本題考查利用交集的結(jié)果求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
2. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
先對復(fù)數(shù)進(jìn)行除法和乘法運算，再根據(jù)實部和虛部找出對應(yīng)的點，即可得出對應(yīng)的象限．
【詳解】解：∵，
∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為，位于第二象限．
故選：B
【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和乘法運算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
3. 已知，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用二倍角的正切公式結(jié)合可求得的值，再由二倍角公式得出，在分式的分子和分母中同時除以，將分式轉(zhuǎn)化為只含的代數(shù)式，代值計算即可.
【詳解】，，，即，
解得，
因此，.
故選：C.
【點睛】本題考查利用二倍角公式求值，涉及弦化切思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
4. 高二某班共有45人，學(xué)號依次為1、2、3、…、45，現(xiàn)按學(xué)號用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為5的樣本，已知學(xué)號為6、24、33的同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有兩個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，由系統(tǒng)抽樣的方法，可求出抽到的每個同學(xué)的學(xué)號之間的間隔為：，而已知學(xué)號為6、24、33的同學(xué)在樣本中，即可得分別寫出5個同學(xué)的學(xué)號，即可得出剩余的兩個同學(xué)的學(xué)號.
【詳解】解：由題可知，該班共有45人，按學(xué)號用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為5的樣本，
則抽到的每個同學(xué)的學(xué)號之間的間隔為：，
而已知學(xué)號為6、24、33的同學(xué)在樣本中，
即抽到的第一個學(xué)號為6，則第二個學(xué)號為：6+9=15，
第三個學(xué)號為：15+9=24，則第四個學(xué)號為：24+9=33，
第五個學(xué)號為：33+9=42，
所以樣本中還有兩個同學(xué)的學(xué)號應(yīng)為：15，42.
故選：B.
【點睛】本題考查對系統(tǒng)抽樣的理解，屬于基礎(chǔ)題.
5. 下列圖象為函數(shù)y，y，y，y的部分圖象，則按順序?qū)?yīng)關(guān)系正確的是（ ）

A. ①②③④ B. ①②④③ C. ①③②④ D. ②①④③
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意對比函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)圖象的特征，逐個判斷即可得解.
【詳解】由可得函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)對應(yīng)的圖象為圖④，故排除A、C；
由，可知函數(shù)對應(yīng)的圖象為圖③；
由，可知函數(shù)、對應(yīng)的圖象分別為①、②，故排除D.
故選：B．
【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的識別，考查了三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找到函數(shù)的性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
6. 函數(shù)f（x）＝ax3﹣6x的一個極值點為1，則f（x）的極大值是（　　 ）
A. ﹣4 B. 2 C. 4 D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
對進(jìn)行求導(dǎo)，求出，從而求出，再求的極大值即可
【詳解】f（x）＝ax3﹣6x，可得＝3ax2﹣6，f（x）＝ax3﹣6x的一個極值點為1，
所以3a﹣6＝0，解得a＝2，因為，
所以f（x）在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
所以x＝﹣1時，函數(shù)取得極大值：f（-1）＝4．
故選：C
【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題
7. 我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異“．意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為（ ）
A. π B. π C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意可得該幾何體的體積與圓錐相同，結(jié)合圓錐側(cè)面展開圖的特征可求得圓錐的母線與底面半徑的長度，進(jìn)而可得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可得解．
【詳解】由題意可知，該幾何體的體積等于圓錐的體積，
∵圓錐的側(cè)面展開圖恰為一個半徑為3的圓的三分之一，
∴圓錐的底面周長為，
∴圓錐的底面半徑為1，母線長為3，
∴圓錐的高為，
∴圓錐的體積圓錐．
從而所求幾何體的體積為．
故選：A．
【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化與圓錐體積的求法，考查了圓錐側(cè)面展開圖的特征，正確理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
8. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的x的值為（ ）

A. ﹣2 B. 2 C. 5或﹣2 D. 7或﹣2
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)輸出的，結(jié)合程序框圖的值分和兩種情況，分別計算即可.
【詳解】由程序框圖可得：
由，解得；
由，解得.
綜上，輸入的的值為7或-2．
故選：D．
【點睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題．
9. 在中，角的對邊分別是，若，則的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由于，根據(jù)正弦定理角化邊得出，而，則，再利用余弦定理得出，即可得出，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.
【詳解】解：由題可知，則，即：，
又，，則，
由余弦定理得：
則，即：，
所以，得，
解得：，
則，得：或（舍去），
所以的面積為：.
故選：D.
【點睛】本題考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面積公式，考查運算能力.
10. 已知函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的圖象的一個最高點為（），與之相鄰的一個對稱中心為，將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（ ）
A. g（x）為偶函數(shù)
B. g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為
C. g（x）為奇函數(shù)
D. 函數(shù)g（x）在上有兩個零點
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)函數(shù)的部分圖象和性質(zhì)求出f（x）解析式，再根據(jù)圖象的變換規(guī)律求得g（x），最后根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)得出結(jié)論．
【詳解】因為函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）的圖象的一個最高點為（），與之相鄰的一個對稱中心為，
所以A=3，（）；
所以T＝π
所以ω＝2；
所以f（x）＝3cos（2x+φ）；
又因為f（）＝3cos[（2×（）+φ]＝3，
所以φ＝Kπ；
∵0＜φ＜π；
∴φ，
∴f（x）＝3cos（2x）；
因為將f（x）的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，
所以g（x）＝3cos[2（x）]＝3cos（2x）；是非奇非偶函數(shù)；
令﹣π+2kπ≤2x2kπ，
所以kπ≤x≤kπ，k∈z；
當(dāng)k＝0時，g（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間為：；
令2xkπ，
解得x，k∈z，
∴函數(shù)g（x）在[0，]上只有一個零點．
故選：B．
【點睛】本題主要考查由三角函數(shù)部分圖象求解析式，圖象變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.
11. 已知正方體的棱長為，為的中點，下列說法中正確的是（　　 ）
A. 與所成的角大于
B. 點到平面的距離為
C. 三棱錐的外接球的表面積為
D. 直線與平面所成的角為
【答案】D
【解析】
【分析】
對于A，取的中點，連接，，則為與所成的角，可求得該角正切值： ；對于B， 到平面的距離即點到平面的距離，則可得到點到平面的距離為；對于C，三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，可得四棱錐的高為，從而求得外接球的半徑為．得外接球的表面積；對于D，連接，取的中點，連接交于，連接，， 是直線與平面所成的角，．
【詳解】解：如圖，對于A，取的中點，連接，，則為與所成的角，
∵，， ，故A錯誤；
對于B，由于平面，故到平面的距離即點到平面的距離，
連接交
于，可得平面，而，∴點到平面的距離為，故B錯誤；
對于C，三棱錐的外接球即四棱錐的外接球，
∵為矩形，且，， ，四棱錐高為，
設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則，解得．
∴三棱錐的外接球的表面積，故C錯誤；
對于D，連接，取的中點，連接交于，連接，，
∵，∴是直線與平面所成的角，在直角三角形中， ， ，
∴，故D正確．
故選：D

【點睛】本題主要考查空間角：異面直線所成交和線面角；以及空間距離：點到平面的距離；幾何體的外接球表面積．注意運用定義在解題中的運用，同時考查運算能力，屬于一道綜合題．
12. 已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點，設(shè)直線，的斜率分別為，，且滿足，設(shè)的面積為，以，為直徑的圓的面積分別為，，則的最小值為（　 ?。?br /> A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
設(shè)直線的方程為，消去整理得，利用判別式以及韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化表示三角形的面積，通過基本不等式求表達(dá)式的最值即可.
【詳解】設(shè)直線的方程為，
根據(jù)題意可知，
聯(lián)立直線和橢圓方程消去
可得：
，可得
根據(jù)韋達(dá)定理：
由
化簡可得，
可得，
，
，
m2＜2，

設(shè)到直線距離為
根據(jù)點到直線距離公式可得：
則，
由

，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，這時的最小值為；
故選：C．
【點睛】本題主要考查了橢圓中的三角形面積問題，解題關(guān)鍵是掌握圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯(lián)立方程組，通過韋達(dá)定理建立起目標(biāo)的關(guān)系式，采用“設(shè)而不求法”并進(jìn)行一系列的數(shù)學(xué)運算，從而使問題得以解決．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答題卡的相應(yīng)位置.
13. 已知向量，，若，則 _____．
【答案】2
【解析】
【分析】
根據(jù)兩個向量共線的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)．再利用向量模長公式求解..
【詳解】，∵，
∴，
解得．∴||．
故答案：2
【點睛】本題考查平面向量共線與模長計算.
已知兩向量共線或垂直求參數(shù)：兩向量共線的充要條件
，
求向量模的常用方法:
(1)若向量是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的模可直接利用公式.
(2)若向量 是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量的模可應(yīng)用公式或，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解．
14. 若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為____________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根據(jù)題意，畫出實數(shù)滿足約束條件表示的平面區(qū)域，要求的最大值，即求的軸上的截距的最小值，由圖可知，將向下平移到過點時，取得最小值，即可求出的最大值.
【詳解】解：由題可知，實數(shù)滿足約束條件表示的區(qū)域如下圖陰影部分：
由于，即，
要求的最大值，即求的軸上的截距的最小值，
由圖可知，將向下平移到過點時，取得最小值，
即過點時，取得最大值，
所以最大值為：.
故答案為：4.

【點睛】本題考查利用幾何法求線性規(guī)劃的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想.
15. 已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）分別為雙曲線1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，以坐標(biāo)原點O為圓心，c為半徑的圓與雙曲線在第二象限交于點P，若tan∠PF1F2，則該雙曲線的離心率為_____．
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)|PF1|＝t，利用P，F(xiàn)1，F(xiàn)2在圓x2+y2＝c2上，得出PF1⊥PF2，然后根據(jù)勾股定理和雙曲線的定義，把,的值均用來表示，進(jìn)而可以求得該雙曲線的離心率
【詳解】由題意可得：P，F(xiàn)1，F(xiàn)2在圓x2+y2＝c2上，所以PF1⊥PF2，設(shè)|PF1|＝t，因為tan∠PF1F2，
所以|PF2|，由勾股定理可得t2+2t2＝4c2，所以4c2＝3t2，所以2ct，
而2a＝|PF2|﹣|PF1|（）t，所以雙曲線的離心率e，
故答案為：
【點睛】本題考查了雙曲線的應(yīng)用，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力
16. 若（1+x）10＝a0+a1x+a2x2+……+a10x10,則a2+a6+a8＝_____；a1+2a2+3a3+……+10a10＝_____.
【答案】 (1). 300 (2). 5120
【解析】
【分析】
(1)根據(jù)二項展開式的公式計算即可.
(2)對原式兩邊求導(dǎo),再代入求解即可.
【詳解】(1)由已知通項為：,所以展開式中每一項的系數(shù)即為其二項式系數(shù).
故a2+a6+a8.
(2)對原式兩邊求導(dǎo)數(shù)得：10（1+x）9.
令x＝1得a1+2a2+3a3+……+10a10＝10×29＝5120.
故答案為：300；5120
【點睛】本題主要考查了根據(jù)二項展開式通項公式求解項的系數(shù)的問題,同時也考查了求導(dǎo)賦值法求解二項展開式系數(shù)和的問題等.屬于中檔題.
三、解答題：本大題共5小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.
17. 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2+an﹣1．
（1）求{an}通項公式；
（2）設(shè)bn，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
【答案】（1）an＝2n+1；（2）Tn．
【解析】
【分析】
（1）先由得到，兩式相減得，進(jìn)而求得；
（2）利用裂項相消法求和即可．
【詳解】解：（1）∵①，
∴，②，
由①﹣②可得：，
整理得：，，
∴，當(dāng)時，有,
所以也適合，故；
（2）∵，
∴，
∴
．
【點睛】本題主要考查數(shù)列通項公式的求法及裂項相消法求前n項和，屬于中檔題．
18. 如圖，在正四棱柱中，，，，，是棱的中點，平面與直線相交于點.

（1）證明：直線平面.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）推導(dǎo)出，，設(shè)點為的中點，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面，平面，從而平面平面，由此能證明平面．
（2）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的正弦值．
【詳解】解：（1）證明：平面平面，
平面平面，平面平面，
，由題意得，
設(shè)點為的中點，連結(jié)，，
是棱的中點，，
平面，平面，平面，
，，，
平面，平面，平面，
，平面平面，
平面，平面．
（2）解：，，如圖，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，0，，，1，，，0，， 1，，
，1，，，1，，，0，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，，，
設(shè)平面的法向量，，，
則，取，得，1，，
設(shè)二面角的平面角為，
由，
，
二面角的正弦值為．

【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力與運算求解能力，屬于中檔題．
19. 冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知的有中東呼吸綜合征（MERS）和嚴(yán)重急性呼吸綜合征（SARS）等較嚴(yán)重的疾病，新型冠狀病毒（nCoV）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，某小區(qū)為進(jìn)一步做好新型冠狀病毒肺炎疫情知識的教育，在小區(qū)內(nèi)開展“新型冠狀病毒防疫安全公益課”在線學(xué)習(xí)，在此之后組織了“新型冠狀病毒防疫安全知識競賽”在線活動．已知進(jìn)入決賽的分別是甲、乙、丙、丁四位業(yè)主，決賽后四位業(yè)主相應(yīng)的名次為第1，2，3，4名，該小區(qū)為了提高業(yè)主們的參與度和重視度，邀請小區(qū)內(nèi)的所有業(yè)主在比賽結(jié)束前對四位業(yè)主的名次進(jìn)行預(yù)測，若預(yù)測完全正確將會獲得禮品，現(xiàn)用a，b，c，d表示某業(yè)主對甲、乙、丙、丁四位業(yè)主的名次做出一種等可能的預(yù)測排列，記X＝|a﹣1|+|b﹣2|+|c﹣3|+|d﹣4|．
（1）求該業(yè)主獲得禮品概率；
（2）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）；（2）分布列見解析，．
【解析】
【分析】
（1）求得該業(yè)主預(yù)測的結(jié)果的總數(shù)，其中預(yù)測完全正確的結(jié)果只有1種，利用古典概型及概率的計算公式，即可求解；
（2）以（a，b，c，d）為一個基本事件，用列舉法逐一寫出每種情況，得到隨機(jī)變量的取值，求得相應(yīng)的概率，即可求得隨機(jī)變量的分布列，利用公式求得數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由題意，該業(yè)主預(yù)測的結(jié)果有種可能，預(yù)測完全正確的結(jié)果只有1種，
所以該業(yè)主獲獎的概率為．
（2）以（a，b，c，d）為一個基本事件，如下表所示：
（a，b，c，d）
X
（a，b，c，d）
X
（a，b，c，d）
X
（1，2，3，4）
0
（2，3，1，4）
4
（3，4，1，2）
8
（1，2，4，3）
2
（2，3，4，1）
6
（3，4，2，1）
8
（1，3，2，4）
2
（2，4，1，3）
6
（4，1，2，3）
6
（1，3，4，2）
4
（2，4，3，1）
6
（4，1，3，2）
6
（1，4，2，3）
4
（3，1，2，4）
4
（4，2，1，3）
6
（1，4，3，2）
4
（3，1，4，2）
6
（4，2，3，1）
6
（2，1，3，4）
2
（3，2，1，4）
4
（4，3，1，2）
8
（2，1，4，3）
4
（3，2，4，1）
6
（4，3，2，1）
8

所以隨機(jī)變量的所有可能的取值為，
可得

所以隨機(jī)變量X的分布列如表：

0
2
4
6
8







所以數(shù)學(xué)期望E（X）．
【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，利用列舉法求得基本事件的個數(shù)，得出隨機(jī)變量的取值情況是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.
20. 已知函數(shù)，且，．
（1）求的圖象在點處的切線方程；
（2）已知函數(shù)，若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根據(jù)已知條件聯(lián)立方程求得和，進(jìn)而求得和，即可求得的圖象在點處的切線方程；
（2）由，可得，變形可得，構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求其單調(diào)性，結(jié)合條件，即可求得答案.
【詳解】（1）
可得，，
①
②
由①②解得，
，
則，，
故的圖象在點處的切線方程：
即：
（2）若，
則
即在上有解，
令，，
，
令，
，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
，
即，
在上單調(diào)遞增，
故
的范圍．
【點睛】本題主要考查了求函數(shù)的切線方程和根據(jù)不等式成立求參數(shù)范圍問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)求切線的方法和構(gòu)造函數(shù)求不等式成立的步驟，考查了分析能力和計算能力，屬于難題.
21. 已知頂點為原點的拋物線，焦點在軸上，直線與拋物線交于、兩點，且線段的中點為．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若直線與拋物線交于異于原點的、兩點，交軸的正半軸于點，且有，直線，且和有且只有一個公共點，請問直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，說明理由．
【答案】（1）；（2）是，直線過定點.
【解析】
【分析】
（1）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，求出點的坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，由此可求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點，，，由條件可得出，可求出直線的斜率，由此可設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由可得出，分與兩種情況討論，求出直線的方程，即可得出直線所過定點的坐標(biāo).
【詳解】（1）由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因為的中點為，所以的坐標(biāo)為，
將點的坐標(biāo)代入拋物線的方程，得，可得，
因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由（1）知，設(shè)，，
因為，則，
由，可得，即，所以，直線的斜率，
因為直線，設(shè)直線的方程為，
代入拋物線的方程可得，
因為且和有且只有一個公共點，可得，解得，
設(shè)，則，，即，
當(dāng)時，，
可得直線的方程為，
由時，代入整理，即直線恒過定點；
當(dāng)，直線的方程為，過點，
綜上，可知直線過定點．
【點睛】本題考查拋物線方程的求解，同時也考查了拋物線中直線過定點問題的求解，考查計算能力，屬于難題.
（二）選考題：共10分請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.
22. 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．
（1）設(shè)射線l的極坐標(biāo)方程為，若射線l與曲線C交于A，B兩點，求AB的長；
（2）設(shè)M，N是曲線C上的兩點，若∠MON，求的面積的最大值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】
（1）直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；
（2）設(shè)M，N，求出范圍，再利用，通過三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換及正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】解：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，其為過原點的圓
整理得，其為過坐標(biāo)原點的圓，
根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為，
整理得，
射線l的極坐標(biāo)方程為與曲線C相交于A和B兩點，
由于射線l：過坐標(biāo)原點，故其中有一個交點為坐標(biāo)原點，
所以，
得；
（2）設(shè)M，N，
由于直線OC的斜率為，
又圓C過原點，故過原點與圓C相切的切線的斜率為k，
從而，得，
則，
當(dāng)，即時，的最大值為1．
【點睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，三角形面積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．
23. 已知函數(shù)f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．
（1）求不等式|f（x）|＜4的解集；
（2）記f （x）的最大值為m，設(shè)a，b，c＞0，且a+2b+3c＝m，證明：．
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】
【分析】
（1）先將f（x）寫為分段函數(shù)的形式，然后由|f（x）|＜4得到，再解不等式組即可；
（2）由（1）知f（x）的最大值為6，從而得到a+2b+3c＝6，然后利用基本不等式求出的最小值，即可證明不等式成立．
【詳解】解：（1）f（x）＝|2x+4|﹣|2x﹣2|．
∵|f（x）|＜4，∴，
∴，
∴不等式的解集為；
（2）由（1）知，當(dāng)時，
的最大值為6，
∴a+2b+3c＝m＝6，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝3c，即時等號成立，
∴．
【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，基本不等式和利用綜合法證明不等式，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．




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