2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市周南集團(tuán)九年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.  的倒數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列運(yùn)算正確的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  我市某校開展“共創(chuàng)文明班，一起向未來”的古詩文朗誦比賽活動(dòng)，有位同學(xué)參加了初賽，按初賽成績(jī)由高到低取前位進(jìn)入決賽．如果小王同學(xué)知道了自己的成績(jī)后，要判斷能否進(jìn)入決賽，他需要知道這位同學(xué)成績(jī)的(    )A. 平均數(shù) B. 眾數(shù) C. 中位數(shù) D. 方差5.  已知直線，將含角的直角三角板按如圖所示擺放．若，則(    )A.
B.
C.
D. 6.  一元二次方程的根的情況是(    )A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 沒有實(shí)數(shù)根
C. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根7.  如圖，四邊形內(nèi)接于，連接，，，若，則(    )A.
B.
C.
D.
 8.  不等式組的解集在以下數(shù)軸表示中正確的是(    )A.  B.
C.  D. 9.  如圖，在矩形中，連接，分別以、為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于、兩點(diǎn)，作直線，分別與、交于點(diǎn)、，連接、若，則四邊形的周長(zhǎng)為(    )A.
B.
C.
D. 10.  班長(zhǎng)邀請(qǐng)，，，四位同學(xué)參加圓桌會(huì)議如圖，班長(zhǎng)坐在號(hào)座位，四位同學(xué)隨機(jī)坐在四個(gè)座位，則，兩位同學(xué)座位相鄰的概率是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）11.  若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍為______．12.  如圖，點(diǎn)，，都在方格紙的格點(diǎn)上，繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為______．
13.  數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法如圖，一次函數(shù)、為常數(shù)，且的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______ ．
14.  一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得，，則圓形鏡面的半徑為          ．
  
 15.  甲、乙兩位同學(xué)各給出某函數(shù)的一個(gè)特征，甲：“函數(shù)值隨自變量的增大而減小”，乙：“函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)”，請(qǐng)你寫出一個(gè)同時(shí)滿足這兩個(gè)特征的函數(shù)，其表達(dá)式是          ．16.  如圖，矩形與反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象交于點(diǎn)，，與反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象交于點(diǎn)，連接，若四邊形的面積為，則 ______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.  本小題分
計(jì)算：．18.  本小題分
化簡(jiǎn)求值：，其中．19.  本小題分
荊州城徽“金鳳騰飛”立于古城東門外．如圖，某校學(xué)生測(cè)量其高含底座，先在點(diǎn)處用測(cè)角儀測(cè)得其頂端的仰角為，再由點(diǎn)向城徽走到處，測(cè)得頂端的仰角為已知，，三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)角儀離地面的高度，求城徽的高參考數(shù)據(jù)：，，．
20.  本小題分
年月日，湖北日?qǐng)?bào)聯(lián)合夏風(fēng)教室發(fā)起“勞動(dòng)最光榮，加油好少年”主題活動(dòng)．某校學(xué)生積極參與本次主題活動(dòng)，為了解該校學(xué)生參與本次主題活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖如圖請(qǐng)結(jié)合圖中信息解答下列問題：
本次共調(diào)查了______名學(xué)生，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．
若該校共有名學(xué)生參加本次主題活動(dòng)，則本次活動(dòng)中該校“洗衣服”的學(xué)生約有多少名？
現(xiàn)從參與本次主題活動(dòng)的甲、乙、丙、丁名學(xué)生中，隨機(jī)抽取名學(xué)生談一談勞動(dòng)感受．請(qǐng)用列表或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人同時(shí)被抽中的概率．
 21.  本小題分
如圖，?中，，相交于點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．
求證：；
設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？請(qǐng)說明理由．
22.  本小題分
近日，教育部印發(fā)義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)年版，將勞動(dòng)從原來的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購(gòu)一批菜苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的倍，用元在市場(chǎng)上購(gòu)買的種菜苗比在菜苗基地購(gòu)買的少捆．
求菜苗基地每捆種菜苗的價(jià)格．
菜苗基地每捆種菜苗的價(jià)格是元．學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買，兩種菜苗共捆，且種菜苗的捆數(shù)不超過種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?dòng)，對(duì)，兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢．23.  本小題分
如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，，連接，延長(zhǎng)交過點(diǎn)的切線于點(diǎn)．
求證：；
求證：；
若，，求的長(zhǎng)．
24.  本小題分
若一個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是去掉個(gè)位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個(gè)四位數(shù)為“勾股和數(shù)”．
例如：，，是“勾股和數(shù)”；
又如：，，，不是“勾股和數(shù)”．
判斷，是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；
一個(gè)“勾股和數(shù)”的千位數(shù)字為，百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為，記，當(dāng)，均是整數(shù)時(shí)，求出所有滿足條件的．25.  本小題分
已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)直線由直線平移得到，與軸交于點(diǎn)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，．
填空：______，______；
若點(diǎn)在第二象限，直線與經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求的最大值；
當(dāng)直線與四邊形、拋物線都有交點(diǎn)時(shí)，存在直線，對(duì)于同一條直線上的交點(diǎn)，直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
當(dāng)時(shí)，直接寫出的取值范圍；
求的取值范圍．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒數(shù)是，
故選：．
根據(jù)倒數(shù)的定義即可得到結(jié)論．
本題考查了倒數(shù)，熟練掌握倒數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：、圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故A不符合題意；
B、圖形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故B符合題意；
C、圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故C不符合題意；
D、圖形是中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形，故D不符合題意．
故選：．
如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，由此即可判斷．
本題考查軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的定義．
 3.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C不符合題意；
D、，故D符合題意．
故選：．
利用二次根式的減法法則，完全平方公式，冪的乘方法則，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算即可．
本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)，完全平方公式，冪的乘方，單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
 4.【答案】 【解析】解：由于總共有個(gè)人，要判斷是否進(jìn)入前名，只要把自己的成績(jī)與中位數(shù)進(jìn)行大小比較．則應(yīng)知道中位數(shù)的大小．
故選：．
參賽選手要想知道自己是否能進(jìn)入前名，只需要了解自己的成績(jī)與全部成績(jī)的中位數(shù)的大小即可．
此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．
 5.【答案】 【解析】解：過含角的直角三角板的直角頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

，
．
，
．
，
，
．
，，
，
，
，
．
故選：．
過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，利用三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)定理和對(duì)頂角相等的性質(zhì)解答即可．
本題主要考查了直角三角形的兩個(gè)銳角互余，平行線的性質(zhì)定理，三角形的外角的性質(zhì)，對(duì)頂角相等，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：在一元二次方程中，
，，，
，
原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選A．
首先根據(jù)根的判別式求出的值，再進(jìn)行判斷即可得解．
本題主要考查根的判別式，解答的關(guān)鍵是明確：當(dāng)時(shí)，原方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
 7.【答案】 【解析】解：四邊形是的內(nèi)接四邊形，
，
，
，
，
故選：．
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)圓周角定理得出，再求出即可．
本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，能熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解此題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式組的解集，能求出不等式組的解集是解此題的關(guān)鍵．
先求出每個(gè)不等式的解集，再求出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．
【解答】
解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式組的解集是，
在數(shù)軸上表示為：，
故選B．  9.【答案】 【解析】解：由作圖過程可得：為的垂直平分線，
，．
設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，

則．
四邊形是矩形，
，
，，
在和中，

≌，
，
四邊形為平行四邊形，
，，
，
四邊形為菱形，
四邊形的周長(zhǎng)．
設(shè)，則，
，
在中，
，
，
解得：，
四邊形的周長(zhǎng)．
故選：．
利用作圖過程可得為的垂直平分線，利用垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)證明四邊形為菱形，利用勾股定理求得，則結(jié)論可得．
本題主要考查了基本作圖，作線段的垂直平分線，矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，判定四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．
 10.【答案】 【解析】解：列表為： 個(gè)中每個(gè)各有種等可能的結(jié)果數(shù)，共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中，兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果數(shù)為，
故A，兩位同學(xué)座位相鄰的概率是．
故選：．
畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出，兩位同學(xué)座位相鄰的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．
本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果，再?gòu)闹羞x出符合事件或的結(jié)果數(shù)目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 11.【答案】 【解析】解：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)二次根式有意義的條件得出，求出即可．
本題考查了二次根式有意義的條件和解一元一次不等式，能得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：由已知可得，
，，
的長(zhǎng)為：，
故答案為：．
根據(jù)題意和圖形，可以得到，然后根據(jù)勾股定理可以得到的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到的長(zhǎng)．
本題考查軌跡、弧長(zhǎng)的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長(zhǎng)公式．
 13.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)、為常數(shù)，且的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn)，
由圖象可知，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，
故答案為：．
結(jié)合圖象即可確定的取值范圍．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：連接，

，且是圓周角，
是圓形鏡面的直徑，
由勾股定理得：，
所以圓形鏡面的半徑為，
故答案為：．
連接，根據(jù)得出是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出即可．
本題考查了圓周角定理和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)圓周角定理得出是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵．
 15.【答案】答案不唯一 【解析】【分析】
本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，牢記“，隨的增大而增大；，隨的增大而減小”是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)甲、乙兩位同學(xué)給出的函數(shù)特征可判斷出該函數(shù)為一次函數(shù)，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，可得出，，取即可得出結(jié)論答案不唯一．
【解答】
解：函數(shù)值隨自變量的增大而減小，且該函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，
該函數(shù)為一次函數(shù)．
設(shè)該一次函數(shù)的表達(dá)式為，則，．
取，此時(shí)該一次函數(shù)的表達(dá)式為．
故答案為：答案不唯一．  16.【答案】 【解析】解：、的圖象均在第一象限，
，，
點(diǎn)、均在反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象上，
，
矩形的頂點(diǎn)在反比例函數(shù)是非零常數(shù)，的圖象上，
，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義即可得出結(jié)論．
本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義：在反比例函數(shù)圖象中任取一點(diǎn)，過這一個(gè)點(diǎn)向軸和軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而得出答案．
此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：


，
當(dāng)時(shí)，
原式
． 【解析】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
利用分式的相應(yīng)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．
 19.【答案】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

則，米，米，
設(shè)米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，

米，
城徽的高約為米． 【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，米，米，設(shè)米，先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，再在中，利用銳角三角函數(shù)的定義列出關(guān)于的方程，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：；
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如下，

名，
答：該校名學(xué)生中參與“洗衣服”的學(xué)生約有名；
從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選擇個(gè)人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

共有種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中甲、乙同時(shí)被抽中的有種，
所以甲、乙同時(shí)被抽中的概率為． 【解析】解：名，名，
故答案為：，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

名，
答：該校名學(xué)生中參與“洗衣服”的學(xué)生約有名；
從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選擇個(gè)人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況如下：

共有種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中甲、乙同時(shí)被抽中的有種，
所以甲、乙同時(shí)被抽中的概率為．
從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中可知，樣本中參與“做飯”的有人，占調(diào)查人數(shù)的，由頻率可以求出調(diào)查人數(shù)，進(jìn)而求出參與“掃地”的頻數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
用樣本中參與“洗衣服”的所占的百分比估計(jì)總體中參與“洗衣服”的百分比，進(jìn)而求出相應(yīng)的人數(shù)；
用列表法表示從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選擇個(gè)人所有可能出現(xiàn)的結(jié)果情況，進(jìn)而求出相應(yīng)的概率即可．
本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖以及樣本估計(jì)總體，列舉出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．
 21.【答案】證明：如圖，連接，，

四邊形是平行四邊形，
，，
，分別為，的中點(diǎn)，
，，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
；
解：當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；理由如下：
當(dāng)時(shí)，，即，
由知：四邊形是平行四邊形，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
平行四邊形是矩形，
當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形．
故答案為：． 【解析】利用平行四邊形的性質(zhì)，即可得到，，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到；
先確定當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，從而得的值．
本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，注意對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形．
 22.【答案】解：設(shè)菜苗基地每捆種菜苗的價(jià)格是元，
根據(jù)題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，
答：菜苗基地每捆種菜苗的價(jià)格是元；
設(shè)購(gòu)買種菜苗捆，則購(gòu)買種菜苗捆，
種菜苗的捆數(shù)不超過種菜苗的捆數(shù)，
，
解得，
設(shè)本次購(gòu)買花費(fèi)元，
，
，
隨的增大而減小，
時(shí)，取最小值，最小值為元，
答：本次購(gòu)買最少花費(fèi)元． 【解析】設(shè)菜苗基地每捆種菜苗的價(jià)格是元，根據(jù)用元在市場(chǎng)上購(gòu)買的種菜苗比在菜苗基地購(gòu)買的少捆，列方程可得菜苗基地每捆種菜苗的價(jià)格是元；
設(shè)購(gòu)買種菜苗捆，則購(gòu)買種菜苗捆，根據(jù)種菜苗的捆數(shù)不超過種菜苗的捆數(shù)，得，設(shè)本次購(gòu)買花費(fèi)元，有，由一次函數(shù)性質(zhì)可得本次購(gòu)買最少花費(fèi)元．
本題考查一元一次方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程及函數(shù)關(guān)系式．
 23.【答案】證明：連接，

，
，
，
；
證明：與相切于點(diǎn)，
，
四邊形是圓內(nèi)接四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：是的直徑，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
的長(zhǎng)為． 【解析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等可得，即可解答；
利用切線的性質(zhì)可得，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)以及平角定義可得，再利用的結(jié)論可得，然后可證，最后利用平行線的性質(zhì)可得，即可解答；
根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得，從而在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可得，進(jìn)而可證∽，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，最后再利用的結(jié)論可證∽，利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．
本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：，，
不是“勾股和數(shù)”，
，
是“勾股和數(shù)”；
為“勾股和數(shù)”，
，
，
為整數(shù)，為整數(shù)，
，
為整數(shù)，
為的倍數(shù)，
，或，，此時(shí)或；
，或，，此時(shí)或． 【解析】由“勾股和數(shù)”的定義可直接判斷；
由題意可知，，且，由為整數(shù)，可知，再由為整數(shù)，可得為的倍數(shù)，由此可得出的值．
本題以新定義為背景考查了因式分解的應(yīng)用，考查了學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力，解題關(guān)鍵是要理解新定義，表示出“勾股和數(shù)”，能根據(jù)條件找出合適的“勾股和數(shù)”．
 25.【答案】解：；；
設(shè)直線的解析式為，
，，
，
解得，
直線的解析式為，
直線平移得到直線，直線與軸交于點(diǎn)，
直線的解析式為，
雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，
，
，
直線與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
聯(lián)立方程組，
整理得，
，即，
，
，
點(diǎn)在第二象限，
，，
，
當(dāng)時(shí)，可以取得最大值；
如圖，當(dāng)直線與拋物線有交點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立方程組，
整理得，，
，即，
，
當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)為；
當(dāng)時(shí)，四邊形的頂點(diǎn)分別為，，，，
如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，
時(shí)，直線與四邊形、拋物線都有交點(diǎn)，且滿足直線與矩形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；














如圖，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，















當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，如圖，，















，
綜上所述：的取值范圍為：或；
當(dāng)的值逐漸增大到使矩形的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，直線與四邊形、拋物線同時(shí)有交點(diǎn)，且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都小于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
，
解得；
如圖，當(dāng)的值逐漸增大到使矩形的頂點(diǎn)在這條開口向上的拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，存在直線即經(jīng)過此時(shí)點(diǎn)的直線與四邊形、平行同時(shí)有交點(diǎn)，且同一直線與四邊形的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都不大于它與拋物線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
，
解得舍或，
綜上所述：的取值范圍為．
 【解析】解：將，代入，
，
解得，
故答案為：；；

將，代入，即可求解；
求出直線的解析式為，直線的解析式為，再由雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，可得，再聯(lián)立方程組，整理得，由題意可得，整理得，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)位置，求出，則當(dāng)時(shí)，可以取得最大值；
聯(lián)立方程組，由，可得，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，四邊形的頂點(diǎn)分別為，，，，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，時(shí)，符合題意；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，，可得，由此可求解；
當(dāng)的值逐漸增大到使矩形的頂點(diǎn)在直線上時(shí)，由，解得；當(dāng)的值逐漸增大到使矩形的頂點(diǎn)在這條開口向上的拋物線上對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，由，解得舍或，即可求的取值范圍為．
本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，分類討論是解題的關(guān)鍵．
 

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